余子式与代数余子式
《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式- 2 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 3 -05、计算行列式- 3 -06、矩阵中未写出的元素- 4 -07、几类特殊的方阵- 4 -08、矩阵的运算规则- 4 -09、矩阵多项式- 6 -10、对称矩阵- 6 -11、矩阵的分块- 6 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 7 -14、初等矩阵- 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -16、逆矩阵- 7 -17、充分性与必要性的证明题- 8 -18、伴随矩阵- 9 -19、矩阵的标准形：- 9 -20、矩阵的秩：- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -22、线性方程组概念- 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -25、线性方程组的向量形式- 12 -26、线性相关与线性无关的概念- 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -29、线性表示与线性组合的概念- 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -33、线性方程组解的结构- 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
代数余子式
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
一、余子式、代数余子式
练习：
a 0 0 0 a 0 1. 计算行列式 Dn 0 0 a 1 0 0
1 0 0 . a
a1 b 2. 设 D 1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
f f , 求 A11 A21 A31 A41 . f f
答案： 1. a n a n2
2014-9-28
数学科学学院 李本星
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n11
a1n a2 n
an1,1 an1,2 0 0
an1,n1 an1,n 0 1
a11 a12 a11 a12 a11 a12
a1,n1 a1,n1 a1,n1
2014-9-28
数学科学学院 李本星
称 Aij
( ai a j ) 1 j i n
注： 范德蒙行列式 Dn 0 a1 , a2
2014-9-28
an 中，至少两个相等．
数学科学学院 李本星
例3.证明：
a11 a1k 0 0 a1k b11 akk br 1 b1r brr
a11 ak 1 akk 0 0 c11 c1k b11 b1r a k1 cr 1 crk br 1 brr
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
ain Ain aik Aik
k 1
n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
anj Anj akj Akj
k 1
n
2014-9-28
数学科学学院 李本星
推论
称之为元素 a ij 的余子式,记作 M ij ．
1-2余子式与代数余子式
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
思考题
设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3 5 3
例３ 计算行列式 D 0 7 解 按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2
1 0 7 2
3
0 1 7 7
27.
5 1
例４ 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
余子式与代数余子式
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11.
在证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
故得
anj aaiijj
an, j1 0
ann 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
a11
a22 a32
a23 a33
按行按列展开
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 1 1 2 0 A11 A12 A1n 1 0 3 1 0 0
1
0
0
n!1
n j2
1 j
.
n
Def3:k阶子式的代数余子式为 (1)i1i2 L ik j1 j2L jk M 其中i1i2 L ik为k阶子式所在的行号, j1 j2 L jk为k阶 子式所在的列号
定理 (拉普拉斯定理)设n阶方阵A (aij),在det A中 任选定k行(1 k n),由这k行的所有k阶子式与之对应 的代数余子式乘积之和等与det A
4(12) 48 2
2 2 1
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
例如
a11 a12 a13 a14
0 0 a33 0
D a21 0
a22 0
a23 a33
a24 (1)31 a11
a43 a41 a42 a44 a33A33
2、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
一、余子式与代数余子式.
证 把行列式D按第 j 行展开,
第 i行
b1 Aj1 b2 Aj 2
bn ann
bn Aj n
第 j行
10
例 证明范德蒙行列式 1 1 1 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 Dn x1
1 xn
A44 (1)44 M44 M44 .
4
引理 如果n阶行列式第i 行所有元素除ai j外都为零，
那末行列式等于ai j与它的代数余子式的乘积,D=ai j Ai j． 例如
D
a11 a 21 0 a 41
a12 a 22 0 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 (1)
M12 M12
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a12
0
a11
D
a1n
0 ai n
ai1 0 0 0 ai 2 0 an1 an 2
ann
6
a11 a12
ai 1 0
a1n
0
a11 a12
0
a1n
0 ...
ai 2
an1 an2
a11 a12
... 0 0
ann
a1n
an1 an2
ann
ai n ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
线性代数第一章笔记1-4-1
−6 2 0 −5 −5 0
= ( −1)
1+ 3
−6 2 −8 2 = = 40. 0 −5 −5 −5
例2
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 证明范德蒙德
1 x1 1 x2
2 x2
L L L
1
2 x n = ∏ ( x i − x j ). n ≥ i > j ≥1 M
xn
2 Dn = x 1 M n x1 −1
L 0 L L L a i − 1 ,n 中的 L L L a nn
a1n L 0 L a nn
中的余子式 M ij .
aij a ij
L 于是有 ai − 1 , j L a nj
L 0 L 0 L L L L L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 ,n = aij M ij , L L L L L a n , j − 1 L a nn L 0 L 0 L L L L i+ j L ai − 1 , j −1 L ai − 1 ,n = (− 1) aij Mij . L an , j − 1 L L L ann
L 0 L 0 L L L L L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 ,n L L L an , j −1 L L L a nn
= (− 1)
i+ j
ai −1 , j L a nj
L 0 L 0 L L L L L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 ,n L L L an , j − 1 L L L a nn
a a ijij L i −1 j −1 D = (− 1) ⋅ (− 1) a i − 1 , j L a nj
余子式与代数余子式
例如 D
a 21 0 a 41
a 22 0 a 42
a 23 a 33 a 43
a11
a 24 0 a 44
a12 a14
3 3 1 a 33 a 21 a 22 a 24 .
a 41
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
1010
第二章 行列式
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行, 第i 2行, 第1行对调, 0 aij 0 ij
证明
D D1 D2 .
2 2
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
第二章 行列式
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
a42
a 44
9 9
第二章 行列式
证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
再证一般情形, 此时
0 2 4 2 1
4 1 3 2
6 2 12.
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
一、余子式与代数余子式
( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + L + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
得
aij L 0 L 0 ij M M M i −1 j −1 D = ( − 1) ⋅ ( − 1) a i − 1 , j L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 , n M M M anj L an , j −1 L ann
aij aij M M anj aij M = ( − 1)
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
中的余子式 M ij .
an1 L anj
aij aij
M M anj
故得 aij aij M
L
0 M M
L
0 M M
于是有 ai −1, j L ai −1, j −1 L ai −1,n = aij M ij ,
余子式与代数余子式的关系
余子式与代数余子式的关系余子式和代数余子式都是矩阵的重要概念，它们经常出现在线性代数的教学内容中。
余子式是指在一个矩阵中划去某行某列之后所形成的子矩阵的行列式，而代数余子式是余子式乘以$(-1)^{i+j}$的结果，其中$i$和$j$是余子式所在的行和列的下标。
余子式和代数余子式在矩阵的处理和计算过程中起着非常重要的作用，它们的关系也非常密切。
假设$A=(a_{ij})$是一个$n\times n$的矩阵，$M_{ij}$表示在矩阵$A$中去掉第$i$行和第$j$列所得到的子矩阵，即$$M_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots &a_{1,n}\\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots &a_{i+1,n}\\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}$$则$M_{ij}$称为$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$A_{ij}$或$A(i,j)$。
可以看出，余子式是一个$n-1\times n-1$的矩阵的行列式，因此余子式的值可以通过行列式计算公式来求得。
余子式与代数余子式
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
第6页/共14页
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
第9页/共14页
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
第10页/共14页
三、小结
1. 降阶法： 行列式按行（列）展开法则是 把高阶行列式的计算化为低阶行列式.
ai1 ain
a j1 Aj1 a jn Ajn
,
a j1 a jn
an1 ann
第5页/共14页
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行 第 j行
相同
当 i j 时,
an1 ann
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
ห้องสมุดไป่ตู้
第3页/共14页
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
元素的余子式和代数余子式
元素的余子式和代数余子式哎呀，今天我们来聊聊一个有点“高大上”的话题：元素的余子式和代数余子式。
别被名字吓到，其实说白了就是一些数学中的小技巧，听上去复杂，实际上挺有趣的。
余子式这玩意儿，简单来说就是把一个矩阵中某个元素所在的行和列去掉之后，剩下的部分的行列式。
这就像是在吃火锅时，想要单独享受一块肉，先把其他的菜都撤掉，然后好好品味那块肉的美味。
是不是感觉生活中的小细节都能和数学产生千丝万缕的联系呢？所以说，数学并不是冷冰冰的，它其实和我们日常生活中有很多相通的地方。
再说代数余子式，听上去是不是有点像外星语？其实它就是在余子式的基础上，再加上一个“正负号”的玩意儿。
想象一下，就像在一场派对上，大家都在欢声笑语，突然一个人跑出来说：“我负责买饮料！”然后他一边买一边还得对着账单笑嘻嘻。
这个账单就是我们说的代数余子式。
它不仅仅是“剩下的东西”，还得考虑这个东西是“正”的还是“负”的，哎，这可是个学问呢！而且这正负号的变化，和我们生活中的起伏波折还真有点像，有时候就是心情好，有时候就是低落，真是五味杂陈。
所以，余子式和代数余子式就像是两个好朋友，一个负责“剩下的”部分，一个则把这“剩下的”部分和情绪结合在一起。
说到这里，很多人可能就会问，哎，这些东西到底有什么用呢？其实它们在计算行列式时可是大显身手的哦！无论是求解线性方程组，还是做一些高大上的数学理论，余子式和代数余子式都是必不可少的工具。
就像我们做菜的时候，调料少了可不行，没法调出那种让人回味无穷的味道。
它们让整个过程变得更加丰富多彩，不再单调。
想象一下，假如你在考数学，考卷上突然出现一个关于余子式的问题，那可怎么办呢？别急，想象一下这是一道火锅菜谱，先把你需要的材料准备好，然后一步一步来。
第一步，把那个你要计算的元素“剁掉”，然后用余下的部分进行计算。
看，简单吧？而且就算算错了，也没关系，咱们还可以再试一次。
每次出错，都是一次学习的机会嘛！生活中的每一次失败，也都是通往成功的铺路石。
余子式和代数余子式
余子式和代数余子式：余子式和代数余子式的概念如下：在n阶行列式中，把所在的第i行与第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式叫元的余子式。
在n阶行列式中，把元素a所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式，记作M，将余子式M再乘以-1的o+e次幂记为A，A叫做元素a的代数余子式。
余子式和代数余子式的区别首先他们的指代是各不相同的，也就是行列式的阶如果越低的话就越容易计算，于是很自然的能够提出把高阶行列式转换为低阶行列式来计算；而代数余子式却指代的是n-1这类型的阶行列式。
其次是他们的特点和用处都是不同的。
通常在数学所学的线性代数当中，一个矩阵A，它的余子式（同时又称之为余因式），就是指代将A的某些行以及某些列去掉了之后，所余留下的一些方阵的行列式。
而相应的方阵在一些情况下会被称之为余子阵。
而另一种情况就是将方阵A的一行以及一列都去掉了之后，所得到的余子式，可以用来获得相应的一些代数余子式，后者这个代数余子式在计算方阵的行列式以及逆时会派上一些用场。
余子式和代数余子式的区别：指代不同、特点不同。
余子式和代数余子式区别解析指代不同余子式:行列式的阶越低越容易计算，于是很自然地提出，能否把高阶行列式转换为低阶行列式来计算。
代数余子式:在n阶行列式中，把元素ai所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式。
特点不同余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式。
代数余子式：元素的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。
余子式的定义余子式是指一个矩阵A，将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。
相应的方阵有时被称为余子阵。
又称余因式。
行列式的阶越低越容易计算，于是很自然地提出，能否把高阶行列式转换为低阶行列式来计算，为此，引入了余子式和代数余子式的概念。
在n阶行列式中，把所在的第i行与第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式叫元的余子式。
行列式的余子式和代数余子式
行列式的余子式和代数余子式
行列式的余子式是指将行列式中的某一行与某一列划去后剩余元素所组成的新的行列式。
余子式用Mij表示，其中i表示所划去的行数，j表示所划去的列数。
行列式的代数余子式是指每个元素的余子式与对应元素的符号相乘后所得到的结果。
代数余子式用Aij表示，其中i表示所对应元素的行数，j表示所对应元素的列数。
行列式的余子式和代数余子式在计算行列式的逆、伴随矩阵、特征值等方面起着重要的作用。
请注意，以上内容仅供参考，如需精确、全面的信息，请查阅相关教材或参考专业领域的参考资料。
余子式 代数余子式
余子式代数余子式余子式是矩阵理论中的重要概念，它指的是将一个矩阵的某行某列删除后得到的新矩阵的行列式。
在代数中，余子式是计算矩阵的逆矩阵和求解线性方程组中的未知数的必要工具。
首先，让我们了解一下什么是余子式。
假设我们有一个n阶方阵A，它的元素可以表示为A(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
那么，余子式A(i,j)即为将第i行和第j列从矩阵A中删除后所得到的新矩阵的行列式。
换句话说，余子式是在A中挖去一行一列后所剩下的矩阵的行列式。
余子式在代数中起着重要的作用。
首先，我们可以利用余子式来求解矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵，记作A^-1。
当我们求解矩阵的逆矩阵时，可以利用余子式来计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)，其中伴随矩阵的元素记作adj(A)(i,j)。
伴随矩阵的元素就是原矩阵的各个元素的余子式，然后再根据一定的公式将伴随矩阵转置得到逆矩阵。
因此，余子式在求解逆矩阵时起到了至关重要的作用。
其次，余子式也可以用来求解线性方程组中的未知数。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b都是n维向量。
我们可以利用余子式来求解未知数向量x的分量。
具体地说，当我们利用Cramer法则求解线性方程组时，可以将矩阵A的各个元素的余子式与向量b的某个分量相乘，然后取和，得到线性方程组的解。
尽管余子式在矩阵理论中起着重要的作用，但它的计算并不总是容易。
随着矩阵的阶数增加，求解余子式的计算量也呈指数级增长。
因此，为了简化计算，人们发展了各种各样的算法和方法。
例如，拉普拉斯展开定理可以帮助我们快速计算2阶或3阶矩阵的余子式。
总而言之，余子式是矩阵理论中的重要概念，不仅在求解矩阵的逆矩阵时起到关键作用，而且在解决线性方程组时也是必不可少的工具。
尽管求解余子式的计算量可能很大，但我们可以利用一些技巧和方法来简化计算过程。
通过深入理解和熟练掌握余子式的性质和计算方法，我们可以更好地应用它们解决实际问题，推动数学和代数学的发展。
1求行列式中元素3和4的余子式和代数余子式
1求行列式中元素3和4的余子式和代数余子式
行列式是由多行多列的元素构成的矩阵相乘的结果，其中每一行的多个数值相乘后再
求和得到的结果叫做行列式的值。
本题考察的是行列式中元素3和4的余子式和代数余子式，下面给出详细说明：
一、元素3和4的余子式
余子式是指从某个矩阵中去除某一行或者某一列后所剩下的矩阵，得到的矩阵称为余
子式，如去除第i行或第j列，得到的矩阵即叫做Ai,j。
因此，元素3和4的余子式就是去除第3列或第4行后所剩下的矩阵，也就是得到A3,4。
代数余子式是指行列式中某一元素对应的余子式，并将其带上正负号。
假设我们考察
的元素是Aij，那么它的代数余子式就是：(-1)^(i+j)Ai,j，其中i和j分别代表行标和
列标，即行列式中某元素坐标。
因此，元素3和4的代数余子式就是(-1)^(3+4)A3,4。
综上所述，元素3和4的余子式是去除第3列或第4行后所剩下的矩阵，也就是A3,4，而它的代数余子式是(-1)^(3+4)A3,4。
线性代数中的余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵、逆矩阵
代数余子式：Cij = (-1)^(i+j)Bij
代数余子式矩阵：
行列式：矩阵A任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和，比如：
d = A11C11 + A12C12 + ... + A1jC1j + ... + A1nC1n
伴随矩阵：代数余子式矩阵C的转置矩阵： 逆矩阵：E为行列式的倒数乘以伴随矩阵，即：
E = 1/d元剩下的元不改变原来的顺序所构成的n1阶矩阵的行列式称为元aij的余子式
线性代数中的余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵、逆矩阵
设有n×n矩阵A：
则Aij的余子式Bij为：划去Aij所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶矩阵的行列式称为元Aij的余子式：
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2424
第二章 行列式
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
Байду номын сангаас
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
得 D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
an1 anj ann
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1111
第二章 行列式
例
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
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44
第二章 行列式
例 计算
12300 21000
D 1 0 1 0 0.
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2121
关于代数余子式的重要性质
第二章 行列式
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
第六节 行列式按一行（列）展开
一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则
1
第二章 行列式
a11 a1k
0
例
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,第1列 对调, 得
aiijj
0
0
D
1 i1
1
a j1 i1, j
ai1, j1
ai 1,n
anj an, j1 ann
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1212
第二章 行列式
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
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1616
第二章 行列式
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 ain
a j1 A j1 a jn A jn
,
a j1 a jn
an1 ann
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例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
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99
证 当 aij 位于第一行第一列时,
a11 0 0
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
10643
02421 123
43
解 D 2 1 0
21 101
111 3 2 0 2 01 11 3 1 0 0 2 21 41 3 2
6 2 12.
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55
第二章 行列式
一、余子式与代数余子式
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
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33
第二章 行列式
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
1414
第二章 行列式
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1 ann
故得
aaiijj
0
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
2323
第二章 行列式
例 计算行列式
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
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2525
例设
3 5 2 1
1 1 0 5 D
1 3 1 3
2 4 1 3
第二章 行列式
求 A11 A12 A13 A14 及 M11 M 21 M 31 M 41
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2626
第二章 行列式
2020
第二章 行列式
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
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aiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
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1313
第二章 行列式
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
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a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
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66
第二章 行列式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
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