多元函数微分法

第十章 多元函数微分学

一、学习要点

1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。

2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。

偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数

32121z y x x u ++=∂∂(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=∂∂(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有

y

v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+= 具体情况有两种：

（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22.

的偏导数y

z x z ∂∂∂∂,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有

xy xy e y x ye x x z 222222+++=∂∂ xy xy

e

y x xe y y z 222222+++=∂∂ （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，

的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v

f y u f x v v z x u u z x z 2∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+=，23y v f x u f y z ∂∂∂∂∂∂+= 上例也可以用链式法则，有

xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=∂∂∂∂ 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数.

32121z y x x u ++=∂∂(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=∂∂(x ，z 为常数)

(2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。

3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''= ，则在t 0处曲线的

切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-

法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0

(2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或 ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为

0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x '

-='-='-000

注意：点(x 0，y 0，z 0)一定在曲线或曲面上，,,,z y x F F F '''必须是方向向量在该点处的值。

4.关于极值 了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单条件极值应用问题的方法。

可微函数z=f (x ，y)在极值点(x 0，y 0)处满足0),(),(0000='='y x f y x f y x (极值

存在的必要条件).

用拉格朗日乘数法求条件极值是重点。求函数z=f (x ，y)在条件g(x ，y)=0下的条件极值的具体步骤是：

（1）引入拉格朗日函数

F (x ，y ，)=f (x ，y )+g (x ，y )

（2）求联立方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====)0),((000

y x g F y

F x F 即∂λ

∂∂∂∂∂

的解；

（3）若上述方程组的解唯一，则其就是所求函数的最值点。若该方程组的解不唯一，可通过代入验证，以确定极大（最大）或极小（最小）值。

二、练习题 1.函数2211

y x z --=+x y arcsin 的定义域是__________ 2. 设函数z=2y

x -，则在点(2，1)处的偏导数=∂∂=∂∂y z x z ,

3..设函数z=e 2x+3y ，=∂∂∂y x z 2 。

4.如果函数z=f (x ，y)的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，那么

______________,==y

z x z ∂∂∂∂

5.点(1，0)是函数f (x ，y)=x 2 －2x +y 2+9的极______点.

6. .函数f (x ，y)在点(x 0，y 0)满足条件( )，(x 0，y 0)称为f (x ，y)的极值点.

A.0,0),(),(0000=∂∂=∂∂y x y x y f

x f

(x ，y)在点(x 0，y 0)处没有偏导数

C.在点(x 0，y 0)的某邻域内，有f (x ，y) f (x 0，y 0)

D.对定义域内的所有点(x ，y)，有f (x ，y) f (x 0，y 0) 7.以下结论正确的是( )

A.函数f (x ，y)在点(x 0，y 0)可微，则f (x ，y)的偏导数连续

B.函数f (x ，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数连续，则f (x ，y)在点(x 0，y 0)可微

C.函数f (x ，y)连续，则f (x ，y)可微

D.函数f (x ，y)在点(x 0，y 0)处的一阶偏导数存在，则f (x ，y)在点(x 0，y 0)可微

8.设函数f (x ，y)=x 2－y ，则f (xy ，x+y)=( )

－x －y B. x 2y 2－x －y C. x+y －x 2y 2 D.(x+y)2－xy

9.曲面)(xy arctg z =在点(0，0，0)处的切平面方程是( ). A. x+y+z=0 =0 C. y=0 =0

10.设二元函数)/,(y x x f z y =， 求

y z x z ∂∂∂∂,

11.设隐函数),(y x f z =由方程1)cos(=+++y x yz e 确定，求z d 。

12.求由方程12

=-++y x ze z y x 确定的隐函数),(y x f z =的全微分. 13.设)(22x y xf z -=，验证z 满足方程 211x z y z y x z x =∂∂+∂∂ 14.在曲面22y x z +=上求一点M ，使曲面在M 点处的切平面与平面0624=+-+z y x 平行.

15.求曲线t x =，2

2

t y =，t z ln =的平行于平面52=-+z y x 的切线方程.