重庆市2020届高三“二诊”考试数学(理)试题答案
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 理科数学 参考答案
一、选择题
1～6 BCBDBC
7～12 CABCDC
第 7 题提示：由题知， b a 2b b a 1≥ 2 b a 1 2 1 ，当且仅当 b a
a 2b a 2b
a 2b
a 2b
即 a 2 2 2，b 2 2 时等号成立，故选 C．
故 m 2 ；……5 分
（2）a2
b2
2
，由柯西不等式得
( 1
1 a
2
2
1 b2
)(1
a2
2
b2)
≥(1 1) 2
，当且仅当
a2
3 ，b2 2
1 2
时
等号成立， 1 1 a2
1 2 b2
≥
a2
4 b2
3
4 5
1
，故
1 a2
1 2 b2
的最小值为
4 5
.
……10 分
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 4页 共 4 页
2
，
2bc
2
故 A 3 ，由 cos A cos(B C) sin B sin C cos B cos C 得 sin B sin C
2
，
4
10
由正弦定理知 b c 2a ，即b 2asin B，c 2asin C ， sin B sin C
S 1 bc sin A 1 2a2 sin B sin C 2 1 a2 ，
CPD ， 6 3 ，即 PD 2 3 ，又 EF AB 1 DC ，
3 PD
2
E，F 分别为 PD，PC 的中点，取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO AD ，
由 CD 平面 PAD可得CD PO ，故 PO 平面 ABCD ， ……7 分 以 O 为原点， OA，AB，OP 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
y
x
1
，与椭圆 C
的方程联立得 5x2
6x
3
0
，则
x1
x2
6 5
，x1
x2
3 5
，
y1 y2
(x1
1)(x2
1)
x1x2
(x1
x2 )
1
3 5
6 5
1
4 5
，……10
分
52 2 4(1 )( 1 2) 0 ，解得 22 或 0 ，
55
37
又 N，Q 不重合， 0 ，故 22 . …12 分 37
故 f (x) 在[k ，k 5 ] 上单增，在[k 5 ，k 11 ] 上单减， k Z ；……6 分
12
12
12
12
（2） f ( A) 2sin(A ) 3 ，则 sin(A ) 3 ， A(0， ) ，A ，即 A 2 ，……8 分
2
3
32
33
3
由正弦定理得 1 3 ， sin C 1 ，C ，故 B ，
BG 4 ，又 GC 3，BC 5 ，故 BGC 90 ，
AD DC ， AB AD ，又 AB AP ， AB 平面 PAD ， EF 平面 PAD ， EF PD ； ……6 分
O x
G y
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 2页 共 4 页
（2）由（1）知 CD 平面 PAD ，CPD 即为直线 PC 与平面 PAD 所成角，
2
2
2 10
所以 a 10 ，故选 D．
第 12 题提示：设 ABC 的中心为 G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ．
由题知 DG 平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ，
又 BD CE ， BD 平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥，
a
a
a
（2） ln x 1 ax2 e x e 1 a e x 1 ax2 ln x e 1 a 0 ，令 g(x) ex 1 ax 2 ln x e 1 a ，
2
2
2
2
2
2
g (1)
0 ，g(x)
ex
ax
1 x
，若
g(1)
0
即a
e 1 ，则存在
x0
1使得当
x (1，x0 ] 时
故 [2x1 (1)x2]2 [2y1 (1)y2]2 1，
3
2
即 42( x12 y12 ) (1 )2( x22 y22 ) 4(1 )( x1x2 y1y2 ) 1，
32
32
32
42 (1 )2 4(1 )( x1x2 y1 y2 ) 1， ……8 分 32
由题知直线
MN
:
2
显然 n (0，0，1) 是平面 ABD 的一个法向量，cos m，n
92 2
9
， ……11 分
131 131
2
由题知二面角 A BD F 的余弦值为 9 131 ． ……12 分 131
20．（12 分）
解：（1）由题知 c a
3 3
b2
，故
a2
2 3
，又
1 a2
4 3b2
1 ， a2
（2）由题知 170， = 4.6 115 2.14 ， ……5 分 5
（ⅰ） P(167.86 X 174.28) P( X 2) 0.6826 0.9544 0.6826 0.8185 ， 2
……8 分
（ⅱ） P( X 174.28) 1 0.9544 0.0228 ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 2
第
8
题提示：由
y
x e|x|
为奇函数可排除
C
选项，当
x
0
时， y
1 x ex
，故
y
x ex
在 (0，1)
上单增，(1， )
上单减，故选 A．
第 9 题提示：由 f (x) 为奇函数知 f ( 3 x) f (x 3) ， f (x 3) f (x 3) ，即 f (x 3) f (x) ，
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
22．（10 分）
解：（1）曲线 C 的普通方程为 (x 2)2 ( y 3)2 4 ，直线 l 的直角坐标方程为 4 y 3x a ，由直线 l 与圆 C 有
两个交点知 | 6 12 a | 2 ，解得 8 a 28 ； ……5 分 5
（2）设圆 C 的圆心为 O1 ，由圆 C 的参数方程可设点 M (2 2 cos0，3 2 sin 0) ，由题知 O1M / /l ，
P 1 (1 0.0228)10 1 0.977210 1 0.79 0.21 . ……12 分
19．（12 分）
z
解：（1）AB / /DC ， AB 平面 PDC ，AB/ / 平面 PDC ，
又面 ABFE 面 PDC EF ， AB / / EF ，
取 DC 中点 G ，连接 BG ，则 ABGD 为平行四边形，
DA，DB，DC 两两垂直，
故三棱锥 D ABC 可看作以 DA，DB，DC 为棱的正方体的一部分，
二者有共同的外接球，由 AB 6 得 DA 3 2 ，
故正方体外接球直径为 3 2 3 3 6 ，
二、填空题
13． 4
所以球 O 的表面积为 4 R2 54 ，故选 C．
14． 45 9 2
sin C 3
2
6
6
2
SABC
1 ac sin B 2
3
.
4
……12 分
18．（12 分）
解：（1）由题知五组频率依次为 0.1，0.2，0.375，0.25，0.075 ，
故 x 0.1166 0.2168 0.375170 0.25172 0.075174 170 ， ……2 分
s2 (170 166)2 0.1 (170 168)2 0.2 (170 172)2 0.25 (170 17 4)2 0.075 4.6 ；…4 分
即 a4 4d ，故 a1 d ， an nd ， a3 3d，a6 6d ，
故此等比数列首项为 3d 、公比为 2 ，
因此 abn 3d 2n1 ，故 bn 3 2n1 ． 第 16 题提示： y a 2sin x [a 2，a 2] ，由题知在区间[a 2，a 2] 内存在两数之积为 1，
g(x)
0，
g(x) 单减， g(x0 ) g(1) 0 ，与题意矛盾，故 a ≤ e 1， ……7 分
当a
≤
e
1 时，
x (1，
)
Hale Waihona Puke Baidu
， g(x)
ex
a
1 x2
e 1
a
≥2
， g(x)
单增，
g(x) g(1) ≥ 0 ， g(x) 单增， g(x) g(1) 0 ，符合题意， a ≤ e 1. ……12 分
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 3页 共 4 页
21．（12 分）
解：（1） f (x) 1 ax ax2 1 （ x 0 ），当 a ≥ 0 时 f (x) 0 ， f (x) 在 (0， ) 上单增，
x
x
当 a 0 时 f (x) 0 0 x 1 ， f (x) 在 (0， 1 ) 上单增，在 ( 1 ， ) 上单减；……4 分
3 ，b2
2，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1； ……4 分 3 2
（2）设 M(x1，y1)， N (x2，y2 ) ，由 OP 2OM 得 P(2x1，2 y1) ， 由 NQ NP 得 (xQ x2，yQ y2) (2x1 x2，2 y1 y2 ) ，
xQ 2x1 (1 )x2，yQ 2 y1 (1 ) y2 ，又点 Q 在椭圆 C 上，
则 A(2，0，0)，D(2，0，0)，B(2，3， 0)， C(2，6，0)，P(0，0，2 2) ， 故 F(1，3， 2)，DB (4，3，0)，DF (1，3， 2) ，
设平面
DBF
的法向量为
m
(x，y，z)
，则
4x 3y x 3y
0 2z
0
，
令
x
3
得
m
(3，
4，9
2 ) ，……9 分
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第
10
题提示：由题知 |
FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
A(0，1) ，由题知
AP
AF
，即
1 p
yP 5
p
1
=
-
1
，
22
yP -
5 p ， p 2 5 ，故所求距离为 5 p p 4 5 ，故选 C．
5
22 5
第 11 题提示：由 a sin A bsin B
2csin B csin C 得 a2 b2
2cb c2 ，则 cos A b2 c2 a2
cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55
.
……10 分
23．（10 分）
解：（1） f (x) | x | | x | | x 2 |≥| x | | x (x 2) || x | 2 ≥2 ，当且仅当 x 0 时等号成立，
故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
一、选择题
1～6 BCBDBC
7～12 CABCDC
第 7 题提示：由题知， b a 2b b a 1≥ 2 b a 1 2 1 ，当且仅当 b a
a 2b a 2b
a 2b
a 2b
即 a 2 2 2，b 2 2 时等号成立，故选 C．
故 m 2 ；……5 分
（2）a2
b2
2
，由柯西不等式得
( 1
1 a
2
2
1 b2
)(1
a2
2
b2)
≥(1 1) 2
，当且仅当
a2
3 ，b2 2
1 2
时
等号成立， 1 1 a2
1 2 b2
≥
a2
4 b2
3
4 5
1
，故
1 a2
1 2 b2
的最小值为
4 5
.
……10 分
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 4页 共 4 页
2
，
2bc
2
故 A 3 ，由 cos A cos(B C) sin B sin C cos B cos C 得 sin B sin C
2
，
4
10
由正弦定理知 b c 2a ，即b 2asin B，c 2asin C ， sin B sin C
S 1 bc sin A 1 2a2 sin B sin C 2 1 a2 ，
CPD ， 6 3 ，即 PD 2 3 ，又 EF AB 1 DC ，
3 PD
2
E，F 分别为 PD，PC 的中点，取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO AD ，
由 CD 平面 PAD可得CD PO ，故 PO 平面 ABCD ， ……7 分 以 O 为原点， OA，AB，OP 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
y
x
1
，与椭圆 C
的方程联立得 5x2
6x
3
0
，则
x1
x2
6 5
，x1
x2
3 5
，
y1 y2
(x1
1)(x2
1)
x1x2
(x1
x2 )
1
3 5
6 5
1
4 5
，……10
分
52 2 4(1 )( 1 2) 0 ，解得 22 或 0 ，
55
37
又 N，Q 不重合， 0 ，故 22 . …12 分 37
故 f (x) 在[k ，k 5 ] 上单增，在[k 5 ，k 11 ] 上单减， k Z ；……6 分
12
12
12
12
（2） f ( A) 2sin(A ) 3 ，则 sin(A ) 3 ， A(0， ) ，A ，即 A 2 ，……8 分
2
3
32
33
3
由正弦定理得 1 3 ， sin C 1 ，C ，故 B ，
BG 4 ，又 GC 3，BC 5 ，故 BGC 90 ，
AD DC ， AB AD ，又 AB AP ， AB 平面 PAD ， EF 平面 PAD ， EF PD ； ……6 分
O x
G y
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 2页 共 4 页
（2）由（1）知 CD 平面 PAD ，CPD 即为直线 PC 与平面 PAD 所成角，
2
2
2 10
所以 a 10 ，故选 D．
第 12 题提示：设 ABC 的中心为 G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ．
由题知 DG 平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ，
又 BD CE ， BD 平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥，
a
a
a
（2） ln x 1 ax2 e x e 1 a e x 1 ax2 ln x e 1 a 0 ，令 g(x) ex 1 ax 2 ln x e 1 a ，
2
2
2
2
2
2
g (1)
0 ，g(x)
ex
ax
1 x
，若
g(1)
0
即a
e 1 ，则存在
x0
1使得当
x (1，x0 ] 时
故 [2x1 (1)x2]2 [2y1 (1)y2]2 1，
3
2
即 42( x12 y12 ) (1 )2( x22 y22 ) 4(1 )( x1x2 y1y2 ) 1，
32
32
32
42 (1 )2 4(1 )( x1x2 y1 y2 ) 1， ……8 分 32
由题知直线
MN
:
2
显然 n (0，0，1) 是平面 ABD 的一个法向量，cos m，n
92 2
9
， ……11 分
131 131
2
由题知二面角 A BD F 的余弦值为 9 131 ． ……12 分 131
20．（12 分）
解：（1）由题知 c a
3 3
b2
，故
a2
2 3
，又
1 a2
4 3b2
1 ， a2
（2）由题知 170， = 4.6 115 2.14 ， ……5 分 5
（ⅰ） P(167.86 X 174.28) P( X 2) 0.6826 0.9544 0.6826 0.8185 ， 2
……8 分
（ⅱ） P( X 174.28) 1 0.9544 0.0228 ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 2
第
8
题提示：由
y
x e|x|
为奇函数可排除
C
选项，当
x
0
时， y
1 x ex
，故
y
x ex
在 (0，1)
上单增，(1， )
上单减，故选 A．
第 9 题提示：由 f (x) 为奇函数知 f ( 3 x) f (x 3) ， f (x 3) f (x 3) ，即 f (x 3) f (x) ，
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
22．（10 分）
解：（1）曲线 C 的普通方程为 (x 2)2 ( y 3)2 4 ，直线 l 的直角坐标方程为 4 y 3x a ，由直线 l 与圆 C 有
两个交点知 | 6 12 a | 2 ，解得 8 a 28 ； ……5 分 5
（2）设圆 C 的圆心为 O1 ，由圆 C 的参数方程可设点 M (2 2 cos0，3 2 sin 0) ，由题知 O1M / /l ，
P 1 (1 0.0228)10 1 0.977210 1 0.79 0.21 . ……12 分
19．（12 分）
z
解：（1）AB / /DC ， AB 平面 PDC ，AB/ / 平面 PDC ，
又面 ABFE 面 PDC EF ， AB / / EF ，
取 DC 中点 G ，连接 BG ，则 ABGD 为平行四边形，
DA，DB，DC 两两垂直，
故三棱锥 D ABC 可看作以 DA，DB，DC 为棱的正方体的一部分，
二者有共同的外接球，由 AB 6 得 DA 3 2 ，
故正方体外接球直径为 3 2 3 3 6 ，
二、填空题
13． 4
所以球 O 的表面积为 4 R2 54 ，故选 C．
14． 45 9 2
sin C 3
2
6
6
2
SABC
1 ac sin B 2
3
.
4
……12 分
18．（12 分）
解：（1）由题知五组频率依次为 0.1，0.2，0.375，0.25，0.075 ，
故 x 0.1166 0.2168 0.375170 0.25172 0.075174 170 ， ……2 分
s2 (170 166)2 0.1 (170 168)2 0.2 (170 172)2 0.25 (170 17 4)2 0.075 4.6 ；…4 分
即 a4 4d ，故 a1 d ， an nd ， a3 3d，a6 6d ，
故此等比数列首项为 3d 、公比为 2 ，
因此 abn 3d 2n1 ，故 bn 3 2n1 ． 第 16 题提示： y a 2sin x [a 2，a 2] ，由题知在区间[a 2，a 2] 内存在两数之积为 1，
g(x)
0，
g(x) 单减， g(x0 ) g(1) 0 ，与题意矛盾，故 a ≤ e 1， ……7 分
当a
≤
e
1 时，
x (1，
)
Hale Waihona Puke Baidu
， g(x)
ex
a
1 x2
e 1
a
≥2
， g(x)
单增，
g(x) g(1) ≥ 0 ， g(x) 单增， g(x) g(1) 0 ，符合题意， a ≤ e 1. ……12 分
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 3页 共 4 页
21．（12 分）
解：（1） f (x) 1 ax ax2 1 （ x 0 ），当 a ≥ 0 时 f (x) 0 ， f (x) 在 (0， ) 上单增，
x
x
当 a 0 时 f (x) 0 0 x 1 ， f (x) 在 (0， 1 ) 上单增，在 ( 1 ， ) 上单减；……4 分
3 ，b2
2，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1； ……4 分 3 2
（2）设 M(x1，y1)， N (x2，y2 ) ，由 OP 2OM 得 P(2x1，2 y1) ， 由 NQ NP 得 (xQ x2，yQ y2) (2x1 x2，2 y1 y2 ) ，
xQ 2x1 (1 )x2，yQ 2 y1 (1 ) y2 ，又点 Q 在椭圆 C 上，
则 A(2，0，0)，D(2，0，0)，B(2，3， 0)， C(2，6，0)，P(0，0，2 2) ， 故 F(1，3， 2)，DB (4，3，0)，DF (1，3， 2) ，
设平面
DBF
的法向量为
m
(x，y，z)
，则
4x 3y x 3y
0 2z
0
，
令
x
3
得
m
(3，
4，9
2 ) ，……9 分
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第
10
题提示：由题知 |
FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
A(0，1) ，由题知
AP
AF
，即
1 p
yP 5
p
1
=
-
1
，
22
yP -
5 p ， p 2 5 ，故所求距离为 5 p p 4 5 ，故选 C．
5
22 5
第 11 题提示：由 a sin A bsin B
2csin B csin C 得 a2 b2
2cb c2 ，则 cos A b2 c2 a2
cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55
.
……10 分
23．（10 分）
解：（1） f (x) | x | | x | | x 2 |≥| x | | x (x 2) || x | 2 ≥2 ，当且仅当 x 0 时等号成立，
故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12