Lagrange插值多项式

x i 1 ， 2 ， ， n ) 问题：无法求出不在表中的某点 x i( 处的函数值，因而亦无从研究函数的相关性质，如求
函数 y f (x )的零点、导数、积分等等。
插值法基本思想：
( x x y i 0 ， 1 ， 2 ， ， n ，以 ( x )近似 i)f( i) i ，
xx xx k 1 k 记 lk (x ) ， lk ( x ) ， 1 x x k x k 1 k 1 x k 则有： L x ) lk (x )y lk x )y 1( k 1( k 1； ， ij 1 即 li (xj )i j ， i， j k， k 1 ； ij 0，
p ( x y x ， j 0 ， 1 ， ， n 的 n 次多项式： n j) j f( j)
n p ( x ) a a x a x n 0 1 n 是存在且唯一的；
证明： 只要证得 系数 a ，由 pn(xj ) yj i存在唯一即可
n 1 n a0 a an1x0 anx0 y0 1x 0 n 1 n x a x a x a0 a 1 1 n 1 1 n 1 y 1 ， n 1 n a a x an1xn anxn yn 0 1n
分类：
( 1 ) 若插值点 x 位于 x ， x ， ， x —内插 0 1 n所在区间之内
注：简单函数:可用四则运算进行计算的函数,常指多项式函数、
( 2 ) 若插值点 x 位于 x ， x ， ， x —外推 0 1 n所在区间之外
分段多项式函数、有理函数；
相应插值法称为：代数插值法、分段插值、有理函数插值； 我们主要介绍插值函数为多项式的插值，相应的 ( x)称为 插值多项式，记作 p n ( x ) 。 特别： n 1 ，所求 p x )是过两点的直线 ——线性插值 1( ——抛物线插值 n2 ，所求 p x )是过三点的二次曲线 2(
y y k 1 k L ( x ) y (x x 1 k k) ——点斜式 x x k 1 k x x x x k 1 k 或 L ( x ) y y 1 k k 1 ——两点式 x x x x k 1 k k 1 k
y y x x x x x x 1 1 2 1 y y y 1 2 y y x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1
)， lk ( x ) 为线性（一次）插值基函数， 基函数法：称 lk(x 1
或称为基本插值多项式，则线性插值可以看 作线性插值基函数的线性组合。
(i)
n T 类比： R 的一组基 ( 0 , , 1 , , 0 ) ， i 1 ,2 , ,n ， i n T 则 x R ，有 x （ x , x , , x ） x 1 2 n i i。 i 1 y y n
如：若 p ( x ) 满足插值条件，则 p ( x ) ( x x 亦满足 n n i)
二、Lagrange插值多项式——
1、线性插值与抛物插值
pn ( x) 的构造
元方 由Th1知，pn ( x) 中系数的计算只需求解一个 n 1 程组，如此不但计算复杂，且难以得到 pn ( x) 的简单表达 式；下面来介绍便于使用的简单插值多项式 pn ( x) ，先看 特殊情形：
§4.1
ห้องสมุดไป่ตู้
Lagrange插值多项式
本节内容提要
插值多项式的存在唯一性 Lagrange插值多项式
线性插值、抛物插值、 Lagrange插值多项式、 插值余项、 Hermite插值
一、插值多项式 pn ( x)的存在唯一性
Th1： 已知 x x ， x 是 n 1 个互异节点 ， 则满足条件 0， 1， n
( 1 )n 1 ：已知 f( x ) y ， f( x ) y ，求 L ( x ) ， k k k 1 k 1 1 L ( x y i k ， k 1 ； 1 i) i， 即求过 ( x y )， ( x ， y ) 的直线 k， k k 1 k 1
近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似代
替原来复杂的函数。
常用寻求近似函数的方法 插值、曲线拟合
问题的提出
实际问题中，往往要研究变量之间的函数关系，但多数
情形下只能由测量或实验观察，得到一系列的数据：
x x x 0 1 x 2 x n y y y 0 1 y 2 y n
y f (x) ？ ，
1 A 1 1 由 Cramer
n i 1
x0 x1 xn
i 1 j0

x0 x1 xn
n 1 n 1
x0 x1 xn
n n

n 1
n

( xi x j ) 0
Vandermond行列式
法则 ，得证。
注：若不限定次数，则插值多项式不唯一；
n i 0
第1章 插值法 本章内容
§4.1 Lagrange插值多项式 §4.2 Newton插值多项式 §4.3 分段低次插值
逼近
—近似代替，计算法中最基本的概念和方法之一。
实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形： 函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据 或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值 函数虽然有明显的解析表达式，但是使用很不方便 需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的
其中： xi —插值节点或基点 ； f (x) —被插值函数；
已知 f( x ) 在 n 1 个节点上的值 ，求一个简单函 ( x )，
替代 f( x )，以 ( x )的性态来近似替代 f( x )的性态；
(x) — f (x)关于节点 xi的插值函数； (xi ) yi —插值条件；