上海高二数学期末考试试题
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.________________ ．2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．3.已知是纯虚数，是实数，则4.已知，求=5.复数的值是．6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______7.设复数，则=_____________．8.若且的最小值是_____________9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）|为直径的圆的面积为______．10.，那么以|z111.用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角的大小为_________二、选择题1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A．>B．=C．<D．=z22.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）（A）（B）（C）（D）4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交三、解答题1.（本小题满分10分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若<|z 1|，求a 的取值范围.2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。
（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小；（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.3.（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，集合，则2.若复数满足（是虚数单位），则3.已知直线的倾斜角大小是，则4.若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是5.已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为6.已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为7.函数的最小正周期8.若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数9.执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是10.已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11.某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12.各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13.已知两个不相等的平面向量，()满足||＝2，且与－的夹角为120°，则||的最大值是14.给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值二、选择题1.已知，，则的值等于（）A．．B．．C．．D．．2.已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分又不必要条件．3.若直线经过点，则（）A．．B．．C．．D．．4.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：①②③④其中所有“集合”的序号是（）A．②③．B．③④．C．①②④．D．①③④．三、解答题1.在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．2.如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是半径的中点，求线段的大小；（2）设，求△面积的最大值及此时的值．3.已知函数．（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．4.已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．5.已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若≥，，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，集合，则【答案】【解析】根据题意，由于全集，集合={x|x>3或x<-1}因此结合数轴法可知，。
上海市高二第一学期期末考试数学试卷含答案(共5套)
上海市高二第一学期期末考试数学试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1、计算=-+ii11 。
（i 为虚数单位） 2、已知向量(3,4)a =与(2,0)b =，则a 在b 方向上的投影为_______。
3、过点(1,5)A -,且以(2,1)n =-为法向量的直线的点法向式方程为_______。
4、直线y x m =+被圆221x y +=，则m =_______________。
5、已知直线032=++a y ax 和07)1(3=-+-+a y a x 平行，则a =___________。
6、椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 最大时点P 的坐标为 。
7、以抛物线x y 162=的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以()1,3-=p、()1,3=q为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。
8、如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则=S 。
9、下列四个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ?，则直线l 的倾斜角[,]44p pa ?；②直线l ：1y kx =+与以(1,5)A -、(4,2)B -两点为端点的线段相交，则4k ?或34k ?；③如果实数x y 、满足方程22(2)3x y -+=，那么yx的最大值为3；④直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ³.其中正确命题的序号是________。
10、如图2，设椭圆171622=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为 。
上海市高二上学期数学期末考试试卷含答案
第一学期高二数学期末考试试卷注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2，则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上的一点，D ，E 分别是VB ，VC 的中点，求异面直线DE 与AC 所成的角的大小为________．16、（本题8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ，D 为PB 的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A ．BC ⊥平面P ABB ．AD ⊥PCC ．AD ⊥平面PBCD ．PB ⊥平面ADC17、（本题10分）从2名男生（记为1A,2A）和2名女生（记为1B,2B）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间 ;（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;（3）若2名男生1A,2A所处年级分别为高一、高二,2名女生1B,2B所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值：(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）19、（本题12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长．参考答案注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；二、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．【答案】240【详解】抽取比例为50160012=，设该年级的女生人数是x，则男生人数为600x-，因为女生比男生少抽了10人，所以11(600)101212x x=--，解得240x=，故答案为：240.2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．【答案】0；【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该空间图形不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该空间图形不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该空间图形的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．【答案】3【解析】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA ，PB ，PC 相交于一点P ，且PA ，PB ，PC 不共面，则PA ，PB 确定一个平面PAB ，PB ，PC 确定一个平面PBC ，PA ，PC 确定一个平面PAC .4、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都是2，则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为【答案】144； 【解析】如图，连接AB 1，∵BC ∥B 1C 1，∴∠AC 1B 1就是异面直线AC 1与BC 所成的角．在△AC 1B 1中，AC 1＝AB 1＝22，B 1C 1＝2，∴cos ∠AC 1B 1＝122＝24.∴sin ∠AC 1B 1＝144. ∴异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为144. 5、如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为________．【答案】34a 【解析】延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连接GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．【答案】45＋62；【解析】 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .【答案】③；【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC ；8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0【解析】若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1，∴直线方程为y ＝x .若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2.9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．【答案】(－3，－3)【解析】如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到()24121-=n n ，解得：8n =故答案为：8；二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高【答案】A【解析】用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台，B 错误．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C 错误．立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，D 错误．12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE【答案】B【解析】∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM ∥BN ，且AM ＝BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，∴MN ∥AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B. 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-， ∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ．14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3【答案】D【解析】令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB上的一点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AC所成的角的大小为________．【答案】90°【解析】∵在△VBC中，E，D分别为VC，VB的中点，∴DE∥BC，∴异面直线DE与AC所成的角即为BC与AC所成的角，即为∠ACB＝90°.16、（本题8分）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；∴AD ⊥PC ，故B 正确． 17、（本题10分）从2名男生（记为1A ,2A ）和2名女生（记为1B ,2B ）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间Ω;（2）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”,求事件M 发生的概率;（3）若2名男生1A ,2A 所处年级分别为高一、高二,2名女生1B ,2B 所处年级分别为高一、高二,设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N 发生的概率.【答案】(1){}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ；(2)23；(3)12【详解】（1）解:由题知,样本空间Ω为{}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M 得结果数有4个；故()4263M P ==; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N 得结果数有3个；故()3162N P ==.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值： (2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）【答案】(1)0.006a =；(2)众数75；中位数76.4(1)由(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=,得0.006a =(2)50名学生竞赛成绩的众数为7080752+= 设中位数为m ,则0.040.060.22(70)0.0280.5m +++-⨯=，解得76.4m ≈ 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.419、（本题12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，求AB 的长．【解析】（1）证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)． 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E —→＝－a 2·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.（2）解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即n ·DP →＝0，a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，B 1C ，B 1E ⊂平面DCB 1A 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面DCB 1A 1即平面A 1B 1E 的一个法向量，且AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 2×1＋a 24＋a 2. ∵平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22×1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。
2.直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。
3.已知直线：与：平行，则k的值是____________。
4.直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。
（用反三角函数表示）5.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。
6.等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。
7.有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。
8.直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。
9.已知方程表示圆，则___________。
10.已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M 恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。
11.已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。
若的面积为9，则_________。
12.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。
二、选择题1.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A．B．C．D．2.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )A．B．C．D．3.给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。
其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则( )A．B．C．D．三、解答题1.已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算矩阵的乘积______________2.计算行列式=____________3.直线的倾斜角为，则的值是___________4.=___________5.已知直线与圆相切，则的值为___________6.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________7.已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________8.若向量，，且，那么的值为___________9.若直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线方程为___________10.若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________11.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________12.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________13.已知，是圆：(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为___________14.双曲线的左、右焦点分别为，，点在其右支上，且满足，，则横坐标的值是___________二、选择题1.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．2.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．123.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有( )A．B．C．D．4.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( )A．若成立，则对于任意，均有成立B．若成立，则对于任意的，均有成立C．若成立，则对于任意的，均有成立D．若成立，则对于任意的，均有成立三、解答题1.（12分）过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。
(1)求、的坐标；(2)求直线L的方程。
2.（12分）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.3.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点、的直线的斜率为______________．2.若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．3.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体中，二面角的大小为__________．8.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．9.已知球的半径为1，、是球面上两点，线段的长度为，则、两点的球面距离为 ________．10.在长方体中，已知，为的中点，则直线与平面的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为_________________．13.设实数满足则的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题1.在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（）A．B．C．D．2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．1203..（）A．B．C．1D．4.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题1.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.2.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.3.已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.4.如图，四棱柱中, 侧棱底面，，，，为棱的中点.(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）5.下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.证明：的斜率是定值；求、、、、所在直线的方程；记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．【答案】.【解析】，，则的虚部为.【考点】复数的除法.3.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．【答案】.【解析】试题分析:过作，则是的中心，连接,则,,在中，,所以.【考点】多面体的体积.4.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】.【解析】由题意，得所求圆的半径，则所求圆的标准方程为.【考点】圆的标准方程.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．【答案】.【解析】由三视图可知，该几何体是一个侧放的圆柱，底面半径为1，高为5；则该几何体的体积.【考点】三视图、圆柱的体积.6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】.【解析】设圆锥的底面半径和高为，则其母线长；所以圆锥的侧面积，底面面积，则它的侧面积与底面积的比为.【考点】圆锥的侧面积公式.7.正方体中，二面角的大小为__________．【答案】.【解析】二面角,即半平面与所成的图形，交线为,易知,所以是二面角的平面角，且，即二面角的大小为.【考点】二面角的平面角.8.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．【答案】.【解析】双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为.【考点】双曲线的性质、点到直线的距离公式.9.已知球的半径为1，、是球面上两点，线段的长度为，则、两点的球面距离为 ________．【答案】.【解析】设球心为O,连接,则是等腰三角形，且,则,所以、两点的球面距离为.【考点】两点的球面距离.10.在长方体中，已知，为的中点，则直线与平面的距离是___________．【答案】9.【解析】过作，因为，所以，则，的长度即为直线与平面的距离；在中，，；在中，，，，即直线与平面的距离为9.【考点】直线到平面的距离.11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)．【答案】590.【解析】骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法可分以下几类：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有种；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有种；1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有种；2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有种；1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有种；2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有种；由分类加法计数原理得，共有种.【考点】组合.12.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为_________________．【答案】.【解析】设，则，两式相减，得，又因为的中点为，且斜率，所以，又，所以的方程为.【考点】点差法.13.设实数满足则的最大值为____________.【答案】.【解析】：画出不等式组表示的可行域和目标函数基准直线（如图）；设，则，当直线经过A点时，最小，即最大；联立，得,此时.【考点】简单的线性规划.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）【答案】.【解析】根据题意，苍蝇需要8次完成，有两种方法：方法一：每次都到达相邻顶点，需经过8条棱，总路径长为8；方法二：每次到达不相邻的顶点，需爬行4次（面对角线），飞行4次（体对角线），总路径长是；又，所以苍蝇的路径最长是.【考点】正方体的面对角线与体对角线.二、选择题1.在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】从正方体的12条棱中，任取两条棱，有种不同的方法，因为与已知棱成异面直线的有4条，所以共有对异面直线，则这两条棱为异面直线的概率.【考点】古典概型.2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．120【答案】B.【解析】由频率分布直方图可知，该模块测试成绩不少于60分的频率为，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为.【考点】频率分布直方图.3..（）A．B．C．1D．【答案】A.【解析】由，可得.【考点】二项式定理.4.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由题意得，曲线C是由椭圆上半部分和双曲线上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为，与直线平行；当直线过右顶点时，直线与曲线C有两个交点，此时，；当直线与椭圆相切时，直线与曲线C有两个交点，此时；由图像可知，时，直线与曲线C有三个交点.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系.三、解答题1.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.【答案】．【解析】解题思路：利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解.注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式定理.2.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.【答案】或【解析】解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得，进而求出圆的标准方程.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：设圆心为，则由题意得解得或所以所求圆的方程为或【考点】直线与圆的位置关系.3.已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.【答案】．【解析】解题思路：利用直线与直线垂直，设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，消去，整理成关于的一元二次方程，利用中点公式和判别式求出的范围.规律总结：涉及直线与椭圆的位置关系问题，往往采用“设而不求”的方法进行求解..试题解析：设直线方程为，联立得从而则中点是，则解得由有实数解得即于是则的取值范围是.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.对称问题.4.如图，四棱柱中, 侧棱底面，，，，为棱的中点.(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】解题思路：（1）利用勾股定理证明垂直；（2）作出平行线，构造异面直线所成的角，再利用三角形进行求角.规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及空间中的求角问题，往往利用角的定义作出辅助线，转化为平面中的线线角.试题解析：（1）证明：连结.在中，即，所以又因为，所以；解：取的中点为，连结.又因为为中点，则所以即为异面直线与所成角.在中，，所以为直角三角形，.所以异面直线与所成角为【考点】1.直线的垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角的求法.5.下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.证明：的斜率是定值；求、、、、所在直线的方程；记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于，的方程，进而求出的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..试题解析：（1）由已知得，抛物线焦点，抛物线方程为，直线的方程为于是，抛物线与直线在轴上方的交点的坐标满足则有而直线的斜率为，则解得又点在第一象限，则；直线方程为；由得则，而到直线的距离为，于是的面积，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.由于，所以所有三角形面积和为.【考点】1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.。
上海高二年级第二学期期末考试(数学)
上海高二年级第二学期期末考试卷数学一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编码的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．的共轭复数是是虚数单位)(2i i -________________ ．２．0732)2,1(=-+-y x 且以直线过点的法向量为方向向量的直线方程为______________________ ．３．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ， 且6=PA ，则该四棱锥的体积是___________________ ．４．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则点P 的轨迹方程为________________ ．5．把地球看作是半径为R 的球，A 、Ｂ是东经060圈上两点，它们的纬度差为030，则A 、Ｂ两点间的球面距离是____________________．6．若关于x 的实系数一元二次方程02=++q px x 有一个根为)(1是虚数单位i i +，则q 的值为______________________．7．如图，一个直三棱柱形的密闭容器111C B A ABC -盛有水 ，41=AA ，若以B B AA 11液面恰好过AC 、BC 、11C A 、11C B 的中点，则以面ABC 为底面水平放置时液面的高度为________________．8．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则a c 的值为_______________________________．9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被这两个平面分成三部分，这三部分的体积由小到大的比为_________． 10．直线P y x 上有一点042=--，它与两定点)3()14(，４Ｂ，A -的距离之差最大，则P 点坐标为_________．11．四面体A —BCD 的四个顶点都在半径为2的球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，则的最大值是ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++________12．等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们的表面积正方体球圆柱、S、S S由小到大的顺序是__________ ．13．命题p ：实系数一元二次方程022=++ax x 的两根都是虚数；命题q ：存在复数z 同时满足12=+=a z z 且．则p 是q 的_________条件．14．如图从双曲线12222=-b ya x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，O 为原点，则MTMO -的值为（用a 、b 表示）_________________ ．二.选择量(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.抛物线x 2=﹣8y 的准线方程为 ．2.如果直线ax+y+1=0与直线3x ﹣y ﹣2=0垂直，则系数a= ．3.双曲线9x 2﹣4y 2=﹣36的渐近线方程是 ．4.已知复数z=（3+i ）2（i 为虚数单位），则|z|= ．5.已知点A （﹣4，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB 为直径的圆的方程为 ．6.设复数z （2﹣i ）=11+7i （i 为虚数单位），则z= ．7.若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是 ．8.一动点在圆x 2+y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是 ．9.若复数z 满足|z+3i|=5（i 是虚数单位），则|z+4|的最大值= ．10.设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ．11.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是 米．12.已知圆x 2+y 2+2x ﹣4y+a=0关于直线y=2x+b 成轴对称，则a ﹣b 的取值范围是 ．二、选择题1.直线倾斜角的范围是（ ）A ．（0，]B ．[0，]C ．[0，π）D ．[0，π]2.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）A ．b=2，c=3B ．b=﹣2，c=3C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=2，c=﹣14.对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点M （x 0，y 0）在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有2个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点三、解答题1.已知直线l 平行于直线3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．2.设复数z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求．3.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x ﹣3y=0上，且被直线y=x 截得的弦长为，求圆C 的方程．4.已知F 1，F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|=d ．（1）证明：b 2=ad ；（2）若M 的坐标为（，1），求椭圆C 的方程．5.已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.抛物线x2=﹣8y的准线方程为．【答案】y=2【解析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2.如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a= ．【答案】【解析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3.双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．【答案】y=±x【解析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4.已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= ．【答案】10【解析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5.已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．【答案】（x﹣1）2+（y+3）2=29．【解析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6.设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= ．【答案】3+5i ．【解析】等式两边同乘2+i ，然后化简，即可求出复数z ．解：因为z （2﹣i ）=11+7i （i 为虚数单位），所以z （2﹣i ）（2+i ）=（11+7i ）（2+i ），即5z=15+25i ，z=3+5i ．故答案为：3+5i ．7.若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是 ． 【答案】 【解析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C 的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程 解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点， ∴椭圆C 的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c= ∴∴椭圆C 的方程是故答案为：8.一动点在圆x 2+y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是 ．【答案】x 2+y 2﹣3x+2=0【解析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．解：设中点坐标为（x ，y ），则圆上的动点坐标为（2x ﹣3，2y ）所以（2x ﹣3）2+（2y ）2=1即x 2+y 2﹣3x+2=0故答案为：x 2+y 2﹣3x+2=09.若复数z 满足|z+3i|=5（i 是虚数单位），则|z+4|的最大值= ．【答案】10【解析】由复数模的几何意义可得复数z 对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．解：由|z+3i|=5，所以复数z 对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10.设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ．【答案】1【解析】设|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，根据根据双曲线性质可知x ﹣y 的值，再根据∠F 1PF 2=90°，求得x 2+y 2的值，进而根据2xy=x 2+y 2﹣（x ﹣y ）2求得xy ，进而可求得△F 1PF 2的面积．解：设|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，（x ＞y ）根据双曲线性质可知x ﹣y=4，∵∠F 1PF 2=90°，∴x 2+y 2=20 ∴2xy=x 2+y 2﹣（x ﹣y ）2=4 ∴xy=2∴△F 1PF 2的面积为xy=1故答案为：1．11.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是 米．【答案】4．【解析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y 轴，水平轴为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x 2=ay ，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12.已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．【答案】（﹣∞，1）【解析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题1.直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【答案】C【解析】根据直线倾斜角的定义判断即可．解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．2.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|="2a" （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|="2a" （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．3.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1【答案】B【解析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B4.对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点M （x 0，y 0）在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有2个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点【答案】D【解析】先把直线与抛物线方程联立消去y ，进而根据y 02＜4x 0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点． 解：由y 2=4x 与y 0y=2（x+x 0）联立，消去x ，得y 2﹣2y 0y+4x 0=0，∴△=4y 02﹣4×4x 0=4（y 02﹣4x 0）．∵y 02＜4x 0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题1.已知直线l 平行于直线3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．【答案】3x+4y±24=0【解析】设直线l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m 即可．解：设直线l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l 的方程为3x+4y±24=0．2.设复数z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求．【答案】．【解析】设出复数z ，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i ）•z 是纯虚数，又得到一个方程，求得z ，然后求． 解：设z=a+bi ，（a ，b ∈R ），由|z|=1得；（3+4i ）•z=（3+4i ）（a+bi ）=3a ﹣4b+（4a+3b ）i 是纯虚数，则3a ﹣4b=0，，．3.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x ﹣3y=0上，且被直线y=x 截得的弦长为，求圆C 的方程．【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．【解析】由圆心在直线x ﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r ，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x 的距离d ，由弦长的一半，圆的半径r 及表示出的d 利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解：设圆心为（3t ，t ），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x 的距离d==|t|， 由勾股定理及垂径定理得：（）2=r 2﹣d 2，即9t 2﹣2t 2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．4.已知F 1，F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|=d ．（1）证明：b 2=ad ；（2）若M 的坐标为（，1），求椭圆C 的方程．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）x=c 代入椭圆方程求得y ，进而求得d ，可知d×a=b 2，原式得证；（2）由M 坐标可得c ，再把M 再把代入椭圆方程求得a 和b 的关系，结合隐含条件得到a 和b 的方程组，求得a ，b ，则椭圆的方程可求．（1）证明：把x=c 代入椭圆方程：+=1，得， 则d=|y|=，∴d×a=b 2，即b 2=ad ； （2）解：∵M 的坐标为（，1），∴c=， 则，解得b 2=2，a 2=4．故椭圆的方程为．5.已知双曲线C 1：．（1）求与双曲线C 1有相同焦点，且过点P （4，）的双曲线C 2的标准方程；（2）直线l ：y=x+m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A 、B 两点．当•=3时，求实数m 的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先确定双曲线C 1：的焦点坐标，根据双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P （4，），建立方程组，从而可求双曲线C 2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C 1的两条渐近线联立，求出A 、B 两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m 的值．解：（1）∵双曲线C 1：， ∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C 2的标准方程为（a ＞0，b ＞0），∵双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P （4，） ∴，解得∴双曲线C 2的标准方程为（2）双曲线C 1的两条渐近线为y=2x ，y=﹣2x由，可得x=m ，y=2m ，∴A （m ，2m ） 由，可得x=﹣m ，y=m ，∴B （﹣m ，m ） ∴∵∴m 2=3 ∴。
上海市高二下学期期末数学试题(解析版)
5．双曲线的渐近线方程为22124x y -=6．以为圆心，且经过()1,1C 7．如图所示，靶子由一个中心圆面概率分别为0.35、0.30、0.25A．2 B．315．下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥A ．80厘米B ．100厘米C ．120厘米D ．140厘米三、解答题17．设等比数列的前项和为，已知，.{}n a n n S 34a =632a =- (1)根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的x y(1)当点是棱的中点时，求证：直线M 1CC (2)当时，求点11D M AB ⊥(3)当平面将正四棱柱1AB M 线段的长度.MC 21．如图，已知点(2,1A (1)求椭圆的离心率；Γ(2)直线交椭圆于两点（BD ΓB D 、为2，直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由BD (3)点、点是椭圆上的两个点，圆E G Γ【详解】 由题意可得，，则异面直线11//AC A C ，且为等腰直角三角形，所以CAB ABC 故答案为：45︒2x 【解析】根据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程2,2a b ==【详解】 设圆锥底面圆半径AO OB ==因为圆锥的体积为，即3π3π，所以333SO SAB OA ===故答案为：. π3①②④设正三棱柱的各条棱长都为111ABC A B C -1(0,0,0),(0,2,0),(3,1,0),(0,0,B A C B于是，.()()()10049991101,49999914900i a i i a =+--=+-=故答案为：4900.13．C【分析】由向量相等的定义即可判断.【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，故在长方体中，与相等的向量是、、，1111ABCD A B C D -AB DC 11A B 11D C 故选：C14．D【分析】根据球的几何性质，利用截面距及球半径由勾股定理计算即可求得截面圆半径.【详解】如图所示，为球面上一点，则，C 5OC =球心到平面的距离为3，即，且，O α13OO =11OO O C ⊥则小圆的半径长即为，1O 1O C 在中，由勾股定理可得，解得.1OO C 22211OC OO O C =+14O C =故选：D15．A【分析】由正棱锥满足的条件即可判断.【详解】是正棱锥必须满足两个条件：（1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心，即侧面是全等的等腰三角形.对于①，底面是正多边形的棱锥，但侧面不是全等的等腰三角形时不满足条件（2），故错误；对于②，比如一个四棱锥满足各侧棱的长都相等，但其底面可以为矩形，此时不满足条件（1），故错误；对于③，比如一个四棱锥满足各侧面是全等的等腰三角形，但其底面可以为菱形，此时不满足条件（1），故错误.丝带从棱上的点出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到AD G 方体从面1111ABCD A B C D -ABCD 所示：则线段即为最短路径，即为所需丝带的最短长度，1GG 易知，，所以180HG =60HG =2180GG =+所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米；在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形ABCD()(11,1,1,0,1,1AM B M ==- 由，10AM B M ⋅= 1AM D M ⋅ 又，、11B M D M M ⋂=1B M 所以直线平面AM ⊥11B MD （2）如图，以为原点，A（3）作平行于，交MN 1B A 连接，设线段的长为BM CM 由得，12CN h =2hCN =S 梯形可得11324M ABCN h V -⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭又由112132M ABB V -⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪11NMC AB B P AB B P NMC V V V ---=-棱台棱锥棱锥()21111113343h x x x ⎛=⨯⨯+-⨯⨯= ⎝由题意，()1112NMC AB B V -=⨯⨯⨯棱台所以，整理得21121h x ⎛⎫-+=即，则点223n =()(0,E n r y +，整理得()2222y rn rn r =++++由得()220142n r y ++=02y -=。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算．2.已知复数，则= ．3.经过点的直线l的点方向式方程是．4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 44.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。
3.(本题满分10分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知直线讨论当实数m为何值时，(1)4.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知直线l：与双曲线C：相交于A、B两点．(1)求实数a的取值范围；(2)当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．5.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.计算．【答案】【解析】略2.已知复数，则= ．【答案】【解析】略3.经过点的直线l的点方向式方程是．【答案】【解析】略4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．【答案】【解析】略5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．【答案】【解析】略6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .【答案】【解析】略7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．【答案】【解析】略8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .【答案】【解析】9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .【答案】【解析】略10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．【答案】【解析】略11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)【答案】【解析】略12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】略二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )【答案】D【解析】略2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )【答案】D【解析】略3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 4【答案】C【解析】略4.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)【答案】B【解析】略三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．【答案】当时，解，得，即方程的根为．当时，解，得，即方程的根为．【解析】本题满分8分．解由题可知，是实数，又，……………………………………2分∵是方程的两个虚数根，∴．……………………4分∴，即，解得．……………6分当时，解，得，即方程的根为．…………………7分当时，解，得，即方程的根为．…………………8分2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。
2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分，共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =，则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =，则n =___________.4.在()101x +的展开式中，3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+，则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10，的子集，且A 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立，则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ，令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知，函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在B 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后;若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推.按这种排序2方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分，共16分) 13.设()2f x sin x =，则()f x ′=（ ）(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学，其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量X 为其中团员的人数，则X 服从（ ）(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为12，且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”，事件B 为“第三次结果为正面”，则()P B A =∣（ ） (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个，每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为n a ，则（ ） ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%，且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%，其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%，其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%，其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−，其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行，求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时，记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时，求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤，即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈，计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈，记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ，奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在，请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在，请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=； 11.11 12.2，3，4，6，1，5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三．解答题17.（1）增区间为()(),1,2,−∞−+∞，减区间为[]1,2− 18.（1）30,10x y == （2）123319.（1）0.36 （2）[]57E X =，[]853D X = 20．（1）2 （221．（1）234333676,,T T T ===（2）203nnk nk T ==∑，203n nk n k k T n ==⋅∑ （3）1024n =。
上海市高二第一学期数学期末考试试卷含答案
上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 ．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ ） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解 （1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分 （2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解 （1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分 所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分 （2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分 所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分 所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解 （1）由题，4,3OB OA ==1分 所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分 圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率． 解 （1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2） 各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明 因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平 面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分 所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3） 由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分 所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ， 令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-， 则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.和的等比中项是 .2.向量，若⊥，则实数 .3.已知，则 .4.向量，则与同向的单位向量是 .5.三阶行列式中，元素的代数余子式的值是 .6.数列中，若，，则 .7.根据右图所示的程序框图，输出结果 .8.数列中，则 .9.非零向量，则“”是“∥”的条件．10.2013年12月初，上海遭遇最严重的雾霾天气，空气质量持续重度污染．某教室安装新型空气净化器，每小时可将含量降低．该净化器连续工作小时，可将从降到以下．（结果保留整数）11.对任意的实数，矩阵运算都成立，则 .12.若数列满足，设，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得 .二、选择题1.等边中，向量的夹角为（）A．B．C．D．2.已知等比数列，它的前项为，前项和为，则使得的的值是（）A．B．C．D．3.用数学归纳法证明“，”时，从“”到“”左边需要添加的代数式为（）A．B．C．D．4.下列命题正确的是（）A．B．若，则C．若，则或D．若，则或三、解答题1.已知向量的夹角为．（1）求的值；（2）求的大小．2.用行列式解关于的方程组：，并对解的情况进行讨论．3.已知直角坐标平面中，为坐标原点，．（1）求的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）设点为轴上一点，求的最大值及取得最大值时点的坐标．4.已知数列的前项和为，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的取值范围.5.平面直角坐标系中，为原点，射线与轴正半轴重合，射线是第一象限角平分线．在上有点列，，在上有点列，，．已知，，．（1）求点的坐标；（2）求的坐标；（3）求面积的最大值，并说明理由．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.和的等比中项是 .【答案】【解析】设和的等比中项是a，则.【考点】等比中项的性质.2.向量，若⊥，则实数 .【答案】【解析】由于⊥，则即得.【考点】向量垂直的坐标公式.3.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】向量模的坐标公式.4.向量，则与同向的单位向量是 .【答案】【解析】与同向的单位向量是，，则=.【考点】单位向量.5.三阶行列式中，元素的代数余子式的值是 .【答案】【解析】由题意得元素1的代数余子式是第2行第1列元素的代数余子式.【考点】三阶矩阵.6.数列中，若，，则 .【答案】【解析】当时，；当时，，综上.【考点】数列前n项和与的关系.7.根据右图所示的程序框图，输出结果 .【答案】【解析】解：因为i=0，t=76；不满足t≤0，∴t=76-10=66，i=0+1=1；不满足t≤0，∴t=66-10=56，i=1+1=2；不满足t≤0，∴t=56-10=46，i=2+1=3；不满足t≤0，∴t=46-10=36，i=3+1=4；不满足t≤0，∴t=36-10=26，i=4+1=5；不满足t≤0，∴t=26-10=16，i=5+1=6；不满足t≤0，∴t=16-10=6，i=6+1=7；不满足t≤0，∴t=6-10=-4，i=7+1=8；满足t≤0，输出结果i=8；故答案为：8.【考点】循环结构.8.数列中，则 .【答案】【解析】由于，则，所以是首项为1公差1的等差数列，则，所以.【考点】1.数列的地推公式；2等差数列的性质.9.非零向量，则“”是“∥”的条件．【答案】充分不必要；【解析】若，则∥；若∥，则，若或时不一定成立；故“”是“∥”的充分不必要条件.【考点】1.向量共线的坐标表示；2.充分必要条件的判断.10.2013年12月初，上海遭遇最严重的雾霾天气，空气质量持续重度污染．某教室安装新型空气净化器，每小时可将含量降低．该净化器连续工作小时，可将从降到以下．（结果保留整数）【答案】7【解析】由题意可知一小时后含量为，两小时后含量为…n小时候含量为，要是从降到以下，则.【考点】指数型函数.11.对任意的实数，矩阵运算都成立，则 .【答案】【解析】由对任意的实数，矩阵运算都成立，则，即a=d=0，b=c=1，即.【考点】矩阵的运算.12.若数列满足，设，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得.【答案】【解析】由题意，S n ＝a 1＋a 2×4＋a 3×42＋…＋a n ×4n －1，① 两边同乘以4，得4S n ＝a 1×4＋a 2×42＋…＋a n －1×4n －1＋a n ×4n ，② 由①＋②，得5S n ＝a 1＋(a 1＋a 2)×4＋(a 2＋a 3)×42＋…＋(a n －1＋a n )×4n －1＋a n ×4n ， 又a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝()n ，所以a 1＋a 2＝，a 2＋a 3＝()2，…，所以5S n ＝1＋1＋1＋…＋1,\s\do4(共n 个))＋a n ×4n ，故5S n －4n a n ＝n. 【考点】类比推理.二、选择题1.等边中，向量的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，由向量夹角的定义，要把向量移到同一起点，故三角形的内角ABC ，并非向量的夹角，需把向量平移到，此时所夹的∠CBD 才是向量的夹角，由邻补角的关系可得∠CBD=180°-∠ABC=120°故答案为：120°. 【考点】数量积表示两个向量的夹角.2.已知等比数列，它的前项为，前项和为，则使得的的值是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知等比数列的首项为1，公比为2，则，令，则，则n=7.【考点】等比数列的前n 项和.3.用数学归纳法证明“，”时，从“”到“”左边需要添加的代数式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是，故选D.【考点】数学归纳法．4.下列命题正确的是（）A．B．若，则C．若，则或D．若，则或【答案】B【解析】对于A，，故A错；对于C，若，则故C错；对于D，若，则与模相同，方向不一定同向或反向，故D错；故选B.【考点】向量的性质.三、解答题1.已知向量的夹角为．（1）求的值；（2）求的大小．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）由，代入数值即可求得;（Ⅱ）对平方，化简得代入数值即可求得，对其开方求得；试题解析：（1）． 4分（2） 6分， 7分∴． 8分.【考点】向量的数量积公式.2.用行列式解关于的方程组：，并对解的情况进行讨论．【答案】详见解析;【解析】先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，Dx ，Dy，下面对a的值进行分类讨论：（1）当a≠-1，a≠1时，（2）当a=-1时，（3）当a=1时，分别求解方程组的解即可．试题解析：，，， 3分（1）当时，，方程组有唯一解， 5分（2）当时，，方程组无解； 6分（3）当时，，方程组有无穷多组解，. 8分.【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．.3.已知直角坐标平面中，为坐标原点，．（1）求的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）设点为轴上一点，求的最大值及取得最大值时点的坐标．【答案】（1）;（2）；【解析】（1）利用向量夹角的余弦公式求出，利用反三角函数值表示即可；（2）设，求出，利用二次函数的性质求出最值；试题解析：（1）， 1分， 3分． 4分（2）设，， 6分∴时，的最大值为， 7分此时，点的坐标为. 8分.【考点】1.向量夹角的余弦公式；2.向量的数量积的坐标运算.4.已知数列的前项和为，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析; （2）；【解析】（1）由前n项的和与an的关系，得到数列的递推公式，注意分析a是否为零，再求数列的通项公式．（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入整理出关于n的式子，再求n的值．试题解析：（1）当时，，，∵，∴； 1分当时，，， 4分∵，∴数列是等比数列； 5分（2）∵，∴公比， 7分，， 9分∴实数的取值范围是． 10分.【考点】数列递推式；极限及其运算．.5.平面直角坐标系中，为原点，射线与轴正半轴重合，射线是第一象限角平分线．在上有点列，，在上有点列，，．已知，，．（1）求点的坐标；（2）求的坐标；（3）求面积的最大值，并说明理由．【答案】（1），;（2），；（3）;【解析】（1）由和可求，由射线是第一象限角平分线和，利用向量模的公式可求；（2）设，可得成等比数列，又得，进而得到；设，得，由，得得是等差数列，可求得，进而求得；（3）由，可得，利用换元法设，当时，可知时，是递增数列，时，是递减数列，即进而求得；试题解析：（1），, 2分设，由，，∴； 4分（2）设，则，成等比数列， 5分，∴； 6分设，， 7分由，∴是等差数列， 8分，∴． 9分（3）， 11分设，当时，， 12分∴时，是递增数列，时，是递减数列，， 13分∴． 14分【考点】1.向量的坐标表示；2等差、等比数列的通项公式；3.数列的增减性.。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.直线的倾斜角为，则的值是___________.2.若实数满足不等式组，则的最大值为 .3.设复数满足，则.4.已知直线与圆相切，则的值为__ ___.5.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__ ____.6.若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________________.7.过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为__________. 8.已知点P 是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________. 9.若点O 和点F 分别为双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________. 10.双曲线的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上 ，且满足：，则的面积是 . 11.若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是 . 12.已知点在直线上，点在直线上，PQ 的中点为，且,则的取值范围是 .二、选择题1.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3.设曲线C 的参数方程为为参数，直线 的方程为，则曲线C 上到直线 的距离为的点的个数为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44.已知曲线：（），下列叙述中正确的是（）A．垂直于轴的直线与曲线存在两个交点B．直线（）与曲线最多有三个交点C．曲线关于直线对称D．若为曲线上任意两点，则有三、解答题1.求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.2.设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求.3.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.4.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？5.椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。
上海市高二下学期期末考试数学试题(共3套,含答案)
高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________．8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________．11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答)13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞→n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米.A ．32424-πB ．33636-πC ．32436-πD ．33648-π第15题图16.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.使得*)()13(N n x x x n ∈+的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者从装有3个红球、1 个蓝球、6奖如下:奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红1白 50元三等奖 2红1蓝或2红2白 10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 设点M 在线段E C 1上, 且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为62, 求线段AM 的长.23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第22题图 E D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A金山中学第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((xx C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120. 20.（14分）解：（1）214103713=C C C ； X0 10 50 200 P(X) 4231 358 351 2101 321020035503510420)(=⋅+⋅+⋅+⋅=X E . 21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+ 则B A ,中点是)1312,134(b b ，则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n 42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152pp -.高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）24.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（4）证明：n OA 的斜率是定值；（5）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（6）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.22.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m24.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121nnp x y x p y 则有,042211121=-+x y x y 而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ； （4）直线方程为x y )51(+-=；（5）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42nn p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则np AB 10||=，而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积nn pS 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ，所以所有三角形面积和为22152pp -.上海市高二年级第二学期数学学科期终考试试卷（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。
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2015-2016上海市高二数学期末试卷 （共150分，时间120分钟）
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1.对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ） A 开口向上，焦点为(0,1) B 开口向上，焦点为1(0,)16 C 开口向右，焦点为(1,0)
D 开口向右，焦点为1
(0,)16
2.已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 （ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为（ ） A 25- B 25 C 1- D 1
4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =u u u u r r
, b D A =11，
c A A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是（ ）
A ++-2121
B ++2121
C +-2121
D +--2
121 5.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），
若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A 平面 B 直线 C 圆 D 线段 6.给出下列等式：命题甲：2
2,2,)2
1
(1x x x -成等比数列，命题乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件
D 既非充分又非必要条件
7.已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=⎪⎭
⎫
⎝⎛--53,1,5
1给出下列等式：
①∣++∣=∣--∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(c b a ++=2
22c b a ++
④c b a ⋅⋅)( =)(c b a ⋅⋅
其中正确的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 8.设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆
9.已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的（ ） A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件
10.椭圆122222=+b
y a x 与双曲线1222
22=-b y a x 有公共焦点，则椭圆的离心率是
A
23 B 315 C 4
6
D 630
11.下列说法中错误．．
的个数为 （ ） ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题
为假，则它本身一定为真；③1
2x y >⎧⎨>⎩是3
2
x y xy +>⎧⎨>⎩=a b
=是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件. A 2 B 3 C 4 D 5
12.已知(1,2,3)OA =u u u r ，(2,1,2)OB =u u u r ，(1,1,2)OP =u u u r
，点
Q 在直线OP
上运动，则当QA QB ⋅u u u r u u u r
取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）
A 131(,,)
243
B 123(,,)
234
C 448(,,)333
D 447(,,)333
二、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
13．已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直)，那么
⋅= 。
14．以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为： ．
15．已知M 1（2，5，-3），M 2（3，
-2，-5），设在线段M 1M 2的一点M 满足21M M =24MM ，则向量OM 的坐标为 。
16．下列命题
①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件. ② “am 2<bm 2”是“a <b ”的充分必要条件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.
④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件. ⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形. 判断错误的有___________
17．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥．有下列条件： ①AB AC BC ==； ②AB AC ⊥； ③AB AC =．
其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是________．（填上序号） 三、解答题（共4小题，每小题15分，共60分）
18．（本题满分15分）求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．
19．（本题满分15分）已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：
f(x)=－(5－2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.
20．（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、
B 两点．
（1）求AB 的长度；
（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．
21、（本题满分15分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面△ABC ， 中，CA=CB=1∠BCA=90°，棱AA 1=2M ，N 分别是A 1B 1， A 1A 的中点。
（1）求的长度；
（2）求cos （1BA ，1CB ）的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M 。
参考答案
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1、B
2、C
3、D
4、A
5、B
6、B
7、D
8、C
9、B 10、B 11、C 12、C
二、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分） 13、- 65 14、430x y +-= 15、⎪⎭⎫
⎝
⎛--29,41,411 16、②⑤ 17、①、③
三、解答题（共5小题，满分74分）
18、（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于121
0x x a
=<⇒ a ＜0
若方程有两负根，等价于440201
0Δa a a
⎧
⎪=-≥⎪⎪-<⇒⎨⎪⎪>⎪⎩0＜a ≤1
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1
由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.
故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x+1=0至少有一负根的充分条件. 所以ax 2+2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤1 19、（本题满分15分）解：不等式|x －1|<m －1的解集为R ，须m －1<0
即p 是真 命题，m<1
f(x)=－(5－2m)x 是减函数，须5－2m>1即q 是真命题，m<2 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题
故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m<2
20、（本题满分15分）
联立方程组⎩⎨⎧=-+=1
31
22y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以
{()
3840
3222
>-+=∆≠-a a a
，解得2
212212232
,32,3,6a
x x a a x x a a --=-=
+≠<且。
(1)
)36(3
6
524)(1122224212
212
212≠<-++-=
-++=-+=a a a a a x x x x a
x x a AB 且。
(2)由题意得 0)1)(1(,0,121212121=+++=+-=ax ax x x y y x x k k ob oa 即即 整 理得1,12±==a a 符合条件，所以 21、（本题满分15分）如图，
解：以C 为原点，1CC CB CA ，，分别为x 轴，
y 轴，
z 轴建立空间直角坐标系。
（1） 依题意得出
3101010=BN N B ），，，（），，，（；
（2） 依题意得出
），，
（），，，（），，，（），，（21000001020111B C B A 563210211111111===⋅=-=∴CB BA CB BA CB BA ，，），，，（），，，（
∴cos ﹤11CB BA ﹥3010
1
1
111=
⋅CB BA （3） 证明：依题意将，，，），，，（，，，），，，（⎪⎭
⎫
⎝⎛=--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛021*******
1212001
111C B A M C M
C B A C A C A 1111110021
21⊥∴⊥∴=++-=⋅∴，。