第6章 滤波器

( s + j )( s − j ) 1 + s2 H (s) = = ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
X
13
6.2.2 巴特沃思低通滤波器 Butterwoth
设计滤波器的一般工程方法： 设计滤波器的一般工程方法：
利用逼近理论寻找可实现的( s) =
∑a s
i =0 m i
bk s k ∑
k =0
∏ (s + z ) = ∏ (s + p )
i i k k
( ω)
α p = −20 lg H (ωc )
α s = −20 lg H (ωs )
11
X
6.2.1 概述
当系统的傅里叶变换存在时： 当系统的傅里叶变换存在时： H ∗ (ω ) = H (−ω ) 2 H (ω ) = H (ω ) H ∗ (ω ) H (ω ) = H ( s ) s = jω = H (ω ) H (−ω ) H (−ω ) = H (− s ) s = jω 2 ∴ H (ω ) = H ( s ) H (− s ) s = jω 意义:
2/2
|H(ω)| 过 渡 带 ωc ωs
通带
阻带 ω
一般设|H(ω)|的峰值等于 的峰值等于1 一般设 的峰值等于
7
X
6.1.3 滤波器的技术要求
截止频率ω 截止频率 c
1
1 2的频率
2/2
|H(ω)|
|H(ω)|下降 下降 -3dB频率 频率 一个或多个截止频率
过 渡 带 通带 ωc
20 lg(
所有极点以jω轴对称分布在巴特沃思圆上 所有极点以 轴对称分布在巴特沃思圆上 虚轴jω上无极点 n为偶数时，jω轴上无极点 为偶数时， 轴上无极点 为偶数时 n为奇数时，在s=±ωc的实轴上有两个极点 为奇数时， 为奇数时
18
极点6个 极点 个，间距 π/3
X
(3) 巴特沃思低通滤波器的传递函数
因滤波器必须是稳定的 取左s平面的全部极点作为 平面的全部极点作为H(ω)的极点 取左 平面的全部极点作为 的极点 平面是的极点属于H(-ω) 右s平面是的极点属于 平面是的极点属于 ωcn 故： H ( s ) = n ∏ (s − sk ) n为偶数时 为偶数时 H ( s) = n / 2
设计模拟滤波器的依据： 设计模拟滤波器的依据：
给定的工作损耗α 给定的工作损耗 p、αs～|H(ω)|2——幅度平方函数 频率选择性取决于传递函数|H(ω)|2 H(s) 频率选择性取决于传递函数 n H(s)必须是稳定的时不变系统 必须是稳定的时不变系统 i
实系数有理函数 分子阶数n≤分母阶数 分母阶数m 分子阶数 分母阶数 极点分布在左半s平面 极点分布在左半 平面 H(ω)有共轭对称性 有共轭对称性
保证S 保证 k＝0时， 时 H(0)=1
ω
k =1 n c
∗ ( s − sk )( s − sk ) ∏ k =1
ω ωc
最大平坦幅值滤波器
15
X
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
性能参数
衰减函数 通带衰减函数
1 α = −10 lg 2n 1 + ω ωc
ω 2 n = 10 lg 1 + ωc
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
ωc
y(t)=s(t) y(m)=s(m)
4
滤波器的截至频率
X
6.1.2 滤波器的分类
按照选频特性
低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 全通滤波器
|H(ω)| |H(ω)|
LP
ωc
|H(ω)|
HP
ω
|H(ω)|
ωc
ω
BP
ωc1 ωc2 ω
|H(ω)|
9
X
6.1.3 滤波器的技术要求
相移φ(ω) 相移
信号通过滤波器后 的相位滞后 jφ (ω) H(ω) = H(ω) e
1
2/2
|H(ω)|
过 渡 带 通带 ωc ωs 阻带 ω
相位滞后是频率的函数
群延迟τ 群延迟 g
d 相移对频率的导数(变化率 τ 变化率)： 相移对频率的导数 变化率 ：g = − φ(ω) dω
1 ) = −3dB 2
阻带 ωs ω
带宽(通带 带宽 通带)B 通带
|H(ω)|从1(0dB)下降到 从 下降到 带通滤波器上下截止频率之间的区域： = ωc2 −ωc1 带通滤波器上下截止频率之间的区域： B
1 的通频带宽度 2 (-3dB)的通频带宽度
中心频率ω 中心频率 0
带通滤波器上下截止频率的几何平均值 ω0 = ωc1 ⋅ωc2
1+ ( jωc )
1+ (
ω 2n ) ωc
1
令分母多项式＝0, 得到极点： 令分母多项式＝ 得到极点：
1+ ( s jωc )2n = 0
j( 2 k −1 π π+ ) 2n 2
2n
2n
−1 = e
π
j(
2 k −1 π) 2n
⇒ s = jωc
sk = ωc e
2n个极点均匀分布 2n个极点均匀分布 间隔 n ,第1个极点 位置 π ＋ π
2
滤波器
定 义： 滤除噪声、 滤除噪声、提取特征信息的系统 物理形式：
模拟滤波器(R、 模拟滤波器(R、L、C) (R 数字滤波器(软件算法) 数字滤波器(软件算法)
X
6.1.1 滤波器的基本原理
信号与噪声通常占据不同的频带 滤波器实质上是一种选频器件
使一种频率的信号分量(噪声 大幅度衰减 使一种频率的信号分量 噪声)大幅度衰减 噪声 使另一种频率的信号分量(信号 信号)顺利通过 使另一种频率的信号分量 信号 顺利通过 滤除噪声、 滤除噪声、获得有用信息
2n 2
17
−1
sk = ω
2k − 1 π ϕs = π+ c 2n 2 k = 1, 2,⋯ , 2n
X
(2) 巴特沃思低通滤波器的极点分布
巴特沃思圆
极点分布图
sk = ωc
2k − 1 π ϕk = π+ 2n 2 k = 1, 2,⋯ , 2n
2阶 阶
3阶 阶
极点4个 间距 极点 个，间距π/2
LP
ωc1 ωc2 ω
按滤波器元件性质
无源滤波器(R、 、 无源滤波器 、L、C) 有源滤波器(含运放 含运放) 有源滤波器 含运放
ω
5
X
6.1.3 滤波器的技术要求
理想滤波器与实际滤波器的区别
|H(ω)| |H(ω)|
过渡带 波纹度
物理上 不可实现
ωc
ω
ωc
ω
截至频率处突变 通带内幅频特性常数 阻带内幅频特性为0 阻带内幅频特性为
12
X
例题5-1 求给定滤波器的平方幅度函数的 (1 − ω 2 ) 2 最小相位滤波器的传递函数： (ω )2 = H 2
代替ω 解：以-s2代替 2，得
(1 + s ) H ( s) H (− s ) = (4 − s 2 )(9 − s 2 )
2 2
(4 + ω )(9 + ω 2 )
jω
◎j × -3 × -2 × × 0 2 3 ◎ -j
(s + j) (s − j) = ( s + 2)( s − 2)( s + 3)( s − 3)
2 2
σ
一对2重共轭零点： 一对 重共轭零点：±j 重共轭零点 两对实极点： 两对实极点：±2、 ±3 、 取左半s平面的极点 、-3 一对共轭零点±j 确定 取左半 平面的极点-2、 一对共轭零点± 平面的极点 滤波器传递函数H(s) 滤波器传递函数
通带波动∆ 通带波动
通带内最大值与最小值之差
8
X
6.1.3 滤波器的技术要求
衰减函数α 衰减函数
又称工作损耗
α = 20lg
H(0) H(ω)
2
1
2/2
|H(ω)|
过 渡 带 通带 ωc ωs 阻带 ω
= −20lg H(ω) = −10lg H(ω)
描述幅频特性的衰减程度 理想滤波器通带衰减＝ ，阻带衰减＝ 理想滤波器通带衰减＝0，阻带衰减＝∞ 实际滤波器衰减在0～ 之间 实际滤波器衰减在 ～∞之间 通带最大衰减α 阻带最小衰减α 通带最大衰减 p、阻带最小衰减 s αp = −20lg H(ωc ) αs = −20lg H(ωs )
H (ω ) = H (ω ) e jϕh (ω )
Y(ω) X(ω) S(ω) N(ω)
离散系统
y ( n) = x ( n) ∗ h( n)
Y (Ω) = H (Ω ) X (Ω)
H (Ω) = H (Ω) e jϕh ( Ω )
设计滤波器即设计合适的H(ω)，满足滤波效果
x(t)= s(t) + n(t) 或 x(n)=s(m)+n(m) h(t)或h(n)
ω 2 n s 阻带衰减函数 α |ω =ωs = 10 lg 1 + ≥ αs ωc 确定滤波器的阶数n 确定滤波器的阶数
n≥ lg 10
0.1α s
ω 2 n α p = α |ω =ωc = 10 lg 1 + c = 3dB ω c
信号分析与处理 Signals analysis & processing
第6章 滤波器
华侨大学机电及自动化学院
6.1 滤波器概述