数列通项公式求法大全(配练习及答案)
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数列通项公式的几种求法
注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。
一、公式法
二、累加法
三、累乘法 四、构造法 五、倒数法
六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =
（七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈
1
*11()n n
n a a a q
q n N q
-==
⋅∈ 已知递推公式
二、累加法 )(1n f a a n n +=+
（1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n
f n =
例 1 已知数列{}
a
满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n =
例 2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n
n a n =+-）
三、累乘法 n n a n f a )(1=+
（1）()f n d = （2）()f n n =，
1
n n +，2n
例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
（(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n
n n a n a +=+⨯转化为
1
2(1)5n n n
a n a +=+，进而求出
1
32
112
21
n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅
⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题）
已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公
式。（!
.2
n n a =
） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
1
1(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出
1
3
212
2
n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅
⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、构造法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12（其中
p ，q 均为常数）。
（1）q pa a n n +=+1（构造等比）
1n n a t pa t q ++=++
1n n q t a t p a p +⎛⎫++=+ ⎪⎝
⎭
q t
t p
+= 1q t p =
-
例5 已知数列{}n a 满足134n n a a +=+
（2）()n f pa a n n +=+1
1.n n n a pa q m +=+
（2.1）构造等比数列
111n n n n n a t m pa qm t m ++++⋅=++⋅
11
1n n n n n q m t m a t m
p a p +++⎛⎫⋅+⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭
1
1()n n n n q t m m a t m
p a p ++⎛⎫
+⋅⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭
q tm
t p
+=
q t p m
=
-（当p m =时用构造成累加的形式求）
例6 已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
（125n n
n a -=+）
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n
n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n
n a -的通项公式，最后再求出数列
{}n a 的通项公式。
（2.2）够造成累加法
1.n n n a pa q m +=+
11
1n
n n n n n a a qm p p p
+++=+ 111
n
n n n n n a a qm p p p +++-=（回归到累加法 ）
例7已知数列{}n a 满足1132313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1
3n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++
， 则
11121
3333
n n n n n a a +++-=+，故 11223211
223
2111122122()()()(
)33333333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此1
1(13)
2(1)2113133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--⨯，