高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题二学案北师大版选修

2.2最大值、最小值问题(二)

学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

知识点生活中的优化问题

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路：

上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．

类型一几何中的最值问题

命题角度1平面几何中的最值问题

例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．

跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．

命题角度2立体几何中的最值问题

例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．

(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．

跟踪训练2把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

类型二实际生活中的最值问题

命题角度1利润最大问题

例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格

x(单位：元/千克)满足关系式y＝

a

x－3

＋10(x－6)2，其中3

为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：

(1)利润＝收入－成本；

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

命题角度2费用(用材)最省问题

例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每

年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

k 3x＋5

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练4据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度

x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝

1128 000x 3－3

80

x ＋8(0

相距100千米．

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？

1．已知某生产家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－

1

3

x 3＋81x －234，则使该生产家获取最大的年利润的年产量为()

A ．13万件

B ．11万件

C ．9万件

D ．7万件

2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －629

4，则在这段时间内，通过该路段用时最多

的时刻是()

A ．6时

B ．7时

C ．8时

D ．9时

3．某生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

400x －12x 20≤x ≤400，

80 000x >400，则总利润P (x )

最大时，每年生产的产品是() A ．100件 B ．150件 C ．200件

D ．300件

4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．

5．要制作一个容积为 4 m 3

，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．

正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：

(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；

(3)必要时注意分类讨论思想的应用．