2018年秋高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质学案新人教A版必修5
2018年秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案 新人教A版必修5
第1课时 等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)符号语言：a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示] 不能． 2．等比中项(1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2＝ab .思考：当G 2＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q·q n，而y ＝a 1q·q x(q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x的乘积，从图象上看，表示数列a 1q·q n中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2……a n －1a n －2·a n a n －1＝a 1·q n －1. [基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( ) (3)常数列一定为等比数列．( ) (4)任何两个数都有等比中项．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1a5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0,0,0,0,0.② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________.【导学号：91432189】12 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，① a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝14，②所以②÷①得q 3＝18，所以q ＝12.]4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. －729 [由等比数列定义知a 7a 6＝a 6a 5＝a 5a 4＝q . 所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81，a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.][合 作 探 究·攻 重 难]等比数列的通项公式及应用在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .【导学号：91432190】[解] (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.1．在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝22n －53.等比中项(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14 D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项.【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.](2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)·(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．(1)由等比中项的定义可知中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a ，G 2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为( ) A ．±12 B.12 C ．1 D ．±1D [由题知2a ＝1＋3， ∴a ＝2.由b 2＝4得b ＝±2 ∴a b＝±1.]3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )【导学号：91432192】A ．2B ．4C ．6D ．8B [∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.]等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{a n }是等比数列，易知有a n ＋1a n＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？提示：能．若数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)都能说明{a n }是等比数列．2．若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则它的通项公式为a n ＝a 1·qn －1(a ，q 为非零常数，n ∈N *)．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？提示：能．根据等比数列的定义可知．已知数列的前n 项和为S n ＝2n＋a ，试判断{a n }是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)？需要检验吗？[解] a n ＝S n －S n －1＝2n＋a －2n －1－a ＝2n －1(n ≥2)．当n ≥2时a n ＋1a n ＝2n 2n －1＝2；当n ＝1时，a n ＋1a n ＝a 2a 1＝22＋a. 故当a ＝－1时，数列{a n }成等比数列，其首项为1，公比为2；当a ≠－1时，数列{a n }不是等比数列．母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“S n ＝2n＋a ”变为“S n ＝2－a n ”．求证数列{a n }是等比数列．[证明] ∵S n ＝2－a n ， ∴S n ＋1＝2－a n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1， ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12， ∴{a n }是等比数列．2．(变条件变结论)将例题中的条件“S n ＝2n＋a ”变为“a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”证明数列{a n＋1}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解] 因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，知a 1＋1≠0， 从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)，所以数列{a n ＋1}是等比数列． 所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n，即a n ＝2n－1.(1)定义法：若数列，则数列(2)等比中项法：对于数列(3)通项公式法：若数列1．下列数列是等比数列的是( )【导学号：91432193】A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B ．－1,1，－1,1，－1，…C ．0,2,4,6,8,10，…D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…B [A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A. B ．由等比数列定义知该数列为等比数列．C ．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D ．当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列．]2．若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2B [由题意，得b 2＝4ac ，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相切．] 3．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )【导学号：91432194】A ．±12B ．±2C.12D ．－2D [因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.]4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 4n －1[由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式a n ＝4n －1.]5．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式.【导学号：91432195】[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b nb n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高中数学 第二章 数列 24 等比数列学案(无答案)新人教A版必修5 学案
2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质
一、选择题 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列
2．在等比数列{an}中，若 a2 019＝8a2 016，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8
q 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m 且 n，m∈N*)； (2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an； (3)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2 )的等比数列；
2
4．在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，求插入的 6 个数的积的值．
5．已知 an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前 n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)， 求出基本量． 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
2．等比数列{an}中，若公比 q<0，则{an}一定不是单调数列．(
)
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(
)
4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．(
)
1
题型一 等比数列通项公式的推广应用 例 1 等比数列{an}中． (1)已知 a4＝2，a7＝8，求 an； (2)若{an}为递增数列，且 a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式 an.
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(第2课时)教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学
2.4 等比数列(2)一、教学目标：知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列{a n}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、q m为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1)设{a n}的公比是q，则a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9. (2)用上面的方法不难证明a n2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，a n是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证a n2=a n-k·a n+k(n＞k ＞0).a n是a n-k和a n+k的等比中项(n＞k ＞0).师和等差数列一样，等比数列中蕴涵学生回答；生由学习小组汇报探究结果. 第3题解答：(1)将数列{a n}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i=a k+i,i=1,2,…,则数列a k+1,a k+2,…,可视为b1,b2，….因为qaabbikikii==++++11(i≥1),所以，{b n}是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列.(2){a n}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则109101101121111......qaaaaaakk=====-+(k≥1).所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.比较分析，深化认识着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.合作探究师出示投影胶片1例题1(教材P61B组第3题)就任一等差数列{a n}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{a n}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n}的图象，可以看出qsaapkaaqspk==,,根据等式的性质，有1=++=++qpskaaaaqpsk.生用等差数列1，2，3，…生在等差数列{a n}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，则a k+a s=a p+a q.生思考、讨论、交流.生猜想对于等比数列{a n}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则a k·a s=a p·a t.生思考、列式、合作交流，得培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建模思想。
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5(2021年整理)
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第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。
答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。
2018版高中数学第二章数列2.4等比数列(二)学案新人教A版必修5
2.4等比数列（二）［学习目标］1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质3系统了解判断是否成等比数列的方法.戸知识梳理自主学耳知识点一推广的等比数列的通项公式n _ 4 n _ m *｛a n｝是等比数列，首项为a i，公比为q,贝U a n= aq , a n= a m・q （m n€ N）.思考1如何推导a n= anq n-m?答案根据等比数列的通项公式，n—1a n= a i q ,m-1a m= a〔q ,ann- m n-m—= q , —a n = a m - q .a m思考2若已知等比数列｛a n｝中，q= 3, a3= 3,贝U a7= ________ .答案243解析a7= a3 • q4= 3 4= 35= 243.知识点二等比数列的性质1 .如果m+ n = k+ l，则有a m • a n = a k • a .2 .如果m+ n = 2k，则有a m - a n =空.3. 若m n, p成等差数列，则a m, a n, a p成等比数列.4. 在等比数列｛a n｝中，每隔k项（k€ N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.5. 如果｛a n｝, ｛b n｝均为等比数列，且公比分别为q1, q2,那么数列」,｛a n - b n｝,3 >, ｛| ch|｝仍是等比数列，且公比分别为丄,qq, —, |q1|.q1 q16. 等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1 • a n= a2 • a n—1= a k • a n—k+1 =….思考在等比数列｛a n｝中，吏一-= ,a s • an = .a s答案a7 a2解析由等比数列的性质得a s • an= a8.a3 • a9a3 • a9= a s • a7,「. = a7.a5产题型探究_______ 婁点突破题型一等比数列的性质及应用例1 (1)在等比数列｛a n ｝中，若a 3a 6= 9, a 2a 4a 5= 27,则a 2的值为( )A . 2B . 3 C. 4 D . 9答案(1)B(2) 14解析 ⑴ 因为｛a n ｝为等比数列，所以 a 3a 6= a 4a 5= 9, 又因为a 2a 4a 5= 27,所以a 2= 3. 1 1(2) ■/ a 5 + a 9=^q ,- a 4 + a $=㊁,. 2--a 6( a 2 + 2a 6+ a io ) = a 6a 2+ 2a 6 + a 6a io2=a 4+ 2a 4a 8 + a 8= (a 4+ a 8)反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法， 往往是建立a 1,q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质 进行整体变换，会起到化繁为简的效果.a 20跟踪训练1 (1)在等比数列｛a n ｝中，a 7 • a 11 = 6, a 4+ a 14= 5,则一等于()ai 02A .3B .(2)已知数列｛a n ｝是等比数列，且 &>0, a 2a 4 + 2&a 5 + a 4a 6= 25,那么 a 3 + a 5= __________ 答案(1)C(2)5解析(1) a 7 • an = a 4 - a 14= 6, 又 a 4 + a 14 = 5,a 4 = 2,a 4= 3或’, @4 = 3a 14= 210a14 32-q= 5=2或 3，a 20103 2=q = _或一. a 10 2 3⑵ 已知公比为q 的等比数列｛a n ｝ 中, a 5 + a 9 = ^q,则 a 6( a 2 + 2a 6 + a io )的值为2 3(2)由a2a4+ 2a3a5 + a4a6= 25,即a2+ 2a3a5 + a；= (a3 + &) 2= 25,•/ a n >0a 3+ a 5> o ,「. a 3+ a 5= 5. 题型二灵活设项求解等比数列3例2已知4个数成等比数列，其乘积为 1,第2项与第3项之和为—㊁，则此4个数为1 1 、 1 1答案 8，一2,，— 8或—8， 2,— 2， 8解析 设此4个数为a , aq , aq 2, aq 3. 则 a 4q 6= 1, 3 -aq (1 + q ) = — 2，①所以a 2q 3=± 1,当a 2q 3 = 1时，q > 0,代入①式化简可得 q 2 — 4q + 1 = 0,此方程无解; 232 171当aq =— 1时，q v 0，代入①式化简可得 q +才q + 1 = 0，解得q = — 4或q = — 4.t丄1当 q = — 4 时，a =— 8;t1丄当 q = — 4时，a = 8.1 1 1 1所以这4个数为8，一 2, ，一 8或一 g , 2，一 2, 8. 反思与感悟灵活设项求解等比数列的技巧(1)三数成等比数列， 般可设为aq ， a , aq; M(2)四数成等比数列，一般可设为a a 3, , q qaq , aq 3或 a , aq, aq 2, aq 3，但前一种设法的公比为 q 2( > 0)；(3)五数成等比数列，一般可设为a a 2, , q qa , 2aq, aq .跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是- 8，后三个数依次成等差数列，它们的积为—80 ,求出这四个数. 解 由题意设此四个数为-，b , bq, a ,q则有 2bq = a + b ,ab 2q =— 80,a = 10,解得b =- 2,q = - 24所以这四个数为 1 , - 2, 4, 10或一?— 2, - 5, - 8.5 题型三等比数列的实际应用例3为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了 40%从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被 绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过 50%?（可参考数据lg 2 = 0.3，最后结果精确到整数）. 解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a 1 = 2，经过n 年后绿洲面积为a n +1,设20145 年底沙漠面积为 b 1,经过n 年后沙漠面积为 b n +1,则a 1+1, a n + b n = 1.依题意，a n +1由两部分组成：一部分是原有绿洲 a n 减去被侵蚀的部分 8%a n 的剩余面积92%a n , 另一部分是新绿化的 12%- b n ,所以4 3a n +1 = 92% ■ a n + 12%（1 — an ） = §a n + 25 ,3 4 3 an +1-5 = 5(an -5), 3 2 3 1 a15 = 5 5 = 5,” 3" 1 4•「a n -孑是以—二为首项，匚为公比的等比数列,J ' 5 53 14 n -1•an -5=(- 5)(4), • • a n =•••an+1> 50% • 5-將 >2 4 n 1 41 lg 2 5 <2, n >log 52= 1-3gT =3.则当心时，不等式5 n <1恒成立•所以至少需要4年才能使绿化面积超过 50%.n - 1或8, 2反思与感悟本题从实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列•在求解过程中应注意首项的确 立、时间的推算，不要在运算中出现问题.跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为 16a 和25a ，甲林场木材 存量每年比上年递增 25%而乙林场木材存量每年比上年递减 20%.⑴问哪一年两林场木材的总存量相等？ ⑵问两林场木材的总量到 2019年能否翻一番？ 解(1)由题意可得n — 1n — 116a (1 + 25%) = 25a (1 — 20%), 解得n = 2,故到2017年两林场木材的总存量相等.故到2019年不能翻一番. r 当堂检测1 .在正项等比数列｛a n ｝中，a n + 1<a n , a2 • a 8= 6, a 4 + a 6= 5，则一等于( )A.|B. 6 2 % D. 答案 D解析 设公比为q ,则由等比数列｛a n ｝各项为正数且a n + 1<a n 知0<q <1,2由 a 2 • a 8 = 6，得隹=6.1a ?= 16，贝U a 3a 6 + a 4a 5的值是( A . 1 B . 2 eq D. 答案 e自查自纠⑵令 n =5,贝U a 5= 16a5 v 2(16 a + 25a ),2 .在等比数列｛a n ｝中, a 2 = 4,解析a3a 尸a4a 尸a2a7= 4X 歹4,• • a 3a 6+ a 4a 5^ 2.3.在正项等比数列｛a n ｝中，3a i , ；a 3, 2a 2成等差数列，则 竺°!二竺Z 等于（）2 a 2 014 — a 2 015 A .3 或—1 B .9或1 C. 1 D .9答案 D解析由3a i, 2a s , 2a 2成等差数列可得a s = 3a i + 2a 2,2即 a i q = 3a i + 2a i q ,2-a i M 0,•• q — 2q — 3 = 0.解得q = 3或q =— i(舍).a 2 0i6 2= =q = 9.a 2 0i44.已知数列：4, a , i2, b 中，前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列， 则b 等于（）A . 20B . i8 C. i6 D . i4 答案 B解析 由题意可得 2a = 4+ i2= i6? a = 8,又 i22= 8b ? b = i8.i5 •在和8之间插入 3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为答案 81解析 设插入的3个数依次为a , b , c ,即^, a , b , c , 8成等比数列，由等比数列的性质可2 1 2 1得b = ac =8= 4,因为a = ?b >0,「. b = 2（舍负）.所以这3个数的积为abc = 4x 2= 8.「课堂爪结 -------------------------------------I ____________________________________________ Ia 2 0i6 一 a 2 0i7 a 2 0i4 一 a 2 0i5 a 2 0i6 (i — q ) a 2 0i4 (i — q )1.等比数列的性质及其应用一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要.灵活设项解决2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在求三、四个数的等比数列问题中，等比数列的问题．。
高中数学第二章数列2.4等比数列第二课时等比数列的性质及应用aa高二数学
(2)优缺点:简便(jiǎnbiàn)快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
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课堂探究·素养(sùyǎng)提升
题型一 等比数列性质(xìngzhì)的应用
规范解答:(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b(n∈N*)成立, 即 1+5(n-1)=loga6n-1+b, ………………………………………………6 分 所以 5n-4=(n-1)loga6+b,所以(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0. ………8 分 因为 an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立,
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题型三 等差、等比数列的综合应用(yìngyòng) [例3]在公差d不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=1,且a1=b1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q;
规范解答:(1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,可得
在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等,即 a1an=a2an-1=a3an-2=…=aman-m+1(n>m) 若 m,p,n(m,n,p∈N*)成等差数列,则 am,ap,an 成等比数列
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思考:你能证明(zhèngmíng)等比数列下面的性质吗? 若等比数列{an}中,m,n,s,t∈N*且m+n=s+t,则aman=asat.
答案(dá àn):7
高中数学第二章数列2.4等比数列(第2课时)学案新人教A版必修5
2.4 等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .2.等比数列的通项公式: .二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列.(1)在等比数列{a n}中,是否有=a n-1a n+1(n≥2)?(2)如果数列{a n}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有=a n-1a n+1,那么{a n}一定是等比数列吗?分析:(1)由{a n}是等比数列,知,所以有=a n-1a n+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=a n-1a n+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{a n}中的每一项均不为零,且=a n-1a n+1(n≥2,n∈N),则数列{a n}是等比数列,反之成立.2.几个性质(1)已知a1,a2,a3,…,a n是公比为q的等比数列,新数列a n,a n-1,…,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出a n,a n-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为,公比为的等比数列.(2)已知无穷等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.①依次取出数列{a n}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?②数列{ca n}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:①由=q,得a n+1=a n q,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{a n}的所有奇数项组成的数列是首项为,公比为的等比数列.②因为=…==q,所以数列{ca n}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{a n}是等比数列.①=a3a7是否成立?=a1a9成立吗?②=a n-1a n+1(n>1)是否成立?③=a n-k a n+k(n>k>0)是否成立?④在等比数列中,m+n=p+k,a m,a n,a p,a k有什么关系呢?分析:①设数列{a n}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=a n-1a n+1(n>1)成立.③=a n-k a n+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得a m=a1q m-1,a n=a1q n-1,a p=a1q p-1,a k=a1q k-1,a m·a n=q m+n-2,a p·a k=q p+k-2,则a m a n=a p a k.结论:若m+n=p+k,则.三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{a n}中,(1)已知a2=4,a5=-,求数列{a n}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例2】如果数列{a n},{b n}是项数相同的等比数列,那么{a n·b n}也是等比数列.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练1:等比数列{a n}中,若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11= .变式训练2:等比数列{a n}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,则a n= .变式训练3:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= .变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q≠0)2.a n=·q n-1(a1·q≠0),a n=·q n-m(a m·q≠0)二、信息交流,揭示规律1.⇒G2=ab⇒G=±2.(1)a n(2)①a1q2(3)a m a n=a p a k(m,n,p,k∈N*)三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-.∴a n=a2q n-2=4×.(2)∵a3a5=,a3a4a5==8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=,∴a2a3a4a5a6==32.【例2】解:设数列{a n}的首项是a1,公比为q1;数列{b n}的首项为b1,公比为q2,那么数列{a n·b n}的第n项与第n+1项分别为a1··b1·与a1··b1·,即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1·(q1q2)n,因为=q1q2,它是一个与n无关的常数,所以{a n·b n}是一个以a1b1为首项,以q1q2为公比的等比数列.【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,∴,∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边.证毕.法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,则b=aq,c=aq2,d=aq3,∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右边证毕.【例4】解:设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),9d2=(2d+1)·4d,解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、变式训练,深化提高变式训练1:解析:因为a7·a12=a8·a11=a9·a10,又a7·a12=5,所以a8·a9·a10·a11=5×5=25.答案:25变式训练2:解析:由a1·a2·a3=8得=8,于是a2=2所以a1·a3=4, ①由a1+a2+a3=7得a1+a3=5, ②由①②解得当时,q==2,a n=2n-1,当时,q=,a n=4×=23-n.答案:2n-1或23-n变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=,a4a6=a5a5=,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.又a n>0,所以a3+a5=5.答案:5变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.五、反思小结,观点提炼略。
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质
等差数列
(1)强调每一项与前一项的 差 (2)a1 和 d 可以为 0 区 (3)任意两个实数的等差中 别 项唯一
(4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈ N*)时, am+an=ap+aq
等比数列
(1)强调每一项与前一项的比
(2)a1 与 q 均不为 0 (3)两个同号实数(不为 0)的等 比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时, aman=apaq
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2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a
与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a=
.
答案:5
-4-
第2课时 等比数列的性质
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1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am·qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am·an=ap·aq.但am+an≠ap+aq.当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am·an = ���������2��� . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1.
高中数学：第2章 数列 §2.4-第2课时
第2课时等比数列的性质1.等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于A.4B.8C.16D.32解析因为{a n}是等比数列，所以a2·a6＝a24＝16.★答案★ C2.在正项等比数列{a n}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a40a50a60的值为A.32B.256C.±64D.64解析因为a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，所以a1a99＝16，又a40a60＝a1a99＝a250，{a n}是正项等比数列，所以a50＝4，所以a40a50a60＝a350＝64.★答案★ D3.在等比数列{a n }中，a n ＞a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于A.32B.23C.16D.6解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，a 4＋a 14＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3.又因为a n ＞a n ＋1，所以a 4＝3，a 14＝2. 所以a 6a 16＝a 4a 14＝32. ★答案★ A4.在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝________. 解析 因为数列{a n }为等比数列，所以a 3＝a 1·q 2，a 4＝a 2·q 2，a 5＝a 3·q 2， 所以a 3＋a 4＋a 5＝a 1·q 2＋a 2·q 2＋a 3·q 2＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)， 又因为q ＝2，所以a 3＋a 4＋a 5＝4(a 1＋a 2＋a 3)， 因为前3项和为21，所以a 1＋a 2＋a 3＝21， 所以a 3＋a 4＋a 5＝4×21＝84. ★答案★ 845.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________.解析 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.★答案★ 3或27[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列解析a n－1a na n－2a n－1＝a n－1a n－2·a na n－1＝q·q＝q2(n≥3)，所以新数列是公比为q2的等比数列.★答案★ B2.已知等比数列{ a n}中a7＝－1，a19＝－8，则a13＝A.－22B.22C.16D.－32解析由等比数列的性质得：a19a7＝(q6)2＝8，q6＝22，a13＝a7·q6＝(－1)·22＝－2 2.★答案★ A3.已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于A.2B.4C.8D.16解析由数列{a n}是等比数列，且a3a11＝4a7，得a27＝4a7，∴a7＝4或a7＝0(舍).所以在等差数列{b n}中，有b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.★答案★ C4.设各项为正数的等比数列{a n}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.230B.210C.220D.215解析 由a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230得a 301·21＋2＋…＋29＝a 301·229×302＝230.∴a 101·2145＝210. ∴a 101＝2－135.∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101·22＋5＋8＋…＋29＝a 101·2155＝2－135×2155＝220.★答案★ C5.已知数列{a n }(n ∈N *)是首项为1的等比数列，设b n ＝a n ＋2n ，若数列{b n }也是等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＝A.9B.21C.42D.45解析 设数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，∴b 1＝a 1＋21＝3，b 2＝a 2＋22＝q ＋4，b 3＝a 3＋23＝q 2＋8.∵数列{b n }也是等比数列，∴(q ＋4)2＝3(q 2＋8)，解得q ＝2.当q ＝2时，a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1，符合题意，故q ＝2.∴b 1＋b 2＋b 3＝3＋6＋12＝21.★答案★ B6.(能力提升)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是A.－15B.－5C.5D.15解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n＝1，得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列.因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.★答案★ B二、填空题(每小题5分，共15分)7.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7的值等于________. 解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)，所以a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.★答案★ 428.若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝________，ac ＝____________.解析 因为－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，所以b 2＝(－1)×(－9)＝9，设公比为q ，则b ＝－1·q 2<0，故b ＝－3，又－1，a ，b 成等比数列，所以a 2＝－b ＝3，同理c 2＝27，所以a 2c 2＝3×27＝81.又a ，c 符号相同，所以ac ＝9.★答案★ －3 99.(能力提升)画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048.★答案★ 2 048三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.解析 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d ). 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不符合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0，或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11.(12分)互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数.解析 设三个数为aq，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q ，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4， ∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾； (2)若－2q 为－2q与－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4，－2，1； (3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为1，－2，4.综合(1)(2)(3)可知，这三个数为－2，1，4.12.(12分)(能力提升)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3，4S 2＝S 4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{2a n }是等比数列； (3)求使得S n ＋2＞2S n 成立的n 的集合. 解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4×（2a 1＋d ）＝4a 1＋6d .解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)依题意，得2a n 2a n －1＝22n －122n －3＝4，所以数列{2a n }是首项为2，公比为4的等比数列. (3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2， 所以S n ＋2＞2S n ⇒(n ＋2)2＞2n 2⇒(n －2)2＜8. 所以n ＝1，2，3，4， 故n 的集合为{1，2，3，4}.。
2018春高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质3 精品
.
2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件 改为a4+a7=2，a5·a6=-8，求a1+a10.
【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.
联立
a a
4 4a7
a7
2， 8.
可解得
a 4 a 7
4， 或
2.
a a
4 7
2， 4.
当
a a
4 7
时4，，q3=-
22
1 201 20 ln 2 105ln 2.
2
2
2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12 =2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+ log3a10的值. 【解析】log3a1+log3a10 =log3(a1·a10)=log3(a3·a8)=log39=2.
【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.
解方程组
a3a8 512， a3 a8 124.
得
a3 a8
4， 或
128.
a a
3 8
128， 4.
因为q为整数，所以q=5
a8
=-2，
a3
所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n-2×2n-1.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124， 且公比为整数”改为“a7·a11=6，a4+a14=5”，则结果 又如何？
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a3a9=a62，又因
为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an>0，所以2 a5=a6
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质aa高二数学
『规律总结』 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数， 可设qa3，aq，aq，aq3.
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• 〔跟踪练习2〕
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命题(mìng tí)方向1 ⇨等比数列的性质
•
例题(lìtíபைடு நூலகம் 1在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}中，已知a4a7＝－512，a3＋
a8＝124，且公比为整数，则a10＝___51_2___.
[解析] 由等比数列的性质，得 a3a8＝a4a7＝－512， 由aa33＋ a8＝a8＝ －152142，得
－4,2,8
• [分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组
求解．
• (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一
个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题 的关键．
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25，那么a3＋a5＝
()
A
• A．5 B．10
• C．15 D．20
[解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a25，a2a4＝a23， ∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25， ＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， ∴a3＋a5＝±5. ∵an>0，∴a3＋a5＝5.
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• (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列(děnɡ chā shù liè)， 则这四个数为__3_,_6_,1_2_,2_4________.
2018版高中数学第二章数列2.3.1等比数列(一)学案新人教B版必修5
2．3.1 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….梳理 等比数列的概念和特点．(1)文字定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的____一项的____都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q (q ≠0)表示．(2)递推公式形式的定义a n a n －1＝q (n >1，n ∈N ＋)(或a n ＋1a n＝q ，n ∈N ＋)． (3)等比数列各项均________为0.知识点二 等比中项的概念思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：知识点三 等比数列的通项公式思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式吗？梳理 等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.类型一 证明等比数列例1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．类型二等比数列通项公式的应用命题角度1 方程思想例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．反思与感悟已知等比数列{a n}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练2 在等比数列{a n}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求a n.命题角度2 等比数列的实际应用例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)类型三 等比中项例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则a b的值为( ) A ．±12B.12 C ．1D ．±1反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个． 跟踪训练4 2＋1与2－1的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D.121．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－322．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．323．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方． 3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．答案精析问题导学 知识点一思考 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数． 梳理 (1)2 前 比 同一个 公比 (3)不能 知识点二思考 设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．梳理 两 相反数 知识点三思考 等差数列通项公式的推导是借助叠加消去中间项，等比数列则可用叠乘．根据等比数列的定义得a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q (n ≥2)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1qn －1(n ∈N ＋)．题型探究 类型一例1 证明 由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ， ∴a n ＝m2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m n ＋＋2m2n ＋2＝m 2， ∵m ＞0且m ≠1， ∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是等比数列．跟踪训练1 (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．类型二 命题角度1例2 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.跟踪训练2 (1)a 6＝－96， (2)a n ＝5×2n －1(n ∈N ＋)．命题角度2例3 解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n＝0.5.两边取常用对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4.所以这种物质的半衰期大约为4年．跟踪训练3 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N ＋)， 从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11. 所以从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 类型三例4 D [∵1，a,3成等差数列， ∴a ＝1＋32＝2，∵1，b,4成等比数列， ∴b 2＝1×4，b ＝±2，∴a b ＝2±2＝±1.] 跟踪训练4 C 当堂训练1．C 2.C 3.A 4.－60或60。
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新
第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积． 解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。
高中数学 第二章 2.4等比数列(二)导学案新人教A版必修5(2)
§2.4 等比数列(二)课时目标1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2.5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343 答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________. 答案 4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x －y －y ＝y ＋－x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2) ＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符， ∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323时q ＝2∴a n ＝13·2n －123a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。
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第2课时 等比数列的性质学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．推广的等比数列的通项公式{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k.思考：如何推导a n ＝a m qn －m?[提示] 由a n a m ＝a ·q n －1a ·q m －1＝q n －m ，∴a n ＝a m ·qn －m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k .②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n－1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也为等比数列.思考：等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列．[提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．[基础自测]1．思考辨析(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( ) [答案] (1) √ (2)× (3)√提示：(2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．2．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝________，a n ＝________. 24 3×2n －1[a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1qn －1＝3×2n －1.]3．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________.【导学号：91432203】9 [因为a 7＝a 5q 2， 所以q 2＝32.所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.][合 作 探 究·攻 重 难]灵活设项求解等比数列已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________．8，－2，12，－18或－18，12，－2,8 [设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.]1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数.【导学号：91432204】[解] 由题意设此四个数为b q，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.等比数列的性质及应用已知{a n }为等比数列，(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解． [解] (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.2．(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7. (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .【导学号：91432205】[解] (1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3.所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.由递推公式转化为等比数列求通项[探究问题]1．如果数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(n ∈N *)，你能判断出{a n }是等差数列，还是等比数列吗？提示：由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 2．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？提示：在a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，显然数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以q ＝2为公比的等比数列．3．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1改为a n ＋1＝3a n ＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n 吗？提示：设将a n ＋1＝3a n ＋5变形为a n ＋1＋x ＝3(a n ＋x )．将该式整理为a n ＋1＝3a n ＋2x 与a n ＋1＝3a n＋5对比可知2x ＝5，即x ＝52；所以在a n ＋1＝3a n ＋5两边都加52，可构造出等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋52.利用等比数列求出a n ＋52即可求出a n .已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4. (1)求a 1的值．(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列．思路探究：(1)由n ＝1代入S n ＝2a n ＋n －4求得；(2)先由S n ＝2a n ＋n －4，利用S n 和a n 的关系得{a n }的递推关系，然后构造出数列{a n －1}利用定义证明．[解] (1)因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3. (2)证明：因为S n ＝2a n ＋n －4， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋(n －1)－4，S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)， 又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1， 且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列．母题探究：1.将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2”，“b n ＝a n －1”改为“b n ＝a n ＋1－2a n ”，试证明数列{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式．[证明] a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2 ＝4a n ＋1－4a n .b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.所以数列{b n }是公比为2的等比数列， 首项为a 2－2a 1.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， 所以a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3. 所以b n ＝3·2n －1.2．将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1”，试证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．[解] 由已知得a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0，所以(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0. 所以a n ＋1－2a n ＝0或a n ＋1＋a n ＝0， (1)当a n ＋1－2a n ＝0时，a n ＋1a n＝2.又a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n ＝2n －1.(2)当a n ＋1＋a n ＝0时，a n ＋1a n＝－1，又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列，所以a n ＝1×(－1)n －1＝(－1)n －1.综上：a n ＝2n －1或(－1)n －1.1．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是( )A ．1B ．2 C.12 D.14C [a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14，∴a 3a 6＋a 4a 5＝12.]2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )【导学号：91432206】A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9D [由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍)． ∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 016－q a 2 014－q ＝a 2 016a 2 014＝q 2＝9.] 3．已知数列：4，a,12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b 等于( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．14B [由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8，又122＝8b ⇒b ＝18.]4．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.]5．已知数列{a n }为等比数列，(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .【导学号：91432207】[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36. 又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.。