苏教版九年级下册数学[探索三角形相似的条件--知识点整理及重点题型梳理](提高)

苏教版九年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

探索三角形相似的条件（提高）知识讲解

【学习目标】

1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；

2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；

3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明. 【要点梳理】

要点一、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

如图： l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 分别与l 1、l 2、l 3交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 、，则有 （1）

AB DE BC EF =（2）AB DE AC DF =（3）BC EF

AC DE

=

成立.

l 3

l 2

l 1

b

l 3

l 2

l 1

l 3

l 2

l 1

要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.

2.平行于三角形一边的直线的性质

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 要点诠释：

这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.

要点二、相似三角形的判定定理

【课程名称： 相似三角形的判定（1） 394497相似三角形的判定】 1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.

要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：

要点四、三角形的重心

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.

【典型例题】

类型一、平行线分线段成比例定理

1. 如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2

AE AB AD =⋅

A B

C

D G E

【答案与解析】 证明：∵DG ∥EC,

∴

AD AG

AE AC

=,

∵EG ∥BC,

∴AE

AG

AB AC =, ∴AD

AE

AE

AB

=, 即2AE AB AD =⋅.

【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键． 举一反三：

【变式】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）

A.

23 B. 3

2

C. 6

D. 16

【答案】B.

【解析】∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴

AB DE

BC EF

=

， ∵AB=2，BC=3，DE=1，

∴21

3EF

=

， ∴EF=32

，

故选B ．

2.如图，AD 是△ABC 的中线，P 是AD 上任意一点，CP 、BP 的延长线分别交AB 、AC 于E 、D 两点,连接EF.求证：EF ∥BC.

【思路点拨】构造平行线，利用平行线所截得的对应线段成比例来证明. 【答案与解析】延长PD 到M ，使DM=PD ，连接BM 、CM,

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD,

∵DM=PD

∴四边形BPCM是平行四边形. ∴BP∥CM，即PF∥MC，

∴AF AP AC AM

=,

同理AE AP AB AM

=,

∴AE AF AB AC

=

∴DE∥BC.

【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，反过来如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

类型二、相似三角形的判定

【课程名称：相似三角形的判定（1） 394497

：练习4】

3.（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为多少？

【思路点拨】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．

【答案与解析】

解：∵四边形EFGH是矩形，

∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∵AM⊥EH，AD⊥BC，

∴=，

设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，

∴=，

解得：x=，

则EH=．

故答案为：．

4. （2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

【思路点拨】作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM=∠B，利用相似可得MN的长．

【答案与解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，

有，

∵M为AB中点，AB=，

∴AM=，

∵BC=6，

∴MN=3；

②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，

有，

∵M为AB中点，AB=，

∴AM=，

∵BC=6，AC=，

∴MN=，

∴MN的长为3或．

【总结升华】本题主要考查相似三角形的作图和相似三角形的判定以及存在性，解题的关键是注意相似作图及解答有多种情况．