2020年北京市清华附中高考数学三模试卷(一)(有答案解析)

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2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)数学试题(word版)含参考答案

1 / 232020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－13．双曲线2241x y -=的离心率为（）AB．2CD．24．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（） A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b aa b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（）2 / 23A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．3 / 23其中所有正确结论的序号是（） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为． 14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小4 / 23值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；5 / 23（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分）6/ 237 / 23已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）8 / 23已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>．2020年3月（北京卷）全真模拟卷（1）数学答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，9 / 23{}1A B x x =<U ，故选A ．2．【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ． 3．【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距2c ==，故离心率为e =A ． 4．【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．10 / 238．【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ． 9．【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ． 10．【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）．综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．11 / 2312．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．【答案】(3,23)±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得23y =±，所以点M 的坐标为()3,23±．14．【答案】2π2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22222⋅+⋅=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为 2π，故答案为2π， 2π． 15．【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，0,0k b ><，即k 为票价，当0k =时，y b =，则b -为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则b-12 / 23变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则b -不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）56π．【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ．由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ．（2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直．以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，13 / 23则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r ，∴3cos θ=-，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，14 / 23解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，15 / 2323111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭，2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-16 / 2313(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，17 / 23所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==．（2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为： 0121625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分）已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得18 / 231(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．（2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+．因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-．由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->；当1e x >时，ln 10x --<，所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11ea =-，2eb =时，b a -有最大值为11e +．19 / 2320．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅱ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道2EF x ⊥，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出c 、2ba的值，再根据222c a b =-，最后求出,a b 的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断0OM ON ⋅=u u u u r u u u r是否成立，可以判断以MN 为直径的圆是否过定点，也就能求出||||PM PN ⋅的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程y kx m =+，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，计算OM ON ⋅u u u u r u u u r的值，最后可以求出||||PM PN ⋅的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得2EF x ⊥轴，则2(,)bE c a，因为ABE ∆是边长为2的正三角形，所以2c =⨯=22b a =，且223a b -=，解得3a =，b =，所以椭圆方程为22196x y +=．（Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为x =M，N ，则0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，所以OM ON ⊥，20 / 23此时以MN 为直径的圆过原点，2218||||||5PM PN OP r ⋅===为定值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，=22(5181)m k =+，联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，可得222(23)63180k x kmx m +++-=，即有>0∆，122623km x x k +=-+，212231823m x x k-=+， 12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++222223186(1)()02323m km k km m k k-=+⋅+-+=++，可得OM ON ⊥，此时2218||||||5PM PN OP r ⋅===．综上可得以MN 为直径的圆过原点，且||||PM PN ⋅为定值185． 21．（本小题14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>．【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析．21 / 23【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解．试题解析：()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是“独立的”．()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为：{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =．所以，M 至多有5个“关联子集”．若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”．所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾．所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集”，同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”．所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A ．若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；所以135,,A A A 都是“关联子集”，所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-，1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-．1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-．22 / 23所以12345,,,,a a a a a 是等差数列．()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈．因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素．假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>，所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤，所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+，所以任取t T ∈，232n nt -≤+，任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素． (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立．因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立．所以12n n a a --≥．所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，23 / 23所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=，因为4T ∈，所以121,3a a ==．因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+，所以22824n n a n --+-=，所以123n a a a a -+=+n ，矛盾．所以命题成立．。

清华大学附属中学2025届高三上学期第三次统练数学试题含答案

统练3一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{11}A x x =−<<，{02}B x x =≤≤，则A B =（A ）{12}x x −<<（C ）{01}x x <≤（D ）{02}x x ≤≤（2）若复数z 满足(1i)2z −⋅=，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i + （3）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（A ）||a b > （B ）||a b >（C ）2a ab > （D ）2ab b >（4）已知13212112log log 33a b c −===，，，则( )（A ）a b c >>（B ）a c b >>（C ）c a b >>（D ）c b a >>（5）已知函数22()log 21f x x x x =−+−，则不等式()0f x >的解集为 (A) (1,4) (B) (0,1)(4,)+∞ (C) (1,2)(D) (0,1)(2,)+∞（6）若P 是△ABC 内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（B ）12（C ）1 （D ）2（7）无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象.若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（A ）π12（C ）π4（D ）π3（9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）（A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12（10）若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧−=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e−+∞，则实数a 的取值范围是（）（A ）(0, e) （B ）(e, )+∞ （C ）(0, e] （D ）[e, )+∞二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. （11 ）已知tan()24θπ−=，则tan θ= ______−3（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x = 对称，若3sin 5α=, 则cos β=_______．35（13）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()+⋅=a b c ___0____；⋅=a b ___3____．1第次操作2第次操作3第次操作（14）若函数()sin(+)(0)6f x x ωωπ=>和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____2_____；()6g π=_____±1_______．（15）已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是n S ，1a a =，且1n n n S a a +=（1,2,n =）. 给出如下结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*n ∀∈N ，1n n a a +>，则a 的取值范围是(0,1)； ④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a −−<+. 其中，所有正确结论的序号是．①③④三、解答题共6道小题，共85分。

北京市清华附中高考数学三模试卷(文科)

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故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：i=1，S＞1000 否，i=2，S=2+1=3， i=2，S＞1000 否，i=3，S=6+1=7， i=3，S＞1000 否，i=4，S=14+1=15， i=4，S＞1000 否，i=5，S=30+1=31， i=5，S＞1000 否，i=6，S=62+1=63， i=6，S＞1000 否，i=7，S=126+1=127， i=7，S＞1000 否，i=8，S=254+1=255， i=8，S＞1000 否，i=9，S=510+1=511， i=9，S＞1000 否，i=10，S=1022+1=1023， i=10，S＞1000 是，输出 i=10，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
11. 设 θ 为第二象限角，若 tan（θ+ ）= ，则 sinθ+cosθ=______．
12. 已知，为单位向量且夹角为，设
，
，则在方向上的投影为
________． 13. 《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛
每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用数字作答）．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， ∴2c=a

2020年3月北京市高三质量检测数学试卷(word版)含参考答案

2020年3月北京市高三质量检测数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （） A ．(2,1)- B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞2．已知复数3i1iz -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 4．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（） A ．28B ．21C ．14D ．75．设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）AB ．C ．D ．2+6．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．47．若点5π5π(cos,sin )66M 在角α的终边上，则tan2α=（） A 3B ．3C 3D ．38．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（） A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.92 1.96 1.78 1.76 1.74 1.72 1.80 1.82 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63a75 60 63 72 701a -b 65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()()1,3,2,1==m n ，则向量m 与n 的夹角为．12．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为． 13．在ABC △中，2,33A a c π∠==，则bc = ．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点()()()11,1,2,,2,1,4,22⎛⎫⎪⎝⎭中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥．其中，所有正确结论的序号是．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）求二面角E AD B --的大小；在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列，，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．已知函数()ln f x x a x =-(0)a >．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数；（3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．2020年3月北京市质量检测数学试卷参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{}{}{}2102A B x x x x x x =-<<>=>-U U ，故选D ． 2．【答案】D【解析】由题意，复数()()()()313241211i i i ii i i 2i 1z ----====-++-，∴复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限，故选D ． 3．【答案】B【解析】∵双曲线C 方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程为b y x a =±，又∵双曲线离心率为2，2c a ∴=，可得b ==，因此，双曲线的渐近线方程为y =，故选B ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=，则74714S a ==，故选C ． 5．【答案】C【解析】∵22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =10x y --=的距离为22112(1)1221(1)d -⨯+⨯--==+-，∴点P 到直线10x y --=距离的最大值为32d r +=，故选C ．6．【答案】A【解析】如图所示，借助正方体得直观图为三棱锥P ABC -，∴三棱锥P ABC -的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=△，故选A ．7．【答案】D【解析】5π5π(cos ,sin )66M 即为312M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2333tan tan 231313αα=-∴==-D ． 8．【答案】C【解析】由已知1012112+>S S S ，12111110S S S S ∴->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >，故选C ． 9．【答案】B【解析】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数； ②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-，()f x 在(0,)+∞为增函数．A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误；B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确；C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误；D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误．综上选B ．10．【答案】B【解析】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意；9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛；只有5号可肯定进入跳绳决赛，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．【答案】4π【解析】由两个向量夹角公式得cos2θ⋅===⋅nnmm，因为[]0,,4θθπ∈π=Q．12．【答案】24【解析】由二项式412xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rrT C x C xx---+==，令420r-=，解得2r=，即展开式中的常数项为422443242421C-⨯=⨯=⨯，故答案为24．13．【答案】1【解析】由正弦定理知2sisinsin12sin,,,, 1.2n3666A aCbC B ccC bcπππππ∴==∴=π--=∴=∴=∴===,14．【答案】28x y=或2y x=【解析】分两种情形：①若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的标准方程为：2x my=，不难验证两点()12,,4,22⎛⎫⎪⎝⎭适合，故28x y=；②若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的标准方程为：2y nx=，不难验证()()1,1,4,2适合，故2y x=．故答案为：28x y=或2y x=．15．【答案】①②③【解析】在曲线C上任取一点(),P x y，则44221x y mx y++=，将点()1,P x y--代入曲线C的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾．∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确．故答案为：①②③．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）求二面角E AD B --的大小；【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】试题分析：（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴可以证得平面PBC ⊥平面PCD ；（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，求出平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r ，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r，求出法向量(0,1,1)n =-r ，根据公式求出两个法向量的余弦值，即可得出二面角E AD B --的大小；（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ，则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r ，又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，则AE u u u r 与DA u u ur 不垂直，证得AE 与平面PCD不平行．试题解析：（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥． ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，∴,PD AD PD CD ⊥⊥．又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥，∴,,DA DC DP 两两垂直，∴以D 为原点如图建系，设1PD AB ==，∴0,0,0D （），(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r．设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r ，则DA n ⊥u u u r r ，DE n ⊥u u u r r ，∴0,1110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r ru u u r r ，令1z =，得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r ，∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，∴二面角E AD B --的大小为45︒．17．（本小题14分）在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列，，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】试题分析：先由已知条件结合所选条件求出数列{}n b 与数列{}n a 的通项公式，再结合题设要求求解即可得解．试题解析：方案①，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，4427a b ==，∴5428d a a =-=-，1273(28)111a ∴=-⨯-=，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k kS S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<．方案②，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，25252,283a b a b +=∴=-=，∴522852a a d -==--，1273(28)111a ∴=-⨯-=， ∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<．方案③，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，624S =-，即1141,656242a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1111,28a d =⎧⎨=-⎩，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）2212S S > 【解析】试题分析：（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案；（2）X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案；（3）根据数据的波动性得到答案．试题解析：（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故62155p == ．（2）X 的可能取值为0,1,2，则()33905525P ξ==⨯=；()12321215525P C ξ==⨯=；()22425525P ξ==⨯=．分布列为：()012252525255E X =⨯+⨯+⨯==．（3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故2212S S >．19．（本小题15分）已知函数()ln f x x a x =-(0)a >．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数；（3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a ；（2）()g x 在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析；（3）空集．【解析】试题分析：（1）求导得到()1a x af x x x-'=-=，计算得到答案．（2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案．（3）原题等价于1()ln 10h x x x x =+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值1)02h >得到证明．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．()1a x af x x x-'=-=．令()0f x '=，得x a =．当x a >时，有()0f x '>，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增．当0x a <<时，有()0f x '<，∴()f x 在(0,)a 上单调递减．综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=．令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x ==， 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞，当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >．∴()0g a <，∴()g x 有一个零点；当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，∴()g x 有一个零点；当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增．此时21()ln 02g a a a a a =--+<，∴()g x 有一个零点．综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点．（3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集，等价于1()x f x x->在定义域内恒成立，即1()0x f x x-->在定义域内恒成立．令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--． 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得x = 列表得11()1ln 22h =-∵12e <，∴1ln 12<．11 >，∴0h>，∴1()()0xh x f xx-=->恒成立．∴不等式1()xf xx-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y-=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS 分别交直线4x=于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出,,a b c后可得椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，计算可得A B，两点的纵坐标之积为9-．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x≠,,,,，则212121212()142()4A Bx x x xy y kx x x x-++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简A By y后可得定值．试题解析：（Ⅰ）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切，∴半径b等于原点到直线的距离d，b d==b=由离心率12e=，可知12ca=，且222a b c=+，得2a=，故椭圆C的方程为22143x y+=．（Ⅱ）由椭圆C的方程可知(20)S,．若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x=，∴331122P Q⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,．则直线PS的方程为3260x y+-=，直线QS的方程为3260x y--=．令4x=，得(43)A,-，(43)B,，∴,A B两点的纵坐标之积为9-．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，由22(1)34120y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k+-+-=，依题意0∆≥恒成立．设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,．设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， ∴点A 的纵坐标为1122A y y x =-．同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-．∴12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k-=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值． 21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =．5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1．（Ⅱ）=i j i j m m x x --．理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论：当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L ， ∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．综上有：=i j i j m m x x --．（Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，∴()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L ．下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++．证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥， ∴()()()221n k p kq n p q +-+≥++．因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L ．当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意，∴121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +．。

清华附中2020届高三第二学期第三次统考数学试题及答案详解

清华附中2020届高三第二学期第三次统考数学试题一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（） A. 2B. 3C. 4D. 56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3B.2 C. 33 D. 228.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（）A . a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n ng x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（）A. 8B. 11C. 14D. 18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断： ①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地A BCDE批发价格 150 160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论） 19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.清华附中2020届高三第二学期第三次统练数学试题答案详解一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 6.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤. 故选：D .【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3 B.2 C. 3或－3D. 2和－2【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =，所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（）A. 8B. 11C. 14D. 18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+L .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤-L ，因为()5314n h x ≤≤ 故5314n -≤，故max 14n =. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.【答案】12【解析】【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==r r，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．【答案】223144x y -=【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______. 【答案】30- 【解析】【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ，故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-. 故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=u u u r u u u r ，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=u u u r u u u r的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项. 若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-，故()()111n n n S nS n n --=--. 当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S S n n --=--，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n =+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列. 若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<，故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题. 17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（227. 【解析】【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE .因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥. 因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥. 因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ，因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，13,0,22AN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()1,0,0MN =u u u u r .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =u r，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u u v v 即300y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =1z =，所以()3,1m =u r.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =r，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3030v w u w ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取1w =，则3,3u v ==，故()3,3,1n =r，所以27cos ,=47m n m n m n⋅==⨯u r ru r r u r r ，因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为277. 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地A BCDE批发价格 150 160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.6；（2）①5， ②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=. （2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===，所以X 的分布列为：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=. （3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++，其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比，则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题. 19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值. 【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=. 【解析】【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值. 【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++，故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数. 取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点. 设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数；当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+，由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221211221242M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=，所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈； ②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -. 【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值. 【详解】（1）因为()41T A =，故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况： ①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<L L ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个.②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<L L L .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，21我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -. 【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.。

(带答案解析)2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)数学

2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I 2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1 3．双曲线2241x y -=的离心率为（）A B C D 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（）A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b a a b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（） A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分）已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．*M N ⊆M n M a b c d ,,,a b c d +=+M {},,,a b c d M M M ()1{}2,4,6,8,10{}12,3,5,8，()2{}12345,,,,a a a a a {},i j a a M ⊆M A {},i j a a A ⊆12345a a a a a <<<<12345,,,,a a a a a ()3M x M ∈294n n x -+>2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A ．B．C．D ．【答案】A【解析】∵集合，∴，∵集合，∴，，故选A．2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．－D．－1【答案】D【解析】设且，则，得到，且，解得，故选D．3．双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的标准方程为：，故实半轴长为，虚半轴长为，故半焦距，故离心率为，故选A．4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A ．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为且它是奇函数，故A错误；因为函数的定义域为，它是偶函数，在为偶函数，故B正确；因为函数的定义域为，它是偶函数，但在有增有减，故C错误；因为函数的定义域为，故函数不是偶函数，故D错误，故选B．5．若，则下列不等式一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为：，对于A：当，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，所以，又因为，则，故不取等，即，故D正确，故选D．6．在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】的展开式通项为，令，得．因此，的系数为，故选A．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为（）A．100B．C．300D．400【答案】B【解析】设大圆锥的高为，所以，解得，故，故选B．8．设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设等差数列的公差为，或，显然由不一定能推出，由也不一定能推出，因此是的既不充分也不必要条件，故本题选D．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；③当时，直线与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为，故结论①正确；当时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为，半径为1，它到直线的距离为，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则米跑以秒得分为标准，每少秒加分，每多秒扣分以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分）；则总分为（分）；乙各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）；丙各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）；丁各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）．综上，乙得分最多，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量，且，则．【答案】【解析】由向量，若，可得，故答案为6．12．已知分别为内角的对边，且，则__________．【答案】【解析】由正弦得，故（为外接圆的半径），故，又，故，由余弦定理可得，故答案为．13．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则点的坐标为．【答案】【解析】因为焦点，所以．设点，根据抛物线的定义得：，解得，所以点的坐标为．14．已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线．①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数，其中，是这两个函数图象的交点，当时，，所以函数的交点间的距离为一个周期，高为，所以．如图所示：①当时，面积的最小值为；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得的最小值为，故答案为，．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，，即为票价，当时，，则为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）已知四边形为直角梯形，，，，，为中点，，与交于点，沿将四边形折起，连接．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的平面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结交于，则为中点，设为中点，连结，则，且．由已知且，∴且，所以四边形为平行四边形．∴，即．∵平面，平面，所以平面．（2）解：由已知为边长为2的正方形，∴，因为平面平面，又，∴两两垂直．以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．可求得平面法向量为，平面法向量为，∴，所以二面角的平面角的大小为．17．（本小题14分）（数列开放题）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．试题解析：方案一：选条件①（1），，解得或（舍去），，，．（2），，，，，．方案二：选条件②（1），，，解得或（舍去），，，．（2），，，，，．方案三：选条件③，，解得或（舍去），，．（2），，，，．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，记其中老年人出行的人次为．以频率作为概率，求的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从市出发到市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望；（3）建议甲乘坐高铁从市到市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．试题解析：（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．（2）由题意，的所有可能取值为：因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，，，所以随机变量的分布列为：故．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从市到市．19．（本小题15分）已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据在上单调递增，且，分别解不等式以及，即可求出函数的单调增区间和减区间；（3）由题意得在上恒成立，设，用导数讨论函数的单调性，求出最小值，可得．再设，求出函数的最大值，即为的最大值．试题解析：（1）由，得，所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，得．因为，且在上单调递增，所以由得，，所以函数在上单调递增，由得，，所以函数在上单调递减．综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由，得在上恒成立．设，则．由，得，（）．随着变化，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增．所以函数的最小值为．由题意，得，即．设，则．因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．所以当，，即，时，有最大值为．20．（本小题14分）已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点，与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）以为直径的圆过原点，坐标为，且为定值【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道，这样可以求出点E的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出、的值，再根据，最后求出的值，也就求出椭圆C的方程；（Ⅰ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M、N两点的坐标，判断是否成立，可以判断以为直径的圆是否过定点，也就能求出的值；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程，设出M、N两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程和椭圆方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，计算的值，最后可以求出的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得轴，则，因为是边长为2的正三角形，所以，，且，解得，，所以椭圆方程为．（Ⅰ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为，可得，，则，所以，此时以为直径的圆过原点，为定值；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，由直线和圆相切可得，即，联立直线方程和椭圆方程，可得，即有，，，，可得，此时．综上可得以为直径的圆过原点，且为定值．21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；证明见解析；证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，，，，，，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合，，且．记，进而利用反证法求解．试题解析：是“关联的”关联子集有；是“独立的”．记集合的含有四个元素的集合分别为：，，，，．所以，至多有个“关联子集”．若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则同理可得若为“关联子集”，则不是“关联子集”．所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾．所以一定不是“关联子集”，同理一定不是“关联子集”．所以集合的“关联子集”至多为．若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；所以都是“关联子集”，所以有，即，，即．，即，所以．所以是等差数列．不妨设集合，，且．记．因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素．假设结论错误，即不存在，使得，所以任取，，因为，所以，所以，所以任取，，任取，所以，且中含有个元素．(i)若，则必有成立．因为，所以一定有成立．所以．所以，，所以，所以，有矛盾，(ii)若，，而中含有个元素，所以，所以，，因为，所以．因为，所以，所以，所以，矛盾．所以命题成立．。

2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)(解析版)

2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I 【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，{}1A B x x =<U ，故选A ．2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ．3．双曲线2241x y -=的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距c ==，故离心率为e =A ． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（） A ．2ab > B ．2a b +< C ．11a b< D ．2b aa b+> 【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l <⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（） A ．① B ．②C ．③D ．①②【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）．综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==vv，且//a b v v，则t = ．【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为．【答案】(3,±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±，所以点M的坐标为(3,±．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________．【答案】2π2π【解析】函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，(),()f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为2=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为2π，故答案为2π，2π．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为y kx b=+，0,0k b><，即k为票价，当0k=时，y b=，则b-为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则b-变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，k变大，即提高票价，b不变，则b-不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）已知四边形ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，24BC AB==，3AD=，F为BC中点，//EF AB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接,,AD BC AC．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）56π．【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ．由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ．（2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直．以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r，∴cos θ=，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d=⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭，2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==．（2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分）已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．（2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+．因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-．由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->；当1e x >时，ln 10x --<，所以()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+． 20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅰ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出、的值，再根据，最后求出的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅰ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断是否成立，可以判断以为直径的圆是否过定点，也就能求出的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程和椭圆方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，计算的值，最后可以求出的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得轴，则，因为是边长为2的正三角形，所以，且，解得，，所以椭圆方程为．（Ⅰ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为，，则，所以，此时以为直径的圆过原点，为定值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，，联立直线方程和椭圆方程，可得，2EF x ⊥c 2ba222c a b =-,a b 0OM ON ⋅=u u u u r u u u rMN ||||PM PN ⋅y kx m =+y kx m =+222318x y +=y x OM ON ⋅u u u u r u u u r||||PM PN ⋅2EF x ⊥2(,)bE c aABE ∆22c =⨯=22b a =223a b -=3a =b =22196x y +=x =M N 0OM ON ⋅=u u u u r u u u r OM ON ⊥MN 2218||||||5PM PN OP r ⋅===y kx m =+11(,)M x y 22(,)N x y =22(5181)m k =+y kx m =+222318x y +=222(23)63180k x kmx m +++-=即有，，，，可得，此时．综上可得以为直径的圆过原点，且为定值． 21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；证明见解析；证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，，，，，，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合，，且．记，进而利用反证法求解．>0∆122623km x x k +=-+212231823m x x k-=+12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++222223186(1)()02323m km k km m k k-=+⋅+-+=++OM ON ⊥2218||||||5PM PN OP r ⋅===MN ||||PM PN ⋅185*M N ⊆M n M a b c d ,,,a b c d +=+M {},,,a b c d M M M ()1{}2,4,6,8,10{}12,3,5,8，()2{}12345,,,,a a a a a {},i j a a M ⊆M A {},ija a A ⊆12345aa a a a <<<<12345,,,,a a a a a ()3M x M ∈294n n x -+>()1{}2,4,6,8,10{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，{}1,2,3,5,8()2()3{}12345,,,A a a a a ={}21345 ,,,A a a a a ={}31245 ,,,A a a a a ={}41235 ,,,A a a a a ={}51234 ,,,A a a a a ={}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥*,1,2,...,i a N i n ∈=12...n a a a <<<{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈试题解析：是“关联的”关联子集有；是“独立的”．记集合的含有四个元素的集合分别为：，，，，．所以，至多有个“关联子集”．若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”．所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾．所以一定不是“关联子集”，同理一定不是“关联子集”．所以集合的“关联子集”至多为．若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；所以都是“关联子集”，所以有，即，，即．，即，所以．所以是等差数列．不妨设集合，，且．记．因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素．()1{}2,4,6,8,10{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，{}1,2,3,5,8()2M {}12345,,,A a a a a ={}21345 ,,,A a a a a ={}31245 ,,,A a a a a ={}41235 ,,,A a a a a ={}51234 ,,,A a a a a =M 5{}21345,,,A a a a a ={}12345,,,A a a a a =12a a ={}21345,,,A a a a a =34,A A M 25,a a {}21345,,,A a a a a ={}41235,,,A a a a a =M 135,,A A A 1A M 35,a a 3A M 15,a a 5A M 13,a a 135,,A A A 2534a a a a +=+5432a a a a -=-1524a a a a +=+5421a a a a -=-1423a a a a +=+4321=a a a a --54433221a a a a a a a a -=-=-=-12345,,,,a a a a a ()3{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥*,1,2,...,i a N i n ∈=12...n a a a <<<{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈M T ()212n n n C -=假设结论错误，即不存在，使得，所以任取，，因为，所以，所以，所以任取，，任取，所以，且中含有个元素． (i )若，则必有成立．因为，所以一定有成立．所以．所以，，所以，所以，有矛盾，(ii )若，，而中含有个元素，所以，所以，，因为，所以．因为，所以，所以，x M ∈294n n x -+>x M ∈294n n x -+≤*x ∈N 284n n x -+≤22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+t T ∈232n nt -≤+,123t T t ∈≥+=23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭T ()212n n n C -=3T ∈121,2a a ==5n ≥121n n a a a a -->-12n n a a --≥22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭284n n a n -+=21824n n a n --+-=4T ∈33a =113n a a a a -+=+n 3T ∉23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭T ()212n n n C -=*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭284n n a n -+=21814n n a n --+-=4T ∈121,3a a ==222n n T -+∈2222n n n n a a --+=+22824n n a n --+-=所以，矛盾．所以命题成立．123n a a a a -+=+n。

北京市北大附中2020届高三阶段性检测(三模)数学试题(含答案)

x
y
z0 0
令 x 1，得 y 1, z 1．所以 n = (1,1,1) ．
………………………11 分
P B
A
y C
Dx
所以 cos n, BE n BE | n || BE |
1 2 1 ． ………………………13 分 3 3 3 4
所以直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值为 1 ． ………………………14 分
AB 边上的高 h a sin B 7 3 21 3 3 ………………………………14 分 14 2
解：选择② ………………………………………………………………2 分
在△ABC 中，由 c b 2 ，得 c b 2 ，………………………………3 分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，……………………………5 分
由题意可得： B(0,1, 0) ， D(1, 0, 0) ， C(1,1, 0) ， P(0, 0,1) , E(1 , 1 , 1 )． 222
所以 DP (1,0,1) ，BD (1, 1,0) ，
………………………9 分
设平面 PBD的一个法向量 n (x, y, z) ，
z
则
即
x
解：选择① ……………………………………………………………………2 分
写法二：
在△ABC 中， sin C 21 3 72
………………………………………3 分
C （0，）或 C （2 ,） ………………………………………………5 分
3
3
因为 A ,所以 C （0，） …………………………………………6 分
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆 C

北京市清华附中高考数学三模试卷(理科)解析版

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.已知m，n∈R，i是虚数单位，若（1+mi）（1-i）=n，则|m+ni|的值为（）A. 1B.C.D.4.已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A. -2B. 0C. 2D. 45.数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足，若函数F （x ）=f （x ）-m 有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A. B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知直线l 1：x -y +1=0与l 2：x +ay +3=0平行，则a =______，l 1与l 2之间的距离为______ 10. 已知函数f （x ）=（x +t ）（x -t 2）是偶函数，则t =______11. 著名的“3n +1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n +1猜想，则输出的n 为______12. 某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：A 团队说：C 第一，B 第二； B 团队说：A 第三，D 第四；C 团队说：E 第四，D 第五； D 团队说：B 第三，C 第五；E 团队说：A 第一，E 第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是______团队．13. 已知平面内两个定点M （3，0）和点N （-3，0），P 是动点，且直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （a ≠0），设点P 的轨迹为C ．①存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值； ②存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值； ③不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值．其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）14. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠DCA =2∠BAC ，若=x +y （x ，y ∈R ），则x -y 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求sin（2B+A）的值．16.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，，E、F分别为BC、BB1的中点，点D为线段AB上一点，（1）求证：AC1∥平面DEF；（2）若AC1⊥EF，求二面角F-DE-B的余弦值．17.某工厂生产A、B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95] A零件8 12 40 30 10B零件9 16 40 28 7（Ⅰ）试分别估计A、B两种零件为正品的概率；（Ⅱ）生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：（i）设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．18.已知函数f（x）=ln x-，a∈R．（Ⅰ）当a=1，函数y=f（x）图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数．19.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．20.对于给定的奇数m，（m≥3），设A是由m×m个数组成的m行m列的数表，数表中第i行，第j列的数a ij∈{0，1}，记c（i）为A的第i行所有数之和，r（j）为A的第j列所有数之和，其中i，j∈{1，2，…，m}．对于i，j∈{1，2，…，m}，若且同时成立，则称数对（i，j）为数表A的一个“好位置”（Ⅰ）直接写出所给的3×3数表A的所有的“好位置”；（Ⅱ）当m=5时，若对任意的1≤i≤5都有c（i）≥3成立，求数表A中的“好位置”个数的最小值；（Ⅲ）求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2m-2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，∴a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．3.【答案】D【解析】解：由（1+mi）（1-i）=（1+m）+（m-1）i=n，得，即m=1，n=2．∴|m+ni|=|1+2i|=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，∵⊥，||=，||=t，∴B（，0），C（0，t），∵P点是△ABC所在平面内一点，且=+，∴=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），∴=（，-1），=（-1，t-1），∴=-+1-t+1=2-（），∵=2，∴的最大值等于0，当且仅当t=，即t=1时，取等号．故选：B．以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（，0），C（0，t），P（1，1），从而=（，-1），=（-1，t-1），由此能求出的最大值．本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1-1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4-1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．由a n+1=，a1=∈[，1），可依次求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律，继而可得a2018的值．本题考查数列的递推式，由数列{a n}满足的关系式a n+1=，a1=可求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律是解决问题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．根据随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，设这堆货物总价是S n=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①，由①×可得S n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②，由①-②可得S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=10-（10+n）•（）n，∴S n=100-10（10+n）•（）n，∵这堆货物总价是万元，∴n=10，故选：D．由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，根据错位相减法求和即可求出．本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）=f （x）-m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，且0不是函数F（x）=f（x）-m的零点，即当x＞0时，f（x）=m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）=x2-=（x-）2-，当x≥1时，f（x）=，则f′（x）==当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）=，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y=m与y=f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选C．9.【答案】-1【解析】解：直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则1•a-（-1）•1=0，解得a=-1，直线l2：x-y+3=0；则l1与l2之间的距离为d==．故答案为：-1，．根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．10.【答案】0或1【解析】解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，为二次函数，其对称轴为x=，若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，解可得t=0或1；故答案为：0或1．根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】6【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故答案为：6．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】D【解析】解：由实际上每个名次都有人猜对，①若A第一，则D第四，与E第四矛盾，故此情况不符题意，②若B第一，则C第五，E第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，③若C第一，则B第三，D第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，故答案为：D．按照①若A第一；②若B第一；③若C第一，三种情况进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．13.【答案】②④【解析】解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2-9），若a=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）-9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=-，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】-1【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC=α，则∠ACD=2α，∠ACB=90°-α，∴∠DCM=180°-2α-（90°-α）=90°-α．∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴，∵=x+y，∴x==k，y===k+1，∴x-y=-1．故答案为：-1．过D作DM⊥BC，则Rt△ABC∽Rt△DMC，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，．化简得，b2+c2-a2=bc．由余弦定理得，．又0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又a=3，，∴sin B==．又b＜a，,∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=1-2sin2B=-，∴sin（2B+A）=sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=．【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理cos A的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sin B，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．16.【答案】（1）证明：取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴OC⊥AB，OM⊥平面ABC，以O为原点，以OA，OC，OM为坐标轴建立空间坐标系如图所示，∵，∴D是OB的中点，又E是BC的中点，∴DE∥OC，DE=OC．设等边三角形ABC的边长为a，则D（-，0，0），E（-，a，0），F（-，0，），A（，0，0），C1（0，，2），取EF的中点N，则N（-，a，），∴=（-，a，），=（-，a，2）．∴=4，∴∥，∴AC1∥DN，又AC1⊄平面DEF，DN⊂平面DEF，∴AC1∥平面DEF．（2）解：=（-，-a，），∵AC1⊥EF，∴=0，即-+4=0，解得a=4，∴BD=1．∵OC∥DE，OC⊥平面AA1B1B，∴DE⊥平面AA1B1B，∴DE⊥DB，DE⊥DF，∴∠BDF为二面角F-DE-B的平面角，∵BD=1，BF=，∴DF=，∴cos∠BDF==，即二面角F-DE-B的余弦值为．【解析】（1）建立坐标系，取EF的中点N，利用向量证明DN∥AC1得出结论；（2）根据AC1⊥EF得出底面边长，证明DE⊥平面AA1B1B得出∠BDF为二面角F-DE-B 的平面角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．本题考查线面平行的判定，二面角的计算，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为=0.8，元件B为正品的概率约为=0.75；（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次；∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；∵P（X=110）=0.8×0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×（1-0.75）=0.2，P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；计算数学期望为0.05=78.25；（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．依题意得60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，所以取n=4或n=5；设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A，则P（A）=•0.754•0.25+•0.755=0.638125≈0.64．【解析】（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，f′（x）===≥0．∴当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）由f（x）=ln x-，得f′（x）==，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（x）=ln x-=ln x-2+，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞0时，f′（x）=．令g（x）=x2+（2a2-4a）x+a4．当a≥1时，△=16a2（1-a）≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当0＜a＜1时，由g（x）的对称轴方程为x=2a-a2＞0，由g（x）=0，解得＞0，＞0．可知g（x）在（0，）∪（，+∞）上大于0，在（，）上小于0，∴f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上单调递减，∴，而=＜0，∴存在，，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．故函数y=f（x）的零点个数为3．综上，当a≤0或a≥1时函数y=f（x）的零点个数为1个，当0＜a＜1时，有3个．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，求其导函数，由f′（x）≥0，可知当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）求出原函数的导函数然后对a分类分析原函数的单调性，结合函数零点的判定定理得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x 的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．y1+y2=8m，y1y2=-16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．【解析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．|AB|=，同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）“好位置”有：（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）．（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．5×5此数表的“好位置”的个数恰好为9，综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9．（Ⅲ）证明：当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，则数表A可以分成如下四个子表：其中A1是p行q列，A3是p行m-q列，A2是m-p行q列，A4是m-p行m-q列，设A1，A2，A3，A4中1的个数分别为x1，x2，x3，x4，则A1，A2，A3，A4中0的个数分别为pq-x1，q（m-p）-x2，p（m-q）-x3，（m-p）（m-q）-x4，则数表A中好位置的个数为x1+（m-p）（m-q）-x4个，而，x3+x4，所以，所以x1+（m-p）（m-q）-x4，而（m-p）（m-q）+p×==p×=（p-）（q-）-=（p-）（q-），显然当（p-）（q-）取得最小值时，上式取得最小值，因为0≤p，q≤m，所以（p-）（q-），（p-）（q-）+，当p=m时，数表A中至少含有个1，而，所以q至少为2，此时（p-）（q-）=2m-1．当p=m-1时，数表A中至少含有（m-1）×个1，而（m-1）×，所以q至少为1，此时（p-）（q-）≥[（m-1）-]（1-）=2m-2，下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为2m-2．【解析】（Ⅰ）按定义直接写出即可；（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．继而列表得解；（Ⅲ）当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c （i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，继而再分成子列表讨论得解．本题考查数列的递推公式，涉及的知识比较多，属于选做题，难度大．。

2020北京清华附中高三(下)第三次统练数学含答案

2020北京清华附中高三（下）第三次统练数学一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T Ç=（）A.∅B.1{|}2x x <- C.5{|}3x x > D.15{|}23x x -<<3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（）A.2B.3C.4D.56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.10,3⎛⎤⎥⎝⎦ D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为()A. B.C. D.8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移4π个单位C.向左平移4π个单位 D.向右平移34π个单位9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（）A.a b c<< B.a c b << C.c a b << D.c b a<<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+ ，()2,3b x =- ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABCDE批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F 是边长为的正方形，过()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件：①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.2020北京清华附中高三（下）第三次统练数学参考答案一、选择题（共10小题；共40分）1.【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.2.【答案】D 【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.【答案】A 【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.4.【答案】C 【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.6.【答案】D 【解析】【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a >⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．8.【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系.【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =，所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题.10.【答案】C【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.【答案】12【解析】【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =.故答案为：12.【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.12.【答案】223144x y -=【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.【答案】30-【解析】【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ，故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-.故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题.14.【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.【答案】③【解析】【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =，由余弦定理得2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-，故()()111n n n S nS n n --=--.当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S S n n --=--，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n=+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列.若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<，故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题.17.【答案】（1）见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE .因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥.因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥.因为2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ，因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，13,0,22AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,0,0MN = .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取y =，则1z =，所以()m =.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00v u ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取1w =，则u v ==故)n =，所以27cos ,7m n m n m n⋅==，因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为277.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.【答案】（1）0.6；（2）①5，②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=.（2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===，所以X 的分布列为：X12P110353101336012105105EX =⨯+⨯+⨯=.（3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++，其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比，则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.19.【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=.【解析】【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值.【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++，故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数.取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点.设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数；当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+，由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=，所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -.【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值.【详解】（1）因为()41T A =，故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况：①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<< ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个.②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<< .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.21/21（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --.考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -.【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.点我，下载更多2020三模word 试卷。

北京市清华大学附属中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题文(含解析)

2020 年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）一、（本大共8 小，共40.0 分）1. 若会合{ x | 2x＞2 2} { x | log 1 x a＜0}，数 a 的（）21 B. 23 D. 1A.C.22【答案】 A【分析】【剖析】依据指数函数与数函数的性，利用会合相等的性列方程求解即可．【解】由33 x2 2 22 ，解得 x；22由log1 x alog 11解得 x a1，22因{ x | 2x＞2 2} { x |log 1 x a ＜0} ，2因此 1 31A，解得 a．故22【点睛】本考了指数函数与数函数的性与用以及会合相等的性，意在考灵巧运用所学知解答的能力，是基．2. 已知数据 x 1 , x 2 , x 3, , x n 是宜昌市 n ( n 3, n N ) 个一般工的年收入，n 个数据的中位数 x ，均匀数 y ，方差 z ，假如再加上世界首富的年收入x n 1 ， n1个数据中，以下法正确的选项是（）A. 年收入均匀数可能不，中位数可能不，方差可能不B. 年收入均匀数大大增大，中位数可能不，方差大C. 年收入均匀数大大增大，中位数可能不，方差也不D. 年收入均匀数大大增大，中位数必定大，方差可能不【答案】 B 【分析】解：∵数据x 1， x 2， x 3，⋯， x n 是上海一般工n （n ≥3，n ∈N * ）个人的年收入，而 x n+1 世界首富的年收入x n+1 会大于x 1， x 2， x 3，⋯， x n ，故这 n+1 个数据中，年收入均匀数大大增大，但中位数可能不变，也可能略微变大，但因为数据的集中程序也遇到 x n+1比较大的影响，而更为失散，则方差变大应选 B3. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）1B.3C.3D.6A.2244【答案】 A【分析】【剖析】依据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，得出2c a ，而后求得离心率c 1e即可 .a 2【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，即 2c a因此离心率ec 1a2应选 A【点睛】此题主要考察了椭圆的简单性质，熟习性质是解题的要点，属于基础题.log2 x， x14. 已知函数f（x） =1，则不等式 f （ x）≤1 的解集为（）， x＜11xA.,2B.,0 (1，2]C. 0,2D.,01,2【答案】 D【分析】【剖析】对 x 议论，当x 1时，当x 1时，运用分式函数和对数函数的单一性，解不等式，即可获得所求解集．【详解】解：当x 1 时， f x 1 ，即为：log 2 x1，解得 1x2；当 x1时， f x1，即为：11，解得x0．1 x综上可得，原不等式的解集为,01,2 ．应选：．D【点睛】此题考察分段函数的运用：解不等式，注意运用分类议论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单一性，考察运算能力，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.2B.181688 33C.3D.3 3333【答案】 D 【分析】【剖析】依据三视图可知该几何体是1球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出1球与三棱44锥的体积，从而可得结果．【详解】依据三视图可知，该几何体是半径为 2 的1球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为44的等腰直角三角形，高为2，以下图：则该几何体的体积为 V142311 4 2 288433233,应选 D．【点睛】此题考察了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，依据三视图的特点找出几何体结构特点是要点．解三视图有关问题的要点在于依据三视图复原几何体，要掌握常有几何体的三视图，比方三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄理解几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时还能够利用外面补形法，将几何体补成长方体或许正方体等常有几何体.6. 在数列{ a n}中，已知a11，且对于随意的 m,n N *，都有 a m n a m a n mn ，则数列 { a n}的通项公式为（）A. a n nB.a n n 1n(n 1)D.C. a n2n(n1)a n2【答案】 D【分析】【剖析】令 m=1得a n 1a n n1，再利用累加法求数列a n的通项公式 .【详解】令m=1,得a n 1an n1,an 1a n n 1,a2 a12, a3a2 3,L , a nan 1n ，因此 a n 1 2 3 4 L n, a nn(n1) 1 2 3 4 L n.2应选： D【点睛】此题主要考察累加法求数列的通项，考察等差数列乞降，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.7. 若椭圆x2y2 1 和双曲线x2-y21的共同焦点为F1， F2，P是两曲线的一个交点，251645则 PF1PF2的值为( )A.21B.84C.3D.21 2【答案】 D【分析】【剖析】依据意作出像，分利用及双曲定列方程，解方程即可求解。

2020届北京市中国人民大学附属中学高三6月统一练习(三模)考试数学试题(解析版)

2020届北京市中国人民大学附属中学高三6月统一练习（三模）考试数学试题一、单选题1．集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q ⋂=，则P Q ⋃= A ．{}0,3 B ．{}0,2,3C ．{}0,1,3D ．{}0,1,2,3【答案】C 【详解】{0}P Q ⋂=，2log 0a ∴=，且0b =，解得1,0a b ==，则{3,0}P =，{1,0}Q =，{0,1,3}P Q ∴⋃=.故选：C ．【考点】1.集合的运算；2.对数的计算． 2．若复数z =z =（）A ．12BC ．1D ．2【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再利用复数的模长公式可求得z .【详解】21121z====+，因此，1z ==. 故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以25110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数52xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递增函数，所以11332551522b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎭⎝，函数3log y x =是单调递增函数，所以332log log 105c =<=，即c a b <<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.4．已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于x 轴对称，若()01f x =-，则0x =（） A ．-2 B ．2C ．2log 3-D ．2log 3【答案】B【分析】由题意可得与函数2xy =的图象关于x 轴对称的函数，可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，再由()01f x =-即可得解.【详解】先求与函数2xy =的图象关于x 轴对称的函数，可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，所以()02021x f x -=-=-，可得：02x =，故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5．为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A ．150B ．250C ．200D ．50【答案】B【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数⨯频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为58P =，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为54002508⨯=，故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题 6．“6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若6πϕ=-，则()cos 2sin 2sin 26623g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数，充分性成立；若函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数，ϕ的值可以为116π，即两个函数数为同一函数不能推出6πϕ=-，必要性不成立，所以，“6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得1334=123V =⨯⨯⨯，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（） A ．1625B ．49C ．12D ．1【答案】D【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠，当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q ，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号，所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2i AB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i AB BP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+，因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅，故集合{},1238i yy AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1，故选：A .【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91600nm lnm 10m -=，测得某时刻频移为98.010(1/h)⨯，则该时刻高铁的速度v 约等于（）A ．320km /hB ．330km /hC ．340km /hD ．350km /h【答案】A【分析】先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可．【详解】332sin 1.00041(2010)ϕ--==+⨯故91.00048.010v⨯=，即81600 1.0004故v 320/km h ≈．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题 11．抛物线2y x 的焦点到准线的距离是___________.【答案】12【分析】由抛物线的解析式求出p ，即可求解【详解】由2y x 变形得2x y =，故抛物线焦点在y 的正半轴，21p =，12p =，故抛物线2y x 的焦点到准线的距离是12p =故答案为：12【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12．251()x x+的展开式中，4x 的系数为．（用数字作答）【答案】10. 【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知103425510342=10r r C x r r x C -∴-=∴=∴的系数为13．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】,3⎛-∞ ⎝⎭【分析】由(]0,2x ∈，2230ax x a -+<，可得：223x a x <+，求出函数223xy x =+的最大值即可.【详解】由(]0,2x ∈，2230ax x a -+<，可得：223xa x <+， 223xy x =+，当0x =时，0y =，当0x ≠时，22233x y x x x==≤++，当且仅当x =所以a ，故答案为：,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14．在平面直角坐标系中，以双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆222()a c y x +=-与双曲线22221x y a b-=的渐近线相交，则有圆心(,0)c 到直线0bx ay -=的距离d b a ==<，所以c e a === 因为b a <，所以01ba<<，所以e =，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④【分析】所有编号之和为9(19)129452⨯++++==，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解. 【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为9(19)129452⨯++++==，由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确，依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球，则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球，若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球，设甲抽到的另外两个小球的编号分别为12,a a ，乙抽到的另外两个小球的编号分别为12,b b ，则12126,7a a b b +=+=，所以12,a a 的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球，此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾，所以甲抽到编号为2与4的小球，则乙抽到编号为1和6的小球，所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8的小球，丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球，乙抽到编号为2，4，9的小球，而丙则抽到编号为3，5，7的小球，故②正确，③错误，④正确，故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.三、解答题16．在ABC 中，3a =，b =_________.求c 的值.从①2B A ∠=∠，②sin sin 2B A =，③2ABC S =△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①：5；选②：5或3【分析】如果选①：利用正弦定理求出cos 3A =，再求出sin C ，利用正弦定理得解；如果选②：先求出cos 3A =，再利用余弦定理求出c ；如果选③：先求出cos C =.【详解】如果选①：因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC 中，由正弦定理得3sin A =.所以2sin cos sin A A A =故cos A =.(0,)A π∈，所以sin 3A ==.又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==. 在ABC 中，sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+9=.所以sin 5sin a Cc A==.如果选②：因为3a =，26b =，sin sin 2B A =，所以sin 2sin cos B A A =，由正弦定理得：2cos b a A =.故6cos 3A =，由余弦定理可得：269242263c c =+-⋅⋅， 28150c c -+=，解得5c =或3.如果选③：3152ABC S =△，则3151sin 22ABC S ab C ==△，则10sin 4C =，所以6cos C =±. 当6cos C =时，22262cos 924232615c a b ab C =+-=+-⨯⨯⋅=，15c =；当6cos C =-时，22262cos 924232651c a b ab C =+-=++⨯⨯⋅=，所以51c =或15.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）105【分析】（1）由AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得AF ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =，证明//GE BF 且GE BF =，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ，则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，求解三角形即可得出答案. 【详解】（1）证明：四边形ADEF 为正方形，∴AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，∴AF ⊥平面ABCD ，则AF CD ⊥.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =，则//BG AD 且BG AD =，∴//BG EF 且BG EF =，则四边形BGEF 为平行四边形，则//GE BF 且GE BF =，由1AB AF ==，90BAF ∠=︒，可得2GE BF ==，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ，则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，在Rt DGC △中，求得5GH =， 105sin 52GH GEH GE ∴∠===∴直线BF 与平面CDE 10【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18．国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. （3）设东部城市的AQI 数值的方差为21S ，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI 数值的方差为22S ，判断21S 和22S 的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式()2211n i i S x x n ==-∑.【答案】（1）13；（2）分布列见解析，()2E ξ=；（3）2212S S >. 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市的个数，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可列出分布列，由分布列即可求出期望. （3）利用方差的意义以及计算公式即可判断. 【详解】（1）东部城市共6个，空气质量为良有2个，东部城市中任取一个，空气质量为良的概率121613C p C ==.（2）空气质量“优”的城市有2个，“轻度污染”的城市有4个，根据题意ξ的所有可能取值为1,2,3，()124236115C C p C ξ===，()214236325C C p C ξ===， ()304236135C C p C ξ===， ξ∴的分布列为：所以()1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）如果将合肥纳入东部城市，可得2212S S >【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 19．已知函数2()xx mf x e -=（其中m 为常数）. （1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值；（2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e，求m 的值. 【答案】（1）2；（2）2.【分析】（1）代入0m =，得到()f x ，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据()f x 在()1,2的单调性求出最大值等于22e，从而求出m . 【详解】（1）0m =时，()222222()()x x x x x x e xe xf x f x e e e --'=⇒==，设切点为0002,x x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00000222x x x x y x x e e --=- ()0,0点代入，()00000222x x x x x e e --=-化简解得0(0)02k x f '⇒===. （2）22()xx m f x e -++'=，①当24m +≥即2m ≥时，()0f x '>在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递增，()f x 在[]1,2的最大值为2242(2)m f e e-==，故2m =，满足2m ≥； ②当22m +≤即0m ≤时，()0f x '<在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递减，()f x 在[]1,2的最大值为222(1)m f e e-==，故22m e =-，不满足0m ≤，舍去；③当224m <+<即02m <<时，由22()0x x m f x e-++'==得22m x +=， 22m x +<时()0f x '>，22m x +>时()0f x '<，即()f x 在21,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 的最大值为 22222222m m m m mf e e ++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭，即22222m e e +=，所以2m =，不满足02m <<，舍去，综上所述， 2m =.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到m 的问题.20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点()0,1P 作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时，||AB =. （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(),0M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）22194x y +=；（2）存在，55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由椭圆的离心率可得2249b a =，再代入点⎫⎪⎪⎝⎭即可得解；（2）联立方程组，结合韦达定理可得AB 的中点2294,4949kC k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由直线方程转化条件为2549km k =-+，结合基本不等式即可得解.【详解】（1c a ==2249b a =，故椭圆的方程为2222149x y a a +=，由已知得椭圆过点,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22279144a a +=，解得29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=；（2）由题意得直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，>0∆，则1221849k x x k +=-+，1222749x x k =-+，所以12029249x x k x k +-==+，∴0024149y kx k=+=+，所以点C 的坐标为2294,4949kC k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，则点(,0)M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点. ①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程224194949k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，则2554499k x m k k k==-=-++，若k 0<，则4912k k --≥=，当且仅当23k =-时，等号成立，所以5504129k k<-≤+，所以5012m <≤；若0k >，则4912k k +≥=，当且仅当23k =时，等号成立，所以5504129k k<≤+，5401295k k+--≤<，所以5012m -≤<； ②当0k =时，则有0m =.所以存在点M 满足条件，且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）123():,,,,n A n A A A A ⋅⋅⋅与123():,,,,n B n B B B B ⋅⋅⋅，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =⋅⋅⋅-，则称()A m 与()B m 互为正交点列.（1）试判断123(3):(0,2), (3,0), (5,2)A A A A 与123(3):(0,2),(2,5),(5,2)B B B B 是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：1234(4):(0,0), (3,1), (6,0), (9,1)A A A A A 不存在正交点列(4)B ；（3）是否存在无正交点列()5B 的有序整数点列()5A ？并证明你的结论.【答案】（1）互为正交点列，答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析. 【分析】（1）根据定义判断即可；（2）点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明()4A ：1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列()4B ；（3）有序整点列1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是点列1A ，2A ，3A ，4A ，5A 的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．【详解】解：（1）有序整点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 与1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B 互为正交点列. 理由如下：由题设可知12(3,2)A A =-，23(2,2)A A =，12(2,3)B B =，23(3,3)B B =-，因为12120A AB B ⋅=，23230A A B B ⋅=，所以1212A A B B ⊥，2323A A B B ⊥.所以整点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 与1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B 互为正交点列.（2）证明：由题意可得12(3,1)A A =，23(3,1)A A =-，34(3,1)A A =，设点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，则可设121(1,3)B B λ=-，232(1,3)B B λ=，343(1,3)B B λ=-，123,,λλλ∈Z ，因为1A 与1B ，4A 与4B 相同，所以有12312393331λλλλλλ-+-=⎧⎨++=⎩①②因为123,,λλλ∈Z 方程②不成立，所以有序整点列1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列. （3）存在无正交点列的整点列()5A .当5n =时，设()1,i i i i A A a b +=，,i i a b Z ∈，其中a ，b 是一对互质整数，1,2,3,4i =，若有序整点列1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是点列1A ，2A ，3A ，4A ，5A 的正交点列，则()1,i i i i i B B b a λ+=-，1,2,3,4i =，由441i 111i i i i i A AB B ++===∑∑，得11441144i i i i i i i i i i b a a b λλ====⎧∑-=∑⎪⎨⎪∑=∑⎩①②取1(0,0)A ，3i a =，1,2,3,4i =，12b =，21b =-，31b =，41b =-，由于1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是整点列，所以有Z i λ∈，1,2,3,4i =. 等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列()5A .【点睛】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．。

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题 1.已知集合，B ＝{|(1)(3)0}x x x --<，则A∩B=（）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或1}x <【答案】B 【解析】试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点：集合间的运算．2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析：利用任意角三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值详解：Q 角θ的终边过点()34P -，，则()4tan 3y tan x θπθ+===- 故选D点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。

3.已知函数,log ab y x y x ==的图像如图所示,则A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象，得log b y x =在(0,)+∞上单调递增，即1b >，ay x =在[0,)+∞上单调递增，且增加得越来越慢，即01a <<，则1b a >>.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数a 与1的大小，若0a >时，幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增，要与常见函数2y x =、y x =、12y x =的图象对照确定.4.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()2f x x =满足()00f =，但不是奇函数，因此充分性不成立；若()f x 是奇函数，又定义域为R ，因此()()()0000f f f =-⇒=，必要性成立，因此选B. 考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法（1）命题判断法：设“若p ，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．（3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.已知3cos ,(,0)42παα=∈-，则sin 2α的值为（）A. 38B. 38-D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin α===，所以sin 22sin cos ααα=32(4=⨯⨯=D ．考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列，∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3．故选：B ．7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5 C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然后可得结论．详解：对于A ，若参赛人数最少为4人，则当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A 不正确．对于B ，若参赛人数最少为5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，所以B 不正确．对于C ，若若参赛人数最少为6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C 正确．对于D ，由于7大于6，故人数不是最少．所以D 不正确．故选C ．点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果．8.已知定义在R 上的的数()()20xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，若方程()1=2f x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤ 【答案】A 【解析】【详解】当12 a=-时，11222xx≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或11ln()22xx>⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e=+，即有两个不相等的实数根，所以去掉B,C,D,选A.二、填空题9.已知函数()y f x=的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x=在x=_____处取得极值.【答案】-1【解析】【分析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．【详解】由图象，得当1x<-时，()0f x'<，当1x>-且2x≠时，()0f x'>，()20f'=，即函数()f x在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，即函数()f x 在1x=-处取得极小值.【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是基础题．10.32-，123，2log5三个数中最大数的是．【答案】2log5【解析】【详解】31218-=<，12331=>，22log5log423>>>2log5最大.11.在ABC△中,13cos,7314A a b==,则B=______________.【答案】π3或2π3【解析】因为13cos14A=，所以π6A<<且33sin A=，又因为73a b=，所以7sin3sinA B=，即3373sin B⨯=，解得3sin B=，因为0πB<<，所以π3B=或2π3B=.12.去年某地的月平均气温()y C︒与月份x（月）近似地满足函数πsin()6y a b xϕ=++.（,a b为常数,π2ϕ<<）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为______________,Cϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2).π6【解析】由题意，得当51182x+==时，πsin(8)16ϕ⨯+=±，又因为π2ϕ<<，所以π4π11π236ϕ<+<，即4π3π32ϕ+=，π6ϕ=，即ππsin()66y a b x=++，则5ππsin()13668ππsin()3166a ba b⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，即1331aa b=⎧⎨-=⎩，即1315ab=⎧⎨=-⎩，当2x=时，2ππ1318sin()566y=-+=-.13.在等腰梯形ABCD中,已知AB DCP,2,1,60,AB BC ABC==∠=o点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BE BC DF DC==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF⋅u u u r u u u r的值为．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB DCP,2,1,60,AB BC ABC==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积. 【此处有视频，请去附件查看】14.如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，V CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为；()f x '的零点是．【答案】（2，4）（2分），3（3分）【解析】试题分析：由题意知，,,的三边关系如图，三角形的周长是一个定值，故其面积可用海伦公式表示出来即令故答案为；考点：函数的实际应用．三、解答题15.已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为23π，且最小值为－1. （1）求函数()f x 的解析式.（2）若[,]6x m π∈，()f x 的值域是[1,-，求m 的取值范围. 【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的性质求出最大值A ，再利用周期公式求出参数ω，最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.（2）由题意求出33x π+的取值范围，然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析：（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为23π，所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=，故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+，因为5()cos 66f ππ==，且cos π=－1，7cos6π=，由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. 考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用. 16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.【答案】(1)211n a n =-+；(2)149. 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得n S ，再由数列的递推式，可得所求通项公式；（2）求得|||112|n n b a n ==-，讨论当15n 剟时，6n …时结合等差数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）Q 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+，又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于基础题．17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b . 【答案】(1)1517；(2)2. 【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式进行转化，结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可．（2）结合三角形的面积公式求出ac 的值，利用余弦定理进行转化求解即可．【详解】解：（1）8sin()17A C +=Q ， ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦， Q 角B 为锐角，cos 0B ∴>，即15cos 17B ==．（2）ABC ∆Q 的面积为2， 118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=，则172ac =， 6a c +=Q ，2222cos b a c ac B ∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac =+--=-⨯-⨯⨯=--=g ，则2b =．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合同角关系式，三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键． 18.已知函数1()xax f x e-=. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当0a <时,求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】（Ⅰ）(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减；（Ⅱ）10a -≤<时,min ()1,1f x a =-<-时,min 11()aa f x e+=.【解析】试题分析：（Ⅰ）代值，求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（Ⅱ）求导，通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性，进而确定函数的最值.试题解析：（Ⅰ）当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e '--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;（Ⅱ）由()1xax f x e -=得: ()[]1,0,1xax a f x x e-+-∈'=, 令()0,0,f x a ='<Q 解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e +⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步，利用分类讨论求函数的最值，分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一，学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清，如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或﹣27；(2)(](),275,-∞-+∞U . 【解析】【分析】（1）设出切点坐标，利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点，列出方程组，解出切点坐标和a 的值．（2）构造函数()h x ，把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合得到符合题意的a 的取值范围．【详解】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-Q ，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x +-+()h x '增极大值减极小值增()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又Q 当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为： (](),275,-∞-+∞U ．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数画出函数的大致图象，做题时注意数形结合，是中档题．20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=…；②1231n a a a a ++++=…. (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤. 【答案】（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列；(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ，由于1220130a a a ++⋯+=，可得10070a =，1008a d =，对d 分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，再利用绝对值不等式的性质即可得出．【详解】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=Q ，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（3）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，推理能力与计算能力，属于中档题．。

【数学】北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试试卷(文)(解析版)

北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|log 0}＞＜=-xx x x a ，则实数a 的值为（） A.12B. 2C.23 D. 1【答案】A【解析】由3222x>=，解得32x >；由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，所以312a +=，解得21=a ．故选A ．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变【答案】B【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入，而x n +1为世界首富的年收入则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（） A.12B.C.D.4【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A4.已知函数f （x ）=21111log x x x x ≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（）A.(],2-∞B.(],0(1-∞⋃，2]C.[]0,2 D. ][(,01,2⎤-∞⋃⎦【答案】D【解析】当x 1≥时，()1f x ≤，即为：2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；当1x <时，()1f x ≤，即为：111x≤-，解得x ≤0．综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⋃⎦．故选：D ．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.233π-B.133π- C.81633π- D.8833π- 【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 6.在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（）A. n a n =B. 1n a n =+C. 2)1(-=n n a n D. 2)1(+=n n a n 【答案】D 【解析】令m =1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=. 故选：D7.若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 ( ) A.212B. 84C. 3D. 21【答案】D【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程2212516x y +=可得：2125a =，15a =由椭圆定义可得：121210PF PF a +== (1)，由双曲线方程22145x y -=可得：224a =，21=a ，由双曲线定义可得：12224PF PF a -==…（2）联立方程（1）（2），解得：127,3PF PF ==，所以123721PF PF ⋅=⨯= 故选：D.8.如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n 片金片总共需要的次数为a n ，可推得a 1=1，a n +1=2a n +1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】由程序框图知，i ＝1时，S =1； i ＝2时,S ＝1×2+1＝3； i ＝3时，S ＝3×2+1＝7； i ＝4时，S ＝7×2+1＝15； i ＝5时，S ＝15×2+1＝31； i ＝6时，S ＝31×2+1＝63； i ＝7时，S ＝63×2+1＝127； i ＝8时，S ＝127×2+1＝255； i ＝9时，S ＝255×2+1＝511； i ＝10时,S ＝511×2+1＝1023；程序运行结束，输出的结果是i ＝10．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量()()()12113a b x c ===，，，，，，若()a b c +⊥，则=x ______．【答案】-10【解析】因为()()()12113a b x c ===，，，，，所以(1,3)a b x +=+；又()a b c +⊥；()190a b c x ∴+⋅=++=；10x ∴=-，故答案为10-．10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为S c b a ,,,为ABC ∆的面积，()sinA C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______．【答案】6π【解析】在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，222sin(A C)S b c +=-，即为22sin sin ac BB b c =-，即有22b c ac =+，由余弦定理可得ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2，即有2,ac b ==，222222cos 22a b c C ab +-===，由C 为三角形的内角，可得21≥+xx ，故答案为6π．11.设θ第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=______．【答案】5-【解析】因为θ为第二象限角，1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， tan 11tan 41tan 2πθθθ+⎛⎫∴+== ⎪-⎝⎭，1tan 3θ∴=-，而22222cos 1cos sin cos 1tan θθθθθ==++， θ为第二象限角，cos sin 1010θθ∴==-==，则sin cos 10105θθ+=-=-，故答案为. 12.已知1e ，2e 为单位向量且夹角为23π，设1232a e e =+，23b e =，则a 在b 方向上的投影为____【答案】12【解析】()12223cos 32391cos632a b a b e e e πθ⋅==+⋅=⋅⋅+=，即3cos 2a b θ=，又3b = 所以1cos 2a θ=13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共14C =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以22A =2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．14.直线y =x +1是曲线f （x ）=x +1alnx x-（a ∈R ）切线，则a 的值是______．【答案】1-【解析】设切点的横坐标为0x ，()20221111'11a x ax f x x a x x x a x --=--==⇒=-⇒-=，则有：()00000001110f x x alnx x lnx x x =+-=+⇒-+=，令()()11'101h x lnx x h x x x=-+⇒=-=⇒=，则()hx 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，又因为()10h=，所以011x a =⇒=-；故答案为：1-．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.在△ABC 中，3sinA =2sinB，tanC = （1）求cos 2C ；（2）若AC -BC =1，求△ABC 的周长．解：（1）∵tanC =1cosC 6=，∴2117cos2C 21618⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. （2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c . ∵3sinA 2sinB =，∴3a 2b =， ∵AC BC b a 1-=-=，∴a2=，b 3=.由余弦定理可得222c a b 2abcosC 13211=+-=-=，则c =ΔABC的周长为5+16.已知正项数列{a n }的前n 项和为214411n n n S S a n a ，，=+-=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }是递增数列，11n n n b a a +=⋅，T n 为数列{b n }的前n 项和，若6n mT ≤恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）2n ≥时，()221144441411n n n n n a S S a n a n --⎡⎤=-=+--+--⎣⎦，化为：()2212n n a a --=，0na >. ∴12n n a a --=，或12n n a a -+=，12n n a a --=时，数列{}n a 是等差数列，()12121n a n n =+-=-. 12n n a a -+=，∵11a =，可得1n a =．（2）{}n a 是递增数列，∴21n a n =-.()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和1111111...23352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，∵6n m T ≤恒成立，∴126m≤，解得3m ≥.∴实数m 的取值范围是[)3,+∞. 17.如图，在平行四边形ABCD中，45,2,A AB BC BE AD ∠===⊥于点E ，将ABE ∆沿BE 折起，使90AED ∠=，连接,AC AD ，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点P 在线段AB 上，直线PD 与平面BCD 所成角的正切值为15，求三棱锥BCD P -的体积．（1）证明：∵BE ⊥AE ，DE ⊥AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，以ED ，EB ，EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A （0，0，1），B （0，1，0），C （2，1，0），D （1，0，0），设AC 的中点为M ，则M （1，12，12），∴DM=（0，12，12），=（0，1，-1），BC=（2，0，0），∴DM AB⋅=0，DM BC⋅=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN∴tan∠PDN=PNDN=15，解得x=14，即PN=14．∵BD，CD=AB，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD=12BD CD⋅⋅=1，∴三棱锥P-BCD的体积V=13⋅S△BCD•PN=11134⨯⨯=112．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++解：（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）2×2列联表如下图：22500(14012018060)200300320180K ⨯-⨯⨯⨯⨯=≈5.208＞2.706，所以有12的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 19.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：（Ⅰ）由已知可得：222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩；所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．（Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -．设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C mx n =+；同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+．所以()()()2221121212212221ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++ 22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++．即四边形ABCD 的面积为定值2．20.已知函数)ln )2()(2R a x a x a x x f ∈--+=（．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()0f x >，求的最大整数值．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()22a f x x a x =+--' ()222x a x a x+--=()()12x x a x +-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得2a x >，令()0f x '<，得02a x <<， ()f x ∴在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）知，当0a ≤时()f x 在()0,+∞上单调递增，又()130f a =->，所以当1x ≥时，()()10f x f ≥>，满足题意.由（1）知，当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.若012a<≤，即02a <≤，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以当1x ≥时，()()130f x f a ≥=->，满足题意.若12a>，即2a >，()f x 1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ()()22min2ln ln 242242a aa a a a f x f a a a a ⎛⎫∴==+-⋅-=-- ⎪⎝⎭()0f x > ()min0f x ∴>即2ln 042a aa a --> 1ln 042a a ∴-->令()1ln ln 1ln2(2)424a a ag a a a =--=--++>， ()1104g a a∴=--<'，()g a ∴在()2,+∞上单调递减，又()1202g =>，()133ln 042g =-<， ()g a ∴在()2,3上存在唯一零点0x ，02a x ∴<< 0(23)x <<综上所述，a 的取值范围为()0,x -∞，故a 的最大整数值为2.。

2023-1北京海淀清华附中高三3模数学试卷

2023年北京市清华附中高三三模数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}(1)(2)0A x x x =+−>，则C A =R A.(,1)(2,)−∞−+∞B.(,1][2,)−∞−+∞C.(1,2)−D.[1,2]−2. 在复平面内，复数1z 的对应点为(1,1)，复数2z 的对应点与复数1z 的对应点关于y 轴对称，则12z z = A.2B.2−C.2iD.2i −3. 若(2)n x −的展开式中常数项为32，则含3x 项的系数为 A.40−B.10−C.10D.404. 已知函数41()2x x f x +=，则对于任意的x ∈R ，总有A.()()0f x f x −+=B.()()2f x f x −+=C.()()0f x f x −−=D.()()2f x f x −−=5. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和记为n S ，若40S =，242a a +=，则10S = A.80 B.70 C.60 D.506. 向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示. 若λμ=+c a b ，则λμ=A.3−B.4−C.3D.47. 已知双曲线C 的焦点12,F F 在x 轴上，且12||F F =P 是C 上一点，且 12||||||2PF PF −=，则C 的标准方程为A.2217y x −= B.22115y x −= C.22144x y −= D.221412x y −=8. “sin2sin αα=”是“存在k ∈Z ，πk α=”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积. 正方体的棱长均为2r ，r 为球的半径，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π. 后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =−牟方盖差，从而计算出34π3V r =球. 记所有棱长都为1的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2的正方体的方盖差为V 方盖差，则V V =方盖差正A.1210. 已知M 为圆222210x y x y +−−+=上一点，N 为圆222210x y x y ++++=上一点，则 ||OM ON +的最大值为A. B.2D.1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

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2020年北京市清华附中高考数学三模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，下列说法正确的是（）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，标准差可能不变3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. （-∞，2]B. （-∞，0]∪（1，2]C. [0，2]D. （-∞，0]∪[1，2]5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则数列{a n}的通项公式为（）A. a n=nB. a n=n+1C. a n=D. a7.若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A. B. 84 C. 3 D. 218.如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图②是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量，若，则x=______．10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，sin（A+C）=，且A，B，C成等差数列，则C的大小为______．11.设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=______．12.已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为________．13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用数字作答）．14.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C;（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．16.已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．17.如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=45，AB=，BC=2，BE⊥AD于点E，将△ABE沿BE折起，使∠AED=90°，连接AC、AD，得到如图②所示的几何体．（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若点P在线段AB上，直线PD与平面BCD所成角的正切值为，求三棱锥P-BCD的体积．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P（K2≥k0）0.100.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d19.已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．20.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）＞0，求a的最大整数值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.答案：B解析：解：数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大，故A，C，D都错误，B正确．故选：B．年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，∴2c=a∴e==故选：A．根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c=a，然后根据离心率e=，即可得到答案．此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．4.答案：D解析：解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0]∪[1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：根据三视图可知，该几何体是球替，挖去一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为V=••23-••4•2•2=-．故选：D．根据三视图可知该几何体是球，挖去一个三棱锥，把数据代入体积公式即可求解．本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．6.答案：D解析：解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，当n=2时，a2=a1+a1+1×1=3=1+2，当n=3时，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，所以：a n=1+2+3+…+n=．故选：D．直接利用赋值法和数列的通项公式的转换的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，赋值法的应用，属于基础题型．7.答案：D解析：【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|-|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|PF1|•|PF2|=21故选：D．8.答案：C解析：解：i=1，S＞1000否，i=2，S=2+1=3，i=2，S＞1000否，i=3，S=6+1=7，i=3，S＞1000否，i=4，S=14+1=15，i=4，S＞1000否，i=5，S=30+1=31，i=5，S＞1000否，i=6，S=62+1=63，i=6，S＞1000否，i=7，S=126+1=127，i=7，S＞1000否，i=8，S=254+1=255，i=8，S＞1000否，i=9，S=510+1=511，i=9，S＞1000否，i=10，S=1022+1=1023，i=10，S＞1000是，输出i=10，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.答案：-10解析：解：；∵；∴；∴x=-10．故答案为：-10．可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积的坐标运算．10.答案：解析：解：△ABC中，A，B，C成等差数列，可得2B=A+C=π-B，即B=，sin（A+C）=，即为sin B=，即有b2=c2+ac，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac，即有a=2c，b=c，cos C===，由C为三角形的内角，可得C=．故答案为：．由等差数列中项性质和三角形的内角和定理可得B，再由余弦定理和面积公式，可得a=2c，b=c，再由余弦定理求得cos C，可得角C．本题考查等差数列的中项性质和三角形的内角和定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.答案：-解析：解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=-，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=-=-，sinθ==，则sinθ+cosθ=-=-．故答案为：-已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.答案：解析：解：根据题意得，•=9•+62=9×+6×1×1=-+6=；又∵||=3，∴在方向上的投影为==；故答案为．运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题．本题考查向量的夹角，投影的概念．13.答案：144解析：解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共=4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共=72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以=2即可，即六场的排法有4×72÷2=144（种）故答案为：144．由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共=4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共=72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．14.答案：-1解析：解：设切点的横坐标为x0，f′（x）=1--==1⇒x0=-⇒-a=，则有：f（x0）=x0+-a ln x0=x0+1⇒ln x0-x0+1=0，令h（x）=ln x-x+1⇒h′（x）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．15.答案：解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解：（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1=+4n-1-[+4（n-1）-1]，化为：=，a n＞0．∴a n-a n-1=2，或a n+a n-1=2，a n-a n-1=2时，数列{a n}是等差数列，a n=1+2（n-1）=2n-1．a n+a n-1=2，∵a1=1，可得a n=1．（2）{a n}是递增数列，∴a n=2n-1．==，数列{b n}的前n项和T n==，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．解析：（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1，化为：=，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n=2n-1．可得==，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：（1）证明：方法1：∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，∴AE⊥平面BCDE，以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），设AC的中点为M，则M（1，，），∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），∴=0，=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．方法2：取AC的中点M，BC的中点N，连接DM，DN，MN．在平行四边形中，由AB=，∠BAE=45°，BE⊥AD可得AE=BE=1，又AD=BC=2，∴DE=1，∴BN=BE=DE，又BN∥DE，BE⊥DE，∴四边形BEDN是正方形，∴DN∥BE，BN⊥BE，又MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，又BE∩AB=B，DN∩MN=N，∴平面DMN∥平面ABE，∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，∴AE⊥平面BCDE，又BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE=E，∴BC⊥平面EAB，∴BC⊥平面DMN，∴BC⊥DM．∵AD==，CD=AB=，∴AD=CD，∴DM⊥AC，又AC∩BC=C，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．（2）过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN=，∴tan∠PDN===，解得x=，即PN=．∵BD==，CD=AB=，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD==1，∴三棱锥P-BCD的体积V=S△BCD•PN==．解析：（1）取AC中点M，建系，利用向量证明DM⊥AB，DM⊥BC即可得出DM⊥平面ABC，故而平面ACD⊥平面ABC；（2）做出直线PD与平面BCD所成角，求出P到平面BCDE的距离，代入体积公式即可．本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．…（4分）2×2女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K2=≈5.208＞2.706，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．解析：（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：（1）∵椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．证明：（2）∵椭圆C的方程为=1，∴A（-2，0），B（0，-1），设M（m，n），（m＞0，n＞0），则=1，即m2+4n2=4，则直线BM的方程为y=，令y=0，得，同理，直线AM的方程为y=，令x=0，得，∴×|+2|×||====2，∴四边形ABCD的面积为定值2．解析：（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设M（m，n），（m＞0，n＞0），则m2+4n2=4，从而直线BM的方程为y=，进而，同理，得，进而×|+2|×|，由此能证明四边形ABCD的面积为定值2．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．20.答案：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+2-a-==，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．由（1）知，当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．若≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．若＞1，即a＞2，f（x）在上单调递减，在上单调递增．∴f（x）min=f=+（2-a）-a ln=a--a ln，∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--a ln＞0，∴1--ln＞0，令g（a）=1--ln=--ln a+1+ln2（a＞0），∴g′（a）=--＜0，∴g（a）在（2，+∞）上单调递减，又g（2）=＞0，g（3）=-ln＜0，∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0，∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。