专训1.6 三角函数与解三角形(新高考地区专用)(教师版)

专训1.6 三角函数与解三角形题号12345678910111213141516答案B B A C B A B D ACD AD AB BCD3223223，4453、思维导图答案速配1．（2020·贵州贵阳·高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππ C ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ 【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．2．（2020·江苏南通·高三月考）已知角α的终边经过点(1,3)，则222cos sin cos 2ααα-=（ ）.A ．178-B ．78C ．78±D ．3【答案】B【解析】因为角α的终边经过点(1,3)，所以tan 3α=，则2222222cos sin 2cos sin cos 2cos sin ααααααα--=-22222tan 2371tan 138αα--===--，故选：B. 3．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ①该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； 一．单选题（每题5分，8题，共40分） 限时：16min①该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ①该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项①正确；则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项①正确，①错误.故选:A.4．（2020·广西高三其他模拟）在ABC ∆中，4A π∠=，222a b c ab +-=，3c =，则a =（ ）A ．2 BCD ．3【答案】C【解析】222a b c ab +-=，①可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.(0,)C π∈，3C π∴=，4A π∠=，3c =，①由正弦定理sin sin a cA C=2=，解得a = 故选：C.5．（2020·福建漳州·高三其他模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos b c A a C -=⋅，则A =（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】因为在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos b c A a C -=⋅， 所以由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =⋅+⋅=+=， 因为0B π<<，所以1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=，故选：B.6．（2020·江西高三其他模拟）若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．79B ．13 C ．89D ．23【答案】A 【解析】5sin 2sin 2cos 26626ππππααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22712sin 1699πα⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭. 故选：A7．（2020·辽宁高三一模）函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到sin 2y x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D．向左平移6π个单位【答案】B【解析】由图象知1A =，374126T T πππ⎛⎫=--⇒= ⎪⎝⎭，22ππωω=⇒=， 77312212122f k πππϕπ⎛⎫=-⇒⋅+=+ ⎪⎝⎭，得2,3k k Z πϕπ=+∈， 又||2ϕπ<，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到sin 2y x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个单位即可.故选：B 8．（2020·河北石家庄·高三其他模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()(),4a b sinA sinB c sinC sinB b c +-=++=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】D【解析】根据正弦定理知()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+ 化为为()()()a b a b c c b +-=+，即222a b c bc =++，故2221cos 22b c a A bc +-==-，(0,)A π∈，故23A π=，则3sin A =． 因为4b c +=，2b c bc +≥，所以4bc ≤， 当且仅当2b c ==，等号成立， 此时ABC ∆的面积1sin 32S bc A =≤， 故ABC ∆的面积的最大值为3． 故选：D ．9．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6x π=-，则（ ）A ．点(,0)3π是函数，f （x ）的一个对称中心B ．函数f （x ）在区间(,)2ππ上无最值C ．函数f （x ）的最大值一定是4二．多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题，共20分） 限时：10minD ．函数f （x ）在区间5(,)66ππ-上单调递增 【答案】ACD【解析】由题意，得()2sin cos )f x x a x x θ=-=-，θ为辅助角，因为对称轴为6x π=-，所以()16f π-=-|1|=-，解得a =所以()4sin()3f x x π=-；故()03f π=，所以A 正确；又当232x k ππ-=+π（k ①Z ），即当526x k ππ=+（k ①Z ）时， 函数f （x ）取得最大值4，所以B 错误，C 正确；22232k x k πππ-+π<-<+π（k ①Z ）⇒52266k x k ππ-+π< <+π（k ①Z ），所以D 正确； 故选：ACD.10．（2020·福建高三其他模拟）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把曲线1C 向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线2CB ．把曲线1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2CD ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C 【答案】AD【解析】2sin 2sin 2cos 23266y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以将曲线1C ：cos y x =向左平移6π个单位长度，得cos 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x π，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；或将曲线1C ：cos y x =上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到cos 2y x =，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：AD11．（2020·高邮市第一中学高三月考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为()2,P m m -（0m ≠），则下列各式一定为负值的是（ ）A ．sin cos ααB ．tan αC ．cos sin αα-D ．cos2α【答案】AB 【解析】由题意知： (1)若m > 0时，有1sin tan2ααα===-①23sin cos ,cos sin 255ααααα=--==(2)若m < 0时，有1sin tan2ααα===-①23sin cos ,cos sin 255ααααα=--== 综上，知：一定为负值的有tan α、sin cos αα 故答案为：AB12．（2020·东营市第一中学高三月考）在ABC ∆中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若2,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC ∆的面积为8C ．ABC ∆的周长为8+D ．ABC ∆为钝角三角形【答案】BCD【解析】因为cos CDB ∠=所以sin CDB ∠==,故A 错误；设CD a =,则2BC a =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠,解得a =所以11sin 3322DBCSBD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=,所以3583ABCDBCSS +==,故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠,所以()5cos cos cos ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=, 在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得25AC =, 所以()352525845ABCCAB AC BC =++=+++=+,故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC ∆为钝角三角形,故D 正确. 故选:BCD13．（2020·广西南宁三中高三其他模拟）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆的面积是2，a =___________. 【答案】32【解析】1cos 3A =，122sin 193A ∴=-=，23b c =，且ABC ∆的面积是2， 1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12222233c c ∴=⨯⨯，322c ∴=，2b =，由余弦定理得222932192cos 2222322a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，322a ∴=. 故答案为322． 14．（2020·四川省绵阳江油中学高三月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，30B ︒=，则ABC ∆的面积为________. 【答案】32【解析】sinsin 2B C b a B +⋅=⋅，故sin sin 90sin sin 2A B A B ︒⎛⎫⋅-=⋅ ⎪⎝⎭，sin 0B ≠，三．填空题（每题5分，4题，共20分） 限时：10min故cos 2sin cos 222A A A =，cos 02A ≠，故1sin 22A =，0902A ︒︒<<，故302A︒=，60A ︒=，30B ︒=，故90C ︒=，根据正弦定理：2sin sin sin a b cA B C ===，故a =1b =，11sin 11222S ab C ==⨯=.15．（2020·浙江高三其他模拟）在ABC ∆中，角4，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0c A C =，则角C = ，若ACB ∠的角平分线交AB 于点D ，且1CD =，则ab 的最小值是______. 【答案】23π；4【解析】因为sin cos 0c A C =，所以sin sin cos 0C A A C =，又sin 0A ≠ ，可得sin 0C C +=，即tan C =， 因为0C π<<，所以23C π=. 如图，即111sin1201sin601sin60222ab b a ⨯=⨯⨯+⨯⨯整理得：ab b a =+ ，所以ab ≥2≥ 所以4ab ≥. 故答案为：23π；4.16．（2020·浙江高三其他模拟）四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，BC =5BD =，则cos BDC ∠=________，AB AC ⋅的最大值________.【答案】4530【解析】BCD 中，sin sin BD BC BCD BDC =∠∠，①3sin 55BDC ︒∠==，BDC ∠为锐角，①4cos 5BDC ∠=， ①60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，①,,,A B C D 四点共圆，①BC =①当A 到BC 的距离最大时，ABC 面积最大，此时A 是边AB 的中垂线与外接圆的交点， 设A '在BC 的中垂线上，O 是圆心，E 是BC 中点，则,,A O E '共线，A E BC '⊥，外接圆的直径为52sin sin120BD R BCD ===∠︒OA OB OC '===，又12CE BE BC ===①3OE ==，A E OA OE ''=+= 11922A BC S BC A E ''=⋅=⨯=△，又113sin sin 2210A BC S AB AC BA C A B A C BDC A B A C ''''''''=⋅∠=⋅∠=⋅△， ①3910A B A C ''⋅=，①30A B A C ''⋅=． 又113sin sin 2210ABCSAB AC BAC AB AC BDC AB AC =⋅∠=⋅∠=⋅， ①AB AC ⋅的最大值是30．故答案为：45；30。