数列求和.ppt PPT课件

②:
1 1 1 1 an ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 ③ : an n 1 n n 1 n an n n! (n 1)!n! ④:
1 1 1 1 an [ ] ⑤: n(n 1)( n 2) 2 n(n 1) (n 1)( n 2) 1 ⑥: a n n(n 1) 3 [n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)]
1 1 数列{cn } 的前n项和 Sn (1 2 n) n(n 1) 2 4
1 n(n 1)(2n 1) 12
2
∴
Sn Sn Sn


1 n ( n 1)( n 2) 6
二、裂项相消法 常用的消项变换有：
①:
1 1 1 an n(n 1) n n 1
二、裂项相消法 常用的消项变换有： ⑦: a n n(n 1)(n 2)
例3、求 Sn 1 2 3 2 3 4 n (n 1)(n 2) 解：由上面⑦ 知： 1 Sn {(1 2 3 4 0 1 2 3) (2 3 4 5 1 2 3 4) 4
n(4n 5) 1 1 1 1 (1 ) 4 3 2n 1 2n 3 3(2n 1)(2n 3)
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1 1 ( )] 2n 1 2n 3
三、 倒序相加法 课本等差数列前n项和 公式 S n就是用倒序相加法推导的。
例5、已知数列{a n } 是首项为1，公差为2的等差 0 1 2 n 数列，求 S n Cn a1 Cn a2 Cn a3 Cn an1 k nk 分析：注意到 Cn Cn 且当m+n=p+q时， 有： a m a n a p a q（等差数列的性质） 解： Sn C a C a C a C a
0 n 1 n n n1 1 n 2 n1 n n 2 n 3 n2 n n1
Sn C a C a C a C a
n ，又 n n1 0 n 1
0 1 n n 两式相加得： 2Sn (a1 an1)(Cn Cn Cn ) (a1 an1) 2 ∴ n1 n1 n
例6、求数列
1 3 5 7 2n 1 解：S n (1) n 2 4 8 16 2 1 1 3 5 2n 3 2n 1 Sn n 1 (2) n 2 4 8 16 2 2
1 [n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2)] 4
[n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2)]} 1 n(n 1)(n 2)(n 3) 4
例4、求
1 1 1 1 Sn 2 5 21 45 4n 4n 3
k
k 1

2
1 k n( n 1)(2n 1) 6 k 1
2
n
1 2 2 k n ( n 1) 4 k 1
3
n
例2、求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4 ， · ‥ ，1+2+3+· ‥+n，· ‥的前n项和Sn。 1 2 1 解:该数列通项 a n 1 2 3 n n n 2 2 1 1 2 c n n ，则 a n bn c n 令 bn n ， 2 2 1 2 { b } 数列 n 的前n项和 S N (1 2 2 n 2 )
1 1 an 2 解：其“通项” 4n 4n 3 (2n 1)( 2n 3) 1 1 1 ( ) 4 2n 1 2n 3
1 1 1 1 1 1 1 1 ) ∴ S n [(1 ) ( ) ( ) ( 4 5 3 7 5 9 2n 3 2n 1
Sn (a1 an1) 2 (2 2n) 2 (n 1) 2
四、错位相消法 课本推导等比数列前n项和公式的 方法。利用S n qS n可求两类数列的和，其通项分 别是： 系数是等差数列 分子是等差数列 （Ⅰ）字母是等比数列 （Ⅱ） 分母是等比数列
an t n 3 且 例1已知数列 {a n } 中， n N ,且t为常数），求 S （ t 0， n
n
分析：观察数列的通项公式，数列 {a n } 可以 n {t } 和一 “分解”为一个公比为t的等比数列 {n 3} ，因此，只要分 个公差为1的等差数列 别求出这两个数列的前n项之和，再把它们相 S n 。注意等比数列前n项和公式对 加就可得 公比q的要求，可得如下解法:
求数列前n项和是数列的重要内容， 也是一个难点。求等差（等比）数列的 前n项和，主要是应用公式。对于一些既 不是等差也不是等比的数列，就不能直 接套用公式，而应根据它们的特点，对 其进行变形、转化，利用化归的思想， 来寻找解题途径。 一、拆项转化法 n an t n 3 且 例1已知数列 {a n } 中， n N ,且t为常数），求 S （t 0 ， n
n[2 (n 3)] n(n 3) 解：当t=1时， S n n 2 2
t (1 t ) n(n 5) 当 t 1时， S n 1 t 2
n
a 总结：拆项转化常用于通项a nn 是多项式 的情况。这时，可把通项 拆成两个 （或多个）基本数列的通项，再求和。 有时也应用自然数的方幂和公式求 Sn ， n 常用的有： n( n 1)