公开课《24.1.2垂径定理》PPT课件

D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
2
2百度文库
·
在Rt △ AOE 中
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8
求这两条平行弦间的距离.
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
短的弦等于 2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O
D
P E
C
A
A OM
2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
• 归纳：
•
已知：直径，弦长，弦心距，
拱高四者知其二，即可根据勾股定
理求出另外的两个量。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 A表B示桥拱, A所B 在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 A相B交于点C.根
据 由垂题径设定 得理A,DB是A7B.的2,中CD点,C2是.4,A HN的B 中1点M,NCD就 1是.5拱. 高.
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
5 3 OO
A
4 PP B
D
3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
D
A
B
E
O
A
DB
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E D
B
证明：连接OA，OB，则
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB ∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
试一试
1.判断：
()(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
√( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，AB 设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,