Fourier变换
Fourier变换
t
d
2
0
sin
1
sin
2
t
d
所以有
0
sin sint 12
d
2
sin 0
t
| t | | t |
17
例2 求函数 f (t) A et2 旳Fourier变换及其积分体现 式，其中A > 0,β> 0。这个函数叫做钟形脉冲 函 数，也是工程技术中常遇到旳一种函数。
解 根据Fourier变换式，有
2 jsin 12
(cos t
j sin t ) d
1
2
2
sin sin 12
t
d
16
例
求函数
f (t)
sin t
0
|t |t
| |
旳Fourier变换并求：
0
sin
1
sin
2
t
d
.
解： f (t ) F 1[F ( )] 1 F ( )ejtd
2
1
2
2
sin sin 12
2
1
0
cos t 2
sin
2
t
d
所以
0 t0
f (t) 1
0
cos t 2
sint 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
1 / 2 e t
t0 t0
11
例1
求函数
0, f (t ) e t ,
t t
0 0
旳Fourier变换及其积
分体现式，其中β >0。这个f (t) 叫指指数衰减函数，
是工程技术上常遇到旳一种函数。
sin
fourier变换求解弦振动方程定解问题
一、引言在物理学和工程学中，弦振动方程是一个重要且常见的定解问题，它描述了弹性绳或弦体在一定条件下的振动现象。
而Fourier变换则是一种有效的数学工具，能够帮助我们求解这类定解问题。
本文将对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用进行深入探讨。
二、弦振动方程的描述弦振动方程是描述弦体在振动过程中的运动规律的数学模型。
假设一根质量可忽略不计的均匀弹性绳，长度为L，固定在两端，并且在t=0时刻有初始位移和初速度，那么弦振动方程可以描述为：∂^2y/∂t^2 = c^2 * (∂^2y/∂x^2)其中，y(x,t)是弦的位移函数，c是振动速度。
三、Fourier变换在弦振动方程中的应用1. Fourier级数展开为了求解弦振动方程的定解问题，我们首先可以利用Fourier级数展开的方法，将位移函数y(x,t)进行分解。
假设y(x,t)可写为一个无穷级数的形式：y(x,t) = Σ(A_n * sin(nπx/L) * cos(ω_nt + φ_n))其中，A_n、φ_n是待定系数，ω_n是频率参数。
将y(x,t)代入弦振动方程，经过计算和比较系数，可以得到A_n和φ_n的表达式。
这样，我们就成功地利用Fourier级数展开解决了弦振动方程的定解问题。
2. Fourier变换除了Fourier级数展开，Fourier变换也是另一种有效的方法，能够帮助我们求解弦振动方程。
利用Fourier变换的性质和定理，我们可以将原始的弦振动方程转化为一个更加简单的形式，例如常微分方程或偏微分方程。
进而，我们可以更方便地对方程进行求解。
通过逆Fourier变换，我们最终可以得到弦振动问题的解析解，为实际问题的分析和应用提供了重要的理论支持。
四、个人观点和理解在我看来，Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中具有非常重要的作用。
它能够将原始的复杂问题转化为更简单的形式，从而减少了求解难度。
Fourier变换也能将原始问题的解析解表达为一种更加优美和清晰的数学形式，有利于我们深入理解弦振动问题的本质。
频域法傅里叶变换
频域法傅里叶变换
频域法傅里叶变换（Fourier Transform of Frequency Domain Method，简称FTFD）是一种利用傅里叶变换和快速傅里叶变换（FFT）
在频域（时域的指标）上进行分析的重要数学工具。
它可以将振动或
者其他连续信号转变为剖面曲线，以便能够对其特征进行识别。
频域法傅里叶变换的原理其实很简单，它采用傅里叶变换的方式，将有限的时域信号变换为无限的频域信号，即将时域信号中的每个点
变换为独立的复数值。
这就意味着，每一个时域信号都会被拆分成多
个不同频率的波形，并且每一个波形都有一个相应的复数值，以此来
描述出该时域信号的特征。
傅里叶变换可以有效地分析出振动信号的频率特征，这称为“谱”，它是通过将复数值分解为谐波振动频率而获得的。
FFT是一种
运算效率高的快速傅里叶变换，可以将一段连续的频域信号转换为有
限长度的时域信号。
FFT对于定长的参数需要进行同步转换，是一种全局变换。
它可以
根据实例中的数据完成计算，而非给定频率的特性。
FFT可以自动根据
实际的新采样数据进行计算，因此可以将无限的频率变换为有限的定
长时域信号，同时保留所有的特征。
频域法傅里叶变换的应用很多，主要的应用有：信号检测、故障
诊断、信号增强、协调控制、频谱采样等。
此外，频域法傅里叶变换
还可以用于声音分析和图像处理，检测振动信号中的频率，甚至可以
用于识别声音中的特征。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
40.Fourier变换的定义
f (t ) F
e
t
dt 2 e
0
t
dt
2
存在, 所以根据Fourier变换的反演公式
1
2 1 2 2 2
2 i t e d 2 2
2
1
2
2
(cos t i sin t )d
F [ f ( t )]
F
1
f ( t )e
i t
dt ,
i t
1 [ F ( )] 2
F ( )e d .
如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t) 的连续点处成立Fourier变换的反演公式
f (t )= F
1
F
[ f ( t )] .
例1 设 f ( x ) e
b2 x 2
(b 0), 求 F [ f ( x )].
根据定义，有 解 运行下面的 MATLAB语句.
b x ib x positive >> syms x w;syms F [ f ( x )] e dx e
2 2
i x b2 x 2 2 b
e dx . e >> r=simple(F) % 化简
4 b2
2
b xi 2 2b
2
2
O
x
r=
下面计算 e 因为 e
b2 z 2
b xi 2 2b
傅里叶变换Fouriertransform
傅立叶变换
例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解： 先求出 f (t) 的傅立叶变换 代入傅立叶积分公式，得
例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换 傅立叶变换
狄拉克函数
本章小结
傅立叶级数 周期函数的三角展开公式； 基本三角函数的性质。 傅立叶变换 非周期函数的三角展开公式； 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数 狄拉克函数概念； 狄拉克函数性质； 狄拉克函数功能。
作 业
P73 6-2 (3) (1) (3) (1)
实施：
展开公式
困难
展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。
解决方法： 把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式： 展开公式：
展开系数：
取极限： 傅立叶变换：
傅立叶积分：
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω)；
典型周期函数(周期为2π)
傅立叶级数
添加标题
理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
01
添加标题
Fourier变换
傅里叶变换族 拉普拉斯轉換 Z轉換 傅里叶级数 傅里叶变换 连续傅里叶变换 離散傅立葉級數 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分數傅立葉轉換 短時距傅立葉轉換 小波分析 離散小波轉換
中文译名
Fourier transform பைடு நூலகம்Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有「傅里叶变换」、 「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」、「傅氏變換」、等等。为方便起见，本文统一写作「傅里 叶变换」。
/zh/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E... 2010-5-25
傅里叶变换 - 维基百科，自由的百科全书
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应用
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号 处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的 典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
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其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为
，而快速傅里叶变换
（FFT）可以将复杂度改进为
。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展
使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一 问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里 叶变换的广义理论基础参见龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）中的介绍。
Fourier变换
Fourier 变换①从Fourier 级数（对周期函数而言）到Fourier 积分（对非周期函数而言）； 基于基频频率02Tπω=，当为周期函数时，T 是有限大小，可以将周期函数分解成为基频及基频整数倍的频率信号；当为非周期信号时，即T 是无限大时，基频将会变得非常小，以至于频率分量取遍所有的频率。
②从Fourier 级数的三角表示到Fourier 级数的复数表示 基于欧拉公式：cos jsin j e θθθ=+，cos θ和sin θ可以表示为：cos 2sin 2j j j j e e e e θθθθθθ--+=-=Fourier 级数的复指数形式：0(t)jn t T n n f c e ω+∞=-∞=∑其中0/2/21(t)e T jn t nT T c f dt Tω--=⎰。
③此时可以得到非周期函数的Fourier 变换为：()(t)e 1(t)()2j t j tF f dtf F e d ωωωωωπ+∞--∞+∞-∞==⎰⎰④Fourier 级数和Fourier 变换以不同的形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，通过单位脉冲函数δ函数将两者统一起来表示，形成广义的Fourier 变换。
基于δ函数的几个基本性质： 定义:当0t ≠时，(t)0δ=；(t)dt 1δ+∞-∞=⎰.筛选性质：00(t t )f(t)dt (t )f δ+∞-∞-=⎰偶函数：(t)(t)δδ=-单位阶跃函数与脉冲函数关系：[u(t)](t)dt (t),(t)td u dtδδ-∞==⎰ δ函数表示方法：δ函数的Fourier 变换基于以下几个基本的变换，可以将非周期与周期信号统一起来：()(t)e1j tj tt F dt eωωωδ+∞--=-∞===⎰；11[1](t)2j t F e d ωωδπ+∞--∞==⎰得到最重要的公式：2(t)j t e d ωωπδ+∞-∞=⎰ ⑤Fourier 变换的基本性质 位移性质：00010[f(t t )]e ()F [F()]e(t)j t j tF F f ωωωωω---=-=物理意义：当一个函数（或信号）沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不变，但是相位发生变化；逆变换则是用来进行频谱搬移，对信号进行旋转变换，得到信号频率的移动。
heaviside函数的fourier变换_概述及解释说明
heaviside函数的fourier变换概述及解释说明1. 引言1.1 概述在信号处理和数学领域中，Fourier变换是一种广泛应用的数学工具，用于将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和。
而Heaviside函数是一个特殊的阶跃函数，在数学和工程领域中被广泛使用。
本文将探讨Heaviside 函数的Fourier变换，并解释其在实际应用中的意义。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分。
首先，介绍Heaviside函数和Fourier变换的概念及定义。
其次，探讨Heaviside函数和Fourier变换的性质以及在实际应用中的作用。
然后，详细推导Heaviside函数的Fourier变换过程，并通过计算演示解析解和图像展示来进一步解释结果。
最后，总结本文主要内容，并提出对Heaviside函数的Fourier变化提出疑问或给出进一步研究方向。
1.3 目的本文旨在深入理解Heaviside函数和Fourier变换，并揭示它们之间的关系。
通过对Heaviside函数进行Fourier变换推导过程的解释说明，希望读者能更好地理解Fourier变换在信号处理中的应用及其物理意义。
同时，本文也希望引起读者对Heaviside函数的Fourier变换结果可能存在的问题或进一步研究的兴趣。
2. Heaviside函数的概念2.1 Heaviside函数的定义Heaviside函数，也称为阶跃函数，是一种常用的数学函数，通常用符号H(x)表示。
它在应用中经常出现，并在物理学、工程学和信号处理等领域起着重要作用。
Heaviside函数定义如下：当x小于0时，H(x)的值为0；当x大于0时，H(x)的值为1；当x等于0时，H(x)的值取决于具体定义，有时被规定为1/2。
2.2 Heaviside函数的性质Heaviside函数具有以下几个重要性质：1. 连续性：除了在x=0处可能不连续外，在其他所有点上都是连续的。
Fourier变换简介
Fourier变换的物理意义 变换的物理意义——频谱 4. Fourier变换的物理意义 频谱 4.1 4. 非正弦的周期函数的离散频谱
a0 ∞ f (t ) = + ∑ (an cos nwt + bn sin nwt ) 2 n =1 f (t ) = Cn e jwnt ∑
+∞
An = an + bn
a0 ∞ fT (t ) = + ∑ (an cos(nω t ) + bn sin(nω t )) 2 n =1
2 T a0 = ∫ 2T fT (e)dt T −2
2 an = T
(1.1)
∫
2 bn = T
∫
T 2 T T − 2 T 2 T T − 2
(t ) cos(nω t )dt
(n = 1, 2 , 3 ,L )
fT ( t )的离散振幅频谱；
fT ( t )的离散频谱；
fT ( t )的离散相位频谱； n ∈ Ζ.
这种频谱图称为离散频谱 离散频谱，也称为线状频谱 离散频谱 线状频谱
4.2 4.2 连续频谱 在频谱分析中, Fourier变换F(ω)又称为f(t)的频谱 函数, 而它的模|F(ω)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频 谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一 个时间函数f (t)作Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱.
−βt
jω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个Fourier
变换对。 1 +∞ 证 f (t) = ： F(ω)ejωtdω ∫−∞ 2π 1 +∞ jω0t jωt jωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π jω0t 即 和 πδ (ω −ω0)构 了 个 e 2 成 一 Fourier变 对 换 。 由上面两个函数的变换可得
fourier变换公式
fourier变换公式Fourier变换公式是数学中的一项重要工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将探讨Fourier变换的定义、性质以及应用，以及如何使用Fourier变换来分析信号和图像。
我们来看一下Fourier变换的定义。
Fourier变换是一种将一个函数从时域（时间域）转换到频域的数学变换。
它的公式可以表达为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，F(ω)是函数f(t)的Fourier变换，ω是频率，i是虚数单位，e是自然对数的底。
这个公式表明，对于给定的函数f(t)，我们可以通过对其进行积分来得到它在频域上的表示。
Fourier变换具有一些重要的性质，其中最著名的是线性性质和平移性质。
线性性质表明，对于任意两个函数f(t)和g(t)，以及任意的实数a和b，有：F(ω)[a*f(t) + b*g(t)] = a*F(ω)f(t) + b*F(ω)g(t)这意味着Fourier变换是线性的，可以对函数进行加权和叠加。
平移性质则表明，对于给定的函数f(t)和实数a，有：F(ω)e^(iωa) = F(ω - a)这意味着将函数在时域上平移a单位，其在频域上也会发生相应的平移。
Fourier变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
在信号处理中，Fourier变换可以将信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率成分。
通过对信号的频谱进行分析，我们可以了解信号中存在的频率以及它们的强度，进而对信号进行滤波、去噪或频域增强等操作。
在图像处理中，Fourier变换同样可以将图像从时域转换到频域。
通过对图像的频谱进行分析，我们可以了解图像中存在的频率成分，进而对图像进行滤波、增强或压缩等操作。
例如，我们可以通过Fourier变换将图像中的高频噪声滤除，或者通过频域增强来突出图像中的某些细节。
除了信号处理和图像处理，Fourier变换还在通信领域中发挥着重要作用。
在通信中，信号往往需要经过调制、解调等操作，而Fourier 变换可以帮助我们了解信号的频率特性，从而更好地进行调制和解调。
数学物理方法2-1Fourier变换new
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
Fourier变换
n =−∞
∑ce
n
+∞
inωt
=
n =−∞
∑ce
n
+∞
iωnt
,
1 T2 ωn = nω = 2nπ T , cn = ∫ fT (t )e−iωnt dt T −T 2
6
1 T2 − inωt 合并为：cn = ∫ fT (t )e dt ( n = 0, ±1, ±2,L) T −T 2
级数化为： cn einωt ∑
n =−∞ +∞
1 +∞ T 2 = ∑ ∫ fT (τ )e − inωτ dτ einωt T n=−∞ −T 2
2
t
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
3
傅里叶级数 定理8.1
T T fT (t)为T − 周 函数 在− , 上满 期 ， 足 2 2 Dirichlet条 ： 件 • fT (t)连续 仅 有 个 或 有 限 第一 间 点 类 断 ； • fT (t)仅有 限 极 点 有 个 值 则 T (t)可 开 Fourier级数 且 连 点处 立 f 展 为 ， 在 续 t 成 ： a0 ∞ fT (t) = + ∑( an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n=1
a0 an − ibn an + ibn 1 T2 令 c0 = , cn = , dn = , 则 c0 = ∫ fT (t )dt 2 2 2 T −T 2 1 T2 1 T2 cn = ∫ fT (t ) [ cos nω t − i sin nω t ] dt = ∫ f (t )T e−inωt dt T −T 2 T −T 2 1 T2 1 T2 d n = ∫ fT (t ) [ cos nω t + i sin nω t ] dt = ∫ f (t )T einωt dt ∆ c− n T −T 2 T −T 2 ( n = 1,2,L) (c− n = cn )
Fourier变换
第3章 Fourier 变换在第一章，我们学习了几种不同频率的信号可以合成一个信号，如“拍”的复杂信号。
反过来，能否从复杂的合成信号中分离出原来的信号呢？能，这就要用到我们本章要讲的Fourier 变换。
本章首先介绍Fourier 级数及Fourier 谱，然后介绍Fourier 变换的性质及快速Fourier 变换，最后介绍Fourier 变换在数字滤波方面的应用。
3.1 Fourier 级数与Fourier 变换在我们生活的世界里充满了各种各样的周期现象，如日常生活中常见的昼夜更替、四季循环、温度气压等气象因素的反复变化、河水水位的周期性涨落、地面植物的岁月枯荣以及科学技术中诸如太阳活动的十一年周期起伏、地磁场的日变化、重力仪上所反映的固体潮、交流电、电磁波和机械振动等无一不是周期现象。
描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函数来表示：()ϕω+=t A t y cos )( (3-1) 利用三角公式,上式可以写成：()t A t A t A t y ωϕωϕϕωsin sin cos cos cos )(-=+= （3-2） 由于ϕ是常数，令a =A cos ϕϕsin ,A b -=, 则可得：()t b t a t y ωωsin cos += （3-3） 这里22b a A +=,⎪⎭⎫⎝⎛-=a b arctg ϕ (3-4)由此可以看出：一个带初相位的余弦函数可以看成一个不带相位的正弦函数与一个不带相位的余弦函数的合成。
谐波函数是周期函数中最简单的函数，它描述的也是最简单的周期现象，在实际中所碰到的周期现象往往比它复杂得多。
但这些复杂函数均在一定近似程度上可分解为不同频率的正弦函数和余弦函数。
下面我们就介绍如何将一种复杂的函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的方法。
3.1.1 周期函数的Fourier 变换回想一下我们在数学中讲的Fourier 级数：如何将一个周期为2l 函数分解为Fourier 级数呢？我们已经学过的Fourier 级数展开式为 ：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ (3-5)其中()()dx lxn x f l b dx l x n x f l a dx x f l a l l n l l n l l ππsin )(1,cos 1,10⎰⎰⎰---=== (3-6)如果f(x)是奇函数,积分上下限相互对称，则这时()lxn x f πcos 亦为奇函数，故a n 均为零，得到的Fourier 级数是正弦级数:()lxn b x f n n πsin1∑∞== (3-7) 其中，b n 的积分可简写为：()(),.....3,2,1sin 20==⎰n dx lxn x f l b l n π (3-8)如果f (x)是偶函数, 因积分上下限相互对称，并且()lxn x f πsin 为奇函数，故b n 均为零,得到的Fourier 级数是余弦级数：()lxn a a x f n n πcos210∑∞=+= (3-9) 其中a 0和a n 可简写为：()()(),......3,2,1c o s 2,2000===⎰⎰n dxlxn x f l a dx x f l a l n l π (3-10)3．1．2 离散Fourier 变换现在我们设法把上述公式不加证明地应用于离散Fourier 级数中。
正弦函数的傅里叶变换
正弦函数的傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种用于表征函数变化特性的数学工具，时间和频率变换本质上是一样的。
特别地，傅里叶变换可以表征正弦函数的变化特性，其中一些常用的变换用于描述信号的指令特性，这些信号也可以用来表征正弦函数的变化。
正弦函数的傅里叶变换是由按照欧拉方程给定的曲线来表征的。
欧拉方程指定了曲线每个点的法向量，其可以用来计算傅立叶系数，表征正弦函数的变化。
这种类型的变换被称为傅立叶相位逆变换，一般没有一般形式的解，但是可以利用数值解法解决。
傅立叶变换的另一个好处是它的旋转性质，即傅立叶变换矩阵旋转和缩放行和列，并产生一个新的称为正弦信号的变换。
傅立叶变换的用处不止于此，它也可以用来计算在一段时间内不同时刻的信号参数，从而可以用来表征正弦函数的变化。
因此，傅立叶变换是一种十分有用的数学工具，它可以用来表征正弦函数的变化，利用它们可以解决许多复杂的问题，例如在分析脉冲累计和传输机制时常常会使用傅立叶变换来估计信号的参数。
此外，傅立叶变换还可以用来简化数学表达式，因而有许多研究者研究它。
因此，傅立叶变换可以说是数学界的一种重要的工具，可以帮助我们理解和描述正弦函数的变化。
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积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 主要应用： ．求解线性微分方程(组 ； 线性微分方程 主要应用：a．求解线性微分方程 组)； b．信号处理． ．信号处理．
第一章
Fourier 变 换
§1.1 Four ier 积 分 为周期， 设 f T (t ) 以Ｔ为周期，在 [− 第一类间断点； 第一类间断点；
f (t ) 是 偶 函数 ， 有 f (t ) = 函数，
2
+∞ 0
π
+∞ f (τ )cos(ωτ ) dτ cos ω t dω ， （ Four ier 余弦积分公 ∫0
． 式） (5)
+ 上有定义， 级数中的奇延拓或偶延拓方法， 注：若 f (t ) 仅在 [0， ∞） 上有定义，可采用类似于 Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓方法，
T T , ] 满足 Dirichlet 收敛条件， 即：10 连续或只有有限个 收敛条件， 连续或只有有限个 2 2
则在 [−
2 0 只有有限个极值点． 只有有限个极值点．
T T , ] 的连续点 t 处， 有 2 2
其中 ω =
a 0 +∞ f T (t ) = + ∑ (a n cosn ω t + b n sin nω t ) ， 2 n =1
(n = 1, 2, 3, L) ．
可合写成： 可合写成：cn =
+∞
1 T2 2nω , f T (t )e − j n ω t dt , ω n = nω = ∫−T 2 T T
(n ∈ Z)
．
代入(1)得 代入 得 ： 数形式． 数形式．
f T (t ) = c0 + ∑ [c n e
n =1
−∞
+∞
− jω t
dt = ∫ 0dt + ∫ e −( β + jω ) t dt
0
−1 = e − β t ⋅ e − jω t β + jω
f (t ) = F −1[ F (ω )] = 1 2π
t = +∞
=
t= 0
1 β − jω = 2 β + jω β + ω 2 ．
1 2π
∫
+∞
余弦逆变换式． 为 F (ω ) 的 Fourier 余弦逆变换式．
1, f (t ) = 例 1．求 ． 0,
0 ≤ t <1 t ≥1
正弦变换和余弦变换． 的 Fourier 正弦变换和余弦变换．
进行奇延拓， 正弦变换为 解：先将 f (t ) 进行奇延拓，得 f (t ) 的 Fourier 正弦变换为
达式． 达式．
．
f (t )
F
．
F (ω )
f (t ) ——象原函数 ——象原函数
F (ω ) ——象函数 ——象函数
K (ω , t ) = e − jω t —— ——Fourier 变换核
f (t ) ← F F (ω ) →
+∞ 0
A 为奇函数时， 当 f (t ) 为奇函数时， (4) 由 正弦变换式； 正弦变换式；
它成立的条件如下． 它成立的条件如下． Fourier 积分定理． 若 f (t ) 在 (−∞, + ∞) 上满足：10 f (t ) 在任一有限区间上满足 Dirichlet 条 积分定理． 满足： 件；
20
∫
+∞
−∞
f (t ) dt 收敛，即 f (t ) 绝对可积． 则在 Cauchy 主值意义下，广义积分 在连 收敛， 绝对可积． 主值意义下，广义积分(3)在连
−∞
F (ω ) e jω t dω =
∫
β − jω j ω t 1 ⋅ e dω = 2 2 −∞ β + ω 2π
+∞
∫
β − jω (cos ω t + j sin ω t )dω −∞ β 2 + ω 2
+∞
=
1 2π
β cos ω t + ω sin ω t j dω + 2 2 ∫ −∞ 2π β +ω
+∞
β sin ω t − jω cos ω t 1 +∞ β cos ω t + ω sin ω t dω = ∫ dω ． ∫ −∞ β 2 + ω2 π 0 β 2 + ω2
0 0
+∞
1
sin ω
， ω ∈ (−∞, + ∞) ． ω
0, 例 2．求指数衰减函数 f (t ) = − β t ． e ,
解： F (ω ) =
t<0 t≥0
0 −∞
( β > 0) 的 Fourier 变换及积分表达式． 变换及积分表达式．
+∞
F [ f (t )] = ∫ f (t )e
1 2π
+∞
T2 f T (τ )e − jω n τ dτ e j ω n t = L ∑ ∫−T 2 n = −∞
(3)． 称为 Fourier 积分公式． ． 积分公式．
+∞
=
+∞f (τ )e − jωτ dτ e jω t dω , t ∈ (−∞, + ∞) ∫− ∞ ∫− ∞ ，
+∞
为偶函数时， 当 f (t ) 为偶函数时，由(5) 式，称 Fc (ω ) = Fc [ f (t )] = ∫0 f(t)cosω tdt 余弦变换式； 余弦变换式； 称
为 f (t ) 的 Fourier
f (t ) = Fc−1[ Fc (ω )] =
π∫
2
+∞ 0
Fc (ω )cosω tdω
．
公式，转化成复数形式： 利用 Euler 公式，转化成复数形式： cos ϕ =
1 jϕ 1 jϕ ( e − e − jϕ ) ， (e + e − jϕ ) ， sin ϕ = 2j 2
(1) 记
a0 +∞ a n − jbn j n ω t a n + jbn − j n ω t e e fT (t ) = + ∑ + . 2 n =1 2 2
处成立． 续点 t 处成立． 右边收敛于 （在间断点 t 处，公式 (3)右边收敛于 右边 广义积分的收敛： 广义积分的收敛： (高等数学 高等数学) 高等数学
1 [ f (t − 0) + f (t + 0)] ） ． 2
+∞ 0
∫
+∞
−∞
f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫
−∞
0
f (t )dt = lim
非周期函数的展开： 不是周期函数， 的函数： 非周期函数的展开： 设 f (t ) 不是周期函数， t ∈ ( −∞, ∞ ) ． 作周期 T > 0 的函数：
f T (t ) = f (t ), t ∈ [
则
1 f (t ) = lim f T (t ) (2)式 Tlim∞ →+ T T → +∞
《积 分 变 换》 变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如，解析几何中的 变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如， 坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减：
lg(ab) = lg a + lg b, lg = lg a − lg b ． 再取反对数变换复原． 再取反对数变换复原．
得到
f (t ) 相应的 Fourier 正弦积分展开式或 Fourier 余弦积分展开式． 余弦积分展开式．
§1.2 Fourier 变换 1．Fourier 变换 ． 设 f (t ) 满足 Fourier 积分定理条件，则在连续点处， 有 积分定理条件，则在连续点处， 条件
f (t ) =
记
1 2π
A→ − ∞ A
∫
0
f (t )dt + lim
B→ +∞ 0
∫
B
f (t )dt ；
主值意义收敛： 按 Cauchy 主值意义收敛： 例如： 例如：
+∞
(C ) ∫
+∞ 0
+∞
−∞
f (t )dt = lim
A→ + ∞ − A
0
∫
A
f (t )dt ．
+sin tdt = ∫ sin tdt + ∫ sin tdt = − cos t −∞ − cos t
Fs (ω ) = Fs [ f (t )] = ∫ f(t)sinω tdt = ∫ sin ω tdt =
0 0
+∞
1
1 − cos ω
ω
，
ω ∈ (−∞, + ∞) ；
进行偶延拓， 弦变换为 再将 f (t ) 进行偶延拓，得 f (t ) 的 Fourier 余弦变换为
Fc (ω ) = Fc [ f (t )] = ∫ f(t)cosω tdt = ∫ cos ω tdt =
−∞
A A→ + ∞ − A
0
发散； ， 发散；
(C ) ∫ sin tdt = lim
−∞
∫
sin tdt = lim 0 = 0 ， 收敛． 收敛． A→ + ∞
公式(3)可化为三角形式： 公式 可化为三角形式： 可化为三角形式
f (t ) =
= 1 2π