第4章电路的过渡过程

u R3 (0 + ) = R3iC (0 + ) = 20 × (− 5) = −100 V u L (0 + ) = (R2 + R3 )iC (0 + ) + u C (0 + )
= (5 + 20 )× (− 5 ) + 25 = − 100 V
4.2 RC电路的响应
分析电路的暂态过程，就是根据激励（输入 电压或电流），通过求解电路的微分方程来得出 电路的响应（电压或电流），由于激励和响应均 为时间函数，所以这种分析方法也是时域分析。
4.1.2 换路定则和初始值的确定
1.电路的换路定则
根据电容元件电场能量和电感元件的磁场能量不能突变 的性质，可以得出在换路前后瞬间电容两端的电压和电感 元件的电流不能突变的结论，这个结论就是换路定则。
设t = 0 是电路进行换路的时刻，用t =0-表示换路前的终 止一瞬间，用t =0+表示换路后初始一瞬间。我们把电容器 电压t =0-瞬间值用uC(0-)表示，t =0+瞬间值用uC(0+)表示。 同样把电感电流t =0-瞬间值用iL(0-)表示，t =0+瞬间值用 iL(0+)表示。则换路定则的数学表达式
f(t)
0.368 τ1 τ2 τ3
f
(t
)
=
uc
(t )
=
−t
eτ
Uo
见表4-1所示。
t
f(t)=e-t/τ
表4-1 f(t)=e-t/τ 随时间而衰减表
0 1τ 2τ 3τ
1
0.368 0.135 0.0495
4τห้องสมุดไป่ตู้
0.0183
5τ
0.00674
从理论上讲，t = ∞时，才衰减为零，但实际上经历 5τ的时间，已减衰减为初始值的0.7%，可以认为放 电已结束。所以，电路的时间常数决定了放电的快 慢，时间常数越大，放电持续的时间越长。图4-5作出 了不同时间常数的三条f(t)曲线，其中，τ3>τ2>τ1。
（t>0）
电阻电压为
uR (t) =
() −t
−uC t = −U oe RC
−t
= −U oe τ
i
(t
)
=
U
R
(t
)
=
−
U
o
e
−
t RC
= −Uo
−t
eτ
R
R
R
（t>0）
(4-3) (4-4)
从以上推导中我们可以看出电容对电阻放电时，uC、 uR、i 都按指数规律变化，随着时间的增长而逐渐衰减为 零。uC(t)和i(t)的波形如图4-4所示。i 为负值表明其方向 与参考方向相反，开始放电时电流为最大，其大小为Uo/R。 电容电压在衰减过程中，其电场储能转换给电阻变为热能 而消耗。
RC电路的零输入响应曲线
电容C放电基本公式
uc (t) = uc (0+ )e−（τt t > 0）(从刚刚换路后的变化态)
τ = RC（时间常数）
时时间间常常数数：：ττ==RRCC;; ττ==LL//RR
等效电阻R：把把电电容容//电电感感拿拿掉掉空空掉掉从从电电容容
//电电感感的的两两端端看看出出去去的的等等效效电电阻阻。。 算算法法：：所所有有的的独独立立源源为为零零值值的的电电阻阻等等效效值值。。
产生过渡过程的原因主要有二条：
一．电路的换路是引起过渡过程的原因之一。所谓换 路，就是指电路的工作状态的改变，如电路的接通、断 开、短接、改接，电源电压或电路元件参数的改变等各 种运行的操作，以及短路、断路、接地等各种故障现象 的出现，都会改变电路的工作状态，统称为换路。换路 是产生过渡过程的外部条件。
实际上就是分析它的放电过程。在图4-3所示电路中，设
在开关K合上前电容C已充电到电压u
C(0-)=U
。列换路
o
后的电路方程，选择各元件的电压和电流为关联参考方
向 ，由KVL得
UR + UC = 0
将表征元件的电压与电流的瞬时表达式
uR = Ri
i = C duC dt
代入上式得
RC
duC dt
+
uC
也就是 和 1
2
( CuC2 0+
)
=
1 2
( CuC2 0−
)
1 2
( Li 2L 0+
)
=
1 2
Li 2L
(0−
)
。所以，在t
=0-和t =0+时刻电容两端的电压和电感中的电流不变，即：
uC(0+) = uC(0−) ， iL (0 +) = iL (0− ) 。
我们也可以从另一角度来证实，假定在换路瞬间即t =则0电-和容t =电0流+瞬为间iC，= 电C dd容utC →电∞压，和电电感感电电压流可uL =以L dd突itL →变∞ 的。话很， 明显这是违背了基尔霍夫定理，实际电路中是不可能。
R C p +1 = 0
所以
p =− 1 RC
() −t
uC t = Ae RC
根据电路初始条件 uC(0+) =uC(0-) =Uo可以确定常数A， 令上式中的t=0+，得
( ) uC 0 +
=
− 0+
Ae RC
= Ae 0 = A = U o
最后得电容的零输入响应电压为
() −t
−t
uC t = U oe RC = U oe τ
=
0
（4-2）
+ UC -i
(t=0)
K
-
R UR
+
图 4-3 电容放电电
iU Uo
0
t
−U0 R 图 4-4 UC、i 曲线
这就是决定RC电路零输入响应uC(t)的方程，该方程是一 阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为
uC (t ) = Ae pt
其中的A为待定系数，p 为特征根。因为该微分方程的特 征方程为
第4章 电路的过渡过程
前面几章我们所讨论的电路都是处于稳定状态， 简称稳态。所谓稳态是指电路中输入为恒定量或 按某种周期规律变化时，电路中的响应也是恒定 量或按某种周期规律变化。但当输入发生变化或 电路参数改变时，电路中状态也会随之发生变 化，这种变化的过程就是过渡过程。本章首先介 绍过渡过程的概念和换路定则然后着重研究RC和 RL电路的过渡过程，最后介绍一阶电路的三要素 法。
一．在电子技术中，往往利用电容器充、放电时过渡过程 的特性，来构成各种脉冲信号，以满足脉冲数字电路的需 要。也可以利用过渡过程来进行延时，构成各种触发器等 等。
二．在实际工作中经常对电路进行操作，如接通或者断开 电源，切除运行中的电气设备或者调整电路中的元件的参 数等等，这些操作就会引起电路中产生过渡过程。过渡过 程往往可能会使电路中产生过电压或过电流现象，其数值 可能比正常工作电压或电流大好几倍，甚至更多。这种过 电压可能使某些电子元件击穿，或绝缘损坏，这是不充许 的，研究过渡过程就是要尽量避免发生这种情况。
例 4-1 电路如图4-1所示，求换路后电容电压uC(0+)和电感 电流iL(0+)。换路前开关K闭合且电路处于稳态。
4k
( t=0)
K
8k
+
12V
iL
L
-
4k
12V
8k
iL(0-)
(a) 电路图
图 4-1 例 4-1 图
（b）t=0-时等效电路
+ uC(0-) -
解 由于换路前电路处于稳态，电容相当于开路，电感相 当于短路，作出t=0-时的等效电路如图4-1(b)所示，然后 按分压公式便可计算出电容电压为
式（4-3）与（4-4）中，τ = RC，它具有时间的量纲，称为时 间常数，反映电压和电流变化的快慢。
当t = τ 时
uc (τ)
= U oe−1
=
Uo 2.718
=
0.368U o
可见时间常数τ等于电压u C衰减到初始值U o的0.368所需
的时间，同样可以算出2τ、3τ等时间的衰减系数f(t)
uC (0− )
=
4
8 +
8
×12
=
8V
根据换路定则，换路后电容电压的初始值为
uC (0+ ) = uC (0− ) = 8V
电感电流的计算，根据4-1（b）图该电流为
iL (0 − ) =
12 4+8
= 1mA
由换路定则，换路后电感电流的初始值为
iL (0+ ) = iL (0− ) = 1mA
(2)对除uC、iL以外的电容电流、电感电压以及 电阻元件支路的电流、电压，在t =0+时刻初始 值是可以突变的，这些电流、电压的初始值不
2．t =0+时的初始值的确定
在求解电路过渡过程时，要计算电路中的电压和电流的变 化规律，就要求解电路的微分方程，这就需要根据t =0+时 刻的初始值来确定。我们分两种情况讨论。
(1)．对于电容元件的初始电压uC(0+)和电感元件的初始电 流iL(0+)，应按电路的换路定则来确定。只要能求解出换 路前t =0-时刻的电压uC(0-)和电流iL(0-)的值，就可根据式 （4-1）确定uC(0+)和iL(0+)。而求uC(0-)和iL(0-)值时，一般 可作出t =0-时的等效电路，然后根据基尔霍夫定律求解。 如果换路前电路已处于稳态，则对于直流电路在t =0-时 刻，电路中的电容相当于开路，电感相当于短路。
二．电路中具有储能元件是引起过渡过程的另一个原因。 电路的中储能元件主要是电感和电容，它们存储或释放 的能量不能发生突变，需要一个变化的过程，这是电路 产生过渡过程的充分条件。
含有储能元件的电路换路后出现的过渡过程，一般说来 经历的时间不会太长，以秒或毫秒计，虽然时间不长，但 在实际工作中意义重大。主要表现在以下两个方面。
= 5A
u C (0 − ) = R 2 iL (0 − ) = 5 × 5 = 25 V
由换路定律得
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 5 A
uC (0+ ) = uC (0− ) = 25V
t =0+时的等效电路如图4-2(b)所示，从图中可得
iC (0+ ) = −iL (0+ ) = −5A
4.1 换路定则
4.1.1 过渡过程概述
自然界事物的运动在一定条件下有一种稳定的状态，当 条件发生变化时就会过渡到另一种稳定状态。例如：电动 机在没有接上电源时处于静止状态，是一种稳定状态。当 它接上电源后，转速从零逐步上升到某一稳定值，电动机 进入了另一种稳定状态。又如RC串联电路，在接入直流 电之前，电容器两端的电压为零，当电路接入直流电源 后，电容器开始充电，电路中有电流流动，电容器极板上 由于积聚电荷而使电压逐步升高，最终电路中的充电电流 下降到零，电容器电压到达某一稳定值，在这一过程中， 电容器电压从零增长到稳定值不能瞬时完成，而需要一定 的时间，经历一个过程，这个过程就是过渡过程。一般而 言，不论是电机的转速还是电容器的电压，它们从一种稳 定状态转变到另一种稳定状态经历的变化过程，统称为过 渡过程。
的电压、电流的初始值。
例 4-2 图4-2电路中，直流电压源的电压US =50V、R1=5Ω、 R2=5Ω、R3=20Ω。电路原处于稳态。在t =0打开开关K。 试求t =0+时iL、uC、uR3、iC、uL。
( t=0)
R3
+ R1 K
Us
-
iL
R2
+ LU
-
+ uR3 -
+ uC
R2 R3
+
uL（0+）
iC
-
iL(0+)
+
uC(0+) iC（0+）
(a) 电路图 图4-2 例 4-2 图
（b）t=0+时等效电路
解 先求uC(0-)、iL(0-)，由于电路是直流激励，且换路前电路已处 于稳态，所以电感元件如同短路、电容元件如同开路即iC(0-)=0
iL (0− ) =
US R1 + R2
=
50 5+5
uC (0+ ) = uC (0− ) iL (0+ ) = iL (0− )
（4-1）
换路定则的正确性，可以从电容和电感能量不能突变
的和电磁惯性作用来说明。由于电容元件在某一时刻所储
存的电场能量与该时刻电容两端的电压平方成正比，由式 （的3磁-3场9）能可量知与W该c(时t) =通12 C过u2电(t) 感；的电电感流元平件方在成某正一比时，刻由所式储（存32电9）容可和知电感WL(储t) =存12 L的i2(t)能。量在不换变路，时即刻：Wt C=(00+-)和= WtC=(00− )+和瞬W间L (0，+ ) =由W于L (0− )
本节讨论的RC电路的响应就是研究电容器通 过电阻的充放电过程，而电容器充放电过程在实 践中应用十分广泛，如滤波电路、振荡电路、微 分电路和积分电路等。因此认识和掌握电容器的 充放电过程具有重要意义。
4.2.1 RC电路的零输入响应
所谓RC电路的零输入,是反映无电源激励，输入信号
为零。在此条件下，由电容元件的初始状态u C(0-)所产生 的响应，称为零输入响应。分析RC电路的零输入响应，
能用换路定则来求解。一般都应先按换路定则
确定电路中的uC(0+)和iL(0+)的值，再把uC(0+)视 为一个电压源，把iL(0+)视为一个电流源，然后 作出t =0+时等效电路，根据基尔霍夫定律列出t =0+时的电路方程，将uC(0+)和iL(0+)的值代入方 程中，便可解出电路中任一支路或元件换路后