余子式与代数余子式

88
第二章 行列式
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
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1616
第二章 行列式
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11.
再证一般情形, 此时
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第二章 行列式
1010
第二章 行列式
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
aiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
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例
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
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77
第二章 行列式
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
得 D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
an1 anj ann
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1111
第二章 行列式
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
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22
证明
第二章 行列式
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
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例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
2525
例设
3 5 2 1
1 1 0 5 D
1 3 1 3
2 4 1 3
第二章 行列式
求 A11 A12 A13 A14 及 M11 M 21 M 31 M 41
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2626
第二章 行列式
第六节 行列式按一行（列）展开
一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则
1
第二章 行列式
a11 a1k
0
例
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
2323
第二章 行列式
例 计算行列式
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
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1313
第二章 行列式
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
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a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
a31 a32 a33
注：行列式的每一个元素都有一个余子式和代数 余子式
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p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
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44
第二章 行列式
例 计算
12300 21000
D 1 0 1 0 0.
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1515
第二章 行列式
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,, n
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
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66
第二章 行列式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
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33
第二章 行列式
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 ain
a j1 A j1 a jn A jn
,
a j1 a jn
Βιβλιοθήκη Baidu
an1 ann
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2424
第二章 行列式
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
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2121
关于代数余子式的重要性质
第二章 行列式
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
5 11 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6
2 8
2 40.
5 5 0 5
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1919
第二章 行列式
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
2020
第二章 行列式
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
1717
例
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
第二章 行列式
5 1 1 1
c1 2c3 11 1 3 1
c4 c3
0 010
5 5 3 0
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1818
第二章 行列式
10643
02421 123
43
解 D 2 1 0
21 101
111 3 2 0 2 01 11 3 1 0 0 2 21 41 3 2
6 2 12.
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55
第二章 行列式
一、余子式与代数余子式
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,第1列 对调, 得
aiijj
0
0
D
1 i1
1
a j1 i1, j
ai1, j1
ai 1,n
anj an, j1 ann
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1212
第二章 行列式
1414
第二章 行列式
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1 ann
故得
aaiijj
0
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
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2222
第二章 行列式
例 计算行列式
3 5 3 D 0 1 0
7 72
解 按第一行展开，得
1 0 0 0 0 1
D 3
5 3
7 2 72 7 7
27.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
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99
证 当 aij 位于第一行第一列时,
a11 0 0
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.