空间直角坐标系【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册优质课件
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空间直角坐标系课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是
A.在x轴上
B.在xOy平面内
C.在yOz平面内
D.在xOz平面内
第4题
2 已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则点B的 坐
标为 （ ）
3 在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为
点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是（ ）
1
1
1
{ OA, OC , OD}
3
4
2
为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1) 写出D', C, A', B'四点的坐标;
z
(2) 写出向量 AB, BB , AC , AC 的坐标.
D′
解（1）由已知
A′
D′（0，0，2），C(0，4，0）
A′(3，0，2）,B′(3，4，2）
叫做点A的竖坐标
• (2)在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作＝
Ԧ
.
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使=xԦ
Ԧ +y Ԧ +
有序实数组(x，y，z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上
Ԧ
式可简记作＝(x，y，z)
Ԧ
概念巩固
如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依
平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 ∠xOy＝135°(或 45°) ∠yOz＝90°
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手
A.在x轴上
B.在xOy平面内
C.在yOz平面内
D.在xOz平面内
第4题
2 已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则点B的 坐
标为 （ ）
3 在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为
点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是（ ）
1
1
1
{ OA, OC , OD}
3
4
2
为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1) 写出D', C, A', B'四点的坐标;
z
(2) 写出向量 AB, BB , AC , AC 的坐标.
D′
解（1）由已知
A′
D′（0，0，2），C(0，4，0）
A′(3，0，2）,B′(3，4，2）
叫做点A的竖坐标
• (2)在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作＝
Ԧ
.
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使=xԦ
Ԧ +y Ԧ +
有序实数组(x，y，z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上
Ԧ
式可简记作＝(x，y，z)
Ԧ
概念巩固
如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依
平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 ∠xOy＝135°(或 45°) ∠yOz＝90°
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手
新教材人教A版选择性必修第一册 1.3.1 空间直角坐标系 课件(49张)
【习练·破】 已知两点P(1,0,1)与Q(4,3,-1),则P,Q之间的距离为_______.
【解析】因为P(1,0,1),Q(4,3,-1), 所以 OP=(1,0,1)=i+k, OQ=(4,3,-1)=4i+3j-k, 所以 PQ=(4i+3j-k)-(i+k)=3i+3j-2k,
PQ 3i2 3j2 (－2k)2 22，
2
【类题·通】 1.空间对称问题的特点 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化 规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余 坐标相反”这个结论.
2.利用向量法求空间两点距离的方法 (1)建系,确定两点坐标. (2)求出以向量 OA,OB 的坐标. (3)求 AB 的坐标. (4)根据公式求出 AB 的模,即AB的距离.
2
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点, 所以M(1,1,2).
所以AM=(1,1,2)=i+j+2k,
AN (3i+,33,1)j+k,
2
所以 MN (3 i -3(ji+ kj+) 2k)
2
= 1 i+2j-k,
2
所以 | MN | (1 i)2 2j2 (－k)2 21，
2
2
即|MN|= 21 .
【思考】 什么是右手直角坐标系? 提示:右手直角坐标系是指的让右手的拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向, 中指指向z轴正方向所建立的坐标系;高中阶段所用的空间直角坐标系都是右手 直角坐标系.
2.空间向量的坐标表示 (1)点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,存在唯一有序实 数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk,则 OA 对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间坐 标系中的坐标. (2)向量的坐标 给定向量a,若OA =a,则a=xi+yj+zk, 有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记作a=(x,y,z).
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共50张PPT)
知 2．掌握空间直角坐标系中点的 的核心素养．
养
合
作 坐标的确定．(重点)
探
究 释
3．掌握空间向量的坐标表示
疑
难 (重点、难点)
2．通过空间向量的坐标表示，培
课 时
分
养学生直观想象和数学建模的核 层
作
心素养.业Leabharlann 返 首 页·3
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
课
探
时
究
坐标系 向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x
分
层
释 疑
轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
作 业
难
返 首 页
·
7
·
情
坐标轴 _x__轴、_y__轴、_z__轴
课
景
堂
导 学
坐标原点 点_O__
小 结
·
探 新
坐标向量 __i __，__j __，_k___
提 素
知
养
坐标平面 O__xy_平面、O__yz_平面和_O_x_z平面
课
探 究
点坐标 _a_＝___(_x，__y_，__z_)_
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
10
·
情
课
景 导
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学选择性必修第一册(人教A版)1、3、1 空间直角坐标系(课件PPT)
1．点 P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y 轴上
B．坐标平面 Oxy 上
C．坐标平面 Ozx 上
D．坐标平面 Oyz 上
答案 C
解析 因为点 P 的坐标中纵坐标为 0，横坐标和竖坐标都不
为 0，所以点 P 在坐标平面 Ozx 上．故选 C 项．
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【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
2．在空间直角坐标系中，点 P(－1,2,3)关于坐标平面 Oxy 对
称的点的坐标是( )
A．(1，－2，－3)
B．(－1,2，－3)
C．(1，－2,3)
D．(－1，－2,3)
答案 B
解析 由题意可得对称点的横坐标和纵坐标与点 P 的相同，
竖坐标与点 P 的互为相反数，故对称点的坐标为(－1,2，－3)．故
1．点的坐标表示：在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐 标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量O→A，且点 A 的位置由 向量O→A唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使O→A＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 O→A对应的_________有__序__实__数__组__(_x_，__y_，__z)__________叫做点 A 在空 间直角坐标系中的坐标，记作_______A__(x_，__y_，__z_)________，其中 __x_叫做点 A 的横坐标，__y_叫做点 A 的纵坐标，__z_叫做点 A 的竖 坐标．
空间直角坐标系【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)所以N源自1，1，5 626.
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
求某点 P 的坐标的方法： 先找到点 P 在 xOy 平面上的射影 M，过点 M 向 x 轴作垂线，确 定 垂 足 N. 其 中 |ON| ， |NM| ， |MP| 即 为 点 P 坐 标 的 绝 对 值 ， 再 按 O→N→M→P 确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即 可得到相应的点 P 的坐标．
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
[解] (1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1(－2，－1， －4).
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)所以N源自1，1，5 626.
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
求某点 P 的坐标的方法： 先找到点 P 在 xOy 平面上的射影 M，过点 M 向 x 轴作垂线，确 定 垂 足 N. 其 中 |ON| ， |NM| ， |MP| 即 为 点 P 坐 标 的 绝 对 值 ， 再 按 O→N→M→P 确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即 可得到相应的点 P 的坐标．
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
1空.间3 .直1空角间坐直标角系坐【标新系教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（选2 0择19性）必高 修中第数一学 册选课择件性 必修第 一册课 件(共 26张PP T)
[解] (1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1(－2，－1， －4).
数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件
= 2 × (−5) − (−2) = −8， = 2 × 4 − 1 = 7， = 2 × 3 − 4 = 2，
所以3 (−8，7，2).
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的
有序实数组(, , )，使得 = + + .
在空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作 = .由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组(，，)，使 = + + .
有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 =
例析
例1.如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，
’
1
1
1
2，以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立的空间直角坐标系.
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个
单位正交基底{，}，以为原点，分别以，的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，
那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点 和一个单位正交基底 {，，} ，
以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的
来的相反数，所以对称点为1 (−2， − 1， − 4).
(2)由于点关于平面对称后，它在轴、轴的分量不变，在轴的分量变为
原来的相反数，所以对称点为2 (−2，1， − 4).
(3)设对称点3 (，，)为，则点为线段3 的中点，由中点坐标公式，可得
131 空间直角坐标系课件-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置； 2.掌握空间向量的坐标表示； 3.会求空间对称点的坐标.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x 轴，y 轴方向相同的两
个单位向量 i ，j 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，
x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标
系Oxyz，O叫做原点，i ，j ，k 叫做坐标向量，
z
通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面， 它们把空间分成八个部分.
k
j
i
O
y
x
空间直角坐标系的划分： Ⅲ
Ⅳ
Ⅶx
Ⅷ
z
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ
Ⅴ
空间直角坐标系的画法 (1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)， ∠yOz =90°. (2)直角坐标系右手定则: 在空间直角坐标系中，握住右手，四指向手心方向折合,从x 的方向沿小于 180°的角转向y 轴，大拇指的方向就是z 轴.
A1
B1
C1
A
B
C
关于谁对称谁不变
空间中点坐标公式和重心坐标公式
在空间直角坐标系中，点
A(a 1，a
2，a
)
3
和点
B(b1， b
2，b
)
3
的中点坐
标为:
a1
2
b1
，a 2
2
b2
，a 3
b3
在空间直角坐标系中，已知点 A(a 1，a 2 ，a 3) ，点 B(b1， b 2 ， b 3) ，点
1.3.1 空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置； 2.掌握空间向量的坐标表示； 3.会求空间对称点的坐标.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x 轴，y 轴方向相同的两
个单位向量 i ，j 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，
x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标
系Oxyz，O叫做原点，i ，j ，k 叫做坐标向量，
z
通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面， 它们把空间分成八个部分.
k
j
i
O
y
x
空间直角坐标系的划分： Ⅲ
Ⅳ
Ⅶx
Ⅷ
z
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ
Ⅴ
空间直角坐标系的画法 (1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)， ∠yOz =90°. (2)直角坐标系右手定则: 在空间直角坐标系中，握住右手，四指向手心方向折合,从x 的方向沿小于 180°的角转向y 轴，大拇指的方向就是z 轴.
A1
B1
C1
A
B
C
关于谁对称谁不变
空间中点坐标公式和重心坐标公式
在空间直角坐标系中，点
A(a 1，a
2，a
)
3
和点
B(b1， b
2，b
)
3
的中点坐
标为:
a1
2
b1
，a 2
2
b2
，a 3
b3
在空间直角坐标系中，已知点 A(a 1，a 2 ，a 3) ，点 B(b1， b 2 ， b 3) ，点
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-3-1空间直角坐标系课件
C [点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量
变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3)．]
1234
√
1234
(1，0，0) (1，0，1)
1234
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？ 提示：(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线． (2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内． (3)充分利用几何图形的对称性．
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系
1．了解空间直角坐标系．(数学抽象) 2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念． 学习 (直观想象) 任务 3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐 标．(数学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
2．如何确定空间一点P的坐标？ 提示：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由 P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平 面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出 点P的坐标(x，y，z)． 3．如何求空间向量的坐标？ 提示：在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示， 从而求出空间向量的坐标．
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
(2)在直线上建立数轴后，就可以用一 个数刻画点在直线上的位置；平面向量中， 我们借助平面向量基本定理以及两个互相 垂直的单位向量，引进了平面向量的坐 标．空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点1 空间直角坐标系 (1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O 为原点，分别以_i_，__j，__k_的方向为正方向，以它们的长为单位长度 建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．
高中数学1-3空间向量及其运算的坐标表示1-3-1空间直角坐标系课件新人教A版选择性必修第一册
2．向量的坐标： 给定向量 a，若O→A＝a，a＝xi＋yj＋zk，有序实数组_(_x_，__y_，__z_) _叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，简记为 a＝_(_x_，__y_，__z)__．
【预习自测】
1．在空间直角坐标系中，点 P(1，2，3)到平面 Ozx 的距离是
()
A．1
【答案】(2，－3，1) 【解析】点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2， 3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关 于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
3．如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱 长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐 标为________．
__x_轴__、__y_轴__、__z_轴___，它们都叫坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标
系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做_坐__标__向__量___，通过每两条坐标轴的
平面叫做__坐__标__平__面__，分别称为__O__x_y__平面，__O_y_z___平面，__O__z_x___ 平面，它们把空间分成__八__个__部__分__．
坐标互为相反数，所以点(2，3，2)关于平面Oxy的对称点的坐标为(2，
3，－2)．
探究 3 求关于点对称的点
点A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)的对称点的坐标是
A．(－3，4，－10)
B．(－3，2，－4)
()
C．32，－21，21
D．(6，－5，11)
【答案】A
【解析】由线段中点坐标公式，则A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，
高中数学(新人教A版)选择性必修一：空间向量运算的坐标表示【精品课件】
3m-n= (5,-11,19)
,(2m)·(-3n)= 168
,
.
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
(a-b)=a2-b2.
2.解决空间中的
平行、垂直问题
例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量运算的坐标表示
目
录
01空间向量的坐标运算
02解决空间中的平行、垂直问题
03向量夹角与长度的计算
04利用空间向量解决探索性问题
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问
题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量
是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
,(2m)·(-3n)= 168
,
.
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
(a-b)=a2-b2.
2.解决空间中的
平行、垂直问题
例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量运算的坐标表示
目
录
01空间向量的坐标运算
02解决空间中的平行、垂直问题
03向量夹角与长度的计算
04利用空间向量解决探索性问题
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问
题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量
是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
1.3.1~2 空间直角坐标系课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
一般地，对于给定一点P(x，y，z)，则点P：
z
( x， y， z)
(1)关于x 轴对称的点为__________;
( x， y， z)
(2)关于y 轴对称的点为__________;
( x， y， z)
(3)关于z 轴对称的点为__________;
( x， y， z)
(4)关于平面Oxy对称的点为__________;
轴.
画空间直
角坐标系
y
j
O
i
x
斜二测画法
135°
45°
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画
轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.
(3)建 系：建立右手直角坐标系 .
在空间直角坐标系中，让右手拇指指
向 x 轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量 i , j , k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。
z
k
i
x
Oj
y
平面直角坐标系
在平面内选定一点 O
和一个单位正交基
底 i ， j .
y
O
( x， y， z)
(5)关于平面Oxz对称的点为__________;
( x ， y ， z )
(6)关于平面Oyz对称的点为__________;
( x， y， z)
(7)关于原点对称的点为_____________.
z
( x， y， z)
(1)关于x 轴对称的点为__________;
( x， y， z)
(2)关于y 轴对称的点为__________;
( x， y， z)
(3)关于z 轴对称的点为__________;
( x， y， z)
(4)关于平面Oxy对称的点为__________;
轴.
画空间直
角坐标系
y
j
O
i
x
斜二测画法
135°
45°
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画
轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.
(3)建 系：建立右手直角坐标系 .
在空间直角坐标系中，让右手拇指指
向 x 轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量 i , j , k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。
z
k
i
x
Oj
y
平面直角坐标系
在平面内选定一点 O
和一个单位正交基
底 i ， j .
y
O
( x， y， z)
(5)关于平面Oxz对称的点为__________;
( x ， y ， z )
(6)关于平面Oyz对称的点为__________;
( x， y， z)
(7)关于原点对称的点为_____________.
空间直角坐标系课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
已知正四面体ABCD的棱长为1, 试建立恰当
的坐标系并表示向量AC.
z
A
解: BCD的边长为1，
BE 3 ,OE 3 ,OB 3
2
6
3
B
O
并且OA 12 ( 3 )2 6 ，
xF
C
D
Ey
3
3
A, B,C, D四点坐标分别为A(0，0,
6 ), B(0，
3 ,0)，
C( 1 ， 3 ，0), D( 1 ， 3 ，0),
记作a (x, y, z)
四、课堂小结
z
1.空间坐标系
z
z
A(x,y,z)
1
kA
i Oj
k
y
i Oj
y
O•
1
1
y
x
x
x
2.空间向量的坐标 a OA xi y j z j
记作a (x, y, z)
作业: 课本P18 练习
3题
P22 习题1.3 3题
O
过O作OF // CD,交BC于F,
x
F C
连接BO并延长交CD于E, E为CD中点,
E Dy
以O为原点,OF,OE,OA分别为x轴, y轴, z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
3.变式练习
已知正四面体ABCD的棱长为1, 试建立恰当
的坐标系并表示向量AB.
z
A
解: BCD的边长为1，
BE 3 , OE 3 , OB 3
等于0.
X轴上A Y轴上B Z轴上C
坐标形式 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
空间向量及其运算的坐标表示 人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
→
→
→
设向量P→
1P2与P1P3的夹角为θ，因为P1P2＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，P1P3＝(0，1，3)－(1，
－1，2)＝(－1，2，1)，所以 cos θ＝
→
P→
1P2·P1P3
＝0.因为 0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.故选 D.
标为( D )
1
1
A．( ，1，－ )
2
2
1
1
C．(－ ，1， )
2
2
1
1
B．( ，－1， )
2
2
1
1
D．( ，1， )
2
2
由题可知，M 为 DC1 的中点，
1
1
1
1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→，
∴AM＝AD＋DM＝AD＋ (DD1＋DC)＝AD＋ (AA1＋AB)＝ AA1＋AD＋ AB
2
2
2
2
1
1
∴坐标为( ，1， )．
B
)
A． (0，－4,6)
B． (0，－2,3)
C． (0,2,3)
D． (0，－2,6)
【答案】B
−3+3 1−5 −4+10
【解析】根据线段的中点坐标公式可得线段 AB 的中点 M 的坐标是(
即(0，－2,3)．故选 B.
2
，2 ，
2
)，
例题解析
例 4.点 A(2，－3,1)关于原点的对称点 A′的坐标是(
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系(共20张ppt)
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=xԦ+yԦ+z.
空间点的坐标：在单位正交基底{Ԧ, Ԧ, }下，=xԦ+yԦ+z，则有
序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量 Ԧ ，
(-x , y , -z)
②点A关于y轴对称的点为A 2 ___________;
(-x , -y , z)
③点A关于z轴对称的点为A 3 ___________.
(-x , -y , -z)
④点A关于原点对称的点为A 4 ___________.
(x , y , -z)
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A 5 __________;
平面直角坐标系 空间直角坐标系
原点
坐标原点O
坐标轴
互相垂直的两条 三条两两垂直的
坐标轴x轴和y轴 坐标轴
单位长度
单位长度
坐标原点O
单位长度
探究新知
追问2 你能否给出空间直角坐标系的定义呢？
探究新知
平面向量与平面直角坐标系
空间向量与空间直角坐标系
在平面内选取一点O和一个单位正交
在空间选定一点O和一个单位正交基底
Oxy平面
探究新知
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
135°
45°
④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，
食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，
空间点的坐标：在单位正交基底{Ԧ, Ԧ, }下，=xԦ+yԦ+z，则有
序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量 Ԧ ，
(-x , y , -z)
②点A关于y轴对称的点为A 2 ___________;
(-x , -y , z)
③点A关于z轴对称的点为A 3 ___________.
(-x , -y , -z)
④点A关于原点对称的点为A 4 ___________.
(x , y , -z)
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A 5 __________;
平面直角坐标系 空间直角坐标系
原点
坐标原点O
坐标轴
互相垂直的两条 三条两两垂直的
坐标轴x轴和y轴 坐标轴
单位长度
单位长度
坐标原点O
单位长度
探究新知
追问2 你能否给出空间直角坐标系的定义呢？
探究新知
平面向量与平面直角坐标系
空间向量与空间直角坐标系
在平面内选取一点O和一个单位正交
在空间选定一点O和一个单位正交基底
Oxy平面
探究新知
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
135°
45°
④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，
食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，
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7
·
情
坐标轴 _x__轴、_y__轴、_z__轴
课
景
堂
导 学
坐标原点 点_O__
小 结
·
探 新
坐标向量 __i __，__j __，_k___
提 素
知
养
坐标平面 O__xy_平面、O__yz_平面和_O_x_z平面
合
作 探
课
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_x轴__正
时
究
右手直角
分
释 疑
方向，食指指向_y轴__正方向，如果中指指向_z轴__
知 2．掌握空间直角坐标系中点的 的核心素养．
养
合
作 坐标的确定．(重点)
探
究 释
3．掌握空间向量的坐标表示
疑
难 (重点、难点)
2．通过空间向量的坐标表示，培
课 时
分
养学生直观想象和数学建模的核 层
作
心素养.
业
返 首 页
·
3
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
养
合 作
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
1
·
情
课
景 导
第一章 空间向量与立体几何
堂 小
学
结
·
探 新
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
提 素
知
养
合
1.3.1 空间直角坐标系
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.了解空间直角坐标系的建立
1.通过建立空间直角坐标系，确
堂 小
学
结
·
探 过程．
新
定点的坐标，提升学生直观想象 提 素
时 分
释 疑
点坐标
标系中的坐标．记作_A_(_x_，__y，__z_)_，其中_x_叫点 A 的横坐标，
层 作
业
难
_y_叫做点 A 的纵坐标，_z_叫做点 A 的竖坐标
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第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
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第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
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·
情
课
景
堂
导
小
学 探
空间直 在空间直角坐标系中，给定向量 a.由空间向量基本定理，
·
结 提
新 知
角坐标 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 a＝_x_i_＋_y_j_＋__zk__，则
知
(2)空间直角坐标系中xOz平)
合
作 探
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐
课 时
究 标相反．
释
分
( )层 作
疑
难
[提示] (1)× (2)× (3)√
业
第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
素 养
合 作
系中 A _(x_，__y_，__z_) _叫做 a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作
课
探 究
点坐标 _a_＝___(_x，__y_，__z_)_
时 分
层
释
作
疑
业
难
第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
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·
2.空间向量的坐标表示
情
课
景 导
在空间直角坐标系中，i，j，k 为坐标向量，对空间任一点
堂 小
学
结
探 新
空间直 A，对应一个向量O→A，且点 A 的位置由向量O→A唯一确定，
·
提 素
知
养
角坐标 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
合
作 探 究
课
系中 A 使O→A＝_x_i_＋__yj_＋__zk__，则_(_x_，__y_，_z_)_叫做点 A 在空间直角坐
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·
第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
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情
2．已知i，j，k是空间直角坐标系O-xyz的坐标向量，并且 A→B ＝ 课
景
堂
导 学
－i＋j－k，则B点的坐标为(
)
小 结
·
探
提
新
A．(－1,1，－1)
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·
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·
情
课
景 导
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
堂 小
学
结
·
探
(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.( ) 提
新
素
坐标系
层 作 业
难
正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
·
第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学选 择性必 修第一 册课件( 共50张 PPT)
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课
探
时
究
坐标系 向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x
分
层
释 疑
轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
作 业
难
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·
情
(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
课
景
堂
导 学
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．
小 结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释 疑
(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间 作 业
难
的点呢？
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情
课
景
堂
导
小
学
1．空间直角坐标系
·
结
探
提
新
素
知
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，
养
合 作
空间直角 k}，以O为原点，分别以i_，__j，__k_的__方__向_为正方