相似三角形培优训练(含答案)之令狐文艳创作
初中数学相似三角形单元培优练习测试题试卷及答案(一)16页
相似三角形单元练习一．选择题1.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE =1，AD =2，DB =3，则BC 的长是（ ）21.A 23.B 25.C 27.D2.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC =（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：23.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG =，则△EFC 的周长为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．84.如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF =DE ，连接CF ，则S △CEF ：S 四边形BCED 的值为（ ）A ．1：3B ．2：3C ．1：4D ．2：55.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB =4，AD =2．∠DAC =∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ） A ．a B ．C ．D ．第1题第2题第3题第4题第5题第6题6.如图，在△ABC 中，AB =AC =a ，BC =b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD =∠A ，∠DCE =∠CBD ，∠EDF =∠DCE ．则EF 等于（ ）23.a b A 23.b a B 34.a b C 34.ba D 7.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个8.如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（ ）A ． 4B ．5C ．6D ．79.如图，在△ABC 中∠A =60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM =PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC =45°时，BN =PC ．其中正确的个数是（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ． 4个10.如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM +PN =AC ；③PE 2+PF 2=PO 2；④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点． 其中正确的结论有（ ）A ． 5个B ． 4个C ．3个D ． 2个二．填空题第8题第9题第10题11.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD =3，∠ADE =60°，则AE 的长为12.在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC =1：2，则BF ：BE = 13.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD =4，DB =2，则的值为14.如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则的值为15.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB =2m ，它的影子BC =1.6m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM =1.2m ，MN =0.8m ，则木竿PQ 的长度为 m ． 16.如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1：，点A 的坐标为（0，1），则点E 的坐标是三．解答题17.已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．第11题第12题第13题第14题第15题第16题18.将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．19.如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．20.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．21.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．22.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6．动点P从点A出发，沿线段AB（不包括端点A，B）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点B运动；动点Q从点B出发，沿线段BC（不包括端点B，C）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点C运动．连接DQ并延长交AB的延长线于点E，把DE沿DC翻折交BC延长线于点F，连接EF．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒．（1）当DP⊥DF时，求t的值；（2）当PQ∥DF时，求t的值；（3）在运动的过程中，△DEF的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．23.在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．参考答案一．选择题三．解答题17.解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××20=10平方单位．故答案为：10．18.解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE =∠ADC ﹣∠EDF =120°﹣90°=30°； （2）∵∠EDF =90°，∴∠PDM +∠E ′DF =∠CDN +∠E ′DF =90°， ∴∠PDM =∠CDN ， ∵∠B =60°，BD =CD ， ∴△BCD 是等边三角形， ∴∠BCD =60°，∵∠CPD =∠A +∠ADE =30°+30°=60°， ∴∠CPD =∠BCD ， 在△DPM 和△DCN 中，，∴△DPM ∽△DCN ， ∴=， ∵=t，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．19.解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD =∠C ，∠A =∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ，ABADAC AB =∴ ∵AB =6，AD =4，94362===∴AD AB AC则CD =AC ﹣AD =9﹣4=5．20.解：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD =BC ，OB =OD ，∴∠DMN =∠BCN ，∠MDN =∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ， ∴=，∵M 为AD 中点，∴MD =21AD =21BC ，即21=BC MD ∴21=BN DN ，即BN =2DN ， 设OB =OD =x ，则有BD =2x ，BN =OB +ON =x +1，DN =x ﹣1，∴x +1=2（x ﹣1），解得：x =3，∴BD =2x =6；（2）∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1：2，∴MN ：CN =1：2，∴S △MND ：S △CND =1：4，∵△DCN 的面积为2，∴△MND 面积为21， ∴△MCD 面积为2.5，∵S 平行四边形ABCD =AD •h ，S △MCD =MD •h =AD •h ，∴S 平行四边形ABCD =4S △MCD =10．21.（1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，设∠CBD=α，∠CAD=β，∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，∴∠APE=∠ADE，AP=AD．∵AC⊥BD∴∠PAE=∠DAE=β，∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．∵∠BAD=3∠CBD，∴3β=3α，β=α．∵AC⊥BD，∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β．∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β，∴∠ACB=∠ABC，∴△ABC为等腰三角形；（2）2MH=FM+CD．证明：如图2，由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，∴△ABP∽△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵AC⊥BD，∴∠GDN=90°﹣β，∵GN=GD，∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β．∴∠AGF=∠NGD=2β．∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β．∵FN平分∠BFM，∴∠NFM=∠AFG=β，∴FM∥AE，∴∠FMN=90°．∵H为BF的中点，∴BF=2MH．在FB上截取FR=FM，连接RM，∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β．∵∠ABC=90°﹣β，∴∠FRM=∠ABC，∴RM∥BC，∴∠CBD=∠RMB．∵∠CAD=∠CBD=β，∴∠RMB=∠CAD．∵∠RBM=∠ACD，∴△RMB∽△DAC，∴，∴BR=CD．∵BR=BF﹣FR，∴FB﹣FM=BR=CD，FB=FM+CD．∴2MH=FM+CD．22.解：（1）∵ABCD 是矩形，∴∠A =∠ADC =∠ABC =∠BCD =90°．∵DP ⊥DF ，∴∠ADP =∠CDF ．∴△ADP ∽△CDF ．∵AD =6，AP =2t ，CD =8，CF =CQ =6－t ，（2）∵PQ ∥DF ，∴△PBQ ∽△DCF ．∵PB =8－2t ，CD =8，BQ =t ，CF =CQ =6－t ，∵0＜t ＜4，∴t =2．（3）不变．∴△DEF 的面积=12×QF ×(DC +BE )=12×2(6－t ． ∴△DEF 的面积为48．23解：（1）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x －1)2＋4，得A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4).................直线AC 的解析式是y ＝3x ＋3．① .（2）Q 1(2, 3)，Q 2(13-)，Q 3(13-)．（3）设点B 关于直线AC 的对称点为B ′，联结BB ′交AC 于F ．联结B ′D ，B ′D 与交AC 的交点就是要探求的点M ．作B ′E ⊥x 轴于E ，那么△BB ′E ∽△BAF ∽△CAO ∵△BAF ∽△CAO ∴13AF BF == ∵AB ＝4，∴BF =。
相似三角形习题及答案.docx
相似三角形1、要掌握基础知识和基本技能。
2、判定三角形相似的几条思路:(1)条件中若有平行，可采用判定定理1;(2)条件中若有一对角相等，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
(5)利用相似三角形的传递性证相似。
(6)若是两个直角三角形，可找一对锐角相等或夹直角的两直角边对应成比例，或应用斜边直角边对应成比例来判定相似。
3、在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
1.己知，如图，CD是Rt\ABC斜边上的屮线，DE1AB交BC 于F ,交AC的延长线于E,说明：(1) \ADE s \FDB；(2) CD2 = DE DF .2.如图，在AABC中，ZC = 90°,P为4B上一点，且点P不与点A重合，过P作PE丄AB 交AC边于点E ,点E不与点C重合，若p4B = 10,AC = 8,设4P的长为x,四边形PECB周长为y ,求y与兀的函数关系式，并写出自变量兀的取值范围. 上_A ---------- 1A E C3.已知：如图，在平面直角坐标系中，\ABC是直角三角形，ZACB= 90°，点A, C 的坐标分别为A(_3,0),C(l,0), B(l,3). ⑴ 求过点A,B的直线的函数表达式；⑵ 在兀轴上找一点连接DB ,使得\ADB与AA3C相似 (不包括全等)，并求点D的坐标；⑶在⑵的条件下，如P,Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ ,设AP = DQ = m，问是否存在这样的加使得\APQ与AADB相似，如果存在，请求出加的值；如果不存在，请说明理由.4.（2008年安徽省屮考题）如图3,四边形ABCD和四边形ACED 都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.（1）请写出图屮各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP ：PQ ：QR.5、（2008年贵州省中考题）如图4,点D、E分别是等边三角形ABC 的BC、AC边上的点，且BD=CE, AD与BE相交于点F, BD2=AD DF 吗？为什么？6.（2008年福州市中考题）如图6,己知ZXABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，具屮点P的运动速度是lcm/s,点Q的运动速度是2cm/s,当Q 点到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为（（s）,作QR〃BA 交AC于点R,连接PR,当t为何值时，△APR S/X PRQ?7.（2008年上海市中考题）已知AB=2, AD=4, ZDAB=90,AD〃BC （如图7） .E是射线BC上的动点，（点E与点B 不重合），M是线段DE的中点.连接BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形1JABME相似，求线段BE的长.图7相似三角形部分习题答案4 J2008年安徽省屮考题）如图3,川边形ABCD 和I 川边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点 P 、Q.（1） 请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2） 求 BP ： PQ ： QR.解：（1） △BCPs&ER ； △PCQ S &DQ ； △PCD S &AB ；APDQ^APABo（2） I 四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形A BC=AD=CEAE 〃DE ・.・RD=RE^~RQ~~RE~2:.RQ=2PQ・•・ PR=RQ+PQ=3PQ・•・ BP=PR=3PQ・・・ BP ： PQ ： QR=3 ： 1 ： 2 5、（2008年贵州省中考题）如图4,点D 、E 分别是等边三角形ABC的BC 、AC 边上的点，且BD=CE, AD 与BE 相交于点F, BD 2=AD DF 吗？为什么？ 解：BD 2=ADDF 理由是： V BC=AB CE=BD ZBCE=ZABD・・・ ABCE^AABD ZFBD= ZBAD•・• ZBDF= ZADB ABDF^AADB.BD AD "~DF~~BD.e .BD 2=ADDF这是相似知识在解题中的应用，证一条线段的平方等于另两条线段的乘积时，通常是通过证 相似来解决，有时也用勾股定理来证。
小学语文基础练习(含答案)之令狐文艳创作
综合复习练习(一)一、看拼音写词语，并完成练习。
diān bǒ bǐng zhú yè yóu sān nián wǔ zǎi jǔshì zhǔ mù( )（）（） ()cū kuǎng qiú jìng yù bóxiǎo xīn yì yì měi bùshèng shōu( ) ( ) ( )( )1．请写出画横线词语的近义词闻名遐迩、举世闻名2．请用加点的词语写一句话：在新春来临之际，四处万象更新，家家户户张灯结彩，过节的人们喜气洋洋，眼前所见美不胜收！二、填表带点的字音序部首除部首外还剩几画词语中的意思（选择正确的打√）博采众长①多,广（）②知道得多（）③用自己的行动换取（）高歌曼舞①延长（）②柔美（）置之不理①放,搁,摆( ) ②设立（）③购买（）三、改正下列词语中的错别字。
大雨顷盆（）三年五栽（）自身自灭（）惊滔骇浪（）腾云架雾（）吉详如意（）高歌慢舞（曼）翻天复地（）博彩众长（）美不盛收（）前伏后仰（）潇洒青秀（清）四、关联词填空。
1.（）花草自己会奋斗，我若是任其自生自灭，大半（）会死的。
2.作为中华民族图腾的龙，（）一种实有的动物，（）一种艺术象征。
3.李兵（）学习成绩优秀，（）是出色的长跑运动员。
4．（）这些革命前辈在敌人的魔掌里，（）他们还是那样的欢乐。
5．（）人民解放军节节前进，人民当家作主的时代即将到来，（）监狱里的革命前辈们是这样的欢乐。
按要求写句子。
1．东晋时期的大书法家王羲之博采众长，创立了一种潇洒清秀的书体。
（缩句）2．不劳动,连棵花也养不活，这难道不是真理吗？（给句子换个说法，意思不变。
）3．我们去北极探险去，去热带搜集植物，去带一个帐篷在星光下露宿。
（仿写句子）。
4．把句子补充完整。
于是，我们的祖先便希望自己的图腾具有风雨雷电那样的力量，群山大河的雄姿，让它像鸟一样能腾云驾雾，像鱼一样可以在水中游弋，像马一样可以飞快奔跑，像像，像5.智慧是玛利亚看到小伙伴触电后临危不惧，用尼龙裙裹住电线的那份从容；智慧是；智慧是一、给带点字选择正确的读音，并打上“√”。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典演习题相似三角形之羊若含玉创作一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，衔接BE，CD，M，N分离为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基本上，将△ADE绕点A按顺时针偏向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，衔接EC，交AD于点F．在不添加帮助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形赐与证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；（2）断定△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M 从A点出发沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经由若干时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为极点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明来由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是若干；（注意：全等算作相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明来由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分离作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C偏向，向点C 运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A偏向，向点A 运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目标地时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明来由；②在运动进程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为极点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有相符条件的t的值；若不存在，请说明来由；③在运动进程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有相符条件的t的值；若不存在，请说明来由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分离是AB、BC 上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB偏向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC偏向运动，问经由几秒，以P、B、Q 为极点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开端沿AB 边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s 的速度移动，如果P、Q分离从A、B同时出发，问经由几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为若干时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，可否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不克不及，请说明来由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC偏向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q、P分离同时从B、C出发，试探究经由若干秒后，以点C、P、Q为极点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为极点的三角形与以P，B，C为极点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，可否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A 开端向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）暗示移动的时间，那么当t 为何值时，以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？23．阳光亮媚的一天，数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不容易到达），他们带了以下丈量对象：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的丈量对象中选出所需对象，设计一种丈量计划．（1）所需的丈量对象是：_________；（2）请在下图中画出丈量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次运动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了丈量．下面是他们通过丈量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细疏忽不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请依据甲、乙两组得到的信息盘算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明来由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分离用S1，S2，S3暗示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分离用S1，S2，S3暗示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分离用S1、S2、S3暗示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分离用S1，S2，S3暗示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应知足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的剖断；平行线的性质.菁优网版权所有专题：证明题.剖析：依据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，依据相似三角形的剖断定理可知△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，衔接BE，CD，M，N分离为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基本上，将△ADE绕点A按顺时针偏向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，衔接EC，交AD于点F．在不添加帮助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形赐与证明．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）点评：考核了平行线的性质及相似三角形的剖断定理．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；（2）断定△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．考点：相似三角形的剖断；正方形的性质.菁优网版权所有专题：证明题；网格型.剖析：（1）不雅察可得：BF=FC=2，故∠FBC=45°；则∠ABC=135°，BC==2；（2）不雅察可得：BC、EC的长为2、，可得，再依据其夹角相等；故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．点评：解答本题要充分应用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M 从A点出发沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经由若干时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为极点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明来由．考点：相似三角形的剖断；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质.菁优网版权所有专题：动点型.剖析：（1）关于动点问题，可设时间为x，依据速度暗示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中应用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，应用相似中的比例线段列出方程，有解的且相符题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：解：（1）设经由x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经磨练，可知x1=1，x2=2相符题意，所以经由1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经由t秒时，以A，M，N为极点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经磨练，t=或t=都相符题意，所以动点M，N同时出发后，经由秒或秒时，以A，M，N为极点的三角形与△ACD相似．（8分）点评：主要考核了相似三角形的剖断，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵巧的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，依据速度暗示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是若干；（注意：全等算作相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．考点：相似三角形的剖断；概率公式.菁优网版权所有专题：开放型.剖析：（1）采取列举法，列举出所有可能出现的情况，再找出相似三角形即可求得；①与③，②与④相似；（2）应用相似三角形的剖断定理即可证得．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考核概率的求法：如果一个事件有n种可能，并且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种成果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考核了相似三角形的剖断．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明来由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．考点：相似三角形的剖断；三角形的面积；含30度角的直角三角形.菁优网版权所有专题：综合题.剖析：（1）依据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知CD=2ED，则可写出相等的线段；（2）两角对应相等的两个三角形相似则可断定△ADE∽△AEC；（3）要求△BEC与△BEA的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考核了直角三角形的性质，相似三角形的剖断及三角形面积的求法等，规模较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分离作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．考点：相似三角形的剖断；菱形的剖断.菁优网版权所有专题：综合题.剖析：（1）依据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；（2）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；（3）依据中位线的性质及菱形的剖断不难求得四边形AQMP为菱形．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．点评：此题主要考核了平行四边形的剖断和性质，中位线的性质，菱形的剖断等知识点的综合运用．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．考点：相似三角形的剖断；正方形的性质.菁优网版权所有专题：证明题.剖析：欲证△ADM∽△MCP，通过不雅察发明两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的双方对应成比例即可．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C偏向，向点C 运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A偏向，向点A 运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目标地时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明来由；②在运动进程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为极点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有相符条件的t的值；若不存在，请说明来由；③在运动进程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有相符条件的t的值；若不存在，请说明来由．②本题要分三种情况进行讨论：一，当P在AB上时，即0＜t≤8，如果两三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP 中依据∠C的正切值，求出t的值．二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形．三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不成能和直角△CQE相似．综合三种情况即可得出相符条件的t的值．（3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论：一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来暗示出DP，PQ的长，然后依据得出的等量关系来求t的值．二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10﹣t，因此DP，DQ恒相等．三，当P在CD上时，即10＜t≤12，情况同二．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不克不及组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．点评：本题主要考核了梯形的性质以及相似三角形的剖断和性质等知识点，要注意（2）中要依据P，Q的不合位置，进行分类讨论，不要漏解．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分离是AB、BC 上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB偏向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC偏向运动，问经由几秒，以P、B、Q 为极点的三角形与△BDC相似？考点：相似三角形的剖断；矩形的性质.菁优网版权所有专题：几何动点问题；分类讨论.剖析：要使以P、B、Q为极点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行剖析．分离是△PBQ∽△BDC 或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经由秒或2秒，△PBQ∽△BCD．点评：此题考核了相似三角形的剖断及矩形的性质等知识点的综合运用．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开端沿AB 边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s 的速度移动，如果P、Q分离从A、B同时出发，问经由几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．考点：相似三角形的剖断；一元一次方程的应用.菁优网版权所有专题：动点型.剖析：设经由t秒后，△PBQ与△ABC相似，依据旅程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，然后应用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．解答：解：设经由秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，经由2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经由1s或2.5s时，以P、B、Q三点为极点的三角形与△ABC相似．点评：本题综合了旅程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为若干时，这两个直角三角形相似．考点：相似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：分类讨论.剖析：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．点评：本题考核相似三角形的剖断．识别两三角形相似，除了要掌握界说外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可应用数形联合思想依据图形提供的数据盘算对应角的度数、对应边的比．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，可否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不克不及，请说明来由．考点：相似三角形的剖断；正方形的性质.菁优网版权所有专题：探究型；分类讨论.剖析：两个三角形都是直角三角形，还只需知足一对角对应相等或夹直角的双方对应成比例即可说明两个三角形相似．若DM与AM对应，则△CDM与△MAN全等，N与B重合，不合题意；若DM与AN对应，则CD：AM=DM：AN，得AN=a，从而确定N的位置．解答：证明：分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，则．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置知足条件．点评：此题考核相似三角形的剖断．因不明白对应关系，所以需分类讨论．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC偏向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q、P分离同时从B、C出发，试探究经由若干秒后，以点C、P、Q为极点的三角形与△CBA相似？考点：相似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：综合题；动点型.剖析：此题要依据相似三角形的性质设出未知数，即经由x秒后，两三角形相似，然后依据速度公式求出他们移动的长度，再依据相似三角形的性质列出分式方程求解．解答：解：设经由x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经由秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考核了旅程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为极点的三角形与以P，B，C为极点的三角形相似．考点：相似三角形的剖断；梯形.菁优网版权所有专题：分类讨论.剖析：此题考核了相似三角形的剖断与性质，解题时要认真审题，选择适宜的剖断办法．解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解．解答：解：（1）若点A，P，D分离与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分离与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．磨练：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．点评：此题考核了相似三角形的剖断和性质；剖断为：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似；性质为相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，可否再找出一对相似三角形并证明你的结论．考点：相似三角形的剖断；等腰直角三角形.菁优网版权所有专题：证明题；开放型.剖析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要剖析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，依据角之间的关系，应用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可剖断三角形相似；再依据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）点评：此题考核了相似三角形的剖断和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A 开端向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）暗示移动的时间，那么当t 为何值时，以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似．考点：相似三角形的剖断；矩形的性质.菁优网版权所有专题：几何动点问题；分类讨论.。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．2 ．如图，梯形ABCD 中，AB∥ CD，点F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点G．（ 1 ）求证：△CDF∽△BGF；（ 2 ）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF ∥ CD交 AD 于点 E，若 AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的长．3．如图，点 D ， E 在 BC 上，且 FD∥ AB， FE∥ AC．求证：△ABC∽△FDE ．4 ．如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF ⊥ AE于 F，试说明：△ABF ∽△EAD．5 ．已知：如图①所示，在△和△ABCADE中， AB=AC ， AD=AE ，∠ BAC= ∠ DAE，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接 BE ，CD ， M ， N 分别为 BE， CD 的中点．（ 1）求证：①BE=CD ；②△AMN是等腰三角形；（ 2）在图①的基础上，将△绕点ADE 按顺时针方向旋转 180 °，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（ 3）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段 BC 于点 P．求证：△PBD∽△ AMN．6 ．如图， E 是? ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接EC，交 AD 于点 F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7 ．如图，在 4 ×3的正方形方格中，△和ABC△ DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．（1 ）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2 ）判断△ ABC与△ DEC是否相似，并证明你的结论．8 ．如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s的速度向 A 点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间，△的AMN面积等于矩形 ABCD 面积的？（ 2）是否存在时刻 t ，使以 A ，M ， N 为顶点的三角形与△相ACD似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9 ．如图，在梯形ABCD 中，若 AB∥ DC，AD=BC ，对角线BD 、 AC 把梯形分成了四个小三角形．（ 1 ）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（ 2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10 ．如图△ABC中， D 为 AC 上一点， CD=2DA，∠BAC=45 °，∠BDC=60 °，CE于⊥E，BD连接 AE．（ 1 ）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（ 2 ）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3 ）求△BEC与△BEA的面积之比．11 ．如图，在△ABC中， AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M 分别作 AB 、 AC 的平行线交AC于P，交 AB 于 Q．（1 ）求四边形 AQMP 的周长；（2 ）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3 ） M 位于 BC 的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12 ．已知： P 是正方形ABCD 的边 BC 上的点，且BP=3PC ， M 是 CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13 ．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥ BC，AD=2 ，AB=BC=8，CD=10．（ 1 ）求梯形ABCD 的面积 S；（ 2 ）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s的速度，沿B? A ?D ? C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C? D? A 方向，向点 A 运动，过点Q 作 QE⊥ BC 于点 E．若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点 P 在 B?A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、 A 、D 为顶点的三角形与△相CQE似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．14 ．已知矩形ABCD ，长 BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P 自点 A 出发，以 1cm/s的速度沿AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以 2cm/s的速度沿BC 方向运动，问经过几秒，以 P 、B、 Q 为顶点的三角形与△相BDC似？15 ．如图，在△ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s的速度移动，如果P、 Q 分别从 A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ ABC相似．16 ．如图，∠ACB= ∠ ADC=90 AC=°，，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17 ．已知，如图，在边长为 a 的正方形ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边AB 上找一点N（不含 A 、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．C=90°BC=8cm，， AC=6cm，点Q 从 B 出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，18 ．如图在△ABC中，∠点 P 从 C 出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q 、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、 P、Q为顶点的三角形与△相CBA似？19 ．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠A=90 °AB=7，， AD=2 ， BC=3 ，试在腰AB 上确定点 P 的位置，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形与以P， B，C 为顶点的三角形相似．20 ．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A= ∠ D=90 °的，顶△点 DEF位于边 BC 的中点上．（ 1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 N ，求证：△BEM∽△ CNE；（ 2）如图 2，将△ DEF绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点M ，EF 与 AC 交于点 N ，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点Q、 A 、P 为顶点的三角形与△相ABC似．22 ．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点） 20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 ．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1 ）所需的测量工具是：_________ ；（2 ）请在下图中画出测量示意图；（ 3 ）设树高AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24 ．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为 60cm ．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为 900cm ．丙组：如图 3 ，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm ．任务要求：（ 1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2 ）如图 3，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M ．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式156 2+2082=2602）25 ．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26 ．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h ，灯柱的高 OP=O′ P′ =l两灯，柱之间的距离 OO′ =m．（ 1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a ，求他影子 AC 的长；（ 2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（ 3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27 ．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1， S2， S3表示，则不难证明 S1=S 2+S 3．（ 1 ）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1， S2， S3表示，那么S1， S2， S3之间有什么关系；（不必证明）（ 2 ）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、 S3表示，请你确定 S1，S2， S3之间的关系并加以证明；（ 3 ）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2， S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（ 4 ）类比（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28 ．已知：如图，△ABC∽△ AB=15ADE，， AC=9 ， BD=5 ．求 AE ．29 ．已知：如图Rt △ ABC∽ Rt △ BDC，AB=3若， AC=4 ．（1）求 BD 、CD 的长；（2）过 B 作 BE⊥ DC于 E，求 BE 的长．30 ．（ 1 ）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（ 2 ）已知：两相似三角形对应高的比为3：10 ，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 632. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．B ．C ．D ．3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =4. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN 的长为（）A．15 B．20 C．25 D．307. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（）A EA．3 5B．23C．45D．329. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个ABC10. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．12. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF13. （2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．14. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．15.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.18. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题（本大题共4道小题）19. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>． FCGEBDA（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式； (2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．22.（2020·泰州）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP ∆的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围．人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．2. 【答案】B ．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．3. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD 的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．8. 【答案】 A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∵CE+AE=AC，∴CECA=35．9. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：ABC因此本题选A．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH ＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝1 2x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD22DF BF+221()2x x+5x，所以AD5x，所以CE＝AB＝2AD5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE5x．在R t △ADE 中，由勾股定理得DE ＝22AD AE +＝225()(5)2x x +＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ＝255，所以DE ＝52×255＝5，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝25，因此本题选D ．二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．12. 【答案】22【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：2．13. 【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．14. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．15. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.16. 【答案】2 5－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.18. 【答案】326()55-，或(43)-， 【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，． 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝5，∴CF＝EF－EC＝5－1．（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴EC CG＝CG CF＝12，∴EC＝12，∴BE＝32，∴λ＝13．20. 【答案】(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1，在Rt△DCE中，tan30°＝CEDC＝1－a7a2－1＝33，解得a＝－2(舍去)或a＝12，(5分)∴AF＝1 2，在△CAF和△BAC中，CA AF＝BAAC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， 解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2，∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F ， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)22. 【答案】解： （1）∵DP ∥AB∴△DCP ∽△ACB ∴CD CP AC CB= ∴34CD x = ∴34CD x =∴AD ＝3－34x （2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯=∴S △DCP ＝238x ∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=- ∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x =---=-+ 当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．。
第四章 相似三角形培优训练卷(含答案)
第四章 相似三角形单元培优训练卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD =3，∠ADE =60°，则AE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7(第1题) (第2题)2、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB 与△ABC 相似的是（ ） A ．∠ABD =∠CB ．∠ADB =∠ABCC ．BC 2=CD •ACD ．AB 2=AD •AC3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)B A O4、如图，在△错误！未找到引用源。
中，点错误！未找到引用源。
分别是错误！未找到引用源。
的中点，则下列结论：③ACABAE AD.其中正确的有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个5、如图，在错误！未找到引用源。
△错误！未找到引用源。
中，∠错误！未找到引用源。
的垂直平分线错误！未找到引用源。
交错误！未找到引用源。
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，则错误！未找到引用源。
的长为（ ）A.23 B. 错误！未找到引用源。
67C.错误！未找到引用源。
625 D.26、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE =2：3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于( ) A ．2：3：5B ．4：9：25C ．4：10：25D ．2：5：25第10题图FEDB CA(第6题) (第7题) (第8题)7、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD ＝2．其中正确的结论有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8、如图，在RtΔABC 中，AF 是斜边上的高线，且BD =DC =FC =1，则AC 的长为（ ） A.32 B.3 C. 2 D.339、如图1，在等腰三角形ABC 中，AB =AC =4，BC =7．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC =∠AC D ．如图3，将△ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABE D ．则BE 的长是（ ）A．4 B．C．3D．210、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△A n B n C n是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C1、C2、C3、…、C n都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平行于A1C1，A3C3经过点B2且平行于A2C2，…，A n C n过点B n﹣1且平行于A n﹣1C n﹣1，且A1C=2CC1．当n=7时，点B7正好落在AB边，则这个小的等腰直角三角形的直角边长为（）A．B．C．D．(第10题) (第11题)二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11、如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若AB=8，BE=6，DP=4，则图中阴影部分的面积为．12、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若AB=6，AD=2CD，则BE的长为．(第12题) (第13题)13、如图，点M 是△ABC 内﹣点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC 的面积是 ． 14、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是_____________．第14题图EOBA CD(第14题) (第15题)15、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE ⊥CD ，CE ：ED=2：1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是_______． 16、设△ABC 的面积为1，如图①将边BC 、AC 分别2等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB的面积记为1S ；如图②将边BC 、AC 分别3等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为2S ；……， 依此类推，则n S 可表示为 ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.17、已知，如图，A （0.8），B （4，0），D 是AB 的中点，过D 点作直线与△AOB 的一边交于点E ，直线DE 截△ADO 得到的小三角形与△ABO 相似，求满足题意的E 点的坐标．18、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•C A．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半径．19、如图，在△ABC中，己知AB=AC=5，BC=6，且将△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当点E运动到什么位置时，线段AM最短？并求出此时AM的值．（直接写出答案）20、如图，点M、N是边长为4的正△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN 折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处．（1）求证：△BDM∽△CND；（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；21、问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？初步思考：（1）试计算出正方形零件的边长；深入探究：（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：AD=BC．（直接写出结论，不用说明理由）；（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，求证：AB=B C．22、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．23、在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C 不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥B C．（1）求∠D的度数；（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．24、数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t=．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）2、如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．BC2=CD•AC D．AB2=AD•AC【解答】解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；y(-3，6)A 当=，即AB 2=AC •AD 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）； 故D 正确； 当=，即BC 2=CD •AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误． 故选C ．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)第8题图B A O【解析】方法一：∵△ABO 和△A ′B ′O 关于原点位似， ∴△ ABO ∽△A ′B ′O 且OA ′OA ＝13.∴A ′E AD ＝OE OD ＝13.∴A ′E ＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.∴A ′（－1,2）.同理可得A ′′（1,―2）.方法二：∵点A （―3，6）且相似比为13，∴点A 的对应点A ′的坐标是（―3×13，6×13），∴A ′（－1,2）.∵点A ′′和点A ′（－1,2）关于原点O 对称， ∴A ′′（1,―2）. 故选择D.4、如图，在△错误！未找到引用源。
北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)
2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B 出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN 垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒， //OM AB ∴， OB OD =，5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练【含答案】
2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）A．3B．4C．6D．82．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH 的长为（ ）A．0.6B．1.2C．2.4D．3.63．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（ ）A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ ）A．B．C．D．5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）6．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB长为（ ）A．6B．8C．D．7．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（ ）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点E、F分别在CB的延长线和反向延长线上，∠EAF＝135°，若CE＝3，BF＝4，则BC的长为（ ）A．1B．2C．2D．39．如图，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB 于F．若，则AB的长为（ ）A．B．C．D．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，∠EDB＝90°，则BE的最小值是（ ）A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，若BD＝4，则AE＝ ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为 ．13．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝ ．14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE 沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为 ．15．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝ ．16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为 ；AF的长为 ．17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为 ．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ．19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为 ．20．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．21．如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．（1）求灯杆AB的长；（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．22．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求FG：AE的值．（2）若AB：AC＝：2，①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）求证：△CDE∽△CBD；（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．24．如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连接GD，BE相交于点Q．（1）求证：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；（3）请连接DE，BG，若AB＝6，AE＝3，求DE2+BG2的值．25．（1）阅读下列材料，填空：如图1，已知点C为线段AB的中点，AD＝BE．求证：∠D＝∠BEC．证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则 ＝∠F，∠A＝∠CBF．∵C为AB中点，∴AC＝BC．∴△ADC≌△BFC（AAS）．∴AD＝BF．∵AD＝BE，∴BE＝ ．∴∠BEC＝∠F＝∠D．（2）如图2，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC，F为线段AD上一点，且CF＝BE．①求证：△AEB∽△CFA．②若AD＝4，CD＝2，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，求线段AF的长．26．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．27．在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，当AC＝BC时，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，点E的对应点F落在BC延长线上，求证：BE⊥AF；（2）过点C作CP⊥BE，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q．①如图2，若AC＝BC，求证：＝；②如图3，若AC＝3a，AE＝2EC，BC＝kAC，求AP的长（用含a、k的式子表示）．答案1．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝3AD＝6，故选：C．2．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴＝，∴GH＝2.4，故选：C．3．解：∵CD⊥AE，AB⊥AE，∴DC∥AB，∵AC＝8m，EC＝2m，∴AE＝AC+EC＝2+8＝10（m），∴△DCE∽△BAE，∴，即，解得：AB＝8，故选：B．4．解：连接DE，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝AC＝4，∵CD⊥AB，∴AD＝BD，∴CD＝AB＝2，∵E为BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC＝2，∴△DEF∽△CAF，∴＝＝，∴DF＝CD＝，故选：C．5．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选：A．6．解：∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠EDB，∴BE＝DE，∵BE＝4，∴DE＝4，∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故选：C．7．解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM＝ME＝BC．∴△NDM∽△NBC，＝＝．∴＝．故选：B．8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝135°，∵∠EAF＝135°，∴∠EAB+∠CAF＝45°，∵∠A+∠CAF＝45°，∴∠EAB＝∠F，∴△ABE∽△FCA，∴＝，即AC2＝BE•CF，设AB＝BC＝x，则BC＝x，∵EC＝3，BF＝4，∴BE＝3﹣x，CF＝4﹣x，∴x2＝（3﹣x）（4﹣x），解得x＝和6（舍弃），∴BC＝x＝2，故选：B．9．解：如图，延长BC交FE的延长线于H．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵CD2＝DA•DB，∴，∴△ADC∽△CDB，∴∠A＝∠BCD，∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°．∴AB⊥CD，∵EF⊥AB，∴CD∥FH，∴，，∴，∵DM＝CM，∴HE＝EF＝4，在Rt△CEH中，CH＝＝＝2.4，∵△AEF∽△HEC，∴，∴，∴AE＝5，∴AC＝AE+EC＝8.2，∵△HEC∽△ABC，∴，∴，∴AB＝．故选：C．10．解：作△BDE的外接圆圆F，当圆F与AC相切时，由切线的性质知FD为垂线段，此时FD最小，则BE最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，连接FD，∴FD⊥AC，∵∠C＝90°，∴FD∥BC，∴△AFD∽△ABC，∴，设BF＝a，则AF＝5﹣a，∴，解得：a＝，∴．故选：C．11．解：作AF⊥BC于点F，∵AB＝10，tan B＝，∴AF＝6，BF＝8，∵AB＝AC＝10，BD＝4，∴BC＝16，∠B＝∠C，∴CD＝12，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，即，解得CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，故．12．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CBP＝∠OBA，∴Rt△BPC∽Rt△BAO，∴＝，∵点B（8，0）和点A（0，6），∴AB＝＝10，∵点C是AB的中点，∴BC＝5，∴＝，∴BP＝，∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．故（0，3）、（4，0）、（，0）．13．解：当＝时，△ADE∽△ABC此时AE＝＝＝；故．14．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝8，∴CE＝8﹣BE，当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，解得：BE＝或，故答案是：或．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∵BE：EC＝1：2，∴BE：BC＝1：3，∴BE：AD＝1：3，∴AD：BE＝3：1，∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．故9．16．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE ∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，∴＝，解得．故．17．解：设△ADH的AD边上的高为h，△GBH的边BG上的高为h'，分两种情况：①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，则BC＝BG，∴BG＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝＝，∴h＝h'，∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG•CD﹣BC•h'，∴＝＝＝＝；②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，则BC＝BG，∴BG＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝＝，∴h＝h'，∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG•CD﹣BC•h'，∴＝＝＝＝；综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为或；故或．18．解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故2．19．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴∠D＝∠CAD，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故9．20．解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，AD＝，由题意得，AD＝，故．21．（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），∴△EAB∽△ECD，∴＝，即＝，解得：AB＝6（米）；答：灯杆AB的高度为6m；（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），∴△HGF∽△HBA，∴＝，即＝，解得：GH＝2（米）；答：此时小丽的影长GH的长是2m．22．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴＝，∵AB∥CD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴＝，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DEA，∴＝＝；（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，由（1）可知，△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴AEF＝∠ACB；②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，∴＝，∴DF2＝DG•DA．23．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE，又∵∠A＝∠BDE，∴△BAD∽△BDE，∴＝，∴BD2＝BA•BE；（2）证明：∵△BAD∽△BDE，∴∠ADB＝∠DEB，∵∠BDE＝90°，∴∠DBE+∠BED＝90°，∠ADB+∠EDC＝90°，∴∠DBE＝∠EDC，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBD；（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，∵AB＝6，BE＝8，∴BD2＝6×8＝48，∴BD＝4，∴cos∠ABD＝＝＝，∴∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∴∠C＝90°﹣30°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠DBE，∴BD＝CD＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD+∠BAG＝∠EAG+∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE，∵，∴＝，∴△GAD∽△EAB；（2）GD⊥BE，理由：由（1）知，△GAD∽△EAB，∴∠ADG＝∠ABE，DG与AB的交点记作H，如图，∴∠ADG+∠AHD＝∠ABE+∠BHQ，∴∠BAD＝∠BQH＝90°，∴GD⊥BE；（3）∵＝，AB＝6，AE＝3，∴AD＝8，AG＝4，如图，连接BD，EG，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝＝10，在Rt△AEG中，根据勾股定理得，EG＝＝5，由（2）知，GD⊥BE，在Rt△BDQ中，DQ2+BQ2＝BD2＝100，在Rt△EGQ中，EQ2+GQ2＝EG2＝25，在Rt△DQE中，DE2＝DQ2+EQ2，在Rt△BQG中，BG2＝BQ2+GQ2，∴DE2+BG2＝DQ2+EQ2+BQ2+GQ2＝（EQ2+EQ2）+（BQ2+GQ2）＝100+25＝125．25．（1）证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则∠D＝∠F，∠A＝∠CBF．∵C为AB中点，∴AC＝BC．∴△ADC≌△BFC（AAS）．∴AD＝BF．∵AD＝BE，∴BE＝BF．∴∠BEC＝∠F＝∠D；（2）①∵∠BED＝∠BAC，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠BED＝∠BAE+∠CAF，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∴∠ABE＝∠CAF，同（1）的方法得，∠BED＝∠CFD，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CFD，∴∠AEB＝∠CFA，∴△AEB∽△CFA；②∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD＝2，BC＝2CD＝4，∵△ABC是以AB为腰的等腰三角形，Ⅰ、当AB＝BC时，如图2﹣1，∴AB＝4，∵AD＝4，∴AB＝AD，过点A作AH⊥BD于H，∴BH＝DH＝BD＝1，在Rt△ABH中，根据勾股定理得，AH＝＝＝，在Rt△ACH中，CH＝CD+DH＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝＝2，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，由①知，△AEB∽△CFA，∴∠BAE＝∠ACF，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠ACB﹣∠ACF，∴∠CAF＝∠DCF，∵∠ADC＝∠CDF，∴△CDF∽△ADC，∴＝，∴，∴DF＝1，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣1＝3；Ⅱ、当AB＝AC时，如图2﹣2，∵AD是△ABC的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∵BE＝CF，∴点E，F重合，由①知，∠ABE＝∠CAD，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，∴BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2﹣DE2＝BD2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4，∴x＝，∴AF＝AE＝4﹣＝，即满足条件的AF的长为3或．26．证明：问题背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用：如图2，连接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，，∴设BD＝4x，CE＝3x，∴CD＝5﹣4x，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝＝，∴，∴x＝，∴EC＝，CD＝3，∴DE＝＝＝；拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∴∠BAM＝∠ADM＝∠BDC＝90°，∵∠BAD＝∠DBC，∴∠DAM＝∠BCD，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵tan∠BAD＝＝，∴BD＝2CD，∴BM＝2AC＝4，DM＝2AD，∴AM＝＝＝4，∵AD2+DM2＝AM2，∴AD＝．27．证明：（1）如图1，延长BE交AF于点Q，由题可得：∠FAC＝∠EBC，∠ACB＝90°，∴∠EBC+∠CEB＝90°，∵∠CEB＝∠AEQ，∴∠AEQ+∠FAC＝90°，∴∠BQA＝90°，∴BE⊥AF；（2）过点A作AH∥CB交CP的延长线于点H，如图2，∵∠ACB＝∠CPB＝90°，∴∠CBP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠CBP，∵AH∥CB，∴∠CAH＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，在△ACH与△CBE中，，∴△ACH≌△CBE（ASA），∴AH＝CE，∵AH∥CQ，∴△APH∽△QPC，∴，∴；（3）∵AC＝3a，AE＝2EC，∴CE＝a，∴BC＝kAC＝3ka，∴BE＝，∵△ACH∽△CBE，∴，∴AH＝，∴CH＝，CP＝，∵由（2）知，＝，即＝．∴CQ＝3k2．∴AQ＝＝．∵，∴＝∴AP＝．。
2020年中考数学专题培优：相似三角形培优练习(含答案)
2020年中考数学专题 相似三角形培优练习（含答案）一、单选题1.已知在矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F ，若四边形EFDC 与原矩形相似，则AD 的长度为（ ）A.21-5B.215+ C.3D.22.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.AP ABAB AC=D.AB ACBP CB=3.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且21==AC AD AB AE ,则BCED ADE S S 四边形:∆的值为（ ）A.1∶3B. 1∶2C. 1∶3D. 1∶44.如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，分别位于直径AB 的两侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：⊙O 半径为52，tan∠ABC =43，则CQ 的最大值是（ ）A ．5B ．C ．D ．ADBCEF 154253203PABCEBCADQA OB CP5.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ） A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原形的边上D.可以选择任意位置6.如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，CD 与BE 、AE 分别交于点P ，M ．对于下列结论： ①BAE CAD ~V V ； ②＝MP MD MA ME ⋅⋅；③22＝CB CP CM ⋅．其中正确的是( )A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③7.如图:DE ∥BC,EF ∥AB,在下面的比例式中,正确的有（）①FC BF DB AD = ②BCDEDB AD =③BC BF AB AD = ④BC DEAB EF =⑤BC BF AC AE = ⑥CFBF AD BD = A.①③ B.①②③ C.③⑤⑥ D.①③⑤8.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若AD ＝4，DB＝2，则DE :BC 的值为( )A ．23B ．12C ．34D ．359.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（球的运动轨迹近似看做直线），而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ）米A.158 B.1C.34D.58M P EABDC FD B C AE AB CDEhm0.8m 4m 6mE C DA B二、填空题10.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，AD 、BE 相交于点F ，且2＝4＝AF EF，，则AC ＝ ．11.如图，已知△ABC 中，AB=5，AC=3，点D 在AB 上，且∠ACD=∠B ，则线段AD 的长为12.如图，两个三角形 （填相似还是不相似），理由是 。
(最新整理)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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经典练习题相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证:△CDF∽△BGF；(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证:△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B，A,D在一条直线上，连接BE，CD，M,N分别为BE，CD的中点．(1）求证:①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出(1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A，M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在,请说明理由．9．如图,在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．(1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA,∠BAC=45°，∠BDC=60°,CE⊥BD于E，连接AE．（1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由;（3)求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知:P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8,CD=10．(1）求梯形ABCD的面积S；(2）动点P从点B出发,以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动;动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在，请求出t的值；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中,AB=10cm，BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知,如图，在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明,若不能,请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°,AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2,将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图,路灯(P点)距地面8米，身高1。
24种不用工具的趣味、拓展游戏之令狐文艳创作
令狐文艳创作1、造反运动令狐文艳人数队形：10-20人为宜，围成一个圆圈游戏方法：1、参加者围成一个圆圈，主持人站中间。
2、主持人说“右”，全部人就将头转左，说“左”，所有人就将头转向“右”，说“前”则所有人的头向后，也就是要做和口令相反方向的动作。
3、裁判或主持人要仔细观察参加者，发现有人犯错，就要宣判出局。
4、最后剩下的人即为获胜。
注意：不一定要转头，也可用手上下左右动。
2、言不由衷：人数队形：10-20人，男女对半更佳游戏方法：1、此游戏是用“是”“不是”回答的游戏。
但回答必须要言不由衷，颠倒事实来回答。
2、如：对一位男生说：“你常擦口红？”男生必须回答“是”3、指定一个人当鬼，由鬼依次发问，答错的人就换当鬼。
注意：如果对一个人各问两个问题，则会相当有趣。
3、手牵手人数队形：分两组，各组人数不拘，并选出人数。
排成两排。
游戏方法：1、二组人面对面坐下，手牵着手。
2、领袖叫出植物或动物的名称（组员把手放开），叫到植物时，全部的人要将双手上举，叫动物时则放下，如果连叫两次植物或动物就保持上举或放下的动作。
3、例如：芹菜（上举），兔子（放下），狐狸（放下），菊花（上举）。
4、两组领袖轮流叫名，动作错误的人就要被淘汰，经过几次后剩下人数较多的那组获胜。
4、有模有样（用动作来回答的游戏）人数队形：二人以上，每二人一组进行淘汰赛游戏方法：1、先共同订出一些标准动作。
如一方说出“在棒球场”，另一方即以“挥棒”的动作代替口语回答。
2、两人面对面坐着，猜拳赢一方先问，另一方则要针对对方的问题用动作回答，错的人就算输了。
3、例如，问：“在棒球场？”答：（作挥棒姿势）问：“在教堂？”答：（作祷告的姿势）问：“在照相馆？”答：（作搔首弄姿状）。
4、如此反复，再加快速度，回答的人稍不留神，就会输了。
5、输的一方淘汰，赢的人再继续二人一组，一直到比出最后剩下的那一个就是最后的胜利者。
5、找同伴活动目标：1.通过道具协助学员寻找自己的同伴2.增进学员彼此熟悉的程度，增加班级凝聚力。
中考名著阅读：《童年》阅读练习题及答案之令狐文艳创作
《童年》语段阅读训练令狐文艳（一）姥爷家里充满了仇恨，大人之间的一切都是以仇恨为纽带的，孩子们也争先恐后地加入了这个行列。
后来从姥姥那儿我才知道，母亲来的时候，她的两个弟弟正强烈要求姥爷分家。
母亲带着我突然回到这个大家庭来，这使他们分家的愿望更加迫不及待了。
他们怕母亲向姥爷讨回她本应该得到的嫁妆。
那份嫁妆因为母亲违抗父命而结婚被扣下了。
两个舅舅一致认为那份嫁妆应该归他们所有。
除此之外，当然还有些别的琐事，诸如由谁在城里开染坊，又由谁到奥卡河对岸纳维诺村去开染坊，等等等等，他们吵吵翻了天。
我们刚到几天，在厨房里用餐时就爆发了一场争吵。
刷地一下，两个舅舅都立了起来，俯身向前，指着桌子对面的姥爷狂吼，狗咬般地龇出了牙。
姥爷用饭勺敲着桌子，脸涨得通红，公鸡打鸣一样地叫：“都给我滚出去要饭去！”姥姥痛苦地说：“行啦，全分给他们吧，分光拿净，省得他们再吵！”“你给我闭嘴，都是你惯的！”姥爷个头小，声音却出奇地高，震耳欲聋的。
我的母亲站起来，走到窗前。
背冲着大家，一声不吭。
这时候，米哈伊尔舅舅突然抡圆了胳膊给了他弟弟一个耳光！弟弟揪住他，两个人在地上滚成了一团，喘息着、叫骂着、呻吟着。
1．上面文段节选自著名作家高尔基的长篇小说《童年》。
请你写出作者其他两部自传体小说《在人间》《我的大学》。
2．节选部分描绘了阿廖沙童年生活的环境，为什么阿廖沙在这样恶劣的环境中能成长成为一个坚强、勇敢、正直和充满爱心的人？答：既有善良而坚强的母亲和外祖母的引导，还有乐观纯朴的小茨冈、正直的老工人格里戈里、献身于科学的知识分子“好事情”等人的影响，使他在黑暗污浊的环境中仍保持着生活的勇气和信心，并逐渐成长为一个坚强、勇敢、正直和充满爱心的人。
3．分析画线部分语言的表达效果。
（两个要点）答：这两句话运用了比喻的修辞手法，形象生动地描绘了舅舅和外祖父吵架时的丑态，流露出“我”极端厌恶的情感。
（二）他开始讲他小时候的事，干瘦的身体轻轻地晃着，说得非常流利。
九年级数学相似三角形提高题(含答案)
相似三角形题之青柳念文创作一、选择填空题1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ） °°°°2、如图，在矩形ABCD的中点，AE BD ⊥，垂足为点O 3.如图，在ABC △中，P 是AC 上一点，保持BP ，要使ABP ACB △∽△，则必须有ABP ∠=或APB ∠=或ABAP =．4、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两头分别在CB 、CD 上滑动，那末当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似. 5．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，毗连BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是________．6．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD长是Ａ．43Ｂ．23Ｃ．21Ｄ．327、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.图4 图6 图78、如下图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）9．如图，四边形ABCD 是矩形，DH ⊥AC ，如果AH=9cm ，CH=4cm ，那末ABCD S 四边形=（ ） A ．752cm B ．762cm C ．772cmD ．782cmA BC D O图1ＡＰＢPQCA图9 图10 图11 10、如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则:DMN CEM S S △△等于（） Ａ．1:2Ｂ．1:3Ｃ．1:4Ｄ．1:511．如图，△ABC 中，PQ ∥BC ，若3=∆APQ S ，6=∆PQ B S ，则=∆cQ B S （ ）A ．10B ．16C ．9D ．1812、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCES S :=:8,四边形 那末:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 213、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．5414、如图，线段AB 、CD 相交于E ，AD EF BC ∥∥，若12AE EB =∶∶，1ADES=，则AEFS等于 （ ）Ａ．4 Ｂ．23Ｃ．2Ｄ．4315、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是 △ABC 的面积的 （ ） Ａ．91Ｂ．92Ｃ．31Ｄ．94图12 图1416、在同一时刻，身高 1.6H DC BA ＡND BC E MBACDE（（第15题图）B C米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ） A 、4.8米 B 、6.4米 C 、9.6米D 、10米641 OA ，则71A A 的长为________．二．解答题 1.如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB ＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长.2、如图，在ABCD 中,过点B 作BE ⊥CD,垂足为E,保持AE,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF 的长.3、把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D 在BC 上，保持BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．问AF 与BE 是否垂直？并说明来由．4、如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 为长线上点,且知足AB 2=DB ·CE.（1）求证:BAC=40°，求∠DAE 的度数.5.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 毗连EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；ACEFD第2题图BA 13A 12A 11A 10A 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1变式1图 P N MCB A②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明来由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.参考答案1、B2、23、ABAC 4、552或55 5、58或1186、D7、55128、A 9、D10、C 11、D 12、B 13、C 14、B 15、C 16、C17、91 解答题 1、352、AE=338 BF=3233、略4、垂直.DCA 相似于ECB5、110°。
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相似三角形分类提高训练令狐文艳一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB 上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）A. B. C. D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．四、相似类定值问题16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D 为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证：．17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证：．18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在△ABC上。
求证：．19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．五、相似之共线线段的比例问题20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．22.如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。
求证：DE2=EG•EH23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·DH。
六、相似之等积式类型综合25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。
求证：26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点 E.求证：（1）△AED∽△CBM；（2）27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E 是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：.（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF 垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：．29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）B G·CG＝GF·GH七、相似基本模型应用30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．31.如图，四边形ABCD 和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE 的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=5又∵AD=AB，AD=5t∴t=1，此时CE=3，∴DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；④△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=．综上，t的值为或或或．3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE平分CDB 交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC（2）①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△CNE，如图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△ENC，如图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQ∥BC时，，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cm①△APQ∽△CBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cm②△APQ∽△CQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时，，即：，解得：（符合题意）；②当△PAQ∽△ABC 时，，即：，解得：（符合题意）．∴ 当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC ＝2，AC＝1，AO＝AB∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC ＝1，AC＝2，AO＝AB∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2∴D点坐标为（3，1）∴B点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝x7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC根据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC∵PD=DA∴MC：CN=DA：DC∵PD//BC∴DA：DC=PA：PB∴MC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB9.答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，又由B（1，3）∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵ ∠DNA=90°∴ ∠3+∠2=90°∴ ∠1=∠3∴ △DMC∽△AND，∴设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝∴3x＋＝3∴x＝∴，则。