公开课《24.1.2垂径定理》PPT课件
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24.垂径定理的应用PPT课件(人教版)
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 由题设得
AB 7.2,CD
AB 的中点,CD就是拱高.
2.4, HN 1 MN 1.5.
AD
1
AB
1 7.2
2 3.6,
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
O
A
B
P
2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
D
No 在Rt△OEF中，OE=3-1=2，
∠BED=30°则OF=1
B
Image 又在Rt△DOF中
F OE
A C
DF= OD2 OF2 32 12 2 2
∴CD=2DF= 4 2
2、通过作出弦心距后，可构造直角三角形，然 后用直角三角形的边角关系或勾股定理来求解.
B
AD AB 37.4 18.7,
2
2
R
R-7.2
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共23张PPT) 人教版数学九年级上册
【解析】如图所示：连接OD ∵直径AB=15 ∴BO=7.5 ∵OC：OB=3：5 ∴CO=4.5 ∴ DC DO2 CO2 6 ∴DE=2DC=12．
3.（2021•杭州期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， AB⊥MN，点C在线段AB上，OC=AC=2，BC=4，求⊙O的半径．
ABC ACB BAC
A⌒B ⌒BC
⌒ A⌒CB BAC
B O●
C
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解 决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
③ AE=BE
④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=⌒BD C
举例证明其中一种组合方法 已知:
求证：
O
E
A
B
D
【证明举例】
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
C
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
A
E
B
O
【跟踪训练】
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 16cm.
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB，
AE OAc2m OE2
102 62
8
∴ AB=16cm.
A
E
B
O·
垂径定理
内容
推论
辅助线
基本图形及 变式图形
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
24.1.2 垂径定理-
1 在图中, AB 37.4, CD 7.2, AD AB 18.7, 2 OD OC CD r 7.2
在Rt OAD中,由勾股定理, 得OA2 AD 2 OD 2 ,
即r 2 18.7 2 (r 7.2) 2 , 解得r 27.9(m)
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
A
E D C
O
B
垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦 所对的两条弧。
(3)平分弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (2)垂直于弦 (5)平分弦所对的另一条弧
E
A D
B
（不是直径） 推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦的长）为37.4 米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.2米，你 能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
C A r
D O
B
应用：
A
C
D r
B O
如图用
表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为r.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C, 根据前面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
A C
E D
B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
A
O B D
应用：
O
已知如图，在 O 中，弦AB 的长为8cm，若圆心O到AB 的距离为3 cm，则 O的半 径为 5 cm. B
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理
A C DB O
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
人教版数学九年级上册课件垂径定理的推论ppt
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
小练习 C
已知：A⌒B． 2 垂径定理的推论 ⌒ 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
求作：AB的中点． 求证：四边形ADOE是正方形．
⌒ ⌒ ⌒⌒
（
）
A B 则OE＝3cm，AE＝BE．
求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC
D OA2=AD2+OD2
以O为圆心，OA为半径作圆．
∴⊙O的半径为5cm．
（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分
弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
（4）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论4
② 垂直于弦 ① 直径过圆心 （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
1． 连结AB． 已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，
为什么强调这里的弦不是直径？
2． 作AB的垂直 将题设与结论调换过来，还成立吗？
公开课24.1.2垂径定理课件教学提纲
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： O E A C O D A B A B A C
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C
A ·O B
D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OEAB
A
AE1AB184
22
在Rt △ AOE 中
E
B
·
O
A O O E 2 A E 2=3 2+ 4 2= 5 c m
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
• 归纳：
•
已知：直径，弦长，弦心距，
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： O E A C O D A B A B A C
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C
A ·O B
D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OEAB
A
AE1AB184
22
在Rt △ AOE 中
E
B
·
O
A O O E 2 A E 2=3 2+ 4 2= 5 c m
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
• 归纳：
•
已知：直径，弦长，弦心距，
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D
A
B
E
O
A
DB
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8
求这两条平行弦间的距离.
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
• 归纳：
•
已知：直径，弦长，弦心距，
拱高四者知其二，即可根据勾股定
理求出另外的两个量。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，AB 设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
5 3 OO
A
4 PP B
D
3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
OHale Waihona Puke 赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
短的弦等于 2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O
D
P E
C
A
A OM
2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
2
2
·
在Rt △ AOE 中
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
试一试
1.判断：
()(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
√( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E D
B
证明：连接OA，OB，则
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB ∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
船能过拱桥吗
解:如图,用 A表B示桥拱, A所B 在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 A相B交于点C.根
据 由垂题径设定 得理A,DB是A7B.的2,中CD点,C2是.4,A HN的B 中1点M,NCD就 1是.5拱. 高.