第四章 第4节 数系的扩充与复数的引入

第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入

1.(2010·广州模拟)若复数1＋2i

(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A ．－6 B ．13 C.32

D.13 解析：∵

a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝6＋a ＋(3－2a )i 5∴6＋a ＝0，即a ＝－6. 答案：A

2．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2

是实数，则a 等于 ( ) A.12 B ．1 C.32

D ．2 解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i)2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2

i ∈R ， ∵a ∈R ，∴

1－a 2＝0，解得a ＝1. 答案：B

3．(2009·江苏高考)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．

解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，

故(z 1－z 2)i 的实部为－20.

答案：－20

4.(2009·全国卷Ⅰ)已知z 1＋i

＝2＋i ，则复数z ＝ ( ) A ．－1＋3i B ．1－3i

C ．3＋i

D ．3－i

解析：由已知得z ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.

答案：B

5．已知m 1＋i

1－n i ，其中m 、n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝ ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i

解析：m 1＋i ＝m (1－i)2＝m 2－m 2

i ＝1－n i ， ∴m 2＝1，n ＝m 2

＝1. 故m ＝2，n ＝1，则m ＋n i ＝2＋i.

答案：C

6．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i)z ＝4－b i(其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )

A ．8

B ．－8

C ．2

D ．－2

解析：∵z 为纯虚数，∴可设z ＝a i(a ≠0)，

由(2－i)z ＝4－b i ，得(2－i)a i ＝4－b i ，

∴2a i ＋a ＝4－b i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4

－b ＝2a ，即b ＝－8.

答案：B

7.(2010·连云港模拟)复数2－3i －2＋3i ＝

( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i

解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－

3i)

(2－3i)(2＋3i)

＝13i

13－－13i

13＝i ＋i ＝2i.

答案：D

8．(2009·浙江高考)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2

z ＋z 2＝

( )

A ．－1－i

B ．－1＋i

C ．1－i

D ．1＋i

解析：2z ＋z 2＝2

1＋i ＋(1＋i)2

＝2(1－i)

2＋1＋i 2＋2i ＝1＋i.

答案：D

9．计算：(1)(2＋2i)4

(1－3i)5；

(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2010

；

(3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i

. 解：(1)原式＝16(1＋i)4(1－3i)4(1－3i)

＝

16(2i)2(－2－23i)2(1－3i)＝－644(1＋3i)2(1－3i) ＝－16

(1＋3i)×4＝－4

1＋3i ＝－1＋3i.

(2)原式＝i(1＋23i)1＋23i

＋[(21－i )2]1005 ＝i ＋(

2－2i )1005＝i ＋i 1005 ＝i ＋i 4×251＋1

＝i ＋i ＝2i. (3)原式＝[(1＋i)2

2]6＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)

2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65

＝－1＋i.

10.已知0＜a ＜2，复数z ( )

A ．(1,5)

B ．(1,3)

C ．(1，5)

D ．(1，3)

解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2

＋1＜ 5.

答案：C

11.已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝

z 12＋i ，且|z 2|＝52，则z 2＝ . 解析：z 1＝z 2(2＋i)，

(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，

∵|z 2|＝52，

∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，

∴z 2＝±505＋5i ＝±101＋i

＝±(5－5i). 答案：±(5－5i)

12.复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a

＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值. 解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i

＝(

3

a＋5

＋

2

1－a

)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

＝

a－13

(a＋5)(a－1)

＋(a2＋2a－15)i.

∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.

解得a＝－5或a＝3. ∵分母a＋5≠0，

∴a≠－5，故a＝3.