模糊集

常用的模糊隶属函数
1. 三角形隶属函数
2. S隶属函数
模糊集定义与隶属函数
3. 正态隶属函数
4. 梯形隶属函数
模糊集的表示方法
• 扎德表示法： 1. 当U为有限个元素时，称其为有限论域，设U={x1, x2,…, xn}，U上的模糊集A可以表示为： 表示每个元素xi的隶属度为μA (xi)，而不是通常意 义下的分式求和。 2. 当U是连续论域时， 这里的积分号不是通常的积分含义，该式表示对每 个x都指定了相应的隶属度μA (x)。
a b c d
(1 a ) (1 b) (1 c ) (1 d )
a b cd 1 (1 a ) (1 b) 1 (1 c) (1 d )
• 即：T 2 (a, b)≤T 2 (c, d) • 显然： T2 (a, b)= T 2 (b, a)
• 著名的复杂性与精确性“不相容原理” 当系统的复杂性不断增长时，对 系统特性精确而有效描述的能力将相应降 低，直至达到一个阈值，一旦超过该阈值， 精确性和有效性将变成互相排斥的两个特 性，即，系统复杂程度越高，人们对它的 认识越模糊。 不相容原理深刻地揭示了模糊数 学产生与发展的必然性。 • 模糊集理论已经成为数据挖掘研究 的有效工具。
直观意义:图中为三个水平 λ，λ’，λ”下的隶属函数 的图形。当取遍[0, 1]上 的所有值时，对应每一元素 x取所有λAλ隶属函数值中 的最大值对应的点，再将这 些点连成一条曲线即为模糊 集A的隶属函数曲线。
• 例：设X={x1,x2,x3,x4,x5},对a∈[0,1], • 有 {x1, x2 , x3 , x4 , x5} 0 0.4 {x , x , x , x } 0.4 0.6 1 2 4 5 A {x1, x2 , x4} 0.6 0.7 {x , x } 0.7 0.8 1 4 {x4} 0.8 1.0 • 试求A。 • 根据定理解得：
A 0.8/ x1 0.7/ x2 0.4/ x3 1.0/ x4 0.6/ x5
扩展定理
•X和Y是两个论域，f为从X到Y的映射 f : XY A为X上的一个模糊集，A在映射f下的像是Y上的一个 模糊集B=f(A)，对yY， ，其中 xX且y= f (x)。 允许将一个映 射或关系的定义域从 论域U上的点扩展到 论域U上的模糊集。 扩展原理不仅可以用 于映射，还可以用于 关系或谓词
模糊集的基本运算
•模糊集间的运算实际上是逐点对隶属度作相应的运算。 •定义：设A，B是同一论源自文库U上的两个模糊集合，其隶 属函数分别为μA (x)和μB (x)，A与B的并集、交集分 别记为AB和AB。A的补集记为 。它们的隶属函 数分别为：
其中，max和表示最大运算，min和表示最小运算。
分解定理与扩展定理
•定义:对U上的模糊集合A，称A1为A的核， • 记作core (A),core(A)={xU |μA(x)=1} •称SuppA={x| μA (x)>0}为A的支集，称 SuppA–A1为A的边界。 •核core(A)由完全隶属于A的成员组成。若 core(A)不空，则称A为正规模糊集；否则， 称为非正规模糊集。
模糊集的基本运算
•定义：设A，B是同一论域U上的两个模糊集， • 若xU，都有μA (x)≥μB (x)，则称A包 含B，记作AB； • 若xU，都有μA (x) =μB (x)，则称A等 于B，记作A=B； 显然，A=B当且仅当AB且BA。
• 例：设论域U={x1, x2, …, x5}，U上的模 糊集A，B分别为： A=0.9/x1 +0.7/x2 +1/x3 +0.2/x4 +0.3/x5 B=0.6/x1 +0.8/x2 +0.5/x3 +0.5/x4 +0/x5 求AB，AB， 及 。
• 当μA的值域为{0, 1}时，μA退化为经典集 合的特征函数，而A退化为经典集合，即经 典集合是模糊集合的特例。 • 模糊性的根源在于客观事物之间的差异存 在中间过渡，存在亦此亦彼的现象。 • 隶属函数是模糊集理论的基本概念，它以0、 1之间的一个数反映一个元素隶属于集合的 程度，进而描述模糊现象。 • 隶属函数的确定过程本质上是客观的，但 又允许有一定的人为技巧。
模糊集定义与隶属函数
•例9.1 以年龄为论域，取U=[0, 200]，为定义“年 老”O与“年轻”Y这两个模糊集，Zadeh给出的隶属函 数如下：
模糊集定义与隶属函数
模糊集A的扎德记法形式为 •序偶形式表示A，A={(a, 0.3), (b, 0.7), (c, 1), (d, 0), (e, 0.25)} •向量形式表示A，A=(0.3， 0.7，1，0，0.25)
• 定理： (AB)λ=AλBλ， • (AB)λ=Aλ Bλ • 证明 x(AB) μ(AB) (x)≥λ • μA (x) μB (x)≥λ μA (x)≥λ或μB (x)≥λ xA 或xB x(A B) 类似可证明第二式。 • 注意 。 • 定理:若λ≤μ，则Aλ Aμ。
• 随着阈值λ从1下降，逐渐趋于0（不到达 0），Aλ从A的核core(A)扩展为A的支集 SuppA。因此，经典集合族{Aλ|0<λ≤1}象 征着一个具有游移边界的集合,如图。
分解定理与扩展定理
•定义: 设λ[0, 1]，A为论域U上的模糊集， λ和A的数乘记为λA，定义其隶属函数为： μλA (x)= λ μA (x)
• 扩展原理，设 f : X Y ，则由f可以诱导出如 下映射，分别记为f与f-1： • f ：F（X）→F（Y），A → f （A ） • f-1： F（Y）→F（X），B→ f -1（B ） 1 • 其中 A(x) f ( y)
f ( x)y f ( A)(y) 0
1
f ( y)
1
f
( B )( x ) B ( f ( x ))
-1（B
• 称f （A ）是A 在f下的像，而f 于的逆像。 • F（X）为集合X上的模糊集
）是B关
• 例：设X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},Y={a,b,c,d} • 而
a x {x1, x2 , x3} f (x) b x {x4 , x5} c x x6
以下三角模是T模：
以下三角模是S模：
T(a,b) T2(a,b) T (a,b) T0(a,b) S0(a,b) S1(a,b) S2(a,b) S(a,b) 1
定理：上述三角模有下列关系成立
验证T2(a,b)为三角模T模
• 容易验证： T2(0,0)=0， T2(1,1)=1 • 若a,b,c,d∈[0，1]， a≤c，b≤d ，则有
• 所以T2为三角模 • 并且对任意的a∈[0,1],有 T (1, a ) a 1 a 2 1 0 • 所以T2为T模。
分解定理与扩展定理
•定义：设A为论域U上的模糊集，λ[0, 1]，令Aλ ={x| μA (x)≥λ}，称Aλ 为A的λ截集。 •令 ={xU |μA (x)≥λ}，称 为A的强λ截 集。 •显然，Aλ和 都是经典集合。 •例： 令U={x1, x2, x3, x4, x5}， A=0.9/x1+0.7/x2+1/x3+0.2/x4+0.3/x5 ， 求A0.3，A0.5，A0.7，A1，A0。 •解 A0.3={x1, x2, x3, x5}，A0.5={x1, x2, x3}， •A0.7={x1, x2, x3}，A1={x3}， A0=U。
第9章
模糊集
《数据挖掘与知识发现》 (第2版)
模糊集
模糊集用于描述和处理没有明确外延的 模糊概念。本章介绍模糊集基本理论和方法， 具体包括： •模糊集定义与隶属函数 •模糊集的基本运算 •分解定理与扩展原理 •模糊集的特征 •模糊集的度量 •模糊关系 •模糊聚类分析 •模糊集与粗糙集比较
引言
模糊数学是研究和处理模糊现象的数 学。有一类概念没有明确外延，称为模糊 概念。模糊概念无法用康托集合论来刻画。 • 1965年，L.A.Zadeh提出模糊集合论， 用隶属程度来描述差异的中介过渡，是一 种用精确的数学语言描述模糊性问题的方 法。
-1（B
A1.0/ x1 0.5/ x2 0.8/ x3 0.4/ x5 0.7/ x6
• 试求B=f （A）， f ）
• • • • •
解： f (A)(a)=A(x1)∨ A(x2)∨ A(x3)=1.0 ， 同理 f (A)(b)=0.4 ; f (A)(c)=0.7 而f -1(d)= ，则f (A)(d)=0 从而 B f ( A) 1.0 / a 0.4 / b 0.7 / c
模糊集的基本运算
•定义： 映射T : [0,1]2[0, 1]称为三角模， 如果满足条件： (1) T(0, 0)=0，T(1, 1)=1 (2) a≤c，b≤d T (a, b)≤T (c, d) (3) T (a, b)＝T (b, a) (4) T (T (a, b), c)=T (a, T (b, c)) •若三角模满足T(a, 1)＝a (a[0, 1])，则 称之为T模。 •若三角模满足T(0, a)＝a (a[0, 1])，则 称之为S模。
• 再计算T2 (T2 (a, b)，c)= T2 (a, T2 (b，c)), • 事实上：
T2 ( a , b ) c T2(T2(a,b),c) 1 (1 T2 ( a , b )) (1 c )
abc 1 (1 a)(1 b) (1 a)(1 c) (1 b)(1 c) T2 ( a , T2 ( b , c ))
1
A(x)
分解定理:设λ[0, 1]， A为模糊集，Aλ为A的λ 截集，则：
0
x
A A [ 0 ,1 ]
• 定理（隶属函数形式的分解定理） 设λ [0, 1]，A为模糊集，Aλ为A的 λ截集， 是Aλ的特征函数，则有： A( x) ( CA ( x))
[0,1]
• f -1(B)(x1)=B (a)=1.0…… • 所以
f (B) 1.0/ x1 1.0/ x2 1.0/ x3 0.4/ x4 0.4/ x5 0.7/ x6
1
• 例：设X=R，f：R→R， f ( x ) 1 1 ( x 1 ) 2 2 而且A∈F(X)，使 1 1 3 x 3 x 0 A(x) 1 x 0 x 1 0 其它 试求f(A)。 当 x 3 或 x 1 解： 时，A(x)=0 ,所以
模糊集定义与隶属函数
•定义9.1 论域U上的一个模糊集合A通过一个隶属 函数刻画： μA (x) : U[0, 1]，xU 对任意xU，都指定一个数μA(x)[0, 1]与之对应， 称为x对A的隶属度（Degree Of Membership），μA 称为A的隶属函数（Membership Function）。 – 若μA (x)=0，则x完全不属于A； – 若μA (x) =1，则x完全属于A； – 若0<μA (x)<1，则x属于A的隶属度为μA (x)。
模糊集的基本运算
•论域U上的模糊集A、B、C，空集用表示，模糊集 的并、交、补运算具有如下性质：
• 模糊集理论中互补律不成立。 表明模糊集中的元素不再具有 “非此即彼”或“非真即伪”的分明性， 这也是模糊集的本质特征。
例如：U={x1,x2},A=0.2/x1+0.7/x2, • =0.8/x1+0.3/x2 • A∪ =0.8/x1+0.7/x2≠U; • A∩ =0.2/x1+0.3/x2≠ 。