大一高数导数精华题

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(完整版)高等数学——导数练习题

。
y ＝阳）的图象征点 M(l，只1））处的切线方程是 y ＝；川，那么
f(l)+ f ’(1) =
。
y = x3 - 2x2 - 4x + 2 在点（1, - 3）处的切线方程是
。
= 4. 假设尸（2x2-3) (x2-4），那么 y'
产3cosx-4sinx ，那么 y’＝
。
2x- 6y+l=O 垂直，且与曲线尸｝＋3} - 1 相切的直线方程是
一．选择题
fun ！（与＋~）－ f(xo) = k ，那么 lin1 j（与＋ 2·~）－ j（岛）等于（ )
•Ax 0
~
•1'.x 0
~
A. 2k
B. k
C. .!._ k
2
f (x) =sin a -cosx，那么／（α）等于（
A. sin a
C. sin α ＋cos α
B. cos a
37. 函数 f(x) = 2x - sinx 在（－∞，＋∞）上〔 )
A . 是增函数 B . 是减函数 c . 有最大值
38. 函数 y ＝旦王的最大值为（ )
x
D . 有最小值
A. e- 1
B. e
二．填空题
C. e2
D. !Q
3
1. f'(x）是 f忡：对巾＋ l 的导函数，那么 f同的值是
y,
A. 1 个
B. 2 个
c. 3 个
D. 4 个
30. 以下求导运算正确的选项是（
A、（x ＋去问古
x
np
、
O X ／
l
’E’

大一高数练习题(打印版)

大一高数练习题（打印版）### 大一高数练习题（打印版）#### 一、选择题1. 函数 $ f(x) = x^2 + 3x - 2 $ 的导数是：- A. $ 2x + 3 $- B. $ 3x^2 + 2 $- C. $ x^2 + 3 $- D. $ 2x - 3 $2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是： - A. 0- B. 1- C. $ \frac{\pi}{2} $- D. 不存在3. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 等于：- A. $ \frac{1}{3} $- B. $ \frac{1}{2} $- C. $ \frac{1}{4} $- D. $ \frac{1}{6} $4. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是：- A. $ x > 0 $- B. $ x < 0 $- C. $ x \geq 0 $- D. $ x \leq 0 $5. 函数 $ y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 $ 的极值点是：- A. $ x = 1 $- B. $ x = 2 $- C. $ x = 3 $- D. 无极值点#### 二、填空题1. 函数 $ f(x) = \sin x + \cos x $ 的导数为 $f'(x) =________ $。

2. 函数 $ y = x^3 - 5x^2 + 6x $ 的拐点是 $ x = ________ $。

3. 定积分 $ \int_{1}^{2} (2x - 1) dx $ 的值为 $ ________ $。

4. 函数 $ y = \ln x $ 的泰勒展开式在 $ x = 1 $ 处的前三项是 $ y = ________ $。

导数典型例题(含答案)

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是个.解如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.点评导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.（1）证明：a n >α，n ∈N *；（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增；当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a .点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。

大一高数导数精华题(课堂PPT)

2 、f(设 x )在 (0 , )上有f定 (1 ) a (义 0 )，，又 x ,y (0 , )有 , f(x) yf(x )f(y )， f(x 求 )
f(x)lim f(x x)f(x)
x
x
lif m (x )f( x )f(x )f(0 )
x
x
lim f( x )f(0 )f(0 )1
1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
( C ) 0 ;(x l ) n 1 x ;(s x ) i cn x os
其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊
函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. (2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用
x
x
7
f(x)lim f(x x)f(x)
x 0
x
f(x(1x))f(x1)
lim
x
x0
x
f(x)f(1x)f(x)f(1)
lim
x
x 0
x
f(1x) f(1)
x1lim x0
x x
x
f(x)aln xC
x1f(1)a1 xf ( 1 ) f f( f1 (( x 1 1 ) )) 0 a,lf C ( n 1 x) 0 f ( 1 )
得 cg(0)
2) 利用 f (0 )f (0 ),而 f (0)xl i0 m g(xx) 0 g(0) g(0)
f (0)xl i0 m (ax2bx x0 c)g(0)b
得
bg (0)
13
a2xb xc, x0
f(x) g (x ),
x 0

导数大题专题及答案

导数大题专题题型一．求含参数的单调性问题一．讨论是否存在极值点问题1.求f(x)=e x -ax+1的单调区间2. 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.2()1x a f x x +=+a R ∈()f x (1,(1))f 12y x b =+,a b ()f x3. 设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.二．讨论极值点的大小关系问题1．设0>a 且a ≠1，函数x a x a x x f ln )1(21)(2++-=. （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率；（2）求函数)(x f 的极值点。

，3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x2. 已知函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值。

3.（本小题13分）设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ；（Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．4. 已知函数2()()x kf x x k e =-。

求()f x 的单调区间；22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈a R ∈0a =()(1,(1))y f x f =在点23a ≠()f x ()f x 2(41)43ax a x a -+++e x (1)f x ()f x三．讨论极值点和定义域问题1．已知函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调区间2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22x x (k ≥0)。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．6．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.7．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=．两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=．令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=．又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=，分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==，所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=，所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥，因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044，所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a-<<<-，所以βα-> 所以21x x->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011x xx x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax ax =-++++21x x ->5．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 6．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2- 【解析】【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.(1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-.当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 7．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故要准备的礼品大致为73a b +元. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值. (1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)()()()()221422(0)e e xxmx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦(2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min242()2,()1e em mf x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立()224e 24e e m -+∴≥ 即24em ≤-，又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。

高考数学专题：导数大题专练附答案

高考数学专题：导数大题专练附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.3．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．4．对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()()G a b A a b <,,，其中()G a b ,a ，b 的几何平均数，()2a bA a b +=,为a ，b 的算术平均数.现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a bL a b a b-=-.(1)设1x >，求证：12ln x x x<-，并证明()()G a b L a b <,,；(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围. 5．已知函数()f x 满足()21bf x ax =-，0a ≠，()11f =，()02f '=-． (1)求函数()f x 的表达式；(2)若0a <，数列{}n a 满足123a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，设11n nb a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的通项公式．6．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x < 7．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 8．已知函数()ln 2=-f x ax x x ．(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间； (2)若函数2()()2=-+f x h x x x有1个零点，求a 的取值范围． 9．已知函数()()()2e 1,e 2.718xf x m x m R =-+∈≈.(1)选择下列两个条件之一：①12m =；②1m =，判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点，并说明理由；(2)已知0m >，设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求实数m 的取值范围.10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>，由()0f x '>得20x a<<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2maxf x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>. (2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>. 所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 3．(1)答案见解析 (2)211e b ≤-【解析】【分析】（1）先讨论()f x 的单调性再确定()f x 在()1,e 上的极值（2）利用极值点处的导数为求出1a =，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求b 的取值范围 (1)在区间()0,∞+上， ()11ax f x a xx-'=-=，当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()1,e 上单调递减，则()f x 在区间()1,e 上无极值；当0a >时，令()0f x '=得1x a=，在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.若11e a <<，即11e a<<，则()f x 在区间()1,e 上极小值1ln f a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭若1a ≥或10ea <≤，即11a≤或1e a≥，则()f x 在区间()1,e 上无极值 (2)因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1+xb xx-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，令()1ln 1x g x xx =+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=，当()20,e x ∈时，()0g x '<；当()2e ,x ∈+∞时，()0g x '>所以()g x 在()20,e 上单调递减，在()2e ,+∞上单调递增，所以()()22min 1e 1e g x g ==-，即211e b ≤-. 4．(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】【分析】（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数证明当1x >时，()0f x <，即可得到12ln x x x<-. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.（2）把题意转化为1112ln a a b m a b b -⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，即为1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立.令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，定义域为()0,+∞. 则()()222221111212222x x x f x x x x x ---'=--==-. 所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =，所以当1x >时，()0f x <.所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-.（*）要证()()G a b L a b <,,ln ln a ba b--，只需证ln a b <令)1t t =>，则由（*），得12ln t t t <-.所以()()G a b L a b <,,.(2)由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得ln ln 2a b a b m a b -+⋅-恒成立，即1112ln a a b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立. 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. （注：()10g =） i.当0∆>，即2m >时，易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1，所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=，不符合题意. ii.当02m <≤时，有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<，所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意. 综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围. 5．(1)2()1f x x =+或1()21f x x =-；(2)12n nb =. 【解析】【分析】（1）求出导函数，然后列方程组求得,a b ，得函数解析式；（2）由（1）得2()1f x x =+，求出{}n a 的递推关系，从而得出{}n b 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式. (1)由题意22()(1)ab f x ax '=--，所以2(1)11(0)22b f a f ab ⎧==⎪-⎨⎪=-=-⎩'，解得11a b =-⎧⎨=-⎩或212a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2()1f x x =+或1()21f x x =-；(2)0a <，则2()1f x x =+， 11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭22111n n n a a a ==++，11111222n n n n a a a a ++==+，11111(1)2n n a a +-=-， 11n n b a =-，则112n n b b +=，又111112b a =-=，所以{}n b 是等比数列，1111()222n n nb -=⨯=. 6．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析【解析】【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞ (2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 7．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】【分析】（1）由导数分析单调性后求解（2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞，由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减，当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-，设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <，又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----，令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3.8．(1)单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞ (2)0a < 或2e a = 【解析】【分析】（1）求导，因为函数()f x 再1x =处取得极值，所以f '（1）0=，解得a ，进而可得函数()f x 的解析式，再求导，分析函数()f x 的单调性．（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案. (1)()ln 2,(0)f x ax x x x =->，()ln 2f x a x a '=+-，因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以(1)ln120f a a '=+-=，所以2a =，所以()2ln 2f x x x x =-，()2ln f x x '=，故当01x <<时，所以()0f x '<，函数单调递减，当 1x >时，()0f x '>，函数单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值，所以实数a 的值为2，函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞． (2)当0a = 时，22()()2f x h x x x x=-+=-，而0x > ，此时函数无零点，不合题意；当0a <时，22()()2ln f x h x x a x x x =-+=-，()20,(0)ah x x x x'=-<> ，函数2()ln h x a x x =-单调递减，作出函数2ln ,y a x y x == 的大致图象如图：此时在2ln ,y a x y x ==的图象在(0,1) 内有一个交点，即2()ln h x a x x =-在(0,1)有一个零点；当0a >时，22()2,(0)a a x h x x x x x-'=-=>，当02a x <<时，22()0a x h x x-'=>，函数2()ln h x a x x =-递增，当2a x >时，22()0a x h x x-'=<，函数2()ln h x a x x =-递减，故2max ()()ln ()222a a ah x h a ==- ，作出函数2()ln h x a x x =-的大致图象如图此时要使函数2()()2=-+f x h x x x 有1个零点，需使得2max ()()022a ah x a ==，即022a aa =，解得2e a = ，综合上述，可知求a 的取值范围为0a < 或2e a = . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法.9．(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析(2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）若选择①，则()1x f x e x '=--，令()1x q x e x =--，由于()q x '在R 上单调递增，且()00f '=，从而可求出求出()f x '的单调区间，进而可求出()f x '的最小值非负，则()f x 无极值；若选择②，则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--，由()n x '在R 上单调递增，且()ln 20n '=，可得()f x '的单调区间，从而得其最小值小于0 ，进而可判断函数的极值，（2）令()0g x =，则可得()()()1ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx----+=--=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，即转化为10t e t --=有解，构造函数()1t h t e t -=-，由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =，从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解，即1ln ln m x x +=-，再构造函数()ln l x x x =-，利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围，从而可求出实数m 的取值范围(1)若选择①12m =，则()()2112x f x e x =-+，则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--，则()1x q x e '=-，由()q x '单调递增，且()00q '=，得()0q x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，所以当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，则()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在极小值点.若选择②1m =，则()()21x f x e x =-+，则()22x f x e x '=--.令()22x n x e x =--，则()2x n x e '=-，()n x '单调递增，且()ln 20n '=，所以()f x '在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增.又()ln 22ln 20f '=-<，()2260f e '=->，所以存在()0ln 2,2x ∈，满足()00f x '=.则()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 存在极小值点0x .(2)令()0g x =，则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >，所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-，即可转化为10t e t --=有解.设()1t h t e t -=-，则由()110t h t e -'=-<可得1t <，则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增.又()10h =，所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得. 设()ln l x x x =-，由()11l x x '=-，知()l x 在()0,1x ∈上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，又当0x +→时，()l x →+∞，则()()11l x l ≥=，所以1ln 1m +≥，得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，将问题转化为10t e t --=有解，构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题10．(1)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间；（2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.(1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x +-+-=+-== 由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．(2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e +∞。

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。

m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-2．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.3．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围4．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 5．已知函数2()ln f x x x ax =-．(1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，证明：()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<．6．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 7．已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈. (1)若1a =，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值； (2)求()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数2()ln f x a x x =+，其中a R ∈且0a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：2()1f x x x ≤+-； (3)求证：对任意的*n N ∈且2n ≥，都有：222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭．（其中e 2.718≈为自然对数的底数） 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据导函数在()1,e 上存在零点，则()0f x '=在()1,e 上有解，则有1e 2a <<，即22e a <<，得到函数()f x 的最小值，构造函数2()ln (1ln 2)4x g x x x x =--+，22e <<x ，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．(1)函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x'--=+-+=， ①0a 时，20x a ->，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<，故()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增； ②02a <<时，令()0f x '>，解得：1x >或02ax <<，令()0f x '<，解得：12ax <<，故()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭递增，在,12⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在()1,+∞递增；③2a =时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞递增；④2a >时，令()0f x '>，解得：2ax >或01x <<，令()0f x '<，解得：12ax <<，故()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a递增；综上：0a 时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，02a <<时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在,12⎛⎫⎪⎝⎭a 递减，在(1,)+∞递增；2a =时，()f x 在(0,)+∞递增；2a >时，()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 递增；(2)因为(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x'--=+-+=，又因为导函数()'f x 在(1,)e 上存在零点，所以()0f x '=在(1,e)上有解，则有1e 2a <<，即22e a <<，且当12a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当e 2ax <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以22()ln (2)ln (1ln 2)22424⎛⎫=+-+=--+ ⎪⎝⎭a a a a a f x f a a a a a ，设2()ln (1ln 2)4x g x x x x =--+，22e x <<，则()ln 1(1ln 2)ln ln 222x xg x x x '=+--+=--，则11()02g x x ''=-<，所以()g x '在(2,2e)上单调递减，所以()g x 在(2,2e)上单调递减，则()()()222e 22e e 2e 1ln 2e 2g eln g =--+=-<，所以()2e g x >-，则根据不等式的传递性可得，当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【点睛】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题． 2．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足，对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立，所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 3．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222xm g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况. (1)当1m =时，()e xf x x =+，则()e 1xf x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12xk f x '==+=，解得00x =，故()000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+，()e x g x x m '=-+， ()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10xg x ''=-≥恒成立，则()e xg x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2mh m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20mg m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000xe x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤，设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤，()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减，故()()3ln33x ϕϕ≥=-，即ln33m ≥-，所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x ++-=，令()()221ln 24x F x x x+=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x xx x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.5．(1)1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【解析】【分析】（1）()0f x ≤恒成立，等价于ln xa x ≥恒成立，即max ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x=，利用导数求出函数()g x 的最大值，即可得出答案；（2）()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，即()1212,0x x x x >>为函数ln 2y x ax =-的两个零点，即()1212,0x x x x >>为方程ln 2x a x =的两个根，由（1）知102ea <<，且1201x x <<<，则要证()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<，只需证()1212ln 2ln ln x x x x >⋅，即证2122112212ln x x x x x x ->，令12,1x t t x =>，则要证22n 1l t tt ->，令()()12ln 1t t t t t ϕ=-->，利用导数证明()min 0t ϕ>即可. (1)解：因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ≤恒成立，等价于ln xa x ≥恒成立，所以maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x =，则()21ln x g x x-'=，当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e eg x g ==，故1ea ≥，即实数a 的取值范围是1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；(2)证明：()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，即()1212,0x x x x >>为函数ln 2y x ax =-的两个零点，即()1212,0x x x x >>为方程ln 20x ax -=的两个根，即()1212,0x x x x >>为方程ln 2xa x=的两个根，由（1）知102ea <<，即102ea <<，且1201x x <<<，由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，得()1212ln ln 2x x a x x -=-，所以1212ln ln 2x x a x x -=-，要证()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<，只需证()1212ln 2ln ln x x x x >⋅，即证121212ln ln 112ln ln ln ln x x x x x x +=+>⋅，即1211222ax ax +>，即12114a x x +>，也就是121212ln ln 112x x x x x x -+>⨯-，整理得221211222ln x x x x x x ->，即证2122112212ln x x xx x x ->，令12,1x t t x =>，则要证2112ln t t t t t -=->，令()()12ln 1t t t t tϕ=-->，则()()222221122110t t t t t t t t ϕ--+'=+-==>，所以()t ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以当t >1时，12ln t t t->，故原结论成立，即()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和不等式的证明问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分离参数法，考查了转化思想，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大. 6．(1)12K K <； (2)1.【解析】【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=，设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1. 7．(1)2e 3e 1-+(2)()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在区间[]1,e 上的最大值.（2）由()'f x 对a 进行分类讨论，由此求得()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .(1)当1a =时，()()2ln 31e f x x x x x =+-≤≤，()()()'123123x x f x x x x--=+-=，所以()f x 在区间()()'31,,0,2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'3,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.()()212,e e 3e 10f f =-=-+>，所以()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2e 3e 1-+. (2)2()ln (2)(R,1e)f x a x x a x a x =+-+∈≤≤，()()()()'1222x x a af x x a x x--=+-+=，当1,22a a ≤≤时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x >递增，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()1121f a a =-+=--. 当1e,22e 2a a <<<<时，()f x 在区间()()'1,,0,2a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()',e ,02a f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()f x 递增.所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()22ln 2ln 222224a a a a a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当e,2e 2a a ≥≥时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x <递减，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()()22e e 2e 1e e 2ef a a a =+-+=-+-.所以()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.【点睛】利用导数求解函数的单调性、最值，若导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，可以考虑利用导函数的零点分布来进行分类. 8．(1)答案见解析 (2)e π-- 【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值. (1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞ 上单调递减，极值点个数为1. (2)由()()0af x g x +=，得sin 1xx a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤，因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==，令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭.又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->-所以当)e ,0xa -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用． 9．(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对参数a 进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；（2）构造函数()ln 1g x x x =-+，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所求得2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，结合累加法即可求证结果. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a xf x x x x'+=+=，①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a >时，函数()f x 在(0,)+∞上调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. (2)当1a =时，2()ln f x x x =+，要证明2()1f x x x ≤+-，即证ln 1≤-x x ，即ln 10x x -+≤，设()ln 1g x x x =-+，则1()xg x x-'=，令()0g x '=得，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<．所以()(1)0g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，故2()1f x x x ≤+-. (3)由（2）可得ln 1≤-x x ，（当且仅当1x =时等号成立），令211x n=+，1,2,3,n =，则2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，故2211ln 1ln 123⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (222)111ln 123n ⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭…21111223n +<++⨯⨯…()11n n +-1111223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11111lne 1n n n ⎛⎫+-=-<= ⎪-⎝⎭，即222111ln[111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211]lne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (21)1e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.10．(1)单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间为(22)-， (2)542542a -<<+ 【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．(1)由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=，解得12x =-，12x =，所以当2x >或2x <-时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间为(22)-，. (2)由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，又(2542f -=-2542f =+所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a 有三个不等实根.。

完整版)高等数学——导数练习题

完整版)高等数学——导数练习题高等数学——导数练题一．选择题1.若 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x+2\Delta x)-f(x)}=k$，则$k=$（）。

A。

$2$ B。

$k$ C。

$k$ D。

以上都不是2.若 $f(x)=\sin\alpha-\cos x$，则 $f'(a)=$（）。

A。

$\sin\alpha$ B。

$\cos\alpha$ C。

$\sin\alpha+\cos\alpha$ D。

$2\sin\alpha$3.$f(x)=ax^3+3x^2+2$，若 $f'(-1)=4$，则 $a$ 的值等于（）。

A。

$4$ B。

$10$ C。

$13$ D。

$16$4.函数 $y=x\sin x$ 的导数为（）。

A。

$y'=2x\sin x+x\cos x$ B。

$y'=\dfrac{\sin x}{2x}+x\cosx$ C。

$y'=\dfrac{\sin x}{x}+\cos x$ D。

$y'=-x\cos x$5.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数为（）。

A。

$y'=2x\cos x-x^2\sin x$ B。

$y'=2x\cos x+x^2\sin x$ C。

$y'=x^2\cos x-2x\sin x$ D。

$y'=x\cos x-x^2\sin x$6.函数 $y=\dfrac{1}{x^2+a}$ 的导数为 $-\dfrac{2x}{(x^2+a)^2}$，那么 $x$ 等于（）。

A。

$a$ B。

$-a$ C。

$\sin x$ D。

无法确定7.函数 $y=\dfrac{xcosx+\sin x}{2x}$ 的导数为（）。

A。

$y'=\dfrac{x\sin x-\cos x}{x^2}$ B。

$y'=\dfrac{2x\cosx-\sin x}{x^2}$ C。

高中数学导数精选题目(附答案)

高中数学导数精选题目（附答案）(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)(3)极值点与极值①极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(4)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(5)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(6)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(7)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？答：f(x)为常数函数，不具有单调性．(8)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(9)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？答：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．(10):若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？答：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．(11):若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？答：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．(12):f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？答：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．(13):函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，课本P27图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(14):函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？答：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点. x1、x3是极大值点．(15)：已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？答：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(16):导数为0的点都是极值点吗？答：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(17):函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？答：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．(18):若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？答：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)ma x.(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)mi n.1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()2．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y ＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为________________．3．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．4．试证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上是单调递增函数．5．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2l n x.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．6．求函数f(x)＝e xx－2的单调区间．7．已知函数f(x)＝x3－a x－1.讨论f(x)的单调区间．提示：由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或f′(x)<0的解集即可．8．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x; (2)y＝ln x x.10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.11．已知f(x)＝x3＋3a x2＋b x＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．12．已知f(x)＝a x3＋b x2＋c x(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．13．求函数f(x)＝x3－3a x＋b(a≠0)的极值．提示：分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．14．设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值15．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝x2－54x(x<0)．16．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝12x＋S i n x，x∈[0,2π]．17．已知函数f(x)＝(4x2＋4a x＋a2)x，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．18．已知函数f(x)＝a x3－6a x2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．19．已知f(x)＝x l n x，g(x)＝－x2＋a x－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．提示：2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求a的取值范围．(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)ma x(或≤f(x)mi n);(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)mi n(或≤f(x)ma x)；(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)mi n≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));(4)f (x )≥g (x )恒有解⇔F (x )ma x ≥0(其中F (x )＝f (x )－g (x ))． 20．设函数f (x )＝x e x－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋1＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1.解： (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正；当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．2.解析：选D 因为函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f ′(x )<0.解析：由f ′(x )的图象可知，当x ∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f ′(x )<0.故函数f (x )的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．3.解：由于f (x )＝e x －x －1，所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x <1，即f ′(x )＝e x －1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．4.证明：由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 由于0<x <2，所以l n x <l n 2<1，故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，即函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是单调递增函数. 5.解： (1)函数的定义域为R ，∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )>0，解得x >1或x <13.因此f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞)．令f ′(x )<0，解得13<x <1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33，又x >0，∴x >33；令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33，又x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.6.解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3). 7.解： f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3.当x >3a 3或x <－3a3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数．当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．8.解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.即实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.(5)∵f(x)＝x3－a x－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0,3)．9.解：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4 e2.(2)函数y＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－ln xx2.令y′＝0，即1－ln xx2＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：由表可知，当x＝e时，函数有极大值1 e.10.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝143，f(x)极小值＝－6.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2(x2＋1)－4x2 (x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可以看出：当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1. 11.解： ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0，且f ′(x )＝3x 2＋6a x ＋b ，∴⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． ②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.12.解：f ′(x )＝3a x 2＋2b x ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点，∴x ＝±1是方程3a x 2＋2b x ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点.13.解： f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ，极小值为f (a )＝－2a a ＋b .14.解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m,1＋m)．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.15.解：(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18.所以f(x)ma x＝2，f(x)mi n＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2.令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值，故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．16.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，因为f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，所以f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12， x ＝1时，f (x )取最大值为2. (2)f ′(x )＝12＋co S x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π 17.解： (1)当a ＝－4时，f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，此时15<－a 10≤45，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)＝8时没有符合题意的a 值，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上知，a ＝－10.18.解：由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．f ′(x )＝3a x 2－12a x ＝3a x (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.19.解： (1)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝l n x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )mi n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)2x l n x ≥－x 2＋a x －3，则a ≤2l n x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2l n x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增；所以h (x )mi n ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )mi n ＝4，即a 的取值范围是(－∞，4]． 20.解：(1)∵a ＝1， ∴f (x )＝x e x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＋2＝x e x －12x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)， ∴当－1<x <0时，f ′(x )<0; 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －a ＋22x ≥0，当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22恒成立．记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )是减函数，当x >1时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴a＋22≤e，得a≤2e－2.即a的取值范围是(－∞，2e－2]．。

高数偏导经典60道题

1. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c2.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y令x y =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dx du=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y=cy.3．dx dy =y x xy y321++ 解：原方程为：dx dy =yy 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. x dx dy -y+22y x -=0解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du211u -du=sgnx x 1dx arcsin x y=sgnxln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x ccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =y ey 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c. 9. dx dy=e y x -解：原方程为：dx dy=e x e y -e y =ce x10dx dy=(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du-1=u 2211u +du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c 11y xy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x y x yy x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然12. dx dy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15: dx dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dx dy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).1、y y x '+='13解：令t p y dx dy 1=='=，则23311t t t t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，从而()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰223231223，于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 223223. 2、()0133='--'y x y 解：令tx p y dx dy =='=，则()()0133=--tx x tx ，即t t t t x 1123-=-=，从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎰⎰1122 ()c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰2412 c tt t ++-=1215225，于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t t x 121521252. 3、y e y y ''=2解：令p y dxdy ='=，则p e p y 2=，从而()c e pd p x p +=⎰21 ()c dp e p pe p p p ++=⎰221 =()⎰++c dp pe e p p 2 ()c e p p ++=1，于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p p ey y c e p x 21, 另外，y=0也是方程的解.4、()a y y 212='+, a 为常数解：令ϕtg y dx dy ='=，则ϕϕϕ222cos 2sec 212a a tg a y ==+=，从而()c ad tg c dy p x +=+=⎰⎰ϕϕ2cos 211 c a c d a ++-=+-=⎰⎰22cos 14cos 42ϕϕϕ ()c a ++-=ϕϕ2sin 2，于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++-=ϕϕϕ2cos 22sin 2a y c a x . 5、='+22y x 1 解：令t p y dxdy cos =='=，则t t x sin cos 12=-=，从而()c t td y +=⎰sin cos c dt t c tdt ++=+=⎰⎰22cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4121，于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩⎪⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin .6、()()2221y y y '-=-' 解：令yt y ='-2，则11-='-yt y ，得tt y 1+=，所以()()dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-='=-，从而c tc dt t x +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰112，于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11，因此方程的通解为c x c x y -+-=1.习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+221 4．xyx y dx dy -= 解：两边同除以x ，得x yx y dx dy -=1令u xy = 则dx du x u dx dy +=即dx du x u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。

(完整word版)高等数学——导数练习题

一．选择题1.若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于( ) A.k 2 B.k C.k 21D.以上都不是2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )A ．sinαB ．cosαC ．sinα+cosαD ．2sinα3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(−1)=4,则a 的值等于( )A ．319 B ．316 C ．313D ．3104.函数y =x sin x 的导数为( )A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=x x 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x5.函数y =x 2cos x 的导数为( )A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x6.函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 27. 函数y =xxsin 的导数为（）A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +8.函数y =2)13(1-x 的导数是（）A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x9.已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数10.函数y =sin 3（3x +4π）的导数为（）A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）11.函数y =cos （sin x ）的导数为（）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos13.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（）A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=014.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（）A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x15.函数y =lncos2x 的导数为（）A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x16.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A. 21>-<b b ，或B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )x e x x f )3()(-=A. B.(0,3) C.(1,4) D. 18.函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为（）A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln aD ．（x －1）xx a22-ln a19.函数y =sin32x 的导数为（）A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．421.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A.2B.3C.4D.525.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2) 26.函数()323922y x x x x =---<<有（）A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大 27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（）A.0>aB.0<a)2,(-∞),2(+∞C.1=aD.31=a 28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．029.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 30.下列求导运算正确的是（） A 、3211)1(xx x -='+B 、(log 2x )′=1xln2C 、(x 2cosx )′=−2xsinxD 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3y x x =+的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（）A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2134.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．436.函数xx y 142+=单调递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞37.函数在上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 38.函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 二．填空题1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。

大一高数题库及答案详解

大一高数题库及答案详解在高等数学的学习过程中，题库和答案详解是学生复习和巩固知识点的重要工具。

以下是一份大一高数题库及答案详解的示例内容：一、极限1. 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

解：根据极限的定义，当 $x$ 趋近于0时，$\sin x$ 和$x$ 的比值趋近于1。

因此，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

2. 求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{2x^2 + x}$。

解：分子和分母同时除以 $x^2$，得到 $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}}$。

当$x$ 趋近于无穷大时，$\frac{2}{x}$ 和 $\frac{1}{x^2}$ 都趋近于0，所以极限为 $\frac{3}{2}$。

二、导数1. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$ 的导数。

解：根据导数的定义，$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。

2. 求函数 $y = \ln(x)$ 的导数。

解：自然对数函数的导数是 $\frac{1}{x}$，所以 $y' =\frac{1}{x}$。

三、积分1. 求定积分 $\int_0^1 x^2 dx$。

解：首先求原函数，$F(x) = \frac{x^3}{3}$。

然后计算 $F(1) - F(0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$。

2. 求不定积分 $\int \frac{1}{x} dx$。

解：这是一个对数函数的积分，结果为 $\ln|x| + C$。

四、微分方程1. 解微分方程 $y'' - 2y' + y = 0$。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，下面哪个选项是其导函数？A. f'(x) = 2x + 3B. f'(x) = 2x + 6C. f'(x) = x^2 + 3x + 2D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 32. 已知函数 f(x) 连续，则 f(x) = 3x 的解集为：A. x ∈ RB. x = 3C. x = 0D. x = -33. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4，求其极值点。

A. (1, 6)B. (-1, -3)C. (0, 4)D. (2, 2)二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。

三、解答题1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。

答案解析：一、选择题1. A解析：由 f(x) = x^2 + 3x + 2，对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。

2. A解析：由 f(x) = 3x，函数 f(x) 直接写出，解集为整个实数集 R。

3. B解析：求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3，令 f'(x) = 0 解得 x = -1，代入原函数求得 y = -3，故极值点为 (-1, -3)。

二、计算题1. 首先，通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。

2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。

导数大题经典练习及答案

导数大题专题训练1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.5、已知函数(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．6、已知函数．(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.(Ⅱ)当，，由得.①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值. .由于因此，②当，，因此上单调递增，所以，……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，设，则，易知，当且仅当时取到，但从而可知对一切，都有成立.2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，所以实数a的取值范围是.（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；②当a＞0时，（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.综上，当时，函数f (x)没有极值点；当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.4．解：. (Ⅰ)，解得.(Ⅱ).①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故.②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，，，所以，，，综上所述，.5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是(Ⅱ)，由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得；所以a得取值范围是(Ⅲ)依题意得，则由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以解得所以b得取值范围是6、解：(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，∴函数在处取得极大值．………3分∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．(2)不等式，即为，记∴，…9分令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。

大一高数导数例题

大一高数导数例题高等数学是本科教育中一门重要的学科，它涉及到大量的基础理论及其应用，其中导数是学习高等数学过程中非常重要的一部分。

导数计算有很多方法可以解决，学习者要根据实际情况进行选择，不能仅仅依赖一种计算方法。

以下是一些以大一高数导数为核心的例题，希望能够帮助学习者更好地理解并掌握高数导数知识点。

例一：已知函数f(x)=x^2(x-2)+1，求f′(x)的值解：f′(x)=[2x(x-2)+1]+(x^2-2)=2x^2-4x+1例二：函数f(x)=cosx+sinx，求f′(x)的值解：f′(x)=sinx+cosx例三：已知函数f(x)=x^4+x^2-6x，求f′(x)的值解：f′(x)=4x^3+2x-6例四：已知函数f(x)=sinx-cosx，求f′(x)的值解：f′(x)=cosx+sinx例五：已知函数f(x)=2x^3+5x，求f′(x)的值解：f′(x)=6x^2+5以上是涉及大一高数导数的一些例题，供学习者参考。

在学习高等数学过程中，除了掌握上述几个基本例题之外，还要注意以下几点：一、要熟练掌握数学基础知识，如基本概念、基本公式、数学思维等，不仅要理解，还要能够记住和应用。

二、多做导数，不要总是依靠书本给的答案，多练习，多动手，让自己掌握实际的计算技巧。

三、等数学学习不仅要过程，更要完成此过程的目的，即形成正确、有效的思维。

要有自己独立思考、归纳推理的能力，从而推广应用所学知识，深入探索数学真谛。

以上就是关于大一高数导数例题的详细介绍，希望能够帮助大家更好地掌握高数导数的知识点。

通过熟悉上述几个例题，以及注意前面提到的学习重点，学习者可以更好地掌握数学中的相关知识，为今后的学习生涯打下坚实的基础。

大一高数导数练习题

大一高数导数练习题淮南联合大学基础部2008年10月第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出A×B解：如图所示A×B＝{| x?A,y?B }.2：证明：∵ P为正整数，∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时，p2＝4n2+4n+1，不能被2整除，故p＝2n。

即结论成立。

基本理论层次：习题二函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由所以命题成立得cxy?ay?ax?b即 x?ay?b，所以 x?f cy?a3：y?2?xy?y??解：4：用极限定义证明： lim2lg?0,x?0?1,x?0??n?11n??nn?11111|成立,只要n?取N＝[]，则当n>N时,就有证明：因为 ?? 有|nn??n?11n?1|?1|有定义变知lim?1成立n??nnn5：求下列数列的极限n12?22n2limnlimn??3n??n3nnnn2n2n解：? n?n,又?limn?0,所以 0?limn?0 , 故：limn ＝0n??3n??3x??33312?22n2n111由于n3n36nn111112?22n21又因为：lim?,所以：limn??6n??nn3n3因为：所以：因为：1?n111，并且lim?1,故由夹逼原理得n??nnn?16：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：一．选择题1.若limf?ff?f等于 ?k，则limx0x0xx1A.2kB.kC.kD.以上都不是22.若f=sinα－cosx，则??′ ?? 等于A．sinαC．sinα+cosα113C．3B．cosα D．2sinα1610D．33.f=ax3+3x2+2，若??′ ?1 =4,则a的值等于 A．B．4.函数y=xsinx的导数为A．y′=2xsinx+xcosxB．y′=sinx2xsinxx+xcosxC．y′=sinxx+xcosx D．y′=－xcosx5.函数y=x2cosx的导数为A．y′=2xcosx－x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx 2B．y′=2xcosx+x2sinx D．y′=xcosx－x2sinxx2?a6.函数y=的导数为0，那么x等于xA．a C．－asinx7. 函数y=的导数为xxcosx?sinxA．y′=2xxsinx?cosxC．y′=x28.函数y=B．±a D．a2xcosx?sinx2xsinx?cosxD．y′=x2B．y′=1的导数是A．6666B． C．－D．－2329.已知y=1sin2x+sinx，那么y′是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数10.函数y=sin3的导数为4）cosB．9sin2cos11.函数y=cos的导数为）D．－9sin2cosA．－［sin］cosx C．［sin］cosx B．－sin D．sin 12.函数y=cos2x+sinx的导数为A．－2sin2x+cosx2xB．2sin2x+cosx2xC．－2sin2x+13.过曲线y=sinx2xD．2sin2x－cosx2x11上点P且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为x?12A．2y－8x+7=0C．2y+8x－9=02x?32x?2C．2x?2x?3B．2y+8x+7=0 D．2y－8x+9=0123?2x?x2x?2D．2x?2x?314.函数y=ln的导数为A．B．15.函数y=lncos2x的导数为A．－tan2x C．2tanx 16.已知y?B．－2tan2x D．2tan2x13x?bx2?x?3是R上的单调增函数，则b的取值范围是3A. b??1，或b?B.b??1，或b?C. ?1?b?D. ?1?b?17.函数f?ex的单调递增区间是A. B.C. D. 18.函数y=ax22x，那么??′为A．ax22xlnaB．2ax22xC．2ax2?2x·lnaD．ax2?2xlna19.函数y=sin32x的导数为A．2·32x·ln3B．·32x·cos32x C．cos32x D．32x·cos32x20.已知曲线y?x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A．1B．2C．3D．421.曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为A．y?3x?B．y??3x?C．y??4x?D．y?4x?522.函数y?2在x?1处的导数等于A．1B．2C．3D．423.已知函数f在x?1处的导数为3,则f的解析式可能为 A．f?2?3B．f?2C．f?2D．f?x?124.函数f?x3?ax2?3x?9，已知f在x??3时取得极值，则a=A.极大值5，极小值－B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大7.三次函数f?x??ax3?x在x,???内是增函数，则A.a?0B.a?0）C.a?1D.a?128.在函数y?x3?8x的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是 A．B．C．1 D．029.函数f的定义域为开区间，导函数f?在内的图象如图所示，则函数f在开区间内有极小值点 A．1个 B．2个C．3个 D．4个0.下列求导运算正确的是A、?1?B、x=232xxC、x2cosx ′=?2x sinxD、?? ′=33??1.已知函数f=ax2＋c,且f?=2,则a的值为 A．0 B． C．－1 D．12.函数y=x3+x的递增区间是A．B． C． D．3. 函数y=x的导数为A．2xlnxB．x2lnx1C．1xlnxD．2xlnx34.设AB为过抛物线y2?2px的焦点的弦，则的最小值为A．pB．pC．2p D．无法确定35.函数y?x3?3x的极大值为m，极小值为n，则m?n 为 A．0B．1 C．2136.函数y?4x2?单调递增区间是xD．41A．B． C．D．237.函数f?2x?sinx在上A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值D．有最小值8.函数y?lnx的最大值为 x10A．e?1 B．e C．e D．二．填空题1.f?是f?13x?2x?1的导函数，则f?的值是。