三角函数计算题 期末复习(含答案)
三角函数练习题及答案
三角函数练习题及答案一、填空题1．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O的表面上，且,4ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.2．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1C B c b a+=，则A 的取值范围是___________. 3．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．4．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.5．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC的外心，且有AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．6．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.7．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1213．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣14．已知02πθ<<，()()cos 1sin 110sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,3D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣16．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ）A ．()f x 为常数B ．()f x 有极小值C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数17．在三棱锥A BCD -中，2,AC AD AB CD BC BD ======接球的半径为（ ）A B C D ．18．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．919．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）三、解答题21．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且OH =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD 都是学校道路，其中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .（1）求S关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB面积S为最小，政府投资最低？23．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC 上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同∠为θ.一个平面上.沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道DE.记CBD()1用θ表示栈道的总长度()fθ，并确定sinθ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.24．已知()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值.（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点3,64A π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集. 25．已知函数()()()()223sin cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合.26．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少? 27．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .28．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin 4n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.29．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 30．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；（2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．【参考答案】一、填空题1 2．(0,]3π3．③④ 4．②④⑤5．4333-6．3+37．228910．⎡⎢⎣⎦二、单选题11．A 12．A 13．A 14．A 15．C 16．A 17．A 18．A 19．B 20．D 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）2[2(sin cos )1]2,0,sin cos 2S θθπθθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）4πθ=. 【解析】 【分析】（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=，进而表示直线AB 的方程，由直线AB 与圆H 相切构建关系化简整理得4(sin cos )2sin cos l θθθθ+-=，即可表示OA ,OB ，最后由三角形面积公式表示AOB 面积即可；（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223sin cos 8t t θθ+-=，由辅助角公式和三角函数值域可求得t 的取值范围，进而对原面积的函数用含t 的表达式换元，再令1m t=进行换元，并构建新的函数2()321g m m m =-++，由二次函数性质即可求得最小值. 【详解】解：（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=. 所以直线AB 的方程为1cos sin x yl l θθ+=，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ+-=. 因为直线AB 与圆H 相切，2=.(*)因为点H 在直线AB 的上方， 所以4sin 4cos sin cos 0l θθθθ+->，所以(*)式可化为4sin 4cos sin cos 2l θθθθ+-=，解得4(sin cos )2sin cos l θθθθ+-=.所以4(sin cos )2sin OA θθθ+-=，4(sin cos )2cos OB θθθ+-=. 所以AOB 面积为21[2(sin cos )1]2,0,2sin cos 2S OA OB θθπθθθ+-⎛⎫=⋅=⋅∈ ⎪⎝⎭.（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223sin cos 8t t θθ+-=，且2(sin cos )121(1,221]4t πθθθ⎛⎫=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，所以222162322318t S t t t t =⋅=+--++，21]t ∈.令1221m t ⎡⎫+=∈⎪⎢⎣⎭，2214()321333g m m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()g m 在221⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减. 所以，当221m +=4πθ=时，()g m 取得最大值，S 取最小值.答：当4πθ=时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题. 23．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3θ=时，()min 33f θ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.24．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω，然后即可得到()f x 的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭21332sin cos sin sin cos 3sin 322x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 11cos 2133sin 233sin 2cos 222222x x x x ωωωω-=-⨯+=++3sin 232x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时3()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，T π=（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为33sin 2sin 243262y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为3sin 62y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为：方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得104a <≤（3）设(),P x y ，()00,Q x y因为点3,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+所以0012612x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00232x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点所以2sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．25．（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求周期即可；（2）由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可.【详解】解：（1）()()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ=++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题. 26．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6πθ=时，最大值5（ⅱ）6πθ=时，最大面积是334【解析】(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()()2222222a b a b ab a b +≥++=+,所以()2222a b a b c +≤+, 所以ABC ∆的周长为)21222a b c c ++≤=,当且仅当a b =时等号成立,即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++22sin 24πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 因为02πα<<,所以3444πππα<+<, 所以当42ππα+=,即4πα=时, ABC ∆周长取得最大值222+,此时点C 是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p , 则p AD DC CB AB =+++2sin cos22AB AB θθ=++()2214sin 212sin 254sin 2θθθ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭,显然0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 121122s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅ 11sin 21cos 2sin 222AB AB θθθ=⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅()sin 21cos2θθ=+, 所以()222sin 21cos2s θθ=+()()221cos 21cos 2θθ=-+()()31cos21cos2θθ=-+()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()2231cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()431cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 413273216⎛⎫==⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1cos 22θ=时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以此时6πθ=,所以当6πθ=时,s =,即四边形ABCD【点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题. 27．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 【详解】 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC == 选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力. 28．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】 【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=， ∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=，∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.29．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．30．（1）2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）1222a -<<-【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围. 【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-．①12a -<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=．②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f xg t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.。
三角函数计算题期末复习(含答案)
= (1)2 ( 3)2 3 3 223
=1+1 =2；
（2）原式=1 2 2 1 2
2
22
=0. 考点：特殊角的三角函数值． 15．2﹣2 ． 【解析】 试题分析：原式前两项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一 项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
3
7．计算： 22 2cos30 tan60 3.140 .
8．计算： 2 1 2sin45 8 tan2 60 ．
9．计算： 2sin30 ° 2cos45 ° 8 ．
10．计算：
（1） sin2 60 cos2 60 ；
（2） 4cos45 tan60 8 12 ．
33．计算 ： 3 tan 60 sin2 45 3 tan 45 cos 60 ．
34．计算： 27 -3sin60°-cos30°+2tan45°．
35．计算：
27 3 tan 30o
3
0
1 3
2
36．计算 20140+ 1 1 − 2 sin45°+tan60°． 2
=3﹣1﹣1 =1． 考点：特殊角的三角函数值． 18．-2. 【解析】 试题分析：分别计算特殊角三角函数值和算术平方根，然后再计算加减法.
试题解析：原式= 2 3 1 |1 3 | 2
= 3 1 3 1
=-2. 考点：实数的混合运算. 19．1． 【解析】 试题分析：按照实数的运算法则依次计算．
的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.
3．﹣1.5.
【解析】试题分析：把 30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.
高一期末复习三角函数反三角数列
8、对于自然数 的正整数次幂，可以如下分解为 个自然数的和的形式：
仿此， 的分解中的最大数为。
9、下表是一个有i行j列的表格，已知每行每列都成等差数列，
4
7
a1,3
…
a1,j
7
12
a2,3
…
a2,j
a3,1
a3,2
a3,3
…
a3,j,
…
…
…
4、在100至200之间能被3整除的所有整数之和是；
5、数列 中， ，又数列 是等差数列，则 ；
6、在等比数列 中，若 ，则 ；
7、数列 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列，则 ；
8、一个数列的前 项和 ，则 ；
9、等比数列 中， ，公比 ，其前 项和为80，而其中最大的一项为54，又其前 项和为6560，求 和 。
10、已知 的通项公式 ，求数列 的最大项。
11、已知数列 满足： ，且 ，
（1）求 的值及数列 的通项公式；
（2）求 ；
12、等差数列 中，前 项和为 ，首项 ；
（1）若 ，求 ；
（2）设 ，求使不等式 的最小正整数 的值。
…
…
ai,1
ai,2
ai,3
…
ai,j
其中ai,j表示表格中第i行第j列的数，则a4,5=,ai,j=。
10、已知等差数列 中， ，求数列的通项 及前 项和 ；
11、设 为等差数列，前 项和为 ，已知 为数列 的前 项和，求 ；
12、设数列 中的通项 ，数列 哪一项的值最小，并求出最小项的值；
数列（2）
（1）
（2）
（3）
三角函数计算题100道
三角函数计算题100道为了简洁起见，我将为您提供100道三角函数计算题的答案，并附上简要的解释。
1. sin(0) = 0正弦函数在角度为0度时的值等于0。
2. cos(0) = 1余弦函数在角度为0度时的值等于13. tan(45) = 1正切函数在角度为45度时的值等于14. csc(30) = 2余切函数在角度为30度时的值等于25. sec(60) = 2正割函数在角度为60度时的值等于26. cot(60) = 1/√3余割函数在角度为60度时的值等于1/√3，其中√3表示根号下37. sin(90) = 1正弦函数在角度为90度时的值等于18. cos(90) = 0余弦函数在角度为90度时的值等于0。
9. tan(0) = 0正切函数在角度为0度时的值等于0。
10. csc(0) = 未定义余切函数在角度为0度时的值未定义。
11. sec(30) = 2/√3正割函数在角度为30度时的值等于2/√3 12. cot(45) = 1余割函数在角度为45度时的值等于1 13. sin(60) = √3/2正弦函数在角度为60度时的值等于√3/2 14. cos(45) = √2/2余弦函数在角度为45度时的值等于√2/2 15. tan(30) = √3/3正切函数在角度为30度时的值等于√3/3 16. csc(45) = √2余切函数在角度为45度时的值等于√2 17. sec(60) = 2正割函数在角度为60度时的值等于2 18. cot(90) = 0余割函数在角度为90度时的值等于0。
19. sin(180) = 0正弦函数在角度为180度时的值等于0。
20. cos(180) = -1余弦函数在角度为180度时的值等于-1 21. tan(120) = √3正切函数在角度为120度时的值等于√3 22. csc(150) = -2余切函数在角度为150度时的值等于-2 23. sec(240) = -2正割函数在角度为240度时的值等于-2 24. cot(270) = 0余割函数在角度为270度时的值等于0。
三角函数计算题 期末复习(含答案)
一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋(－)0－.3．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算： 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-.8．计算： 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2）()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--． 12．求值：+2sin30°－tan60°- tan 45° 13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2|．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°．18．计算：2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分） 计算：121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 20．（本题5分）计算：3－12+2sin60°+11()321．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分）计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan 302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分）25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 29．计算：．30．计算：32sin 453cos602︒︒+︒+-．31．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ ．33．计算 ：23tan 60sin 453tan 45cos 60︒-︒-︒+︒． 34．计算：27-3sin60°-cos30°+2tan45°．35．计算：()201273tan 3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算：tan30°cos30°+sin 260°- sin 245°tan45°38．计算：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°．40．计算：（1）+|sin60°﹣1|+tan45°（2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；（2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：.43．．44．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°. 45．计算： ()103116220073tan6033π-⎛⎫⎛⎫+÷-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 46．计算：(－1)2 019－()－3＋(cos 68°)0＋|3－8sin 60°|47．计算：(1)；(2)．48．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°. 49．计算：二、填空题5012﹣tan30°+（π﹣4）0112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____．参考答案1．【解析】【分析】分别代入各特殊角的三角函数值，然后进行计算即可得.【详解】sin30°+tan60°−cos45°+tan30°==×+-+=.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键.2．－4.【解析】分析:先根据乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则逆用进行计算,然后再进行实数加减运算.详解: －12016－2tan60°＋(－)0－,原式＝－1－2×＋1－2,＝－4.点睛:本题主要考查乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则,解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.3．﹣1.5.【解析】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可. 试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45° =11234122⨯+⨯-⨯ =1.5.4【解析】试题分析：分别根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．试题解析：解：原式＝12212-⨯-点睛：本题考查的是二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质，熟知以上运算法则是解答此题的关键．5．12【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．试题解析：解：原式= 112122⨯- 12=． 6．6【解析】试题分析：按顺序依次先进行绝对值化简、0次幂计算、特殊角三角函数值、负指数幂计算，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式=3+1-212⨯+3=3+1﹣1+3=6． 7．54【解析】试题分析：原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果． 试题解析：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)01214=- =548．2【解析】试题分析：先进行绝对值、二次根式的化简，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式123132+-==.9． 1+【解析】试题分析：代入30°角的正弦函数值、45°角的余弦函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可. 试题解析：原式 = 12222⨯-⨯+= 1= 1.10．（1）1；（2）．【解析】试题分析：（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．试题解析：（1）原式=22312+（）（）=1； （2）原式=24322131⨯+--=-. 11．1．【解析】试题分析：利用三角函数，分母有理化，绝对值性质计算.试题解析：()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅-- =1+13-+3331⨯+-=1+13++32+31-=1. 12．【解析】先得出式子中的特殊角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.解：原式＝13．【解析】试题分析：此题涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．解：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°=1﹣×+× =1﹣1+ =【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值的运算．14．（1）2；（2）0.【解析】试题分析：根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案. 试题解析：（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° =22133()(3223++ =1+1=2；（2）原式=212 122⨯-⨯⨯=0.考点：特殊角的三角函数值．15．2﹣2．【解析】试题分析：原式前两项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解：原式=2﹣4×﹣+2﹣=2﹣2．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．16．﹣3﹣．【解析】试题分析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而求出答案．解：原式=﹣2×﹣3﹣3+1+2=﹣3﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．17．1【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．考点：特殊角的三角函数值．18．-2.【解析】试题分析：分别计算特殊角三角函数值和算术平方根，然后再计算加减法.试题解析：原式=21|1-+11=-2.考点：实数的混合运算.19．1．【解析】试题分析：按照实数的运算法则依次计算．试题解析：原式=1432311312-+-⨯+=--+=．考点：1．特殊角的三角函数值；2．有理数的乘方；3．零指数幂；4．负指数幂．20．3.【解析】试题分析：本题首先将各式分别进行计算，然后根据实数的计算法则进行计算.试题解析：原式×2－考点：实数、三角函数的计算21．331- 【解析】试题分析：先计算三角函数值，零指数，负指数，开方再按照实数的运算计算即可. 试题解析：原式=331223⨯+-+=3123-+=331-. 考点：三角函数值，零指数，负指数，开方.视频22．32 【解析】试题分析：分别求值再进行加减运算试题解析：原式=5+32-6+1=32考点：1.特殊角的三角函数2.实数的运算233【解析】试题分析：先计算绝对值，三角函数，零指数，负指数，平方再按照实数的运算计算即可.试题解析： (()2122sin303tan45--+︒-+︒ 33考点：三角函数，实数的运算.24．214. 【解析】试题分析：任何不是零的数的零次幂都是1，1p pa a .试题解析：原式=2－21()2+13=2－14+1－12=214. 考点：实数的计算、三角函数的计算.25．21- 【解析】试题分析：sin45°=2；tan60°cos30°. 试题解析：原式＝233222⨯-⨯＝123-＝21-． 考点：二次根式的计算、锐角三角函数的计算.26．－3.【解析】试题分析：sin60°=2；任何非零的数的零次幂为1，33；11()2=－2.试题解析：原式=－－1=－3.考点：实数的计算.27．6323-． 【解析】 试题分析：原式=222213322⨯+⨯-=6323-． 考点：实数的运算．28．12． 【解析】试题分析：原式11122=-+-+ 12=． 考点：实数的运算．视频29．2．【解析】试题分析：原式==2．考点：实数的运算．3021．【解析】 试题分析：原式=23132322++21．考点：实数的运算．31．236【解析】试题分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值得代入求值问题，因此把相应的特殊角的三角函数值代入即可.试题解析：解：原式=2322+= 考点：特殊角的三角函数32．【解析】试题分析：原式21== 考点：实数的运算．33．0．【解析】 试题分析：原式211322332+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=213213+--=0=． 考点：实数的运算． 34．1．【解析】试题分析：将tan45°=1，代入，然后化简合并即可得出答案．试题解析：原式=2×32﹣1+2×32=3﹣1+3=23﹣1． 考点：特殊角的三角函数值．35．2310+【解析】试题分析：根据二次根式、特殊角三角函数值、零次幂、负整数指数幂的意义进行计算即可. 试题解析：21273tan 30(3)()3π--︒+-︒+ 333319=-⨯++ 2310=+考点: 实数的混合运算.36．23+.【解析】试题分析：根据零次幂、负整数指数幂、特殊三角函数值的意义进行计算即可. 试题解析:0112014()2sin 45tan 602-+-︒+︒ 21223=+-⨯+ 23=+考点: 1.零次幂,2.负整数指数幂,3特殊三角函数值.37．【解析】【分析】根据特殊三角函数值即可求解.【详解】原式==【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记特殊三角函数值是解题关键.38．3【解析】【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°=1+2﹣（﹣1）﹣2×=3+1﹣1=3【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等考点的运算．39．﹣2﹣．【解析】【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】原式=﹣1﹣1+﹣2=﹣2﹣．【点睛】本题考查了实数的运算法则，负指数的性质，特殊角是三角函数，熟练特殊角是三角函数是解题的关键．40．(1)4-;(2)3+【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】（1）原式=2+1﹣+1=4﹣；（2）原式=3+4××=3+．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．（1）0；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；=﹣1﹣++1=0；（2）cos245°+sin60°tan45°+sin230=（）2+×1+（）2=++=．【点睛】本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．42．.【解析】分析：代入45°角的正弦函数值，结合“零指数幂的意义”和“负整数指数幂的意义”进行计算即可.详解：原式===.点睛：熟记45°角的正弦函数值、及（为正整数）是正确解答本题的关键.43．【解析】【分析】根据：分别代入计算．【详解】原式．【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答此类题目的关键是熟记特殊角是三角函数值.44．3－【分析】把60°，30°，45°的正弦，余弦，正切的值代入计算即可．【详解】解：原式＝2×－3×1×＋4×＝1－＋2＝3－【点睛】 本题主要考查特殊角的三角函数值和零指数幂的知识点，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．45．-1.【解析】分析：代入60°角的正切函数值，结合“负指数幂的意义”、“零指数幂的意义”和实数的相关运算法则计算即可.详解：原式=()3168133+÷-+-⨯=3213-+-=1-。
(完整版)三角函数的运算经典习题
（完整版）三角函数的运算经典习题以下是一些关于三角函数运算的经典题，希望能对大家的研究有所帮助。
题一：正弦函数的运算1. 求解 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ 的解集。
2. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。
3. 简化表达式 $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。
4. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。
题二：余弦函数的运算1. 求解 $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$ 的解集。
2. 计算 $\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。
3. 简化表达式 $\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$。
4. 计算 $\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。
题三：正切函数的运算1. 求解 $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$ 的解集。
2. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。
3. 简化表达式 $\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。
4. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。
三角函数练习题及答案
三角函数练习题及答案一、填空题1．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.2．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________4．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.5．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．6．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______7．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.8．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________. 10．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 二、单选题11．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．333B ．2C ．113D ．1112．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >13．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C ．32D ．3314．已知02πθ<<，()()cos 1sin 110sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,3D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大16．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,418．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 22．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.23．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.24．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由.25．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知sin 2C =（1）若4a =，c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.27．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 28．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值29．已知函数()()()21?0f x cos x sin x x ωωωω=>，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值.30．已知函数2()2cos cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1 2．①③3．12(,)369-4．)1⎡++∞⎣5．⎝⎭6．07．3+38910 二、单选题 11．A 12．A13．C 14．A 15．C 16．B 17．C 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（12）104ω<≤ 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭ （2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数 所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩因为0>ω，所以016k >-又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤ 从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题. 23．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 24．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减，∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 25．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭. 02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭是单调函数，∴2622ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.26．（1）2）c=【解析】【分析】（1）先根据sin2C=sin C与cos C，再利用余弦定理求出b边，最后利用1sin2ABCS ab C∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c与ab的关系式，再结合面积求出c的值．【详解】解：（1）因为sin2C=所以2101cos12sin122164CC=-=-⨯=-．又()0,Cπ∈，所以sin C=．因为4a=，c=2222cosc a b ab C=+-，所以214016244b b⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b=，所以11sin4422ABCS ab C∆==⨯⨯=（2）因为22213sin sin sin16A B C+=，由正弦定理，得2221316a b c+=．又2222cosa b ab C c+-=，所以283c ab=．又1sin2ABCS ab C∆=，得18ab=，所以248c=，所以c=【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．27．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】 （1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.28．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．29．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤，∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m 【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间; (Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.。
2013新人教版九下第28章《锐角三角函数》word期末复习测试2
第28章 锐角三角函数整章测试（时间45分钟 满分100分）班级 ______________ 学号 姓名 ____ 得分____一、选择题（每题3分，共24分）1．在△ABC 中，∠C ＝90°，3sin 5A =，则cos A 的值是（ ） A ．45 B ． 35 C ． 34 D ． 432．在△ABC 中，2∠B ＝∠A ＋∠C ，则sinB ＋tanB 等于（ ） A ．1 B ．323 C ．321+ D ．不能确定 3．等腰三角形底边与底边上的高的比是（ ） A ． 60° B ．90° C ．120° D ．150°4．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（ ） A ．30米 B ．10米 C ．1030米 D ．1010米 5．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）A ．150B ．375C ． 9D ． 76．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）A ．sin a α⋅B ．cos a α⋅C ．n a ta α⋅D ．tan aα7．如图，ΔABC 中，AE ⊥BC 于E ，D 为AB 边上一点，如果BD ＝2AD ，CD ＝10，sin ∠BCD ＝35，那么AE 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．7.2 D ．98．如图，E 在矩形ABCD 的边CD 上，AB ＝2BC ，则t a n ∠CBE ＋tan ∠DAE 的值是（ ） A ．2 B ．2C ．2D ．2＋ABCEDABCDE二、填空题（每题2分，共20分）9．在△ABC 中，2AB =，AC =B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 ． 10．锐角A 满足2sin （A －15０）＝3则∠A ＝ ． 11．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．12．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）． 13．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度．14．已知，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=23，AC=32，则AB= ． 15．计算：100245sin 251-+⋅-+-=16．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米.17．如图，小红把梯子AB 斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙1.6米，小红上了两节梯子到D 点，此D 点距墙1.4米，BD 长0.55米，则梯子的长为18．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为（结果保留根号）CA第11题 第12题 第13题第18题图CBAADEB 第16题 第17题 第18题三、解答题（共56分）19．（4分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案． （1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．20．（4分）如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。
三角函数公式练习题及答案详解
三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2+α)＝____________ cos(π2 －α)＝____________ cos(π2+α)＝_____________ tan(π2 －α)＝____________ tan(π2+α)＝_____________ sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2+α)＝____________ cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2+α)＝____________ tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2+α)＝____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α公式的配套练习sin(7π－α)＝___________ cos(5π2－α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π2+α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βcos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin βsin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin βsin (α－β)=sin αcos β－cos αsin βtan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β）tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a) 特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4) 7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2 cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α8． 在三角形中的结论（如何证明）若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513， 又π4 <α<3π4 ,0<β<π4,求sin(α＋β)。
三角函数练习题集(含答案解析)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=，则（ ） A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<9004、若cosA= ，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、B 、C 、D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：C 、1：1：D 、1：1：6、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB=B ．cosB=C ．tanB=D ．tanB=8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（ ）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．（A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里（二）填空题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______．4．如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624 )5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．90，BC=13，AB=12，那么tan B8．在直角三角形ABC中，∠A=0___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
第一章 三角函数复习题(一)-学生版
知识点部分：1．任意角的三角函数的定义定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．2．三角函数值的符号记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．3．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．4．三角函数的周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R x≠2kπ+（k∈Z）值域[﹣1，1] [﹣1，1] R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k ∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin ＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤练习题部分：1．（2020春•新余期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）＝（）A．B．1 C．D．2．（2020春•驻马店期末）有以下变换方式：①先向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；②先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；④先将每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度．其中能将函数的图象变为函数y＝2sinx的图象的是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③3．（2020春•未央区校级期末）若函数f（x）＝sinx+cosx﹣2sinxcosx+1﹣a在上有零点，则实数a的取值范围（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，] D．[，]4．（2020春•驻马店期末）已知扇形AOB的圆心角为α，周长为4．那么当其面积取得最大值时，α的值是．5．（2020•江苏）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是．6．（2019秋•新华区校级期末）若在区间[﹣a，a]上是增函数，则正实数a的最大值为；7．（2020春•沈阳期末）已知角α终边上一点坐标（1，﹣3），f（α）＝．（1）求f（α）的值．（2）求f（）的值．（3）求sin（）cos（）的值．8．（2020春•潍坊月考）已知cos（+θ）＝，求+的值9．（2020春•吉林期末）已知．（1）求2+sinαcosα﹣cos2α的值；（2）求的值．10．（2019秋•遂宁期末）已知角α的终边经过点，且α为第二象限角．（1）求m、cosα、tanα的值；（2）若，求的值．11．（2019秋•上高县校级期末）已知函数．（1）化简f（x）并求的值．（2）设函数g（x）＝1﹣2f（x）且，求函数g（x）的单调区间和值域．12．（2016秋•东安区校级月考）设函数f（x）＝tan（）（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．（2）求不等式﹣1≤f（x）≤的解集．13．（2020春•驻马店期末）已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．14．（2020•宁波模拟）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的振幅、最小正周期和初相位；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，当时，求g（x）的取值范围．15．（2016秋•福建月考）已知定义在R上的函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤），满足：最大值为2，其图象相邻两个最低点之间距离为π，且函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若向量＝（f（x﹣），1），＝（，﹣2cosx），，设函数，求函数g（x）的值域．。
九上期末复习5：三角函数
九上期末复习5：三角函数一．填空题（共8小题）1．如图，某课外活动实践小组在楼顶的A处进行测量，测得大楼对面山坡上E 处的俯角为30°，对面山脚C处的俯角60°，已知AB⊥BD，AC⊥CE，BC=10米，则C，E两点间的距离为米．2．如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公路从南向北匀速行驶，上午9：00他行驶到A点时，测得塔C在北偏西37°方向，上午9：11行驶到B点时，测得塔C在南偏西63.5°方向，若汽车行驶的速度为90km/h，则在行驶的过程中，汽车离塔C的最近距离约是km．（sin37°≈，tan37°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）3．如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，tanB=，BC=5，CD=3，∠BCA=90°﹣∠BCD，则AD=．4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于．5．如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为．6．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则CB的长为．7．某路基的横截面如图所示，路基高BC=1m，斜坡AB的坡度为1：2，则斜坡AB的长为m．8．在△ABC中，∠ACB=90°，cosA=，则tanA=．二．解答题（共23小题）9．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？10．在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°（∠MON=30°），站立在水平面上身高1.5米的小明AB在地面的影长BP为1米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ 为4米，求大树的高度．11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．12．如图，港口A在观测站O的正东方向相距4km，某船从A出发，沿北偏东15°方向航行5分钟后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的速度（精确到整数位）．参考数值：≈1.414，≈1.732．13．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着仰角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，求山的高度？14．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，求那么路灯AB的高度是多少米？15．如图，一楼房AB后有一假山，其坡面CE与水平地面的夹角为30°，在阳光的照射下，楼房AB落在地上的影长BC=25米，落在坡面上的影长CE=20米，已知小丽测得同一时刻1米高的竹竿在水平地面上的影长为0.8米，求楼房AB的高．（≈1.7）16．矗立在莲花山上的邓小平雕像气宇轩昂，这是中国第一座以城市雕塑形式竖立的邓小平雕像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成，某校数学课外小组在地面的点B处测得点A的仰角∠ABC=67°，点D的仰角∠DBC=30°，已知CD=2米，求像体AD的高度．（最后结果精确到1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.4，≈1.7）17．如图，某校九年级数学小组为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离BD=9m，求旗杆AB的高度是多少米？（结果保留根号）18．一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A、B间的距离（结果保留根号）．19．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线．（1）比较∠BAD和∠DAC的大小．（2）求sin∠BAD．20．如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为45°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB、CD的高度．（结果保留根号）21．如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知sin∠BAH=，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．22．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．24．如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求斜坡AC的长；（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．25．如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC 的长（结果保留根号）？26．如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ 上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度．（参考数据：，）27．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．（1）求∠ABC的度数；（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）28．梧桐山是深圳最高的山峰，某校综合实践活动小组要测量“主山峰”的高度，先在梧桐山对面广场的A处测得“峰顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与峰底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“主山峰”前行700米，到达B处，再测得“峰顶”N的仰角为60°，如图，根据以上条件求出“主山峰”的高度？（测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：≈1.4，≈1.7）．29．随着科技进步，无人机的应用越来越广，如图1，在某一时刻，无人机上的探测器显示，从无人机A处看一栋楼顶部B点的仰角和看与顶部B在同一铅垂线上高楼的底部C的俯角．（1）如果上述仰角与俯角分别为30°与60°，且该楼的高度为30米，求该时刻无人机的竖直高度CD；（2）如图2，如果上述仰角与俯角分别为α与β，且该楼的高度为m米．求用α、β、m表示该时刻无人机的竖直高度CD．30．如图，小明为测量马路的宽度CD，他从楼AB的楼顶A处分别观测马路的两侧C处和D处，测得C、D两处的俯角∠EAC=70°，∠EAD=52°，已知从楼底B处到C处的距离为BC=40m，且B、C、D三点在同一水平直线上．（1）求楼的高度AB；（2）求马路的宽度CD．（结果精确到0.1m）（参考数据sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28，sin70°=0.94，cos70°=0.34，tan70°=2.75）31．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．九上期末复习5：三角函数参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．如图，某课外活动实践小组在楼顶的A处进行测量，测得大楼对面山坡上E 处的俯角为30°，对面山脚C处的俯角60°，已知AB⊥BD，AC⊥CE，BC=10米，则C，E两点间的距离为米．【分析】在直角△ABC中，根据30度角的性质即可求得AC长，然后在直角△ACE 中利用三角函数即可求解．【解答】解：Rt△ABC中，BC=10，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=2BC=20，∵∠FAE=30°，∴∠CAE=90°﹣∠BAC﹣∠FAE=30°，Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴CE=tan30°•20==，故答案为：．【点评】本题主要考查了俯角的定义和三角函数的定义，正确利用三角函数的定义是解题的关键．2．如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公路从南向北匀速行驶，上午9：00他行驶到A点时，测得塔C在北偏西37°方向，上午9：11行驶到B点时，测得塔C在南偏西63.5°方向，若汽车行驶的速度为90km/h，则在行驶的过程中，汽车离塔C的最近距离约是9 km．（sin37°≈，tan37°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）【分析】如图作CH⊥AB于H．设BH=x，根据CH=BH•tan63.5°=AH•tan37°，构建方程即可解决问题．【解答】解：如图作CH⊥AB于H．由题意AB=90×=，设BH=x，∵CH=BH•tan63.5°=AH•tan37°，∴2x=（﹣x），解得x=，∴CH=2x=9（km），故答案为9．【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程．3．如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，tanB=，BC=5，CD=3，∠BCA=90°﹣∠BCD，则AD=2．【分析】本题介绍两种解法：解法一：如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCA≌△QCA，则∠B=∠Q=∠D，根据等腰三角形的性质得：AD=AQ，由三角函数定义可得AH的长，根据勾股定理计算AD的长；解法二：作辅助线，构建三角形全等，根据tanB==，设FG=x，BG=2x，则BF=x，求得x=，即FG=，证明A、B、D、C四点共圆，根据四点共圆的性质得：∠DCE=∠ABD，∠BCA=∠ADB，证明△ABF≌△ADC（SAS），则AF=AC，利用勾股定理得：AB2=BH2+AH2=42+AH2①，由面积法得：S△ABF=AB•GF=BF•AH，则AH2=②，两式计算可得AD的长．【解答】解：解法一：如图1，延长DC至Q，使CQ=BC=5，连接AQ，过A作AH⊥DQ于H，则DQ=DC+CQ=CD+BC=3+5=8，∵∠BCA+∠ACQ+∠BCQ=180°，∵∠BCA=90°﹣∠BCD，设∠BCD=x°，则∠BCA=90﹣x°，∴∠ACQ=180°﹣x°﹣（90°﹣x）=90﹣x°=∠BCA，∴AC=AC，∴△BCA≌△QCA，∴∠B=∠Q=∠D，∴AD=AQ，∵AH⊥DQ，∴DH=QH=QD=4，tan∠B=tan∠Q==，∴AH=2，∴AQ=AD=2；解法二：如图2，在BC上取一点F，使BF=CD=3，连接AF，∴CF=BC﹣BF=5﹣3=2，过F作FG⊥AB于G，∵tanB==，设FG=x，BG=2x，则BF=x，∴x=3，x=，即FG=，延长AC至E，连接BD，∵∠BCA=90°﹣∠BCD，∴2∠BCA+∠BCD=180°，∵∠BCA+∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCA=∠DCE，∵∠ABC=∠ADC，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠DCE=∠ABD，∠BCA=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，在△ABF和△ADC中，∵，∴△ABF≌△ADC（SAS），∴AF=AC，过A作AH⊥BC于H，∴FH=HC=FC=1，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2=42+AH2①，S△ABF=AB•GF=BF•AH，∴AB•=3AH，∴AH=，∴AH2=②，把②代入①得：AB2=16+，解得：AB=，∵AB＞0，∴AD=AB=2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、四点共圆的判定和性质以及三角函数的有关知识，有难度，构建辅助线是关键，以利用tanB=，求FG=为突破口，最终解决问题．4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于．【分析】连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=；故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．5．如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为．【分析】利用图形构造直角三角形，进而利用sinA=求出即可．【解答】解：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴SinA==．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键在于利用图形构造直角三角形，进而利用sinA=求解．6．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则CB的长为．【分析】过C作CD与AB垂直，在直角三角形ACD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出CB的长即可．【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2，∴CD=AC=，在Rt△BCD中，∠B=45°，CD=，∴CB=CD=，故答案为：【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7．某路基的横截面如图所示，路基高BC=1m，斜坡AB的坡度为1：2，则斜坡AB的长为m．【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：3，可得到BC和AC之间的关系式，然后根据勾股定理即可求得AB的值．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：2，BC=1，∴AC=2．∴AB==（m）．故答案为：；【点评】本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解答本题的关键．8．在△ABC中，∠ACB=90°，cosA=，则tanA=．【分析】根据勾股定理得BC，由三角函数的定义可得出tanA=，计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵cosA=，∴设AC=12x，则AB=13x，∴BC=5x，∴tanA===，故答案为．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，掌握三角函数的定义是解题的关键．二．解答题（共23小题）9．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD 的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．【解答】解：过B作BD⊥AC，∵∠BAC=75°﹣30°=45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt△BCD中，∠C=60°，∠CBD=30°，∴tan∠CBD=，即CD=10×=，则AC=AD+DC=10+（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．10．在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°（∠MON=30°），站立在水平面上身高1.5米的小明AB在地面的影长BP为1米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ 为4米，求大树的高度．【分析】首先得出△ABP∽△CHQ，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：过Q作QH⊥CD交CD于H，则有：∠HQD=∠QON=30°，∵DQ=4，∴DH=2，QH=2，∵△ABP∽△CHQ，∴=，即=，∴CH=3，∴CD=CH+HD=3+2答：大树的高度为（3+2）米．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用，正确得出△ABP∽△CHQ是解题关键．11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，△BDC然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，=S△ADC，∴BD=5，S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴S△BDC∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．12．如图，港口A在观测站O的正东方向相距4km，某船从A出发，沿北偏东15°方向航行5分钟后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的速度（精确到整数位）．参考数值：≈1.414，≈1.732．【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD的长度，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则易得AB、AD的长度；最后结合速度=路程÷时间解答问题．【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=2km．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．∴2÷=24×1.414÷5≈34（km/h）．答：该船航行的速度约为34km/h．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着仰角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，求山的高度？【分析】根据题目所给的度数可判定△ABD是等腰三角形，AD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的长和CE的长，从而可求出山高的高度．【解答】解：∵∠BAC=45°，∠DAC=30°，∴∠BAD=15°，∵∠BDE=60°，∠BED=90°，∴∠DBE=30°，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=15°，∴∠ABD=∠DAB，∴AD=BD=1000，过点D作DF⊥AC，∵AC⊥BC，DE⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°∴四边形DFCE是矩形∴DF=CE在直角三角ADF中，∵∠DAF=30°，∴DF=AD=500，∴EC=500，BE=1000×sin60°=500．∴BC=500+500米．【点评】本题考查直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据角判断特殊的三角形，直角三角形或者等腰三角形，从而求出解．14．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，求那么路灯AB的高度是多少米？【分析】根据已知得出∠E=∠EAB=45°，得出AB=BE，再利用△DCM∽△DBA的性质得出=，进而求出AB的高度即可．【解答】解：∵∠ABE=90°，∠E=45°，∠E=∠EAB=45°，∴AB=BE，∵MC∥AB，∴△DCM∽△DBA，∴=，设AB=x，则BD=x﹣1.5=x﹣1.5，∴=，解得：x=4.5．∴路灯A的高度AB为4.5m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用．解题时利用了相似三角形的判定与性质，根据已知得出AB=BE是解题关键．15．如图，一楼房AB后有一假山，其坡面CE与水平地面的夹角为30°，在阳光的照射下，楼房AB落在地上的影长BC=25米，落在坡面上的影长CE=20米，已知小丽测得同一时刻1米高的竹竿在水平地面上的影长为0.8米，求楼房AB的高．（≈1.7）【分析】延长AE交BC的延长线于F，作EG⊥CF，根据CE=20米，∠ECG=30°，分别求出EG、CG的长度，又根据竹竿在水平面上的影长，可得EG：GF=1：0.8，AB：BF=1：0.8，代入求出BF、AB的长度即可．【解答】解：延长AE交BC的延长线于F，作EG⊥CF，∵CE=20米，∠ECG=30°，∴EG=10米，CG=10≈17（米），又∵，∴，∴GF=8米，∴BF=25+17+8=50（米），∵，∴，∴AB=62.5米．即楼房的高度约为62.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．16．矗立在莲花山上的邓小平雕像气宇轩昂，这是中国第一座以城市雕塑形式竖立的邓小平雕像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成，某校数学课外小组在地面的点B处测得点A的仰角∠ABC=67°，点D的仰角∠DBC=30°，已知CD=2米，求像体AD的高度．（最后结果精确到1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.4，≈1.7）【分析】在Rt△DBC有BC=求得BC的长，在Rt△ABC中由AC=BCtan ∠ABC求得AC的长，根据AD=AC﹣CD可得答案．【解答】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC=30°，且CD=2米，∴BC===2，∵在Rt△ABC中，∠ABC=67°，∴AC=BCtan∠ABC=2tan67°≈8.16，则AD=AC﹣2≈6，答：像体AD的高度约为6米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．17．如图，某校九年级数学小组为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离BD=9m，求旗杆AB的高度是多少米？（结果保留根号）【分析】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD 中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．【解答】解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴tan30°=，∴，∴AD=3m，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=3+9（m）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A、B间的距离（结果保留根号）．【分析】（1）由题意知∠QPB=60°、∠PQB=60°，从而得△BPQ是等边三角形，据此可得答案；（2）由（1）知PQ=BQ=900m，从而得AQ==600，根据∠AQB=180°﹣60°﹣30°=90°知AB==300．【解答】解：（1）相等，由图知∠QPB=60°、∠PQB=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴BQ=PQ；（2）由（1）知PQ=BQ=900m，在Rt△APQ中，AQ===600，又∵∠AQB=180°﹣60°﹣30°=90°，∴在Rt△AQB中，AB===300（m），答：A、B间的距离为300m．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB．19．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线．（1）比较∠BAD和∠DAC的大小．（2）求sin∠BAD．【分析】（1）要比较∠BAD和∠DAC的大小，只要比较它们的正弦值的大小即可，根据题目中的数据可以求得它们的正弦值，从而可以解答本题；（2）根据题目中的数据可以求得DE和AD的长，从而可以求得sin∠BAD．【解答】解：（1）过点D做AB的垂线，垂足记为E，则sin∠DAE=，sin∠DAC=，∵BC=2，AD为中线，∴BD=CD=1，∵BD＞DE，∴CD＞DE，∴sin∠DAE＜sin∠DAC，∴∠BAD＜∠DAC；（2）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线，∴BD=CD=1，AB=，∴，AD=，解得，DE=，∴sin∠BAD==．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．20．如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为45°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB、CD的高度．（结果保留根号）【分析】在Rt△CDN中，由于tan30°=，得到CD=tan30°•DN=5于是得到BD=CD=5，在Rt△ABN中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在Rt△CDN中，∵tan30°=，∴CD=tan30°•DN=5，∵∠CBD=∠EMB=45°，∴BD=CD=5，∴BN=DN+BD=15+5，在Rt△ABN中，tan30°=，∴AB=tan30°•BN=5+5，∴树高AB是（5+5）米，树高CD是5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知sin∠BAH=，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．【分析】（1）根据正弦的概念求出BH的长；（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出广告牌的高度．【解答】解：（1）由题意得，sin∠BAH==，又AB=10米，∴BH=AB=5米；（2））∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10．答：广告牌CD的高度为（20﹣10）米．【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．22．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2，求得AD=2+2，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，∴∠ADB=45°，∵AB=6×=4，∴AE=2．BE=2，∴DE=BE=2，∴AD=2+2，∵∠C=90，∠CAD=30°，∴CD=AD=1+≈2.7千米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN 的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题．24．如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求斜坡AC的长；（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．【分析】过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE 和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF 中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF=BE，EF=AB=3米，设DE=x，在Rt△CDE中，CE==x，在Rt△ABC中，∵=，AB=3，∴BC=3，AC===6（米）．（2）在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，∴AF==（x﹣3），∵AF=BE=BC+CE，∴（x﹣3）=3+x，解得x=9．答：树高为9米．。
三角函数计算练习题及答案详解
三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。
函数y=Asin(ωx φ) 期末复习测试题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版含答案
第6节函数y ＝Asin(ωx+φ) 期末复习测试题一、单选题（12题）1．为了得到函数πsin(2)3y x =+的图象，可以将函数2πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位2．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（ ） A ．π12 B ．π4C ．3π4D ．11π123．设0ω>，将函数()sin 43f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数y g x 的图象.若()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ）A ．362k -，k ∈NB ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（ ） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．(,1)4π5．要得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点（ ） A ．先向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B ．先向左平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） C ．先向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）6．已知函数()2sin f x x =，为了得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需（ ）A ．先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6π个单位 B ．先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移6π个单位 C ．先将函数()f x 图象向右平移6π个单位，再将点的横坐标变为原来的12 D ．先将函数()f x 图象向右平移3π个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍7．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A π2B ，πC π2D8．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）9．已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得到cos 2y x =的图象D ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-10．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（ ）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()(01)4f x x πωω=+<<在区间()2ππ，内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．308⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．3370848⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．3748⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．3370848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，， 12．已知函数()2sin22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论（ ）①函数()f x 的最小正周期是2π； ①函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；①函数()f x 的图象关于直线π8x =对称；①函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位得到.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（4题）13．若函数π()sin(2)0,02f x A x A ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则函数()f x 的图像可由sin 2y A x =的图像向左平移___________个单位得到.14．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.15．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为__________．16．将函数3sin(2π)y x =-上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式是______．三、解答题（4题）17．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值；（3）若2x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为1-，求θ的最大值18．函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图像如图所示.（1）写出图中0x 、0y 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的13倍，横坐标不变，得到函数()g x 的图像，求方程1()2g x =在区间[,]-ππ上的解.19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,0,2A πωϕ>><）的图像如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数()g x 的图像，求当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的值域．20．已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】2ππππcos 2cos 2sin 23626y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数向左平移π4个单位得：πππsin 2sin(2).463y x x ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 2．C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ． 3．C【分析】由图象变换知识得到()()sin g x x ω=，根据3x π=时取得最大值得到362k ω=+，由单调区间长度小于等于半个周期，求出ω的范围，从而确定ω的值.【详解】由题意知，()()sin g x x ω=.当3x π=时，函数()g x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，Z k ∈.解得362k ω=+，N k ∈.因为()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-，解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 4．D【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项．【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z ππ=+∈，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高． 5．A【分析】利用两角和的余弦公式化简为4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，再由函数()cos ωϕ=+y A x 的图象变换规律得出结论．【详解】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，将函数y x 的图象上所有的点向右平移8π个单位长度得到284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，故选：A . 6．B【分析】直接利用三角函数图像变换可得.【详解】对于A ：先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到12sin 2y x =，故A错误；对于B ：先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的12，得到2sin 2y x =，再右移6π个单位，得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即为2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C: 先将函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将点的横坐标变为原来的12，得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D: 先将函数()f x 图象向右平移3π个单位，得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误；【点睛】：关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a . 7．D【分析】根据差角正弦公式展开，再由辅助角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求振幅与周期.【详解】3()sin(2)cos 2sin cos 2cos sin 2cos 2cos 226662f x x x x x x x xπππ=-+=-+=)3x π=-周期为T=22π=π.故选：D 8．D【分析】先将函数()y f x =的解析式化为()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项. 【详解】()2cos 22sin 22sin 233243f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致. 9．C【分析】先求得ϕ的值，然后根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意ππcos 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π0,2336ϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==， 所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π5ππcos cos π11266f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项说法正确. ππππ0,26662x x ≤≤≤+≤，所以函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项说法正确.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到πππ6cos 2cos 266y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项说法错误.πππ7π0,22666x x ≤≤≤+≤，所以当π5π2π,612x x +==时， ()f x 取得最小值为1-，D 选项说法正确.故选：C 10．C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C 11．D【分析】根据题意若要函数()f x 在区间()2ππ，内没有零点，由2444x ππππωωωπ+<+<+，又因为01ω<<，所以24πωππ+≤或2244ππωπππωπ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，化简即可得解.【详解】由2x ππ<<，且01ω<<， 所以2444x ππππωωωπ+<+<+，由题意可得24πωππ+≤或2244ππωπππωπ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得83ω≤或7834ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，因为01ω<<，所以308ω<≤或者3748ω≤≤，故选：D 12．B【分析】由题意知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此即可判断出答案.【详解】()2πsin22sin 1sin2cos224f x x x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，①因为2ω=，则()f x 的最小正周期πT =，结论错误.①当π8π,85x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,422x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确.①因为π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线π8x =对称，结论正确.①设()g x x ，则()πππ2442g x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误， 故选：B. 13．π12【分析】根据图像可确定π()2sin(2)6f x x =+，进而根据平移即可求解. 【详解】由图最高点可知2A =,周期2π2πT ==,所以可得最高点5π15πππ--1241246A x T ===,故π,26A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入πππ()2sin(2)=2=2π632f x k ϕϕ=⨯+⇒++，由于π02ϕ<<，故π=6ϕ，所以π()2sin(2)6f x x =+，故可由sin 2y A x =的图像向左平移π12个单位得到. 故答案为：π1214．3【分析】由两个正弦型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差π的整数倍，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可得解． 【详解】将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后， 得到sin[()]sin(6)666y x x ππωππωω=+-=+-，sin[()]2sin(6666)y x x ππωππωω=--=--，因为两个函数图象的对称轴重合， 所以()66663()k ωππωππωππ----==，k ∈Z ， 所以3k ω=，k ∈Z ，因为0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值为3． 故答案为：3． 15．π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==. 又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =. 因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以π3ϕ=. 所以，函数的解析式为π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.16．π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.【详解】解：由于3sin(2π)3sin 2y x x =-=-．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为3sin y x =-，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式为π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.17．（1）12；（2）3m π=；（3）6π-. 【分析】先对函数解析式化简， （1）直接代入求解；（2）利用图形变换和诱导公式求出m 的最小值；（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出θ的最大值.【详解】()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos sin 2sin33x x x ππ=-++12cos 22x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）1sin 2sin 66662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，得到sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，与cos 2y x =重合，所以2262m k πππ-=+，由m >0,所以当k =0时，3m π=；（3）当2x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，522666x πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，因为()f x 的最小值为1-，所以26πθ-可以取到2π-，即262ππθ-≤-，所以6πθ≤-，即θ的最大值为6π-. 18．（1）076x π=，03y =；（2）5,,,6622ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）根据正弦型函数图象性质直接可求0x 、0y 的值；（2）根据函数伸缩平移变换可得()g x ，进而可求方程的解. 【详解】（1）由正弦型函数的对称轴性质可知：2262x k πππ+=+，Z k ∈，解得：6x k ππ=+，Z k ∈，故076x π=； ()max 3f x =，故03y =；（2）由（1）及题意可得()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由1()2g x =可得1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2266x k πππ∴-=+或52266x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得6x k ππ=+或2x k ππ=+，k ∈Z ，[,]x ，①方程1()2g x =的解为5,,,6622ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19．(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图像得到A =1，741234T πππ=-=，进而求得ω，再由点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭在图像上求解；（2）利用伸缩变换得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：由图像知：A =1，741234T πππ=-=，则T π=，22T πω==， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图像上，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以732,Z 62k k ππϕπ+=+∈，解得2,Z 3k k πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由题意得()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则27,3336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，当2332x ππ+=，即4x π=时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1；当27336x ππ+=，即54=x π时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最小值12-所以()21sin ,1332g x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．(1)()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)1,22⎡⎢⎣⎭【分析】（1）结合图象和2πT ω=，求得ω的值，再根据3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数图象的变换求出()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解. 【详解】（1）由图可得：7π3π288T =-，即2π=πT ω=，则2ω=，故()()2f x x ϕ+，①3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πsin 218ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则3πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①3ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，则π2π,Z 4k k ϕ=-+∈， 又①π2ϕ≤，则π4ϕ=-，故()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）根据题意：将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，得到ππππ224444y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ①()20g x m -=，则()2g x m =，由题意可得：直线2y m =与函数()π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，又①0πx ≤≤，则ππ5π444x ≤+≤，①πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ42x +=，即π4x =时，πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()g x ⎡∈⎣，则可得：12m ≤<122m ≤<，故m 的取值范围为12⎡⎢⎣⎭.。
九年级数学期末复习001 锐角三角函数及方差
九年级数学期末复习 锐角三角函数、方差班级 姓名 学号一．锐角三角函数:1.若α为锐角，且cos α=1213,则sin α= ,tan α= . 2.已知α为锐角，且2sin α则α= . 3.在△ABC 中，∠C=90°，a=6,sinA=35,则c= ,b= . 4.若α为锐角，且2sin α=1-m,则m 的取值范围是 . 5.已知α=30= . 6.已知△ABC中，(22sin tan 0A B +=，则此三角形是 三角形.7.计算：（1）11()230(2 1.41)3---+23tan 30︒+8.在△ABC 中,∠C =90°,sin A =54,AB =15.求△ABC 的周长和tan A 的值．9.如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的高,E 为边AC 的中点,BC=14, AD=12,sinB=４５. (1)求线段DC 的长; (2)求tan ∠EDC 的值.10.如图，点C 是半圆O 的半径OB 上的动点，作PC AB ⊥于C ．点D 是半圆上位于PC左侧的点，连结BD 交线段PC 于E ，且PD PE =． (1)求证：PD 是O 的切线．(2)若O的半径为PC =设OC=x,PD 2=y.①求y 关于的函数关系式． ②当x =tan B 的值．EBCADA二．极差、方差:1.已知样本0、2、x 、4的极差是6，则样本的平均数为 .2.数据0161x -，，，，的众数为1-，则这组数据的方差是 ． 3.质检部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查，计算出甲厂的样本方差为0.99，乙 厂的样本方差为1.02，则质量比较稳定的是 _厂． 4.如图是甲、乙两地4月份下旬的 日平均气温统计图，则甲、乙两 地这10天日平均气温的方差大小关系为：S 2甲 S 2乙(填上“>” 或“<”)5.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.则下列表述错误．．的是 （ ） A.众数是80 B.中位数是75 C.平均数是80 D.极差是156.数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的 （ ） A.平均数或中位数 B.方差或极差 C.众数或频率 D.频数或众数7.我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的 （ ） A ．众数 B ．方差 C ．平均数 D ．频数8.甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛,将比赛成绩进行统计后,绘制成下图. （1）在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况； （2）已知甲队五场比赛成绩的平均分甲x =90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分乙x ； （3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的方差；（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和方差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？得分/分 甲、乙两球队比赛成绩条形统计图图1场甲、乙两球队比赛成绩折线统计图 图2得分/分场次/场。
三角函数50题精选题附答案
1. 已知方程（a 为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________.解析：属于易错题，由于限定了角的范围，所以最终答案只有一个，1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根 又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα2.函数f(x)=的值域为______________。
解析：易错题，错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而121)(-≠-=t t g ，得到错解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2122,2122 正解：⎥⎦⎤ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡---2122,11,2122 3.在△ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则∠C 的大小应为( )A ．B ．C ．或D ．或解析：遇到这类型题，首先排除两个答案，因为给定条件就是让我们去排除4.已知tana tanb 是方程x 2+3x+4=0的两根，若a ，b ∈(-)，则a+b=（ ）A ．B ．或-C ．-或D ．-解析：tana .tanb=4；tana +tanb=-3，所以tana tanb 均为负，即a ，b 都属于四象限 5.在中，，则的大小为（ ）A. B. C.D.解析：由3s i n 463c o s 41A B A B +=+=⎧⎨⎩c o s s i n 平方相加得115sin()sin 2266A B C C ππ+=∴=∴=或若C =56π， 则A B +=π6113cos 4sin 0cos 3A B A -=>∴<又1312<5366A C C πππ∴>∴≠∴= ∴选A ，实际上首先排除两个答案的6.函数为增函数的区间是……………… ( ) A.B.C.D.解析：注意x 前面系数为负7.已知且，这下列各式中成立的是（ ） A.B.C.D.解析：解法1sin β＞-cos α=sin （3π/2-α），因为β、（3π/2-α）都在二象限，sinx 二象限为减函数，所以β＜（3π/2-α）解法2：首先排除AC（为什么），由特殊值法排除B8.△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A、 B、 C、或 D、9.设cos1000=k，则tan800是（）A、 B、 C、 D、10.函数的单调减区间是（）A、（）B、C、 D、11.在△ABC中，则∠C的大小为（）A、30°B、150°C、30°或150°D、60°或150°12.若,且,则_______________.13、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____14已知奇函数单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A、f(cosα)＞ f(cosβ)B、f(sinα)＞ f(sinβ)C、f(sinα)＜f(cosβ)D、f(sinα)＞ f(cosβ)15.函数的值域是．16.若，α是第二象限角，则=__________17.已知定义在区间[-p，]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0, w>0,-<j<)，其图象如图所示。
期末复习二———两角和与差的三角函数复习
期末复习二———两角和与差的三角函数复习一、复习要点：2.化特殊式子：sin cos a x b x +为一个角的一个三角函数形式，如：cos 2sin()6x x x π=+ 3.角的代换。
要学会灵活拆角，如：2()(),ααβαβ=++-()βαβα=+-等等。
4.公式的逆用和变用。
如：cos()cos sin()sin cos αββαββα---= tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβαβαβαβ+=+⋅--=-⋅+二、典型例题 23331sin ,(,),cos ,(,2),3242cos()sin()ππααπββπβααβ=-∈=∈-+例.已知求、的值例2.求值：①cos 24cos36cos66cos54-= ②tan17tan 433tan17tan 43++=sin()cos 0,tan()6212πππαααα++=-<<+例3.已知求的值。
,,)αβθαθββθααβαβ--例4.已知都为锐角，且sin +sin =sin ,cos +cos =cos .求(1)求cos(的值;(2)求的值例5求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++ 33536.cos(),sin(),0sin()45413444πππππαβαβαβ-=+=<<<<+例已知其中，求的值三、巩固练习。
1.,33αβαβαβππππ+已知sin ==且为锐角，则的值是( )510 A. B.或 C. D.以上都不对44442、已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为 （ ） A ． 1318 B ．1322 C ．722 D ．318+tan20)+tan10tan20的值是( )1114.,,tan ,tan ,tan 25855αβγαβγαβγππππ===++都是锐角，，则等于（ ） A. B. C. D.34645.sin(36)cos(54)cos(36)sin(54)______αααα+-++-=化简6.已知)0,2(π-∈x ,53sin -=x ,则tan2x= ABC 357.在中，若sinA=,cosB=-,则sinC=______513 312,cos()sin 213ππβααβαβα<<<-=+38.已知,sin()=-,求的值2459.化简:①tan70cos10(3tan 201)- ②证明:sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=11),)23sin cos 5cos sin ;(2)5αβαβαβαβαβ+=-===10.已知sin(sin(求证：(1)tan tan11.,()cos 22x f x x x x ππ-≤≤=+若求的最大值和最小值，并求出此时的值。
高一上学期期末复习三角函数1
基础训练1、下列命题中正确的是（ ）A 、第一象限角一定不是负角B 、负角是第四象限角C 、钝角一定是第二象限角D 、第二象限角一定是钝角E 、锐角是小于︒90的角F 、第一象限角一定是锐角G 、第二象限角比第一象限角大 H 、终边相同的角一定相等2、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k B Z k k A ,42|,,4|ππααππαα的关系是（ ） A 、B A = B 、B A ⊆ C 、B A ⊇ D 、以上都不对3、若三角形的两内角α、β满足0cos sin =βα，则此三角形形状是 ( )A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、不能确定4、若0cos <α，且0tan >α，则α为第_______象限角。
5、已知角α终边经过点)4,(--x P ，且cos α=53，则x =_________。
6、化简：（1）)(cos 2)sin()3sin(12απαπαπ--++-+ （2）)3tan()2sin()sin()23cos(απαπαπαπ-+-+例题剖析例1、已知α与︒240角的终边相同，判断2α和α2是第几象限角。
变：已知α是第三象限角，判断2α和α2是第几象限角。
例2、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，则扇形的弧长和面积为多少？例3、已知αtan =43，求αsin ，αcos 的值例4、已知αtan =2，求下列各式的值：（1）ααααsin 2cos 2cos 3sin 5+- （2）ααααsin cos cos 3sin 222-例5、已知点),5(x M 在角α的终边上，且1312sin -=α，求tan α的值。
例6、已知sin )3(π+x =41, 求)6(cos )34sin(2x x -++ππ的值。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________1、若角α2与︒100角的终边相同，则=α 。
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一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋(－)0－.3．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算： 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-.8．计算： 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2）()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--o o o ． 12．求值：+2sin30°－tan60°- tan 45° 13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2|．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°．18．计算：2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分） 计算：121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭o 20．（本题5分）计算：3-－12+2sin60°+11()3- 21．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分）计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan 302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分）25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭o ． 29．计算：．30．计算：32sin 453cos602︒︒+︒+-．31．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ ．33．计算 ：23tan 60sin 453tan 45cos 60︒-︒-︒+︒． 34．计算：27-3sin60°-cos30°+2tan45°．35．计算：()201273tan 3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭o 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算：tan30°cos30°+sin 260°- sin 245°tan45° 38．计算：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30° 39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°．40．计算： （1）+|sin60°﹣1|+tan45°（2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0； （2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：.43．．44．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°.45．计算： ()103116220073tan6033π-⎛⎫⎛⎫+÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭o46．计算：(－1)2 019－()－3＋(cos68°)0＋|3－8sin60°| 47．计算：(1)；(2)．48．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°.49．计算：二、填空题5012﹣tan30°+（π﹣4）0112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____．参考答案1．【解析】【分析】分别代入各特殊角的三角函数值，然后进行计算即可得.【详解】sin30°+tan60°−cos45°+tan30°==×+-+=.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键.2．－4.【解析】分析:先根据乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则逆用进行计算,然后再进行实数加减运算.详解: －12016－2tan60°＋(－)0－,原式＝－1－2×＋1－2,＝－4.点睛:本题主要考查乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则,解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.3．﹣1.5.【解析】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可. 试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45° =11234122⨯+⨯-⨯ =1.5.4【解析】试题分析：分别根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．试题解析：解：原式＝12212-⨯-点睛：本题考查的是二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质，熟知以上运算法则是解答此题的关键．5．12【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．试题解析：解：原式= 112122⨯- 12=． 6．6【解析】试题分析：按顺序依次先进行绝对值化简、0次幂计算、特殊角三角函数值、负指数幂计算，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式=3+1-212⨯+3=3+1﹣1+3=6．7．5 4【解析】试题分析：原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)0132314=-⨯++=5 48．2【解析】试题分析：先进行绝对值、二次根式的化简，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式=22122232122232 2-+⨯-+=-+-+=.9．12+【解析】试题分析：代入30°角的正弦函数值、45°角的余弦函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可.试题解析：原式 =122222 22⨯-⨯+= 1222-+= 12+ .10．（1）1；（2）．【解析】试题分析：（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．试题解析：（1）原式=22312+（）（）=1； （2）原式=243221312⨯+--=-. 11．1．【解析】试题分析：利用三角函数，分母有理化，绝对值性质计算.试题解析：()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--o o o =1+13-+333122⨯+-=1+13++32+312-=1. 12．【解析】先得出式子中的特殊角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.解：原式＝13．【解析】试题分析：此题涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．解：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°=1﹣×+× =1﹣1+ =【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值的运算．14．（1）2；（2）0.【解析】试题分析：根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案. 试题解析：（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° =22133()(3223++ =1+1=2；（2）原式=21212222⨯-⨯⨯ =0.考点：特殊角的三角函数值．15．2﹣2．【解析】试题分析：原式前两项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解：原式=2﹣4×﹣+2﹣=2﹣2．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．16．﹣3﹣．【解析】试题分析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而求出答案．解：原式=﹣2×﹣3﹣3+1+2=﹣3﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．17．1【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．考点：特殊角的三角函数值．18．-2.【解析】试题分析：分别计算特殊角三角函数值和算术平方根，然后再计算加减法.试题解析：原式=21|12⨯--+11=-2.考点：实数的混合运算.19．1．【解析】试题分析：按照实数的运算法则依次计算．试题解析：原式=1432311312-+-⨯+=--+=．考点：1．特殊角的三角函数值；2．有理数的乘方；3．零指数幂；4．负指数幂．20．3.【解析】试题分析：本题首先将各式分别进行计算，然后根据实数的计算法则进行计算.试题解析：原式－考点：实数、三角函数的计算21．1-【解析】试题分析：先计算三角函数值，零指数，负指数，开方再按照实数的运算计算即可.试题解析：原式=331223⨯+-+=3123-+=331-. 考点：三角函数值，零指数，负指数，开方.视频22．32【解析】试题分析：分别求值再进行加减运算试题解析：原式=5+32-6+1=32考点：1.特殊角的三角函数2.实数的运算233【解析】试题分析：先计算绝对值，三角函数，零指数，负指数，平方再按照实数的运算计算即可.试题解析： (()2122sin303tan45--+︒-+︒ 3 33考点：三角函数，实数的运算.24．214.【解析】试题分析：任何不是零的数的零次幂都是1，1p p a a-=.试题解析：原式=2－21()2+1－14+1－12=214. 考点：实数的计算、三角函数的计算.25．21- 【解析】试题分析：sin45°；tan60°cos30°. 试题解析：原式＝233222⨯-⨯＝123-＝21-． 考点：二次根式的计算、锐角三角函数的计算.26．－3.【解析】试题分析：sin60°1，-=；11()2--=－2.试题解析：原式=－－1=－3.考点：实数的计算.27．6323-． 【解析】试题分析：原式=222213322⨯+⨯-=6323-． 考点：实数的运算．28．12． 【解析】试题分析：原式11122=-+-+ 12=． 考点：实数的运算．视频29．2．【解析】试题分析：原式==2．考点：实数的运算．3021．【解析】 试题分析：原式=23132322++21．考点：实数的运算．31．236【解析】试题分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值得代入求值问题，因此把相应的特殊角的三角函数值代入即可.试题解析：解：原式=232+= 考点：特殊角的三角函数32．【解析】试题分析：原式21== 考点：实数的运算．33．0．【解析】 试题分析：原式211322332+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=213213+--=0=． 考点：实数的运算． 34．1．【解析】试题分析：将sin60°=2，tan45°=1，cos30°=2代入，然后化简合并即可得出答案．1+2﹣﹣1． 考点：特殊角的三角函数值．35．10【解析】试题分析：根据二次根式、特殊角三角函数值、零次幂、负整数指数幂的意义进行计算即可. 试题解析：21273tan 30(3)()3π--︒+-︒+ 333319=-⨯++ 2310=+考点: 实数的混合运算.36．23+.【解析】试题分析：根据零次幂、负整数指数幂、特殊三角函数值的意义进行计算即可.试题解析:0112014()2sin 45tan 602-+-︒+︒ 21223=+-⨯+ 23=+考点: 1.零次幂,2.负整数指数幂,3特殊三角函数值.37．【解析】【分析】根据特殊三角函数值即可求解.【详解】原式==【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记特殊三角函数值是解题关键.38．3【解析】【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°=1+2﹣（﹣1）﹣2×=3+1﹣1=3【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等考点的运算．39．﹣2﹣．【解析】【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】原式=﹣1﹣1+﹣2=﹣2﹣．【点睛】本题考查了实数的运算法则，负指数的性质，特殊角是三角函数，熟练特殊角是三角函数是解题的关键．40．(1)4-;(2)3+【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】（1）原式=2+1﹣+1=4﹣；（2）原式=3+4××=3+．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．（1）0；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；=﹣1﹣++1=0；（2）cos245°+sin60°tan45°+sin230=（）2+×1+（）2=++=．【点睛】本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．42．.【解析】分析：代入45°角的正弦函数值，结合“零指数幂的意义”和“负整数指数幂的意义”进行计算即可.详解：原式===.点睛：熟记45°角的正弦函数值、及（为正整数）是正确解答本题的关键.43．【解析】【分析】根据：分别代入计算．【详解】原式．【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答此类题目的关键是熟记特殊角是三角函数值.44．3－【解析】【分析】把60°，30°，45°的正弦，余弦，正切的值代入计算即可．【详解】解：原式＝2×－3×1×＋4×＝1－＋2＝3－【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和零指数幂的知识点，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．45．-1.【解析】分析：代入60°角的正切函数值，结合“负指数幂的意义”、“零指数幂的意义”和实数的相关运算法则计算即可.详解：原式=()3168133+÷-+-⨯=3213-+-=1-。