2020高考数学专题复习----数列与不等式专题

数列与不等式专题

一．高考说明剖析

高考数学考试大纲，对于《不等式》一章的考试内容及考试要求为：(1）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之一。

传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。这是总的格局，再细化一下，看2004年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省2004年高考数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题(数列为第20题，不等式为第22题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都

在不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。由此可以看出，不等式和数列是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：数列、不等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式、数列内容仍将是今年高考考查的重点。

二．高考试题研究

例1．

设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n 。

⑴若首项a 1＝32，公差d ＝1，求满足2

k S ＝(S k )2的正整数k ； ⑵求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2k S ＝(S k )2成立。

学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具有高等数学的语言味道。

例2．(2004年江苏高考22题)

已知函数f(x)(x ∈R)满足下列条件：对于任意的实数x 1、x 2，都有λ(x 1－x 2)2≤(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]和｜f(x 1)－f(x 2)｜≤｜x 1－x 2｜，其中λ是大于0的常数。

设实数a 0、a 、b 满足f(a 0)＝0和b ＝a －λf(a)。

(Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f(b 0)＝0；

(Ⅱ)证明：(b －a 0)2≤(1－λ2)(a －a 0)2；

(Ⅲ)证明：[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2。

本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得

分度极低，区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后95％学生可放弃解答本题。

例3．(2004年全国高考数学试卷二19题)

数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n+1＝n 2n

＋S n (n ＝1，2，3，…)。证明：⑴数列{S n n

}是等比数列；⑵S n+1＝4a n 。 解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号{S n n

}的意义，二是把握项与和的关系（消项留和）。

例4．

f(x)是定义在[0，1]上的增函数，f(x)=2f(x 2

)且f(1)＝1，在每个区间(12i ，12i-1 ］(i=1，2，3，…)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。

⑴求f(0)及f(12 )、f(14 )的值，并归纳出f(12i )(i=1，2，3，…)的表达式；

⑵略

解答本题必须具有识别数列模式的能力。

例5．给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150

且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，r1称为第一组的余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这里的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…，直至第N组(余差为r N)把这些数全部分完为止。

⑴判断r1，r2，…，r N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；

⑵当构成第n(n＜N)组后，指出余下每个数与的r n的大小关系，并证

明r n-1＞150n－L

n－1

；

⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11（本题是理科试题最后一题）。

阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第1小题多数学生可以做出来，不难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。

三．高考命题展望

根据上述三点，我们对高考数学命题展望如下：

1．贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平

贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。如2004年北京高考数学试题第19题。

例6．某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5km，BC＝3km，

在列车运行时刻表上，规定列车8点整从A 站出发，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站。在实际运行时，假设列车从A 站正点出发，在B 站并停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

⑴分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；

⑵要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围。

本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力。本题具有一定的生活背景和文化背景，而且其数学模型是一个简明的绝对值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误

差分别为｜300v －7｜和｜480v －11｜，进而得出不等式：｜300v

－7｜和｜480v －11｜≤2。本题作为应用题，它的阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力，第二问检测学生的数学解模能力。估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理解，第二个障碍是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现单位错误, 第三个障碍是不会解不等式,或解解不等式时分类不全,乱分类。

2．考查学生的数学探究能力

《普通高中数学课程标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学