江西名校学术联盟2018届高三教学质量检测考试(二)数学(理)试题 Word版含答案
2018届江西省重点中学协作体高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
江西省重点中学协作体2018届高三第二次联考数学(理)试卷第I卷一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得：，故选B.2. 设集合，，，则中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可.详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：观察可得：，据此可知中的元素个数为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知命题直线过不同两点、,命题直线的方程为，则命题是命题的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由题意结合两点式直线式方程的特征即可确定正确的结果.详解：方程表示经过点、的两点式方程，直线的两点式可得表示经过任意两点的直线，据此可得：命题是命题的充要条件.本题选择C选项.点睛：本题主要考查两点式直线方程的应用范围，充要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分只鹿，则公士所得鹿数为（）A. 只B. 只C. 只D. 只【答案】C【解析】分析：由题意将原问题转化为等差数列前n项和的问题，然后结合题意整理计算即可求得最终结果.详解：设大夫、不更、簪褭、上造、公士所分得的鹿依次为，由题意可知，数列为等差数列，且，原问题等价于求解的值.由等差数列前n项和公式可得：，则，数列的公差为，故.即公士所得鹿数为只.本题选择C选项.点睛：本题主要考查数列知识的综合运用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 函数的减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为,由题得所以函数的单调减区间为,故选D.6. 已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，渐近线方程为，即，故选A.7. 如图所示的程序框图,则满足的输出有序实数对的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图和几何概型整理计算即可求得最终结果.详解：表示的平面区域为图中的正方形内部区域，满足的区域为图中应用部分的区域，正方形和图中的阴影部分区域均关于坐标原点直线对称，结合图形的对称性可知，满足题意的概率值为.本题选择D选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.8. 已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用诱导公式化简所给的方程，然后数形结合整理计算即可求得最终结果.详解：由诱导公式可知：，绘制函数在区间上的图象如图所示，由题意可知函数与函数有两个不同的交点，且交点横坐标满足：，则和轴为临界条件，据此有：，解得：.本题选择B选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都是直角梯形，左视图是正方形，则该几何体最长的棱长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先确定该几何体的空间结构，然后分别求得各条棱的长度，最后确定最长的棱长即可.详解：如图所示，在棱长为4的正方体中，点E为棱AD的中点，题中的三视图对应的几何体为三棱锥，其中，，，则该几何体最长的棱长为.本题选择D选项.点睛：本题主要考查三视图还原几何体，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11. 已知向量、、为平面向量，，且使得与所成夹角为.则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先由坐标结合几何意义确定向量对应的轨迹，然后利用圆的性质整理计算即可求得最终详解：设向量与的夹角为，由题意可得：，则，如图所示，在平面直角坐标系中，，，不妨认为，，延长到，使得，则，点为平面直角坐标系中的点，，则，，则满足题意时，，结合为定点，且，由正弦定理：可得，则点C的轨迹为以为圆心，为半径的优弧上，当点三点共线，即点位于图中点的位置时，取得最大值，其最大值为.本题选择A选项.点睛：本题的核心是考查数量积的坐标运算和数形结合的数学思想.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12. 已知函数（），，对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，则实数的取值范围(其中为自然对数的底数)为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意分别考查函数和函数的性质，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：函数的定义域为，且，当a=0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增.当a>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增.当a<0时,f(x)在递减,在递增.，则，x∈(−∞,1),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减，其中，则函数在区间上的值域为，在有两个不同的实数根，则必有，且：由的解析式有：，，，则满足题意时应有：，注意到函数是单调递增函数，且，据此可知方程的唯一实数根满足，即，则不等式的解集为，求解不等式可得.据此可得实数的取值范围是.本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数单调性的应用，导函数研究函数的值域，导函数研究函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第II卷二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．13. 多项式的展开式中常数项是_____________．【答案】-672【解析】分析：由题意首先结合通项公式写出通项，然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.详解：展开式的通项公式为：，令可得：，则展开式的通项公式为：.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．14. 若实数满足，则的最小值为_____________【答案】-3【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：不等式组即：或，绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，结合目标函数的几何意义可知目标函数表示点与可行域内连线斜率值加1的值，目标函数在点处取得最小值，据此可知目标函数的最小值为：.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．15. 设是过抛物线焦点的弦，其垂直平分线交轴于点，设，则的值是________【答案】【解析】分析：首先画出题中所给的条件的示意图，然后结合抛物线的定义整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，设AB中点为E，作准线于点，准线于点，准线于点，由抛物线的定义可知：，则，轴，，则：，同理可得：，则，为的斜边的中线，则，结合可知四边形为筝形，故，据此可知：，结合可得：，且，据此可知四边形EHFG是平行四边形，则，从而：.点睛：本题主要考查抛物线定义的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 在中，点、在边上，满足.若，，则的面积为________【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理和函数的单调性首先求得∠ABC的值，然后结合三角形的性质整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，设，在△ABD和△ADE中应用正弦定理有：，，则：，即：，据此有：，令，则，则函数在定义域内单调递增，结合可得：.在△ABD中：，则：，，则.点睛：本题是导数问题与解三角形问题的综合问题，在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. 已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】分析：（1）由题意可设，，结合等比数列的性质可得，则数列的通项公式为.（2）由（1）可得，则，，据此可得. 详解：（1）由得，，因为成等比数列，所以，即，整理得，即，因为，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以，所以.点睛：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面.（2）结合（1）的结论可知平面，据此建立空间直角坐标系，假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，由题意可得平面的一个法向量为，且，结合空间向量的结论得到关于的方程，解方程可知存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.详解：（1）因为四边形是平行四边形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，分别以所在直线为轴、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由，，可得，所以，假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则，，设平面的法向量为，则,即，令，可得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则:，解得或者（舍）.所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.点睛：本题主要考查面面垂直的判断定理，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 为创建文明城市，我市从年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作.为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下,市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励:（ⅰ）得分不低于的可以获得2次抽奖机会，得分低于的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和,求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式，若，则①；②；③.【答案】（1）0.8186.（2）见解析.【解析】分析：（1）由题意结合题意可得，，结合正态分布图像的对称性可得.（2）由题意可知的可能取值为，，，.且；；；.据此可得分布列，结合分布列计算数学期望可得.详解：（1）.故，，∴，.∴.综上，.（2）易知，获奖券面值的可能取值为，，，.；；；.的分布列为：∴.点睛：本题主要考查正态分布的应用，概率分布列和数学期望的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得的方程为.（2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算可得.当为轴时，也满足上述结论.则存在使得为定值.详解：（1），所以从而的方程为.（2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，所以，，.因为为定值，所以，解得.此时定值为.当为轴时，，..综上，存在使得为定值.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知，.(1)证明：；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析.（2）见解析.【解析】分析：（1）构造函数，结合函数的单调性可证得.据此进一步可证得.则题中的不等式得证.（2）设，则，则原问题成立的必要条件是.进一步证得当时可知实数的取值范围是.详解：（1）设，则，故在上单调递减，在上单调递增.从而.而当时，.（2）设，则，.要求在上恒成立必须有.即.以下证明：当时.只要证，只要证在上恒成立.令，则对恒成立，又，所以.从而不等式得证.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．选做题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号）22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.（1）求曲线、的直角坐标方程.（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（1），.（2）或者.【解析】分析：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）设，，由点到直线距离公式可得到的距离，结合题意分类讨论可得或者.详解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，的方程即：，即，则直角坐标方程为：.（2）设，，则到的距离，.由、间距离的最小值为知：当时，得；当时，，得.综上：或者.点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式可求得实数的取值范围.(2)以零点和分三段讨论。
江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测数学(理)试题+扫描版含答案
2018年高三理科数学考试题参考答案必做部分 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由题设知， ()0,3B =，所以{}1,2A B ⋂=，故选A2．【答案】B【解析】()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 1i 11i 2i 2i 2221i z +++-+∴=====-+---， z ∴在复平面内所对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B ． 3．【答案】D 【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}n a ，设公差为d ，则 551224{ 51542a S a =+=⨯==，，故选D. 4．【答案】B 【解析】2221||24221()132a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯-+=r r r r r r 5．【答案】D【解析】由题意知， ()()3404m m m -+>⇒<-，或3m >，则A ，C 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选D ．6．【答案】B【解析】试题分析：执行程序框图，有S=4，n=1，T=3，不满足条件T ＞2S ，S=7，n=2，T=7，不满足条件T ＞2S ，S=10，n=3，T=13，不满足条件T ＞2S ，S=13，n=4，T=21，不满足条件T ＞2S ，S=16，n=5，T=31不满足条件,S=19,n=6,T=43满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为43．故选：B ．7．【答案】C【解析】不等式30240 120y x y x y +≥-+≥-+⎧⎪⎨⎪⎩≥所表示的平面区域如图所示，当3z x y =+所表示直线经过点()2,3A 时， z 有最大值11．8．【答案】A【解析】该几何体是半个圆锥， 21143323V r r ππ=⨯⨯⨯=， 2r =，母线长为2l r =， 所以其表面积为211123222S rl r r r ππ=++⨯⨯ 2336432r ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ． 9【答案】D 【解析】由已知得5443544()44S S S S a a q -=-⇒=⇒=，121242n n n a --=⨯=，所以222log 141log 627n n a n a n +-=--，由函数4127x y x -=-的图像得到，当4n =时，数列222log 1{}log 6n n a a +-的最大项等于15． 10．【答案】C【解析】解析：因()31sin2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()52sin 2sin 21263g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因33x ππ-≤≤，故240233x ππ≤+≤，则32sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()31g x -≤≤，应选答案C ． 11．【答案】A【解析】由函数()f x 是偶函数得0k =，当0x >时，0()e cos ,()e sin 10x x f x x f x x e '=-=+>-=，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又2212220log 32log 5(log 3)(log 3)(2)(log 5)f f f k f a c b <<<⇒=<+<⇒<<．12．【答案】C【解析】由221,2202y kx x kx x y =+⎧⇒--=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x =-，又OB 的方程为22y y x x =，所以2112212M y x x x y x ===-． 设切点2(,)2t T t ，因为'l y x k t '=⇒=，所以l '的方程为22()22t t y t x t y tx -=-⇒=-， 所以2111122t t tx x t -=-⇒=-，21122N N t t tx x t=-⇒=+， 又点E 的坐标为(0,1)，所以22ME NE -u u u r u u u r 的值为22211()(11)()222t t t t-+---+=． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．【答案】160 【解析】展开式的通项为：666316621(2)2r r r r r r r T C x C x x---+=⋅=⋅⋅， 令6333r r -=-⇒=，所以系数为：3362160C ⋅=．14．【答案】7[2,2]()66k k k Z ππππ++∈ 【解析】由已知函数()f x 的周期为2π，一个最小值点为6π，由图像可以得递增区间7[2,2]()66k k k Z ππππ++∈． 15．【答案】23 【解析】当6COP π∠=时，OP的方程为0x ±=，圆心到直线OP 的距离为：32d =，又圆C 的半径为，此时弦所对的圆心角为3π，所以所求概率为：223123P ππ⨯=-= 16．【答案】28[,20]3ππ 【解析】四棱锥S ABCD -中，可得： ;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，设SAB θ∠=，故所以sin 2θ∈在SAB ∆中， 2SA AB ==，则有，所以SAB ∆的外接圆半径2sin SB r θ==，将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径2244(1)1cos R S R ππθ=⇒==++，所以28[,20]3S ππ∈． 三．解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由(2sin cos )b c A A =+得，sin 2sin sin sin cos sin()2sin sin sin cos B A C C A A C A C C A =+⇒+=+，所以1sin cos 2sin sin tan ,sin 2A C A C C C =⇒=⇒=5分（Ⅱ）sin sin b B c C ===,b c ==， ………………………………7分cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+= ………………………9分由余弦定理得：22225222k k k =+-⇒=，所以2b c ==，………………………………………………………………………11分 所以ABC V的面积11sin 2122S ac B ===．……………………………12分 18．解析（1）由题意可知，样本容量105100,0.0050.010*******n x ====⨯⨯， 0.1000.0050.0150.0400.0100.030y =----=；…………………………………5分（2）分数在[)80,90内的学生有30人， 分数在[]90,100内的学生有10人，抽取的2名学生中得分在[)80,90的人数X 可能取值0，1，2，……………………6分则()2102403052C P X C ===，()1110302405113C C P X C ===， ()23024029252C P X C ===， ……………………………………………………………………………………………9分 则X 的分布列为所以352930125213522EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………12分19.解：（Ⅰ）2225BD AD AB =+=，所以222112016BD B D BB +=+=，1DB DB ∴⊥， ………………………2分 又平面11BB D D ⊥平面ABCD ， 1DB ∴⊥平面ABCD ，…………………………4分 11111ABCD A B C D V AB AD DB -∴=⋅⋅，即该平行六面体的体积32V =；…………………5分 （Ⅱ）如图，以D 为原点，1,,DA DC DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,0,4)D B C B ，1111(1,2,2)22DE DD BB ===--u u u r u u u u r u u u r ，所以点E 坐标为(1,2,2)--，……………………………………………7分设平面1EB C 的法向量(,,)m x y z =u r ， 由1(,,)(1,2,2)0220m EB x y z x y z ⊥⇒⋅=⇒++=u r u u u r ，由1(,,)(0,4,4)0m CB x y z y z ⊥⇒⋅-=⇒=u r u u u r ，令11,4z y x =⇒==-，所以(4,1,1)m =-u r ，又平面1DB C 的法向量为(1,0,0)n =r . …………10分22cos ,316111m n <>==-++⋅u r r ，所以所求二面角的余弦值为23．……12分 z y x D 1C 1B 11E D C BA20．解：（Ⅰ）22222e a b c =⇒==，椭圆方程可以化为22222x y c +=，……2分 直线2l 过右焦点和上顶点时，方程可以设为y x c =-+，联立得：243403Q x cx x c -=⇒=，所以四边形MNQP 的面积为24162233c c c ⋅=⇒=， 所以椭圆方程为：22142x y +=；……………………………………………………………5分 （Ⅱ）依题意可以分别设12,l l 的方程为：,x ky m x ky m =-=+，由椭圆的对称性得：||||MN PQ =，所以MNQP 是平行四边形，所以MNQP 是菱形，等价于MQ NP ⊥，即OM ON ⊥，…………………………………………………………………………………6分 将直线1l 的方程代入椭圆方程得到：222(2)240k y kmy m +-+-=，由222222044(2)(4)024k m k m m k >⇒-+->⇒<+△，………………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，由12120OM ON x x y y ⊥⇒+=，得到：2212121212()()0(1)()0ky m ky m y y k y y km y y m --+=⇒+-++=， 从而：222222242(1)022m k m k m k k -+⋅-+=++，化简得：22344m k =+，……………10分 所以22234,32,20m m m m ⎧≥⎪⎪<+⎨⎪>⎪⎩解得m ≥， 所以正数m的取值范围是[)3+∞．…………………………………………………12分 21.解：（1）0a c ==时，由()0f x =e xb x⇔-=，记e ()x g x x =， 2e (1)()x x g x x-'=，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以当1x =时，()g x 取得极小值e ，………………………………………………………………………2分 ①当e b -<即e b >-时，函数()f x 在区间(0,)+∞上无零点；②当e b -=即e b =-时，函数()f x 在区间(0,)+∞上有一个零点；③当e b ->即e b <-时，函数()f x 在区间(0,)+∞上有两个零点；…………5分（2）2()e e 32x x f x x ax bx '=+++，2223()e e 224m m m m f am bm '=+++，322e e m m AB m am bm c c k am bm m +++-==++， 依题意：对任意的(0,)m ∈+∞，都有22223e e e 24m m m m am bm am bm ++>+++， 即2221e e e 024m m mm am --+>，……………………………………………………7分 记()h m =2221e e e 24m m mm am --+，2211()e e e 42m m m h m m am '=--+， 记()()m h m φ'=，则22311()e e e 482m m mm m a φ'=--+. 记()()r m m φ'=， 则22222111111()e e e e (e )e (1)021********m m m m m m m r m m m m '=--=--≥+-->， 所以(0,)m ∈+∞时，()r m 递增，所以11()(0)42r m r a >=+，…………………9分 ①当11042a +≥即12a ≥-时，()0r m >，即()0m φ'>，所以()m φ在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0m φφ>=，得到()0h m '>，从而()h m 在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0h m h >=恒成立；………………………………………………………10分 ②当11042a +<即12a <-时，因为(0,)m ∈+∞时，()r m 递增，所以11(0)042r a =+<， 所以存在00x >，使得00m x <<时，()0r m <即()0m φ'<，所以()m φ在区间0(0,)x 上单调递减，所以00m x <<时，()(0)0m φφ<=即()0h m '<，所以00m x <<时，()h m 在区间0(0,)x 上单调递减，所以00m x <<时，()(0)0h m h <=，从而()0h m >不恒成立。
江西省2018届高三上学期阶段性检测考试(二)理科数学试题 Word版含答案
2018届高三年级阶段性检测考试(二)数学（理）卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知20171sin()26πα+=，则cos α=（ ） A ．356 B ．356± C ．16- D ．163．曲线()33xf x e x =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．310x y +-= B ．310x y --= C ．310x y ++= D ．310x y -+=4．已知(3,)1aP a -+为角β的终边上的一点，且13sin 13β=，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．13 D ．125．已知函数()()ln 1f x ax =-的导函数是()f x '，且()22f '=，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．23 C ． 34D ．16．已知sin 2015a =，sin 2016b =，sin 2017c =，则（ ）A ．b c a >>B ．c b a >>C ． a b c >>D ．a c b >> 7．120|4|x dx -=⎰（ ）A ．7B ．223 C ． 113D ．4 8．已知函数()2cos()3f x x πϕ=+图象的一个对称中心为()2,0，且()()13f f >，要得到函数()f x 的图象可将函数2cos 3y x π=的图象（ ）A ．向左平移12个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度9．函数()222x f x e x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图是函数()2f x x ax b =++的部分图象，则函数()()lng x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)11．黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2,a =，解得6b =，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件（ ） A ．30,45A B == B ．11,cos 3c C ==C ．60,3B c ==D ．75,45C A ==12．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足：x R ∀∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()log (||1)a y f x x =-+在区间()0,+∞内至少有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(0,)2 B ．3(0,)3 C ．5(0,)5 D ．6(0,)6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若“m a >”是“函数11()()33xf x m =+-的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为 ． 14．由曲线2,(0)y x y ax a ==>所围成图形的面积是13，则a = ．15．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角B 为锐角，且28s i n s i n s i n A C B =，则a cb+的取值范围为 ． 16．设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x 123()x x x <<，则123x x x ++的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知4cos(2017)5πθ-=-，3(2,)2πθπ∈--． （1）求sin θ的值；（2）求25cos()6πθ-的值； （3）求3tan()4πθ+的值．18．已知函数()42x xaf x -=是奇函数．（1）求实数a 的值；（2）用定义证明函数()f x 在R 上的单调性；（3）若对任意的x R ∈，不等式22()(2)0f x x f x k -+->恒成立，求实数k 的取值范围． 19．已知函数()sin 2cos2(0)f x x x b ωωω=++>的一条对称轴为2x π=，且最高点的纵坐标是2．（1）求ω的最小值及此时函数()f x 的最小正周期、初相； （2）在（1）的情况下，设()()4g x f x π=-，求函数()g x 在7[,]44ππ上的最大值和最小值．20．已知,,a b c 分别是ABC 的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC 的面积． 21．若函数()y f x =对任意12,(0,1]x x ∈，都有121211|()()|||f x f x x x π-≤-，则称函数()y f x =是“以π为界的类斜率函数”． （1）试判断函数3y x=是否为“以π为界的类斜率函数”； （2）若实数0a >，且函数()21ln 2f x x x a x =++是“以π为界的类斜率函数”，求a 的取值范围．22．设函数21()4ln (4)2f x x ax a x =-+-，其中a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，对于任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得12()()f x f x -=012()()f x x x '⋅-，试判断12x x +与02x 的大小关系并给出证明．试卷答案一、选择题1-5:BDDAB 6-10:CCCAB 11、12：DB二、填空题13．-1 14．1 15．56(,)22 16．511[,)48ππ 三、解答题17．解：（1）因为4cos(2017)5πθ-=-， 所以4cos 5θ-=-，得4cos 5θ=． 又3(2,)2πθπ∈--，所以23sin 1cos 5θθ=-=． （2）25cos()cos()66ππθθ-=-cos cos sin sin 66ππθθ=+4331433525210+=⨯+⨯=．（3）因为sin 3tan cos 4θθθ==， 所以3tan (1)tan()41(1)tan πθθθ+-+=--114774-==-．18．解：（1）∵函数()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数， ∴()00f =，解得1a =．此时()22x x f x -=-，满足()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数． ∴1a =．（2）任取()12,,x x ∈-∞+∞，且12x x <，则1222x x<，1211()()22x x >，于是12121211()()2222x x x x f x f x x -=--+12211122()()022x xx x =-+-<，即12()()f x f x <，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数．（3）由22()(2)f x x f x k ->--及()f x 是奇函数，知22()(2)f x x f k x ->-，又由()f x 在(),-∞+∞上是增函数，得222x x k x ->-，即23k x x <-对任意的x R ∈恒成立， ∵当16x =时，23x x -取最小值112-，∴112k <-． 19．解：（1）()sin 2cos2f x x x b ωω=++2sin(2)4x b πω=++，因为函数()f x 的一条对称轴为2x π=，所以2()242k k Z πππωπ⋅+=+∈，解得1=()4k k Z ω+∈．又0ω>，所以当0k =时，ω取得最小正值14．因为最高点的纵坐标是2，所以22b +=，解得0b =，故此时1()2sin()24f x x π=+．此时，函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==，初相为4π． （2）1()()2sin()428g x f x x ππ=-=+， 因为函数()g x 在3[,)44ππ上单调递增，在37[,)44ππ上单调递减，7()1,()044g g ππ==， 所以()g x 在7[,)44ππ上的最大值为3()24g π=，最小值为7()04g π=． 20．解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-==22221222a b ab ab ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=．（2）由22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin 2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac+-=．①又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，②由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =，联立2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，得233a =，433b =．所以222b ac =+．所以2B π=．所以ABC 的面积11232322233S ac ==⨯⨯=． 21．解：（1）设()3f x x=， 所以对任意12,(0,1]x x ∈，121233|()()|||f x f x x x -=-121211113||||x x x x π=-≤-， 符合题干所给的“以π为界的类斜率函数”的定义． 故y xπ=是“以π为界的类斜率函数”．（2）因为()1af x x x'=++，且()0,0a f x '>>． 所以函数()f x 在区间(0,1]上是增函数，不妨设1201x x <≤≤． 则1221|()()|()()f x f x f x f x -=-，12121111||x x x x -=-． 所以121211|()()|||f x f x x x π-≤-等价于2112()()f x f x x x ππ-≤-．即2121()()f x f x x x ππ+≤+．设()()h x f x xπ=+=21ln 2x x a x xπ+++． 则121211|()()|||f x f x x x π-≤-等价于函数()h x 在区间(0,1]上单调递减．即()()2210x x ax h x x π++-'=≤在区间(0,1]上恒成立．即()1a x x xπ≤-+在区间(0,1]上恒成立． 又()1y x x xπ=-+在区间(0,1]上单调递减．所以min 2y π=-，所以(0,2]a π∈-。
2018年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁R A）∩B等于（）A．[1，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）2．（5分）若实数x，y满足+y＝2+i（i为虚数单位），则x+yi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b为实数，则“ab＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．8B．32C．16D．165．（5分）执行如图的程序框图，若a＝8，则输出的S＝（）A．2B．C．0D．﹣16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PKF的面积为（）A．4B．5C．8D．107．（5分）已知点P（m，n）在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值范围是（）A．[]B．[﹣5]C．[﹣5]D．[﹣5，1]8．（5分）如图，已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（﹣），与y轴的交点为B（0，），那么函数f（x）图象上的弧线AB与两坐标所围成图形的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝，设g（x）＝kf（x）+x2+x（k为常数），若g （10）＝2018，则g（﹣10）等于（）A．1998B．2038C．﹣1818D．﹣221810．（5分）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l：12x﹣5y﹣24＝0交双曲线的右支于A，B两点，若∠AF1B的角平分线的方程为x ﹣4y+2＝0，则三角形AF1B内切圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2B．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2C．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2D．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185，215]内’则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为．14．（5分）已知正△ABC的边长为2，若＝2，则等于．15．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上下底边长分别为3，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC﹣A1B1C1内，则球O 的表面积为．16．（5分）如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC＝∠BOD）．某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2，40元/米2．为使预计日总效益最大，∠COD 的余弦值应等于．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知各项均为正数且递增的等比数列{a n}满足：2a3，，2a5成等差数列，前5项和S5＝31．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列a 1，a2，a2，a2，a3，a3，a3，a3，a3，…的前100项和．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB ＝2CD＝2AD＝4，侧面P AB是等腰直角三角形，P A＝PB，平面P AB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面P AD．（1）确定点E，F的位置，并说明理由；（2）求二面角D﹣EF﹣C的余弦值．19．（12分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A，B，C，D，…I，J共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1，2，3，…，7的7名评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委i对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”（i＝1，2…7）．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手B，E分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）．七位评委评分情况如下表所示：（1）根据最终评分表，填充如下表格：（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确．号评委评分分析表（3）从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数位X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）已知平面直角坐标系内两定点A（），B（2）及动点C（x，y），△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）设P是y轴上的一点，若（1）中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣|x﹣a|+a，g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|．（1）解不等式g（x）＜6；（2）若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得﹣g（x1）＝f（x2）成立，求实数a的取值范围．2018年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁R A）∩B等于（）A．[1，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）【解答】解：A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜﹣1，或x＞3}；∴∁R A＝{x|x≤0，或x≥4}；∴（∁R A）∩B＝{x|x＜﹣1，或x≥4}＝（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）．故选：D．2．（5分）若实数x，y满足+y＝2+i（i为虚数单位），则x+yi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵+y＝2+i（i为虚数单位），∴x+y+yi＝（1+i）（2+i）＝1+3i，∴，解得y＝3，x＝﹣2．则x+yi在复平面内对应的点（﹣2，3）位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知a，b为实数，则“ab＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a＞b＞0⇒ab＞b2，反之不成立，例如：a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ab＞b2”是“a＞b＞0”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．8B．32C．16D．16【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，底面面积S＝×4×2＝4，高h＝4，故该几何体的体积V＝4×4＝16，故选：D．5．（5分）执行如图的程序框图，若a＝8，则输出的S＝（）A．2B．C．0D．﹣1【解答】解：若a＝8，则当k＝0时，满足进行循环的条件，S＝﹣1，k＝1；当k＝1时，满足进行循环的条件，S＝，k＝2；当k＝2时，满足进行循环的条件，S＝2，k＝3；当k＝3时，满足进行循环的条件，S＝﹣1，k＝4；当k＝4时，满足进行循环的条件，S＝，k＝5；当k＝5时，满足进行循环的条件，S＝2，k＝6；当k＝6时，满足进行循环的条件，S＝﹣1，k＝7；当k＝7时，满足进行循环的条件，S＝，k＝8；当k＝8时，不满足进行循环的条件，故输出的S＝，故选：B．6．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PKF的面积为（）A．4B．5C．8D．10【解答】解：F（1，0），K（﹣1，0），准线方程为x＝﹣1，设P（x0，y0），则|PF|＝x0+1＝5，即x0＝4，不妨设P在第一象限，则P（4，4），∴S PKF＝×|FK|×|y0|＝×2×4＝4．故选：A．7．（5分）已知点P（m，n）在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值范围是（）A．[]B．[﹣5]C．[﹣5]D．[﹣5，1]【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分：由题意可得：，消去n，可得m＝﹣4或m＝1，由图形可知m∈[﹣5，1]．故选：C．8．（5分）如图，已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（﹣），与y轴的交点为B（0，），那么函数f（x）图象上的弧线AB与两坐标所围成图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与y轴的交点为B（0，），可得cosφ＝，∴cosφ＝，∴φ＝﹣．根据函数的图象x轴的一个交点为A（﹣），结合五点法作图可得ω•（﹣）﹣＝﹣，∴ω＝2，∴函数f（x）＝cos（2x﹣）．弧线AB与两坐标所围成图形的面积为cos（2x﹣）dx＝sin（2x﹣）＝﹣﹣（﹣）＝，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝，设g（x）＝kf（x）+x2+x（k为常数），若g （10）＝2018，则g（﹣10）等于（）A．1998B．2038C．﹣1818D．﹣2218【解答】解：∵函数f（x）＝，设g（x）＝kf（x）+x2+x（k为常数），g（10）＝2018，∴g（10）＝kf（10）+100+10＝k（210﹣1）+110＝2018，∴k（210﹣1）＝1908，∴g（﹣10）＝kf（﹣10）+100﹣10＝k（210﹣1）+90＝1908+90＝1998．故选：A．10．（5分）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的基本事件m＝＝20，∴这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是p＝＝．故选：B．11．（5分）在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，∴S△ABC＝＝bc＝2，bc＝8，∴＝，令t＝则t＞0，上式化为：＝＝≥2﹣＝，当且仅当2t+1＝2，即t＝，可得b＝2c，又bc＝8，解得c＝4，b＝2时，等号成立；∴的最小值为：．故选：C．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l：12x﹣5y﹣24＝0交双曲线的右支于A，B两点，若∠AF1B的角平分线的方程为x ﹣4y+2＝0，则三角形AF1B内切圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2B．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2C．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2D．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2【解答】解：如图，设三角形AF1B的内切圆切AB于E，切AF1于G，切BF1于H，则由BF1﹣BF2＝AF1﹣AF2，得BH+HF1﹣（BE+EF2）＝AG+GF1﹣（AE﹣EF2），∴﹣EF2＝EF2，即EF2＝0，也就是E与F2重合．由∠AF1B的角平分线的方程为x﹣4y+2＝0，可得F1（﹣2，0），则F2（2，0）．设三角形AF1B的内切圆的圆心C（a，b），则，解得a＝，b＝．∴三角形AF1B的内切圆的半径r＝．∴三角形AF1B内切圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2 ，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185，215]内’则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为79%．【解答】解：这种指标值在[185，215]内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在[185，215]内的频率为：（0.022+0.033+0.024）×10＝0.79，∴估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79×100%＝79%．故答案为：79%．14．（5分）已知正△ABC的边长为2，若＝2，则等于1．【解答】解：根据题意，正△ABC的边长为2，若＝2，＝+＝+，则＝•（+）＝2+ו＝4+×2×2×cos120°＝4﹣3＝1；故答案为：1．15．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上下底边长分别为3，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC﹣A1B1C1内，则球O 的表面积为100π．【解答】解：如图，设下底面中心为G，上底面中心为G1，连接GG1，则球心O在GG1上，连接OA，OA1，则OA＝OA1，由已知求得，．∴OG2+42＝（7﹣OG）2+32，解得OG＝3．∴OA2＝25．则球O的表面积为4π×25＝100π．故答案为：100π．16．（5分）如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC＝∠BOD）．某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2，40元/米2．为使预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于．【解答】解：设∠AOC＝α（0＜α＜），日总效益设为y，则y＝α•202•40•2+•202•sin（﹣2α）•50+[（﹣2α）•202﹣•202•sin（﹣2α）]•30＝16000α+10000sin（﹣2α）﹣6000sin（﹣2α）+4000π﹣12000α＝4000[α+sin（﹣2α）]+4000π，（0＜α＜），y′＝4000[1﹣2cos（﹣2α）]，由y′＝0，可得﹣2α＝，解得α＝，由0＜α＜，函数y递增；＜α＜，函数y递减，即有α＝，即有∠COD＝时，预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知各项均为正数且递增的等比数列{a n}满足：2a3，，2a5成等差数列，前5项和S5＝31．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列a 1，a2，a2，a2，a3，a3，a3，a3，a3，…的前100项和．【解答】解：（1）由各项均为正数且递增的等比数列{a n}满足：2a3，，2a5成等差数列，则：5a4＝2a3+2a5，设数列的公比为q，则：2q2﹣5q+2＝0，解得：q＝2或q＝（舍去），所以：＝31，解得：a1＝1．所以数列的通项公式为：．（2）由1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2＝100，解得：n＝10．所以所求数列的前100项和T100＝a1+3a2+5a3+…+19a10，即：①，②，①﹣②得：，＝，解得：．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB ＝2CD＝2AD＝4，侧面P AB是等腰直角三角形，P A＝PB，平面P AB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面P AD．（1）确定点E，F的位置，并说明理由；（2）求二面角D﹣EF﹣C的余弦值．【解答】解：（1）平面CEF∥平面P AD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴CE∥AD，又∵AB∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴DC＝AE＝，即点E是AB的中点，∵平面CEF∥平面P AD，平面CEF∩平面P AB＝EF，平面P AD∩平面P AB＝P A，∴EF∥P A，点E是AB的中点，∴点F是PB的中点，综上，E，F分别是AB，PB的中点；（2）∵P A＝PB，AE＝EB，∴PE⊥AB，又∵平面P AB⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，又AB⊥AD，∴CE⊥AB．如图以点E为坐标原点，EC，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（2，0，0），D（2，﹣2，0），E（0，0，0），由中点公式得到F（0，1，1），设平面CEF，平面DEF的法向量分别为，，由，令y1＝1，得，由，令y2＝1，得．∴cos＜＞＝．综上，二面角D﹣EF﹣C的余弦值是．19．（12分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A，B，C，D，…I，J共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1，2，3，…，7的7名评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委i对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”（i＝1，2…7）．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手B，E分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）．七位评委评分情况如下表所示：（1）根据最终评分表，填充如下表格：（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确． 4 号评委评分分析表（3）从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数位X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）依据评分规则：＝＝85，＝＝93．所以选手的均分及最终排名表如下：（2）对4号评委分析：4号评委评分分析表排名偏差平方和为：12+02+22+12+12+22+22+12+02+12＝17．对5号评委分析：5号评委评分分析表排名偏差平方和为：22+12+52+12+12+12+32+02+12+02＝43．由于17＜43，所以评委4更准确．（3）10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，X可能取值有0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列为：所以数学期望EX＝＝．20．（12分）已知平面直角坐标系内两定点A（），B（2）及动点C（x，y），△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）设P是y轴上的一点，若（1）中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆面积的取值范围．【解答】解：（1）由已知，即，整理得：3x2+4y2＝24，又三点构成三角形，得y≠0．∴点C的轨迹E的方程为（y≠0）．（2）设点P的坐标为（0，t），当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得x1＝﹣2x2，①联立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24＝0，由△＞0，得64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣24）＞0，整理得t2＜8k2+6．由韦达定理得，，②由①②，消去x1，x2，得，由，解得，又∵M为长轴端点（，0）时，可求得N点，此时t＝，综上，或2＜t2＜6，又∵以AP为直径的圆面积S＝，∴S的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）记F（x）f（x）﹣g（x）＝2xlnx+（2﹣a）x+a，则F′（x）＝2lnx+4﹣a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）＝2＝，函数y＝F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，F′（x）＝0⇒x＝＞1，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min＝F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min＝F（）＝0，化简得：a﹣＝0，记h（a）＝a﹣，h′（a）＝1﹣＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）＝6﹣2e＞0，h（7）＝7﹣2e＜0，所以a∈（6，7），即n＝6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）＝a（x﹣1）＞6（x﹣1），只要证明：x＞3时，6（x﹣1）即eln（x﹣2）﹣＞0，记G（x）＝eln（x﹣2）﹣，则G′（x）＝﹣＝，记φ（x）＝3ex2﹣（6e+4）x+3e+8，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝1+＜3，且φ（3）＝12e﹣4＞0，所以当x＞3时，φ（x）＞0，即G′（x）＞0，所以G（x）在区间（3，+∞）上单调递增，从而G（x）＞G（3）＝0，即eln（x﹣2）﹣＞0，成立，所以f（x）成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，∴曲线C1的极坐标方程可以化为：ρ2﹣4ρsinθ＝0，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y＝0，∵曲线C2的极坐标方程为．∴曲线C2的极坐标方程可以化为：+＝2，∴曲线C2的直角坐标方程为：x+﹣4＝0．（2）∵点E的坐标为（4，0），C2的倾斜角为，∴C2的参数方程为：（t为参数），将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得到：（4﹣t）2+﹣2t＝0，整理得：+16＝0，判别式＞0，∵，∴中点对应的参数为2，∴线段AB中点到E点距离为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣|x﹣a|+a，g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|．（1）解不等式g（x）＜6；（2）若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得﹣g（x1）＝f（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|＝①当x≤﹣2时，﹣4x﹣3＜6，得x＞﹣，即﹣＜x≤﹣2；②当﹣2＜x＜时，5＜6，即﹣2＜x＜；③当x≥时，4x+3＜6，得x＜，即≤x＜；综上，不等式g（x）＜6解集是（﹣，）．（2）对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得﹣g（x1）＝f（x2）成立，即f（x）的值域包含﹣g（x）的值域，由f（x|＝﹣|x﹣a|+a，知f（x）∈（﹣∞，a），由g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|≥|2x﹣1﹣2x﹣4|＝5，且等号能成立，所以﹣g（x）∈（﹣∞，﹣5），所以a≥﹣5，即a的取值范围为[﹣5，+∞）．。
2018年江西省南昌二中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年江西省南昌二中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．（5分）设集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则∁A B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）在复平面内，复数+z对应的点的坐标为（2，﹣2），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是（）A．m∥γ，α⊥γB．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1009B．﹣1009C．﹣1007D．10086．（5分）某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为v＝t3﹣3t2+2t（km/h），这3小时内他走过的路程为（）A．B．C．D．7．（5分）在斜二测画法，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．无法求出8．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝3sin x+2cos x，g（x）＝3sin x﹣2cos x，若将函数f（x）的图象向右平移φ个单位后得到函数g（x）的图象，则cosφ＝（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．32πD．36π11．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣mx+m，其中m＜1，若存在唯一的整数n，使得f （n）＜0，则m的取值范围是$（）A．[，1）B．[﹣，）C．[，）D．[﹣，1）12．（5分）已知点P（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为．14．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布尺．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c＝4，b+c﹣a＝6，则＝．16．（5分）若函数y＝f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）＝2b（其中a2+b2≠0），则称函数y＝f（x）为“中心对称函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：①函数f（x）＝sin x+1是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）是R上的奇函数；③函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为（1，2）；④函数f（x）＝2x﹣cos x是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7＝35，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列{}的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．18．（12分）在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量x与单价y之间的关系，统计数据如表所示：（Ⅰ）根据上表中的数据得出日供应量x与单价y之间的回归方程为y＝ax b，求a，b的值；（Ⅱ）该地区有14个饭店，其中10个饭店每日对蔬菜的需求量在60kg以下（不含60kg），4个饭店对蔬菜的需求量在60kg以上（含60kg），则从这14个饭店中任取4个进行调查，记这4个饭店中对蔬菜需求量在60kg以下的饭店数量为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：对一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，（lnx i•lny i）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；（2）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B（0，1），且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P是椭圆上位于第一象限的任一点，直线A1B，A2P交于点Q，直线BP与x轴交于点R，记直线A2Q，RQ的斜率分别为k1，k2．求证：2k2﹣k1为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在定义域内有3个零点，求整数a的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l：（t为参数）与曲线C相交于M，N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，x∈R．（1）解不等式f（x）＜﹣1；（2）设函数g（x）＝|x+a|﹣4，且g（x）≤f（x）在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．2018年江西省南昌二中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．（5分）设集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则∁A B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：A＝{x|y＝log2（2﹣x）}＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，则∁A B＝{x|x≤1}，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数+z对应的点的坐标为（2，﹣2），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由已知可得，+z＝2﹣2i，∴z＝＝2﹣2i+i＝2﹣i．则，其对应点的坐标为（2，1），在第一象限．故选：A．3．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝是偶函数，排除B．当x＝10时，y＝1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y＝x3lgx，y′＝3x2lgx+x2lge，可知x＝是函数的一个极值点，排除C．故选：D．4．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是（）A．m∥γ，α⊥γB．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ【解答】解：对于A选项中的直线m与平面γ的位置关系无法判断，不正确，B选项中的直线n也可能落在平面β内，不正确；C选项中的平面β与平面β也可能相交，不正确D选项，因为n⊥α，n⊂γ，则α⊥γ；同时n⊥α，m⊂α，则m⊥n，所以D选项是正确的，故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1009B．﹣1009C．﹣1007D．1008【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+2sin+3sin+…+2018sin的值，由于S＝sin+2sin+3sin+…+2018sin＝（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2017﹣2018）＝1009×（﹣1）＝﹣1009．故选：B．6．（5分）某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为v＝t3﹣3t2+2t（km/h），这3小时内他走过的路程为（）A．B．C．D．【解答】解：v＝t3﹣3t2+2t的原函数可为，路程为，故选：C．7．（5分）在斜二测画法，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．无法求出【解答】解：圆的直观图确实是椭圆，但是这个椭圆并非是原坐标系下的标准椭圆方程．在斜二测画法下，直观图是有一定倾斜角的椭圆．所以这个椭圆的离心率无法求出．故选：D．8．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，∴最近的行走路线共有：n＝＝5040，∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m＝＝1440种，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p＝＝＝．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝3sin x+2cos x，g（x）＝3sin x﹣2cos x，若将函数f（x）的图象向右平移φ个单位后得到函数g（x）的图象，则cosφ＝（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝3sin x+2cos x＝sin（x+θ），g（x）＝3sin x﹣2cos x＝sin（x﹣θ），tanθ＝；若将函数f（x）的图象向右平移φ个单位后得到函数g（x）的图象，∴φ＝2θ；∴cosφ＝cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝＝＝．故选：D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．32πD．36π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是以俯视图为底面，高为4的直三棱锥；如图所示；过点B作BM⊥AC于M，连接PM，则PM＝＝5，BM＝，∴PB2＝PM2+BM2＝25+3＝28，又BC2＝BM2+MC2＝3+1＝4，且PC2＝P A2+AC2＝42+42＝32，∴PB2+BC2＝PC2，∴△PBC是直角三角形，又△P AC是等腰直角三角形，∴PC是该直三棱锥的外接球直径，∴该外接球的半径为R＝PC＝2，∴外接球的表面积为4πR2＝32π．故选：C．11．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣mx+m，其中m＜1，若存在唯一的整数n，使得f （n）＜0，则m的取值范围是$（）A．[，1）B．[﹣，）C．[，）D．[﹣，1）【解答】解：设函数g（x）＝e x（2x﹣1），h（x）＝mx﹣m，由题意知存在唯一的整数n使得g（n）在直线y＝h（x）＝mx﹣m的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2e﹣，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝mx﹣m恒过定点（1，0）且斜率为m，故﹣m＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣m﹣m，解得：≤m＜1，故选：A．12．（5分）已知点P（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：点P（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，则的分母是可行域内的点与P（﹣1，0）的距离，分子是一条直线x﹣y+1＝u，平移直线x﹣y+1＝u，当直线经过可行域的A时，目标函数取得最小值，经过坐标原点时取得最大值．最小值为：＝﹣，最大值为：＝1．则的取值范围是：．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为﹣80．【解答】解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•，令﹣＝0，求得r＝3，∴展开式的常数项为×（﹣8）＝﹣80，故答案为：﹣80．14．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布90尺．【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1＝5，a30＝1，∴S30＝═90（尺），故答案为：90．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c＝4，b+c﹣a＝6，则＝12．【解答】解：设AD＝x，BD＝y，CE＝z，∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c＝4，b+c﹣a＝6，∴，解得x＝＝3，如图，＝﹣，∴＝•（）＝＝||•b﹣||•c＝||•（b﹣c）＝3×4＝12．故答案为：12．16．（5分）若函数y＝f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）＝2b（其中a2+b2≠0），则称函数y＝f（x）为“中心对称函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：①函数f（x）＝sin x+1是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）是R上的奇函数；③函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为（1，2）；④函数f（x）＝2x﹣cos x是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为．其中正确的命题是①②③．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①∵函数f（x）＝sin x+1，∴f（0+x）+f（0﹣x）＝2，∴a＝0，b＝1，满足“准奇函数”的定义，故①正确；②若F（x）＝f（x+a）﹣f（a），则F（﹣x）+F（x）＝f（x+a）﹣f（a）+f（﹣x+a）﹣f（a）＝f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a），∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），∴f（a﹣x）+f（a+x）＝2f（a），即F（﹣x）+F（x）＝f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a）＝0，∴F（﹣x）＝﹣F（x），∴函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数，∴②正确．③函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2，∴f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+6（1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2＝4，∴点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，③正确；④f（x）＝2x﹣cos x，f（+x）+f（﹣x）＝2，得a＝，b＝2π，它的“中心点”一定为（，2π）．∴④错误．故答案为：①②③三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7＝35，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列{}的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：，d≠0，化为，解得，∴a n＝2+（n﹣1）＝n+1．（2）＝＝．∴T n＝++…+＝．不等式T n﹣λa n+1≥0，即﹣λ（n+2）≥0．化为：λ≤．∵＝≤＝．当且仅当n＝2时取等号．∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，∴实数λ的取值范围是．18．（12分）在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量x与单价y之间的关系，统计数据如表所示：（Ⅰ）根据上表中的数据得出日供应量x与单价y之间的回归方程为y＝ax b，求a，b的值；（Ⅱ）该地区有14个饭店，其中10个饭店每日对蔬菜的需求量在60kg以下（不含60kg），4个饭店对蔬菜的需求量在60kg以上（含60kg），则从这14个饭店中任取4个进行调查，记这4个饭店中对蔬菜需求量在60kg以下的饭店数量为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：对一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，（lnx i •lny i ）【解答】解：（I ）对y ＝ax b两边同取对数得lny ＝blnx +lna ， 令v ＝lnx ，u ＝lny ，得u ＝bv +lna∴，∴，即a ＝e ．（II ）由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．，，，，．∴X 的分布列为∴．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点． （1）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；（2）当二面角D ﹣FC ﹣B 的余弦值为时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．【解答】解：（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形．所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以，AF∥平面PEC．（2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且面ADP⊥面ABCD，面ADP∩面ABCD＝AD，所以PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间坐标系，设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），，，，设平面FBC的法向量为，则由得，令x＝1，则，，所以取，显然可取平面DFC的法向量，由题意：＝，所以a＝1．由于PD⊥面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt△PBD中，从而∠PBD＝45°，所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B（0，1），且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P是椭圆上位于第一象限的任一点，直线A1B，A2P交于点Q，直线BP与x轴交于点R，记直线A2Q，RQ的斜率分别为k1，k2．求证：2k2﹣k1为定值．【解答】（1）因为椭圆的上顶点为B（0，1），离心率为，所以…………………………………………………（2分）又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的标准方程是；…………………………………………………（4分）（2）根据题意，可得直线，直线A2Q：y＝k1（x﹣2），由，解得．……………………………………（6分）由得，化简得，因为A2（2，0），所以，所以，将代入直线方程得：，所以．……………………………………………（10分）又因为B（0，1），所以，所以直线，令y＝0得，．………………（12分）于是，所以，为定值．…………………………………………（16分）21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在定义域内有3个零点，求整数a的最小值．【解答】解：（1）∵∴①当a＝0时，，f（x）在（﹣1，+∞）为增函数；②a≠0由二次函数y＝2ax2+2ax+1的对称轴为∈（﹣1，+∞），利用△＝4a2﹣8a≤0，a∈（0，2]⇒y＝2ax2+2ax+1≥0，f′（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）为增函数；③当a＜0时二次方程2ax2+2ax+1＝0的两根：∴f（x）在为增函数，为减函数；④当a＞2时二次方程2ax2+2ax+1＝0的两根：∴f（x）在，为增函数，为减函数；综上①当a∈[0，2]时，f（x）在（﹣1，+∞）为增函数；②当a＜0时，f（x）在为增函数，为减函数；③当a＞2时f（x）在，为增函数，为减函数．（2）由f（x）的单调性和f（0）＝0可知：①当a∈[0，2]时，f（x）在（﹣1，+∞）为增函数，不可能有三个零点；②当a＜0时，f（x）在为增函数，为减函数，也不可能有三个零点；③当a＞2时f（x）在，为增函数，为减函数；（记极大值点）∴∵x→﹣1，ln（x+1）→﹣∞⇒f（x）→﹣∞，且f（x）在定义域内有三个零点∴f（x0）＞0即f（x）在分别有一个零点，结合f（0）＝0符合题意．∵∴＝设，ϕ（x）在上为减函数∵∴当符合题意当，即整数a的最小值为3．（2）另解：单调性分析，先控制a＞2，再验证a＝3满足若f（x）在定义域内有三个零点．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l：（t为参数）与曲线C相交于M，N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．【解答】解：（1）把代入ρsin2θ＝2a cos θ，得y2＝2ax（a＞0），由（t为参数），消去t得x﹣y﹣2＝0，∴曲线C的直角坐标方程y2＝2ax（a＞0），直线l的普通方程分别是x﹣y﹣2＝0．（2）将化成标准参数方程（t为参数），将其代入y2＝2ax，得：，设t1，t2是该方程的两根，则，∵|MN|2＝|PM|•|PN|∴∴8（4+a）2﹣4×8（4+a）＝8（4+a），解得a＝1．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，x∈R．（1）解不等式f（x）＜﹣1；（2）设函数g（x）＝|x+a|﹣4，且g（x）≤f（x）在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由条件知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|＝，由f（x）＜﹣1，解得x＞．（2）由g（x）≤f（x）得|x+a|﹣4≤|x﹣3|﹣|x+1|，由函数f（x）、g（x）的图象可知，0≤﹣a≤4，∴﹣4≤a≤0，a的取值范围是[﹣4，0]．。
2018年高考数学二模试卷(理科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。
2018年江西南昌理科高三二模数学试卷-学生用卷
2018年江西南昌理科高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（共12题，每题5分）1、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第1题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第1题5分已知全集为R,集合A={x|log2x<2},B={x|x2−2x−3>0},则(∁R A)∩B等于（）．A. [1,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,−1)∪(3,+∞)D. (−∞,−1)∪[4,+∞)2、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第2题5分2018年江西南昌高三二模文科第2题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第2题5分2018~2019学年河南洛阳高三上学期期中理科第2题5分若实数x，y满足x1+i+y=2+i(i为虚数单位)，则x+yi在复平面内对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第3题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第3题5分2017~2018学年辽宁大连高二下学期期末文科第6题5分2018年江西南昌高三二模文科第3题5分2018~2019学年北京海淀区清华大学附属中学高二下学期期末第6题5分已知a，b为实数，则“ab>b2”是“a>b>0”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第4题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第4题5分已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）．A. 8√2B. 32C. 16√2D. 165、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第5题5分2018年江西南昌高三二模文科第5题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第5题5分执行如图的程序框图，若a=8，则输出的S=()．A. 2B. 12C. 0D. -16、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第6题5分2018年江西南昌高三二模文科第6题5分2018~2019学年广东中山市高二上学期期末文科第9题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D 卷理科第6题5分 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF|=5，则△PKF 的面积为( )．A. 4B. 5C. 8D. 107、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第7题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D 卷理科第7题5分 2018年江西南昌高三二模文科第7题5分已知点P(m,n)在不等式组{x 2+y 2⩽502x −y ⩽−5表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是（ ）． A. [−5√2,5√2]B. [−5√2,−5]C. [−5√2,1]D. [−5,1]8、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第8题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第8题5分2018~2019学年10月四川成都锦江区成都七中嘉祥外国语学校高三上学期月考理科第8题5分如图，已知函数f(x)=√3cos(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<0)的部分图象与x轴的一个交点为A(−π6,0)，与y轴的交点为B(0,32)，那么函数f(x)图象上的弧线AB与两坐标所围成图形的面积为()．A. √34B. √32C. 3√34D. √39、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第9题5分已知函数f(x)={2x−1,x⩾02−x−1,x<0，设g(x)=kf(x)+x2+x（k为常数），若g(10)=2018，则g(−10)等于（）．A. 1998B. 2038C. −1818D. −221810、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第10题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第10题5分在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“--”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是()．A. 17B. 516C. 916D. 5811、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第11题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第11题5分在△ABC中，A=π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC+2sinB+sin Bsin C的最小值为()．A. √32B. 3√34C. 32D. 5312、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第12题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第12题5分已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l:12x−5y−24=0交双曲线的右支于A，B两点，若∠AF1B的角平分线的方程为x−4y+2=0，则三角形AF1B内切圆的标准方程为()．A. (x−12)2+(y−58)2=(138)2B. (x−1)2+(y−34)2=(54)2C. (x−1)2+(y−34)2=(6352)2D. (x−12)2+(y−58)2=(54)2二、填空题（共4题，每题5分）13、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第13题5分2018年江西南昌高三二模文科第13题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第13题5分从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185,215]内，这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为．14、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第14题5分已知正△ABC的边长为2，若AC→=2CE→，则BA→⋅BE→等于．15、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第15题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第15题5分已知正三棱台ABC−A1B1C1的上下底边长分别为3√3，4√3，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC−A1B1C1内，则球O的表面积为．16、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第16题5分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第16题5分2018年江西南昌高三二模文科第16题5分的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形如图，有一块半径为20米，圆心角∠AOB=2π3OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD)．某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/m2，30元/m2，40元/m2．为使预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于．三、解答题（共5题，共60分）17、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第17题12分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D 卷理科第17题12分 已知各项均为正数且递增的等比数列{a n }满足：2a 3，52a 4，2a 5成等差数列，前5项和S 5=31． (1) 求数列{a n }的通项公式． (2) 求数列a 1，a 2，a 2，a 2，a 3，a 3，a 3，a 3，a 3，⋯a n ,a n ⋯a n ⏟2n−1的前100项和．18、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第18题12分2018年江西南昌高三二模文科第18题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2CD =2AD =4，侧面PAB 是等腰直角三角形，PA =PB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 上的点，平面CEF//平面PAD ．(1) 确定点E ，F 的位置，并说明理由．(2) 求二面角D −EF −C 的余弦值．19、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第19题12分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D 卷理科第19题12分 为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A ，B ，C ，D ，⋯I ，J 共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1，2，3，…，7的7名评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委i对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”（i=1,2⋯7）．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手B，E分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）．七位评委评分情况如下表所示：(1) 根据最终评分表，填充如下表格：(2) 试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确．号评委评分分析表(3) 从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数位X，求随机变量X的分布列和数学期望．20、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第20题12分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第20题12分已知平面直角坐标系内两定点A(−2√2,0)，B(2√2,0)及动点C(x,y)，△ABC的两边AC，BC所在．直线的斜率之积为−34(1) 求动点C的轨迹E的方程．(2) 设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得MP→=2PN→，求以AP为直径的圆面积的取值范围．21、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第21题12分2019年四川成都武侯区成都市第七中学高三二模理科第21题2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第21题12分已知函数f(x)=2xlnx+2x，g(x)=a(x−1)(a为常数，且a∈R)．(1) 若当x∈(1,+∞)时，函数f(x)与g(x)的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈(n,n+1)(参考数值e32≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95)．(2) 当x>3时，证明：f(x)>4(x−3)(其中e为自然对数的底数)．eln(x−2)四、选做题五、解答题：共2题，选做一题计10分22、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第22题10分2018~2019学年5月陕西西安碑林区西安市第三中学高三下学期月考理科（十模）第22题10分2021年贵州贵阳高三二模理科（四校联考）第22题10分2018~2019学年11月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第22题10分2018年江西南昌高三二模文科第22题10分在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程)=2．是ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π6(1) 求曲线C1，C2的直角坐标方程．(2) 设曲线C1C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．23、【来源】 2018年江西南昌高三二模理科第23题2018年江西南昌高三二模文科第23题已知函数f(x)=−|x−a|+a，g(x)=|2x−1|+|2x+4|．(1) 解不等式g(x)<6．(2) 若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得−g(x1)=f(x2)成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 A;13 、【答案】79%;14 、【答案】1;15 、【答案】100π;16 、【答案】12;17 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) 17411．;18 、【答案】 (1) E，F分别是AB，PB的中点；证明见解析．;(2) 二面角D−EF−C的余弦值是√63．;19 、【答案】 (1);(2) 评委4更准确．;(3) X的分布列为：数学期望EX=32．;20 、【答案】 (1) 点C的轨迹E的方程为x28+y26=1(y≠0)．;(2) [13π6,5π2)∪(5π2,7π2)．;21 、【答案】 (1) n=6．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2−4y=0；曲线C2的直角坐标方程为：x+√3y−4=0．;(2) 线段AB中点到E点距离为2√3+1．;23 、【答案】 (1) (−94,34 )．;(2) a的取值范围为[−5,+∞)．;。
江西省K12联盟2018届高三教育质量检测-数学(理科)试题 Word版含解析
江西K12联盟2018届高三教育质量检测数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则集合等于（）A. B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴=故选：D2. 已知、都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则,若0＜a＜b，则成立，当a＞0，b＜0时，满足，但0＜a＜b不成立，故“0＜a＜b”是“”的充分不必要条件，故选：A．3. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵等差数列，∴，即，，∴故选：A4. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，此几何体为圆柱，且上半部分被切去，圆柱的底面直径为4，高为4，∴该几何体的体积为故选：D5. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数为偶函数，可知，即，∴故选：D6. 已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量、夹角为，且，，∴•=||•||cos120°==﹣3，∵=，且⊥，∴•=（）•=（）•（）=0，即﹣+λ﹣•=0，∴﹣3﹣4+9 +3 =0，解得，故选：C7. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵∴为奇函数，排除A，C，，且排除D，故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8. 已知的内角、、的对边分别是、、，且，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∴,∴∴,又∴的取值范围为故选：B9. 已知正三棱锥内接于球，三棱锥的体积为，且，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∴∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OC=R，∴,∴，解得，∵三棱锥P-ABC的体积为，∴，解得R=2∴球的体积为V=故选：C点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，存在过原点的直线交双曲线左右两支分别于、两点，满足且，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，，由双曲线的对称性可知，四边形为矩形，即，，又∴∴∴故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数是奇函数且满足，可知T=3由，可得：两式相减得：，即，∴是公比为2的等比数列，∴，∴∴故选：C12. 已知函数，其中，为自然对数的底数.若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则,,∵,∴①若时，,函数在内单调递减，故在内至多有一个零点，故舍去；②若时，,函数在内单调递增，故在内至多有一个零点，故舍去；③若时，函数在上递减，在上递增，所以.令,则,当时，,为增函数；当时，，为减函数，所以，即恒成立，所以函数函数在区间内有两个零点，则，解得：故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13. 已知命题：“”，则：__________．【答案】【解析】∵“”∴：故答案为：14. 由曲线与直线围城的平面图形的面积为__________．【答案】【解析】画出两个曲线的图像，记两图像在第一象限的交点为A（3，3）点，则围成的图像的面积，由积分的定义得到，.15. 实数、满足，若的最大值为，则实数__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由得直线的截距最大，对应的也取得最大值，即平面区域在直线的下方，且平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大为即由,解得即此时故答案为16. 函数，且，，若的图像在内与轴无交点则的取值范围是__________．【答案】【解析】，显然，故.由对称中心可知：，可得：，，.....................故答案为：点睛：本题采用了正难则反的策略把无交点问题转化为有交点问题，利用补集思想得到最终的结果，对于否定性问题经常这样思考．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知圆：.（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）由圆方程可得圆心，，先求出圆心到直线距离，根据勾股定理可得；（2）当直线为时，与圆相切，符合题意．当斜率存在时，设斜率为，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得的值，从而可得结果..试题解析：（1）∵圆，∴圆心，，圆心到直线距离，∴．（2）①当直线为时，与圆相切，符合题意．②当斜率存在时，设斜率为，∴直线，即，圆心到直线距离，∵直线与圆相切，∴即，∴，∴直线：，∴综上可知，切线方程为或．18. 已知数列满足：，.（1）求；（2）若，记.求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由递推关系可知是公差为的等差数列，从而求得通项公式；（2），相邻项相消即可得到.试题解析：（1）是公差为的等差数列.（2）由（1）知，.19. 在锐角中，，.（1）若的面积等于，求、；（2）求的周长的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积，余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长，利用三角函数的有界性求解即可．试题解析：（1）由及正弦定理得：，又，.又为锐角，故，又，由得，所以由解得.（2）由正弦定理得，，记周长为，则，又，，为锐角三角形，.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20. 在五面体中，，，，，平面平面.（1）证明：直线；（2）已知点满足，求二面角的余弦值大小.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）由四边形为菱形可得：，又易证，所以平面，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量、，代入公式即可求出二面角的余弦值大小.试题解析：（1），四边形为菱形，.平面平面，平面平面，且，平面，又，直线平面..（2）建立如图所示的空间直角坐标系故、、、易知，，设平面和平面的一个法向量分别为、，二面角的大小为由可得同理可得故.21. 如图，已知椭圆：的离心率为，上、下顶点分别为、，点在椭圆上，且异于点、，直线、与直线：分别交于点、，且面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）求线段的长的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆：的离心率为，，且面积的最大值为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（2）由题设可以得到直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线BP的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0），求出直线AP与直线l的交点M，直线BP 与直线l的交点N，由此能求出线段MN长的最小值．试题解析：（1）当为左右顶点时，最大，得，又，，，（2）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为，由，由直线与直线的交点，直线与直线的交点.设，则直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以，从而有：.当且仅当即时取等号，故线段长的最小值是.22. 设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若存在、满足.求证：（其中为的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）f′（x）=，（x＞0）．对a分类讨论：a≤0，a＞0，即可得出单调性；（2）不妨设，于是，可得．当时，；当时，，故只要证即可，即证明，即证．设．令，利用导数研究其单调性即可证明结论．试题解析：（1）由题知.当，此时函数在单调递增，在单调递减.当，此时函数在单调递增.（2）因为，由（1）知不妨设，由得，即，所以.又因为当时，；当时，，故只要证，又，只要证即证明，即证，也就是证.设.令，则.因为，所以，所以在上是增函数.又，所以当，总成立，原题得证.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
【高三数学试题精选】江西省重点中学盟校2018届高三第二次联考数学(理)试卷及答案
江西省重点中学盟校2018届高三第二次联考数学（理）试
卷及答案
5 c 江西省重点中学盟校2018届高三第二次联考数学（理）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）2．设复数且，则复数的虚部为（）
A． B． c． D．
3．定义在上的偶函数满足对任意，且都有，则（）
A． B．
c． D．
4．已知向量，，，则（）
A． B． c． D．
5．方程所表示的曲线是（）
A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆
c．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线
6．若某多面体的三视图（单位c）如右图所示，
则此多面体的体积是（）
A． c3
B． c3
c． c3
D． c3
7．2018年某通讯司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。
司规定凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）。
2018届高三数学联考试题理word版本
江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校2018届高三数学联考试题理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟. 2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷 的无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合21A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}(2)(1)0B x x x =+->，则AB 等于（ ）A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,2)-D ．(,2)(0,)-∞-+∞2．设(12)i x x yi +=+，其中y x ,是实数， 则yi x=+（ ）A ．1BC D 3．下面框图的S 的输出值为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．134．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ且(4)0.88P x ≤=，则(04)P x <<=（ ） A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.125．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则220172019log ()b b 的值为（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．86．下列命题正确的个数是（ ）（1）函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件是“1a =”. （2）设1{1,1,,3}2a ∈-，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为1,1,3-. （3）已知函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，则0a ≥.A ．1B ．2C ．3D ．07．已知向量2(,2),(3,1),(1,3)a x x b c =+=--=，若//a b ，则a 与c 夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中最长的棱长为（ ）A.52B.24C.6D.349．若关于x 的不等式a x a a sin )6(2<-+无解，则=a （ ） A.3- B.2- C.2 D.310．若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是抛物线24y x =上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是（ ）A ．∞⋃∞（-,-6）[10,+) B ．∞⋃∞（-,-6](8,+)C ．∞⋃∞（-,-5][8,+)D ．∞⋃∞（-,-5][10,+)11．已知动点),(y x P 满足：2402323x y y x x y x --+≤⎧⎪≥⎨⎪+≥+⎩，则22+4x y y +的最小值为（ ）AB4 C ． 1- D ．2-12．已知函数()f x ＝20540.x ee x x x x ⎧⎪≥⎨⎪+<⎩，，+，（e 为自然对数的底数），则函数(())()y f f x f x =-的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5第II 卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．3)12)(1(xx x x -+的展开式中的常数项为.14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为.15．已知矩形ABCD 的两边长分别为3=AB ，4=BC ，O 是对角线BD的中点，E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE ∆折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰为O （如右图所示），则此时三棱锥BCD A -的外接球的表面积是. 16．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，sin 1cos ,2sin cos A b Ab a C B-==， 则有如下结论：（1）1c =;（2）ABC S ∆的最大值为14; （3）当ABC S ∆取最大值时，3b =. 则上述说法正确的结论的序号为 .三、解答题：共70分。
2018年江西省五市八校联考高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
2018年江西省五市八校联考高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数=（ ）A ．1﹣3iB ．1+3iC ．﹣1+3iD ．﹣1﹣3i2．已知集合，，则（∁R M ）∩N=（ ）A ．（0，2]B ．[0，2]C ．∅D ．[1，2]3．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，成等差数列，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．6B ．﹣6C ．5D ．﹣57．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设[x]表示不超过x 的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f （x ）=﹣k （x ＞0），若方程f （x ）=0有且仅有3个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） A ．24 B ．32 C ．48 D ．8410．倾斜角为的直线l 过抛物线y 2=ax （a ＞0）的焦点F ，且与抛物线交于点A 、B ，l 交抛物线的准线于点C （B 在A 、C 之间），若，则a=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在12．若关于x 不等式xlnx ﹣x 3+x 2≤ae x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[e ，+∞）B ．[0，+∞）C ．D ．[1，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是 ．14．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是 ．15．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=（n ∈N *），若不等式++t•a n ≥0恒成立，则实数t 的取值范围是 ．16．函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．18．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC=2，AC=1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积．19．（12分）春节来临，有农民工兄弟A 、B 、C 、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A 、B 、C 、D 获得火车票的概率分别是，其中p 1＞p 3，又成等比数列，且A 、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是． （1）求p 1，p 3的值；（2）若C 、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X 表示A 、B 、C 、D 能够回家过年的人数，求X 的分布列和期望EX ．20．（12分）过点P （a ，﹣2）作抛物线C ：x 2=4y 的两条切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（Ⅰ） 证明：x 1x 2+y 1y 2为定值；（Ⅱ） 记△PAB 的外接圆的圆心为点M ，点F 是抛物线C 的焦点，对任意实数a ，试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2018年江西省五市八校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数=（ ）A ．1﹣3iB ．1+3iC ．﹣1+3iD ．﹣1﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知集合，，则（∁R M ）∩N=（ ）A ．（0，2]B ．[0，2]C ．∅D ．[1，2]【考点】1H ：交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M ，N 求出M 的补集，找出M 补集与N 的交集即可【解答】解：∵＜1，即﹣1＜0，即＜0，等价于x （x ﹣2）＞0，解得x ＞2或x ＜0，则M=（﹣∞，0）∪（2，+∞）， ∴（∁R M ）=[0，2]，∵N={y|y=}=[0，+∞），∴（∁R M ）∩N=[0，2]， 故选：B【点评】本题考查分式不等式的解法，考查集合的交、补运算，属于中档题．3．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，成等差数列，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】88：等比数列的通项公式．}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数【分析】设等比数列{an列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【解答】解：设等比数列{a}的公比为q，且q＞0，n，成等差数列，∵a3∴，则，化简得，q2﹣q﹣1=0，解得q=，则q=，∴====，故选A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．【点评】本题考查棱锥体积的计算，考查三视图，考查数形结合的数学思想，比较基础．5．在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（）A． B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，2]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，2]要求这两个数的平方和也在区间[0，2]内，即要求0≤x2+y2≤2，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤2在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为=；故选：D．【点评】此题考查等可能时间概率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣2，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣3，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣4，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣5，i=10；当i=10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=11；当i=11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】EL：秦九韶算法．【分析】由题意，p=10，S==，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，p=10，S==≤=8，∴此三角形面积的最大值为8．故选B．【点评】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．8．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=﹣k（x＞0），若方程f（x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=0得=k，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣k=0得=k，若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使f（x）=﹣k有且仅有三个零点，即函数g（x）=k有且仅有三个零点，则由图象可知＜k≤，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．9．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．24 B．32 C．48 D．84【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，②、剩余的1个理科班的学生去检查其他的2个理科班，③、将2个文科班学生安排检查剩下的2个理科班，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，有C32A22=6种情况；②、剩余的1个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的2个理科班，有2种情况，③、将2个文科班学生全排列，安排检查剩下的2个理科班，有A22=2种情况；则不同安排方法的种数6×2×2=24种；故选：A．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及分步和分类计数原理，关键是依据题意，进行分步分析．10．倾斜角为的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且与抛物线交于点A、B，l交抛物线的准线于点C（B在A、C之间），若，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】求得焦点即准线方程．根据三角形的相似关系，求得2丨EF丨=丨CF丨，根据抛物线的定义，即可求得a的值．【解答】解：过A和D做AD⊥l，BG⊥l，垂足分别为D和G，准线l交x轴于E，由抛物线的焦点（，0），准线方程x=﹣，则丨EF丨=，且丨BG丨=丨BF丨，由∠AFx=，则∠FCD=，sin∠FCD===，，则丨BG丨=，由2丨EF丨=丨CF丨，即2×=丨BC丨+丨BF丨=+=4，故a=4，故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．11．设P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在【考点】MK ：点、线、面间的距离计算．【分析】设P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点P 是正方体的中心，即可得出结论． 【解答】解：设P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点P 是正方体的中心， 故选A ．【点评】本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．若关于x 不等式xlnx ﹣x 3+x 2≤ae x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[e ，+∞）B ．[0，+∞）C ．D ．[1，+∞）【考点】3R ：函数恒成立问题． 【分析】x ∈R 时，e x ＞0恒成立，把不等式xlnx ﹣x 3+x 2≤ae x 化为a ≥；设f（x）=，x∈（0，+∞）；求出f（x）的最大值即可得出a的取值范围．【解答】解：x∈R时，e x＞0恒成立，∴关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x化为a≥；设f（x）=，其中x∈（0，+∞）；则f′（x）=，设g（x）=lnx+1﹣xlnx+x3﹣4x2+2x，其中x∈（0，+∞）；则g′（x）=﹣lnx﹣1+3x2﹣8x+2=3x2﹣8x+1+﹣lnx＜0，∴g（x）是单调减函数，且g（1）=0，∴x=1时，f（x）取得最大值0，∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，是综合题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．14．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得 x=3 y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．15．已知数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），若不等式++t•an≥0恒成立，则实数t的取值范围是[﹣9，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出an．不等式++t•an≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n﹣1）=n+1，∴an=．不等式++t•an≥0化为：t≥﹣．∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．∵﹣≤﹣9．∵实数t的取值范围若不等式++t•an≥0恒成立，∴t≥﹣9．则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．故答案为：[﹣9，+∞）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos （α﹣β）的值为 ．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，利用三角函数的图象，可得sin （2α+θ）=﹣，sin （2β+θ）=﹣，从而得到2α+θ=π+θ，2β+θ=2π﹣θ，进而得到cos（α﹣β）=cos （θ﹣）=sin θ的值．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，得到y=2sin（2x++Φ）的图象；∵对应的函数是奇函数，∴ +Φ=k π，k ∈Z ，即Φ=k π﹣，∴Φ=﹣，即f （x ）=2sin（2x ﹣）．∵函数，关于x 的方程f （x ）+g （x ）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即2sin （2x ﹣）+（2+）cos2x=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin2x+cos2x=﹣1 在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin （2x+θ）=﹣1（其中，cos θ=，sin θ=，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，即方程sin （2x+θ）=﹣在[0，π）内有两个不同的解α，β．∵x ∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin （2α+θ）=﹣，sin （2β+θ）=﹣，∴2α+θ=π+θ，2β+θ=2π﹣θ，∴2α﹣2β=﹣π+2θ，α﹣β=θ﹣，cos （α﹣β）=cos （θ﹣）=sin θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017•江西二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据，可得bsinC+2csinBcosA=0，由正弦定理得bc+2cbcosA=0，进而得出．（2）由（1）及余弦定理得a2=b2+c2+bc，了由正弦定理可得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，化简整理再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴（sinC，sinBcosA）•（b，2c）=0，∴bsinC+2csinBcosA=0…（2分）由正弦定理得bc+2cbcosA=0…（4分）∵b≠0，c≠0∴…∵0＜A＜π∴…（6分）（2）由（1）及余弦定理得a2=b2+c2+bc，得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC即…（8分）又sinB+sinC=1，解得…（9分）∵∴b=c=2…（11分）∴△ABC的面积…（12分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•江西二模）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC=2，AC=1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】（1）证明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后证明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，证明EF⊥平面ADC，连接FC，说明∠ECF=30°，求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可．【解答】解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）又由，BC=2，AC=1，得BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC…（4分）故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）连接FC，则∠ECF=30°，∴…（9分）又∠BAD=∠BCD=90°，所以四面体ABCD的外接球的半径…（11分）故四面体ABCD的外接球的表面积=…（12分）（向量解法酌情给分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）（2017•甘肃二模）春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，列出方程组，能求出p1，p3的值．（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）∵A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，∴…（1分）联立方程组，…（3分）由p1＞p3，解得．…（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）…（10分）∴X的分布列为：…（11分）…（12分）【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．20．（12分）（2017•江西二模）过点P （a ，﹣2）作抛物线C ：x 2=4y 的两条切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （Ⅰ） 证明：x 1x 2+y 1y 2为定值；（Ⅱ） 记△PAB 的外接圆的圆心为点M ，点F 是抛物线C 的焦点，对任意实数a ，试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ？并说明理由． 【考点】KN ：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ） 求导，求得直线PA 的方程，将P 代入直线方程，求得，同理可知．则x 1，x 2是方程x 2﹣2ax ﹣8=0的两个根，则由韦达定理求得x 1x 2，y 1y 2的值，即可求证x 1x 2+y 1y 2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k 1k 2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证x 1x 2+y 1y 2为定值；（Ⅱ） 直线PA 的垂直平分线方程为，同理求得直线PB 的垂直平分线方程，求得M 坐标，抛物线C 的焦点为F （0，1），则，则．则以PM 为直径的圆恒过点F ．【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x 2=4y ，得，所以．所以直线PA 的斜率为．因为点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在抛物线C 上，所以，．所以直线PA 的方程为．…（1分）因为点P （a ，﹣2）在直线PA 上，所以，即．…（2分）同理，．…（3分）所以x 1，x 2是方程x 2﹣2ax ﹣8=0的两个根．所以x1x2=﹣8．…（4分）又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（6分）法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…（1分），消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…（2分）所以k1k2=﹣2．…（3分）由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=﹣8．…（4分）又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（6分）（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…（7分）由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…（8分）同理直线PB的垂直平分线方程为．②…（9分）由①②解得，，所以点．…（10分）抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…（11分）所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）另法：以PM为直径的圆的方程为．…（11分）把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…（7分）由（Ⅰ）知，代入上式得，…（8分）当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，得ma﹣3（n﹣1）=0，③…（9分）由②③解得，…（10分）所以点．…（11分）当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式，韦达定理的应用，考查利用导数求抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•江西二模）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3E：函数单调性的判断与证明；7E：其他不等式的解法．【分析】（1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间；（2）根据（1），得出f （x 0）的最大值，问题可转化为对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a （a+1）﹣a 2+﹣4a ﹣2＞0都成立，构造函数h （a ）=2me a （a+1）﹣a 2+﹣4a ﹣2，根据题意得出m 的范围，由h （0）＞0得m ＞1，且h （﹣2）≥0得m ≤e 2，利用导函数，对m 进行区间内讨论，求出m 的范围．【解答】解：（I ）f （x ）=lnx+x 2﹣2ax+1，f'（x ）=+2x ﹣2a=，令g （x ）=2x 2﹣2ax+1，（i ）当a ≤0时，因为x ＞0，所以g （x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（ii ）当0＜a 时，因为△≤0，所以g （x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（iii ）当a ＞时，x 在（，）时，g （x ）＜0，函数f （x ）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g （x ）＞0，函数f （x ）单调递增；（II ）由（I ）知当a ∈（﹣2，0]，时，函数f （x ）在区间（0，1]上单调递增， 所以当x ∈（0，1]时，函数f （x ）的最大值是f （1）=2﹣2a ，对任意的a ∈（﹣2，0]， 都存在x 0∈（0，1]，使得不等式a ∈（﹣2，0]，2me a （a+1）+f （x 0）＞a 2+2a+4成立， 等价于对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a （a+1）﹣a 2+﹣4a ﹣2＞0都成立，记h （a ）=2me a （a+1）﹣a 2+﹣4a ﹣2，由h （0）＞0得m ＞1，且h （﹣2）≥0得m ≤e 2， h'（a ）=2（a+2）（me a ﹣1）=0， ∴a=﹣2或a=﹣lnm ， ∵a ∈（﹣2，0]， ∴2（a+2）＞0，①当1＜m ＜e 2时，﹣lnm ∈（﹣2，0），且a ∈（﹣2，﹣lnm ）时，h'（a ）＜0，a ∈（﹣lnm ，0）时，h'（a ）＞0，所以h （a ）最小值为h （﹣lnm ）=lnm ﹣（2﹣lnm ）＞0， 所以a ∈（﹣2，﹣lnm ）时，h （a ）＞0恒成立；②当m=e 2时，h'（a ）=2（a+2）（e a+2﹣1），因为a ∈（﹣2，0]，所以h'（a ）＞0， 此时单调递增，且h （﹣2）=0，所以a ∈（﹣2，0]，时，h （a ）＞0恒成立； 综上，m 的取值范围是（1，e 2]．【点评】考查了导函数的应用和利用构造函数的方法，对存在问题进行转化，根据导函数解决实际问题．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2017•江西二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•成都四模）已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．。
2018年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷(理科)(解析版)
7． （5 分） 如图所示程序框图， 则满足|x|+|y|≤2 的输出的有序实数对 （x共 23 页）
A．
B．
C．
D． ）＝2m﹣1 在区间[0，2π）上有两个 ） D．[0，1）
8． （5 分）已知关于 x 的方程 sin（π﹣x）+sin（
根 x1．x2，且|x1﹣x2|≥π，则实数 m 的取值范围是（ A． （﹣1，0] B．[ ） C． （0， ]
18． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AB＝AC＝2，AD ＝2 ，PB＝ ，PB⊥AC．
（1）求证：平面 PAB⊥平面 PAC； （2）若∠PBA＝45°，试判断棱 PA 上是否存在与点 P，A 不重合的点 E，使得直线 CE 与 平面 PBC 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
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（ⅰ）得分不低于 μ 的可以获得 2 次抽奖机会，得分低于 μ 的可以获得 1 次抽奖机会； （ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为： 中奖的奖券面值（单元：元） 概率 20 0.8 40 0.2
4． （5 分） 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题： “今有大 夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿．欲以爵次分之，问各得几何？” 其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员， 共猎得五只鹿， 要按爵次高低分配 （即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列） ， 问各得多少鹿？”已知上造分 只鹿，则公士所得鹿数为（ A．1 只 B． 只
9． （5 分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都是直角梯形，左视图是正 方形，则该几何体最长的棱长 为（ ）
江西名校学术联盟2018高三教学质量检测考试(二)数学(理)试题Word版含答案
江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}52|{-==x y x A ，}0)2)(3(|{<+-=x x x B ，则=B A （ ）A ． )2,25[B ．]25,3(-C ． )3,25[D ．]25,2(- 2.已知向量)4,2(-=m ，)3,8,10(x n --=，若n m //，则=x （ ） A ． 4 B ． -4 C ．2 D ．-23.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若6321=S ，则=++15117a a a （ ）A ． 6B ． 9C ．12D ． 154.已知函数)(x f 的图像关于原点对称，且周期为4，当)2,0(∈x 时，4)8()(2--=x x f ，则=)102(f （ ）[参考数据：)5.6,6(102∈] A ． 36 B ．-36 C. 18 D ．-185.已知直线l 将圆0266:22=++-+y x y x C 的周长平分，且直线l 不经过第三象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围为（ ）A ．]135,90[0B ． ]120,90[0C. ]135,60[0D ．]150,90[06.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．π3107B ．π33316+ C. π9932+ D ．π33332+7.将函数ϕπϕsin )22cos(cos )sin 21()(2++-=x x x f 的图像向右平移3π个单位后，所得函数图像关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ） A ．6π B ．3π- C. 2πD ．65π8.“033>-mnn m ”是“n m ln ln >”的（ ） [参考公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+，))((2233b ab a b a b a ++-=-] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要9.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于C B ,两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． ]31,0( B ．]21,0( C. )1,21[ D ．]32,21[ 10.已知)2,0(πθ∈，且3512sin 12=+θθcso ，则=θ2tan （ ） A ．247 B ．724 C. 247± D ．724± 11.已知函数⎩⎨⎧≥++-<-=1,241|,)1(log |)(22x x x x x x f ，现有如下说法：①函数)(x f 的单调增区间为)1,0(和)2,1(； ②不等式2)(>x f 的解集为)4,43()3,( --∞； ③函数1)21(--+=xx f y 有6个零点. 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）A ． 0个B ． 1个 C.2个 D ．3个12.已知定义在),0()0,(+∞-∞ 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，且4)(3)('x ex f x xf x=-，28)2(e f =，则e x f >)(的解集为（ ）A ．),(),(2121+∞--∞e e B ．),(21+∞e C. ),1()1,(+∞--∞D ．),1(+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤331y y x y x ，则y x z 23-=的最大值为 ．14.已知圆Ω过点)1,5(A ，)3,5(B ，)1,1(-C ，则圆Ω的圆心到直线012:=+-y x l 的距离为 ．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2=a ，0cos cos =-B c C b ，332sin sin =B A ，则ABC ∆的面积为 ． 16.已知数列}{n a 的通项公式为)(1)1(1*N n n n n n a n ∈+++=，记数列}{n a 的前n 项和n S ，则在201721,,S S S 中，有 个有理数．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωM x M x f 的大致图像如图所示，其中)1,0(A ，CB ,为函数)(x f 的图像与x 轴的交点，且π=||BC.（1）求ω,M 的值；（2）若函数x x f x g cos )()(=，求函数)(x g 在区间]2,6[ππ上的最大值和最小值.18. 已知数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，且2n S n =，数列}{n b 是首项为1，公比为q 的等比数列.（1）若数列}{n n b a +是等差数列，求该等差数列的通项公式； （2）求数列}{n n b n a ++的前n 项和n T . 19. 已知ABC ∆中，角060=B ，8=AB .（1）若12=AC ，求ABC ∆的面积； （2）若点N M ,满足==32=，求AM 的值.20. 已知等差数列}{n a 满足53=a ，其前6项和为36，等比数列}{n b 的前n 项和)(212*1N n S n n ∈-=-. （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和n T .21. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，0120=∠=∠BCD ADC ，四边形EDCF 是正方形，二面角A DC E --的大小为090.（1）在线段AB 上找出一点G ，使得//EG 平面BDF ，并说明理由. （2）求直线EC 与平面BDF 所成角的正弦值. 22.已知函数xeax x f 22)(=，其中e 为自然对数的底数.（1）若1-=a ，求曲线x x f x g ln )()(+=在点))1(,1(g 处的切线方程； （2）若关于x 的不等式x xe xe xf 2212)(≥++在]0,(-∞上恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案1.【答案】C【解析】依题意，{{}52502A x y x x x x ⎧⎫===-≥=≥⎨⎬⎩⎭，()(){}{}32023B x x x x x =-+<=-<<，故⎪⎭⎫⎢⎣⎡=⋂3,25B A ，故选C.2.【答案】A【解析】因为m u r //n r，故()40283x -=⋅--，解得4x =，故选A.3.【答案】B【解析】依题意，()()1217152121216322a a a a S ++===，故7151162a a a +==，故711159a a a ++=，故选B. 4.【答案】B【解析】依题意 ，函数()f x 为奇函数，则()()()21021088210f f f =-=--， 因为()82100,2-∈，故()()210821036f f =--=-，故选B. 5.【答案】A【解析】依题意，圆()()22:3316C x y -++=，易知直线l 过圆C 的圆心()3,3-；因为直线l 不经过第三象限，结合正切函数图象可知，0090,135θ⎡⎤∈⎣⎦，故选A.6.【答案】D【解析】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积221132442333233333V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选D. 7.【答案】A【解析】依题意，()()cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，故向右平移3π个单位后，得到2cos 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故()232Z k k ππϕπ-=-+∈，则()6Z k k πϕπ=+∈，观察可知，故选A.8.【答案】B【解析】依题意，()()223300m n m mn n m n mn mn-++->⇔>0m n mn -⇔>110n m ⇔-> 11n m ⇔>，而1111ln ln ln ln ln ln 0m n m n m n n m >⇔-<-⇔<⇔>>，故“330m n mn->”是“ln ln m n >”的必要不充分条件，故选B. 9.【答案】B【解析】依题意，正方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1；如图所示，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND 1，从而当102BM <≤时，截面为四边形，当12BM >时，截面为五边形，故线段BM 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B.10.【答案】D【解析】依题意，()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则原式化为2112352t t -=⋅，解得75t =（57t =-舍去）；故7sin cos 5θθ+=，则12sin cos 25θθ=，即22sin cos 12sin cos 25θθθθ=+，即2t a n 121t a n 25θθ=+，即212t a n 25t a n 120θθ-+=，解得34tan 43θ=或，则22tan 24tan 21tan 7θθθ==±-，故选D. 11.【答案】C【解析】作出()()22log 1,1,42,1,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-++≥⎪⎩的图象如下所示，观察可知函数()f x 的单调增区间为()()0,11,2和，故①正确；()()22112log 12,422,x x f x x x x <⎧≥⎧⎪>⇔⎨⎨->-++>⎪⎩⎩，，或解得3344x x <-<<或，故②正确；令1210f x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，解得121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，而()1f x =有3个解11,,252-+；分别令1121,,252x x +-=-+，即分别有151,,452x x +=+，结合1y x x =+的图象可知，方程151,,452x x +=+有4个实数解，即函数121y f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭有4个零点，故③错误，故选C.12.【答案】D 【解析】依题意，()()4'3xxf x f x x e-=，则()()4'3xxf x f x e x-=，即()()326'3x x f x x f x e x-=，故()3'x f x e x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故()3x f x e c x =+；因为()228f e =，故0c =，故()3x f x x e =；易知当0x <时，()0f x <，故只需考虑0x >的情况即可；因为()23'3x x f x x e x e =+，可知当0x >时，()'0f x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；注意到()1f e =，故()f x e >的解集为()1,+∞，故选D. 13.【答案】6【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线32z x y =-过点()4,3C 时，z 取最大值，最大值为6.14.【答案】5【解析】依题意，圆Ω的圆心是线段AB 与AC 中垂线的交点，故圆心为()2,2，到直线:210l x y -+=的距离5d ==. 15.【解析】由cos cos 0b C c B -=可知，sin cos sin cos 0B C C B -=，即()s i n 0B C -=，故B C=，故b c=，又s i 23s i 3A B =，则a =，故22cos 22a c b B ac b +-===，因为2a =，所以b c ==．又因为cos B =，所以sin B =所以11sin 2223ABC S a c B ∆=⋅⋅=⨯=16.【答案】43【解析】依题意，n a ====，故12...1n n S a a a =+++=，因为441845<<，故22212,3,...,44n +=，故有43个有理数.17.解：（1）依题意，2T BC π==，故2T π=，故21Tπω==； 因为()0,1A ，故sin16M π⋅=，故2M =；（2）由（1）知),6sin(2)(π+=x x f依题意，2()()cos cos 2sin()cos cos 6g x f x x x x x x x π=⋅=⋅+=+=1cos 222x x ++=1sin 2)62x π++（； 当62x ππ≤≤时，23x ππ≤≤，72266x πππ≤+≤，故1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故()302g x ≤≤，故函数()g x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，最小值为0.18.解：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，故()21*N n a n n =-∈；因为{}n n a b +是等差数列，故112233,,a b a b a b +++成等差数列， 即22(3)25q q +=++，解得1q =，所以n b =1； 所以2n n a b n +=，符合要求；（2）由（1）知，()121*N n n n a n b n n q n -++=-++∈；所以()11111111(21)nnnnnnnk n k k k k k k k k k k k T a k b a k b k k q-========++=++=-++∑∑∑∑∑∑∑=∑∑=-=+-nk k n k qk 111)13(21132n k k n n q -=+=+∑，当1q =时，2233322n n n n nT n ++=+=； 当1q ≠时，23121n n n n q T q +-=+-． 19.解：（1）在△ABC 中，设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，由正弦定理sin sin bc B C=，得8sin 2sin 123c B C b ===， 又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos C =， 则sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+12+=所以△ABC的面积1sin 482S bc A ===．方法二：由余弦定理可得22126428cos60a a =+-⋅⋅⋅，解得644+=a ， 所以△ABC 的面积3822423)644(821sin 21+=⨯+⨯⨯==B ac S ． （2）由题意得M,N 是线段BC 的两个三等分点，设BM x =，则2BN x =，AN =，又60B =，8AB =，在△ABN 中，由余弦定理得2212644282cos60x x x =+-⋅⋅⋅， 解得2x =（负值舍去）， 则4BN =，所以222AB AN BN =+, 所以90ANB ∠=°， 在Rt △AMN中，AM ==20.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得1125,61536,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以()21*N n a n n =-∈；对数列{}n b ，因为1122n n S -=-，当1n =时，11211b S ==-=， 当2n ≥时，112111122222n n n n n n b S S ----⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上所述，()112*N n n b n -=∈；（6分） （2）由（1）得1212n n n n a b --=，所以122135232112222n n n n n T ----=+++++…，① 23111352321222222n n n n n T ---=+++++…，② -①②得：2211112123113222222n n n nn n T --+=+++++-=-…， 所以4662n nn T +=-=12326-+-n n ． 21. 解：（1）当点G 为线段AB 的中点时，EG //平面BDF ； 取AB 的中点G ，连接EG ；因为//AB CD ，0120ADC BCD ∠=∠=，22AB AD ==，所以1DC =，又四边形EDCF 是正方形，所以//EF BG ,EF BG =,故四边形EFBG 为平行四边形，故//EG BF ，因为EG ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，故EG //平面BDF（2）因为四边形EDCF 是正方形，二面角E DC A --的大小为90°，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD中，由余弦定理得BD AD BD ⊥．如图，以D 为原点，以DADB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则(0,0,0)D，1(2C -， (0,0,1)E，B，1(2F - ，所以1(1)2EC =--，1(2DF =-，DB =，设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n ，（10分） 故所求正弦值为sin2EC ECθ⋅===n n22.解：（1）依题意，22(x)()ln e +ln xg f x x x x =+=-，2221g'(x)2e 2e +x x x x x=--， 故2(1)e g =-，而2g'(1)4e +1=-，故所求方程为()()22e 4e +11y x +=--，即()224e +13e 1y x =-+-；（2）()2222()2e 1e e 2110x x x f x x ax x ++≥⇔+-+≥； 依题意，当0x ≤时，()22e 2110x ax x +-+≥； 即当0x ≤时，221210ex ax x +-+≥； 设()22121e x h x ax x =+-+，则2221()222(1)e e x xh x ax ax '=+-=+-，设21()1e x m x ax =+-，则22()ex m x a '=+．①当2a ≥-时，220,2ex x ≤∴≥，从而()0m x '≥（当且仅当0x =时，等号成立）()211ex m x ax ∴=+-在(],0-∞上单调递增，又()00,m =∴当0x ≤时，()0m x ≤，从而当0x ≤时，()0h x '≤， ()22121ex h x ax x ∴=+-+在(],0-∞上单调递减，又()00h =， 从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210ex ax x +-+≥，于是当0x ≤时，22()2e 1e x xf x x ++≥；②当2a <-时，令()0m x '=，得220,e xa +=12ln 0,2x a ⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭ 故当]12(ln(),02x a∈-时, ()222e 0e x x a m x a ⎛⎫'=+< ⎪⎝⎭, ()211e x m x ax ∴=+-在]12(ln(),02a-上单调递减， 又()00,m =∴当]12(ln(),02x a∈-时，()0m x ≥， 从而当]12(ln(),02x a∈-时，()0h x '≥， ()22121e x h x ax x ∴=+-+在]12(ln(),02a-上单调递增，又()00h =， 从而当12(ln(),0)2x a ∈-时，()0h x <，即221210ex ax x +-+< 于是当12(ln(),0)2x a∈-时，22()2e 1e x x f x x ++<， 不符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为[)2,-+∞.。
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江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}52|{-==x y x A ，}0)2)(3(|{<+-=x x x B ，则=B A （ ）
A ． )2,25[
B ．]25,3(-
C ． )3,25[
D ．]2
5,2(-
2.已知向量)4,2(-=，)3,8,10(x --=，若//，则=x （ ）
A ． 4
B ． -4
C ．2
D ．-2
3.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若6321=S ，则=++15117a a a （ ）
A ． 6
B ． 9
C ．12
D ． 15
4.已知函数)(x f 的图像关于原点对称，且周期为4，当)2,0(∈x 时，4)8()(2--=x x f ，则=)102(f （ ）[参考数据：)
5.6,6(102∈]
A ． 36
B ．-36 C. 18 D ．-18
5.已知直线l 将圆0266:22=++-+y x y x C 的周长平分，且直线l 不经过第三象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围为（ ）
A ．]135,90[00
B ． ]120,90[00 C. ]135,60[00 D ．]150,90[00
6.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）
A ．
π3
107 B ．π33316+ C. π9932+ D ．π33332+ 7.将函数ϕπϕsin )22cos(cos )sin 21()(2++-=x x x f 的图像向右平移3π个单位后，所得函数图像关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ）
A ．6π
B ．3π- C. 2
π D ．65π 8.“03
3>-mn
n m ”是“n m ln ln >”的（ ） [参考公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+，))((2
233b ab a b a b a ++-=-]
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
9.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于C B ,两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ） A ． ]3
1,0( B ．]21,0( C. )1,21[ D ．]3
2
,21[ 10.已知)2,0(πθ∈，且3512sin 12=+θ
θcso ，则=θ2tan （ ） A ． 247 B ．724 C. 247± D ．724± 11.已知函数⎩⎨⎧≥++-<-=1
,241|,)1(log |)(22x x x x x x f ，现有如下说法： ①函数)(x f 的单调增区间为)1,0(和)2,1(；
②不等式2)(>x f 的解集为)4,4
3
()3,( --∞；
③函数1)21(--+=x
x f y 有6个零点. 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）
A ． 0个
B ． 1个 C.2个 D ．3个
12.已知定义在),0()0,(+∞-∞ 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，且
4)(3)('x e
x f x xf x =-，28)2(e f =，则e x f >)(的解集为（ ） A ．),(),(2121+∞--∞e e B ．),(2
1+∞e C. ),1()1,(+∞--∞
D ．),1(+∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥++≤331y y x y x ，则y x z 23-=的最大值为 ．
14.已知圆Ω过点)1,5(A ，)3,5(B ，)1,1(-C ，则圆Ω的圆心到直线012:=+-y x l 的距离为 ．
15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2=a ，0cos cos =-B c C b ，3
32sin sin =B A ，则ABC ∆的面积为 ． 16.已知数列}{n a 的通项公式为)(1
)1(1*N n n n n n a n ∈+++=，记数列}{n a 的前n 项和n S ，则在201721,,S S S 中，有 个有理数．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπ
ωM x M x f 的大致图像如图所示，其中)1,0(A ，
C B ,为函数)(x f 的图像与x 轴的交点，且π=||BC .
（1）求ω,M 的值；
（2）若函数x x f x g cos )()(=，求函数)(x g 在区间]2
,6[ππ上的最大值和最小值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，且2n S n =，数列}{n b 是首项为1，公比为q
的等比数列.
（1）若数列}{n n b a +是等差数列，求该等差数列的通项公式；
（2）求数列}{n n b n a ++的前n 项和n T .
19. 已知ABC ∆中，角060=B ，8=AB .
（1）若12=AC ，求ABC ∆的面积；
（2）若点N M ,满足NC MN BM ==32||=BM ，求AM 的值.
20. 已知等差数列}{n a 满足53=a ，其前6项和为36，等比数列}{n b 的前n 项和)(2
12*1N n S n n ∈-=-. （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；
（2）求数列}{n n b a 的前n 项和n T .
21. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，0120=∠=∠BCD ADC ，四边形EDCF 是正方形，二面角A DC E --的大小为090.。