等腰三角形的性质与判定

C
ADE B 55 , AED C 55 ADE AED(等量代换)

ADE是等腰三角形
1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8, 则它的周长为 21或18 . 2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则 它的顶角为90°( )
总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用 分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!
A
D O
E
B
C
解：△OBC是等腰三角形． ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB(已知) ∴∠OBC=
1 ∠ ABC , ∠OCB= 2 (角平分线定义),
1 ∠ACB 2
A
又∵AD=AC(已知) ∴∠ABC= ∠ACB ．（等边对等角）
1 则 ∠ABC= 2
1 ∠ACB ． 2
B
D O
E
∴∠OBC＝ ∠OCB ∴OB＝OC （等角对等边） ∴△ABC是等腰三角形.
B
C
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠B=600。
求证：AB=AC=BC
A
证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ B=600 ∴ ∠C = 600 ∴∠ A=600 ∴AB=AC=BC
B
C
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
C
六、要做到熟练运用知识解决问题
2.如图，在△ABC中，DE||BC, ∠A=70 °, ∠C=55°,则△ADE 是什么三角形？为什么？
A
70 °
D
?
? E
55 °
B
C
六、要做到熟练运用知识解决问题
A
A 70 , C 55 (已知) 解
D B
E
B 180 A C 180 70 55 55 DE || BC(已知)
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z A ∵AB=AC x ∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC D x 2y ∴∠C=∠BDC=z x y z E ∵BE=DE z x y ∴∠EBD=∠EDB=90° x z z 180 y ∵AD=DE z ∴∠A=∠AED=x B C 又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°） ∴解得x=45° 即：∠A=45°
则三边长分别为_________________.
9，9，11.
填空题:
24 4. 正三角形的边长等于8,则周长等于_____________. 24 5. 等边三角形的周长等于72cm,则边长=______________. 17 6. 等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为___________.
B
A 12
C D
∴ ⊿BAD≌ ⊿CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
推论1证明
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C A 求证：AB=AC=BC 证明：在⊿ABC中 ∵ ∠ A=∠B（已知） ∴BC=CA（等角对等边） 同理CA=AB ∴BC=CA=AB
B
C
推论2证明
B
D
C
如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高). 那么有什么结论? A BD=CD(AD是底边上的中线), ∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线). 如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边 上的中线).那么有什么结论? C B AD⊥BC(AD是底边上的高), D ∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线) 顶角平分线 底边上的中线 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 底边上的高 和底边上的高互相重合. 简称“等腰三角形三线合一”
性质运用一：生活实际
课本引例：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道为什么吗？ A
B
D
探究:
如图,已知∠ABC=20°,BD=DE=EF=FG. ∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线有 几条?
若∠ABC=10°呢?试一试,并说明理由.
A F D B E G C
例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC 和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形. 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连 结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。
D
C
三、等腰三角形的识别方法（应用）：
A
例3 在△ABC中，已知∠A＝40°，
∠B＝70°，判断△ABC是什么 三角形，为什么?
40°
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180° B C （三角形内角和等于180°） ∴∠C＝180°－∠A－∠B（等式的性质） ＝180°－40°－70°＝70°， ∴ ∠C＝∠B． ∴ △ABC是等腰三角形．（等角对等边）
等腰三角形三线合一性质应用的几何语言， 如图所示，在△ABC中 A （1）∵ AB=AC ，AD⊥BC， BAD CAD BD CD ∴∠____ = ∠____，___= ___
（2）∵ AB=AC ， AD是中线，
B D AD BC BAD CAD C ∴___⊥___ ，∠____ =∠____ （3）∵ AB=AC ， AD是角平分线， ∴___ ⊥___ ，___ =___ AD BC BD CD
C D AD上任意一点与B、C 的连接线 B A
E
F
B
E
F
E
C 等腰三角形两腰上 的中线相等 B
F
C 等腰三角形两底角 平分线相等
B C 等腰三角形两腰上的高 相等
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 70°,40°或55°,55° __________________.
1 ∴AC= DC 2 ∴AC= 1 BD 2
已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 1 求证：AC= BD. 2
A D
B
C
例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC， AD=DE=EB. 求∠A的度数. 分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过 程清晰明了。
（2） 等边 三角形 思考： 1.三个角都是60°的三角形是等边 A 三角形吗？你能说明理由吗？
B
C
2.有两个角是60°的三角形是等边三角形吗？
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
结论：
有三个角相等的三角形是等边三角形。
六、要做到熟练运用知识解决问题
P99页／练习３
1.如图，在等腰三角形△ABC中两底角 的平分线BE和CD相交于O点，那么△OBC 是什么三角形？为什么？
自学指导： 阅读课本P73—74内容，思考并回答下列问题： 等腰三角形的判定定理 与性质定理有何不 同？
等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是 否一样？ 两个推论 现吗？ 是怎样得到的？你有什么新的发
8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例 题 类似的练习。
已知：⊿ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明：作∠BAC的平分线AD 在⊿BAD和⊿CAD中， ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD
等腰三角 形的性质 与判定
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像 是什么? 所得的像是△ACD (2)找出图中的全等三角形以及所有相等 A 的线段和相等的角.你的依据是什么?
△ABD≌△ACD 相等的线段:AB=AC,BD=CD 相等的角: ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC. 依据: 轴对称变换的性质—轴 对称变换不改变图形的 B 形状和大小.
例
答: ∠1为60°, ∠ADC为90°.
填空题:
1.等腰三角形的腰长等于9,另一边长等于4,
22 那么周长=___________.
2. 等腰三角形的腰长等于另一边的2倍,周长为30,
12，12，6. 那么它的各边长分别为_____________.
3. 等腰三角形的一边长比腰长多2cm,周长等于29cm,
1、如果等腰三角形的一个外角为100°， 则这个等腰三角形的顶角为 。
2、如图，在三角形ABC中，BC=10， AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ， 则AC长为 。 B
D C
A
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证： BM=CM。 A 证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°， ∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM（等角对等边）
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿 实线剪开,再把它展开,得到的△ABC是等腰三角形吗? C A D B
A
利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形 中哪些线段相等? A
A E F
(1)
(2) (3) (4) (5)
E
B D
F C B
E
DE、DF分别是∠ADB、∠ADC 的角平分线
A
C D DE、DF分别是AB、 AC边上的中线 A
E B 1
M 2
D C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
例3
证明： ∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的 两个内角的和） ∵∠A=90°
D
C
已知:AB=AC ,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
结论: 1. ∠ B =∠ C
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线 3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
问题:由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用 文字如何表述？ A 等腰三角形的两个底角相等.
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
70°
?
四、特殊的等腰三角形 课本P99页“做一做”
△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， CD是底边上的高，那么图10.3.6中 共有哪几个等腰直角三角形?
C △ABC, △ACD, △BCD
45°45°
同时标出图10.3.6所有 锐角的度数。
A
45°
45°
D
图10.3.6
B
四、特殊的等腰三角形
7. 在等腰三角形中,一个内角为30°,则另外两个内角为
75°, 75°或 或30°,120° ______________.
一、复习： 1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角） 2、这个定理的逆命题是什么？
如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。 3、这个命题正确吗？你能证明吗？
已知： 如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2， E AD∥BC。 A 1 求证：AB=AC D
2
分析： 从求证看：要证AB=AC， 需证∠B=∠C， 从已知看：因为∠1=∠2wenku.baidu.com AD∥BC 可以找出∠B，∠C与的关系。
B
C
证明： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行， 同位角相等）， E ∠2=∠C（两直线平行， 内错角相等）。A 1 2 ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对等角）。B
35 °，35 ° ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
③ 底角=（180°－顶角）÷2
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中 点, ∠B=30°，求∠1和∠ADC的度数. 另解: A 因为等腰三角形的“三线合 1 2 · 一”，所以AD是△ABC的 · 30°· 顶角平分线、底边上的高， C B D 即 ∠1= ∠2， ∠ADC=90° 因为∠BAC=180°- 30°- 30°= 120° 所以 ∠1= ∠BAC 2 120° = =60°. 2 ∟
问题：如果一个等腰三角形中有一个角 是60°，那么这个三角形是什么三角形？
第一种情况：当顶角是600时。
第二种情况：当底角是600时。
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。
求证：AB=AC=BC
A
证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC