伽玛函数
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3. Γ函数的解析性 （1）定义:在有限区域中除极点外别无其它奇 点的函数称为半纯函数. （2）Γ函数是半纯函数 （3）Γ函数在全平面除 z = 0,−1,−2,L,−n,L 这些一阶极点之外是处处解析的。
σ 1中的解析延拓。 ∞
1 例如： f1 ( z ) = ∑ z , z < 1 f 2 ( z ) = 1 − z , k =0 z < 1 : f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )
k
z ≠1
简单地说，解析延拓， 就是把已知区域内解析 的函数 推广到更大的区域上去 。或者说解析延拓就是 将解析函数 的定义域加以扩大。
的等式，在复变函数中 也均成立。
例如： sin 2 x = 2 sin x cos x → sin 2 z = 2 sin z cos z
因为sin 2 z和2 sin z cos z都是解析函数，而且他 们在实轴上相等。
二、Γ函数
1、Γ函数的定义
Γ( z ) = ∫ e −t t z −1dt Re z > 0
一.解析延拓
2.解析延拓的内唯一性定理
设f1 ( z )和f 2 ( z )在区域 G中均解析，若在 G的任一子 区域 g中f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )，则在整个区域 G中必有 f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )。 由此可见，解析函数 e z , sin z , cos z等分别由实函数 e x , sin x, cos x等唯一确定。换句话说 ，只要这些函数是 解析的，而且在实轴上 取值 e x , sin x, cos x等，那末这些 函数在整个复平面上便 只能如1.4节那样所定义。 由此定理还可推知，我 们所熟知的各种初等函 数
0 ∞
这积分又成为第二类欧 拉(Euler )积分
2. Γ函数的基本性质
(1) Γ(1) = 1 (2) Γ(z + 1) = zΓ(z) (3) Γ(n + 1) = n! N = 0,1,2….. (4) Γ(z) Γ(1- z) = π/ sinπ z (5) Γ(1/2) = π
百度文库 二、Γ函数
Mathematical Methods in Physics 武汉大学 物理科学与技术学院
第四章 解析延拓· Γ函数 Extending analytical function Γ function
一.解析延拓
1.解析延拓定义
设f1 ( z )在区域 σ 1中解析，若 f 2 ( z )在另一与区域 σ 1有重 叠部分 σ 12的区域 σ 2中解析，且在 σ 12中f 2 ( z ) ≡ f1 ( z )，则称 f 2 ( z )为f1 ( z )在σ 2中的解析延拓。同样亦 称f1 ( z )为f 2 ( z )在
σ 1中的解析延拓。 ∞
1 例如： f1 ( z ) = ∑ z , z < 1 f 2 ( z ) = 1 − z , k =0 z < 1 : f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )
k
z ≠1
简单地说，解析延拓， 就是把已知区域内解析 的函数 推广到更大的区域上去 。或者说解析延拓就是 将解析函数 的定义域加以扩大。
的等式，在复变函数中 也均成立。
例如： sin 2 x = 2 sin x cos x → sin 2 z = 2 sin z cos z
因为sin 2 z和2 sin z cos z都是解析函数，而且他 们在实轴上相等。
二、Γ函数
1、Γ函数的定义
Γ( z ) = ∫ e −t t z −1dt Re z > 0
一.解析延拓
2.解析延拓的内唯一性定理
设f1 ( z )和f 2 ( z )在区域 G中均解析，若在 G的任一子 区域 g中f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )，则在整个区域 G中必有 f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )。 由此可见，解析函数 e z , sin z , cos z等分别由实函数 e x , sin x, cos x等唯一确定。换句话说 ，只要这些函数是 解析的，而且在实轴上 取值 e x , sin x, cos x等，那末这些 函数在整个复平面上便 只能如1.4节那样所定义。 由此定理还可推知，我 们所熟知的各种初等函 数
0 ∞
这积分又成为第二类欧 拉(Euler )积分
2. Γ函数的基本性质
(1) Γ(1) = 1 (2) Γ(z + 1) = zΓ(z) (3) Γ(n + 1) = n! N = 0,1,2….. (4) Γ(z) Γ(1- z) = π/ sinπ z (5) Γ(1/2) = π
百度文库 二、Γ函数
Mathematical Methods in Physics 武汉大学 物理科学与技术学院
第四章 解析延拓· Γ函数 Extending analytical function Γ function
一.解析延拓
1.解析延拓定义
设f1 ( z )在区域 σ 1中解析，若 f 2 ( z )在另一与区域 σ 1有重 叠部分 σ 12的区域 σ 2中解析，且在 σ 12中f 2 ( z ) ≡ f1 ( z )，则称 f 2 ( z )为f1 ( z )在σ 2中的解析延拓。同样亦 称f1 ( z )为f 2 ( z )在