2013年高考重庆卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

（重庆卷）

一、选择题

1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}

D ．{4}

答案 D

解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D

解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.

3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9

B.9

2

C ．3

D.322

答案 B 解析 因为(3－a )(a ＋6)＝

18－3a －a 2

＝

－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814

， 所以当a ＝－3

2

时，

(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为9

2

.

4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5

C ．5,8

D ．8,8

答案 C

解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.5603

B.580

3 C ．200 D ．240 答案 C

解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为1

2(2＋8)×4＝

20，所以棱柱的体积为20×10＝200.

6．若a

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内

答案 A

解析 由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是

连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 7．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()

A．52－4 B.17－1

C．6－2 2 D.17

答案 A

解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－

3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．

(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2(R1，R2分别为两圆的半径)＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4.故选A.

8．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()

A．k≤6 B．k≤7

C．k≤8 D．k≤9

答案 B

解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.

由s＝3，得lg 3

lg 2×lg 4

lg 3×

lg 5

lg 4×…×

lg(k＋1)

lg k

＝3，即lg(k＋1)＝3lg 2，所以k＝7.再循环时，

k＝7＋1＝8，此时输出s，因此判断框内应填入“k≤7”．故选B. 9．4cos 50°－tan 40°等于()

A. 2

B.2＋3

2

C. 3 D ．22－1

答案 C

解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°

cos 40°

＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°

＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°

cos 40°

＝ 3.

10．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12

，则|OA →

|的取值范围是

( ) A.⎝

⎛⎦

⎤0，

52 B.⎝⎛

⎦⎤

52，72 C.⎝⎛

⎦

⎤52，2

D.⎝⎛

⎦

⎤72，2 答案 D

解析 设B 1(cos α，sin α)，B 2(cos β，sin β)，A (x ，y )，O (0,0)．

由AB 1→⊥AB 2→

，得cos(α－β)－x (cos α＋cos β)－y (sin α＋sin β)＋x 2＋y 2＝0① OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB 1→＋AB 2→

＝(cos α＋cos β－x ，sin α＋sin β－y )． 而|OP →|<12，则0≤|OP →|2<14

，

整理得0≤x 2＋y 2＋2＋2cos(α－β)－2x (cos α＋cos β)－2y (sin α＋sin β)<1

4，②

将①代入②，得0≤x 2＋y 2＋2－2(x 2＋y 2)<1

4，

即0≤2－(x 2＋y 2)<14，整理得7

4

所以|OA →|2∈⎝⎛⎦⎤74，2，即|OA →

|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 二、填空题

11．已知复数z ＝5i

1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.

答案

5

解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝5

5

＝ 5.