高考数学平面向量1

平面向量

一. 教学内容：

平面向量

二. 教学重点、难点及教学要求：

1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2. 掌握向量的加法和减法。

3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直等问题，掌握向量垂直的条件。

6. 掌握两点间距离公式，以及线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

三. 知识串讲

（一）向量的基本运算

1. 有关概念

（1）向量—既有大小又有方向的量叫做向量

常用有向线段表示向量

向量二要素

方向

长度

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

（）向量的长度（模）—有向线段的长度或

2||||

AB a

→→

长度等于的向量叫做单位向量，

1

a

a

a

→

=

→

→

||

长度为的向量叫做零向量，记作

00

→

（3）共线向量（平行向量）—方向相同或相反的向量叫做平行向量（即共线向量）。

（）相等的向量—长度相等且方向相同的向量叫做相等的向量，4a b

→

=

→

零向量与零向量相等，00

→

=

→

向量可以在平面（空间）平行移动而不变。

规定：零向量与任一向量平行。

［练习］

如图，、、分别是△各边的中点，写出图中与、、D E F ABC DE EF DF →→→

相等的向量，并写出向量的相反向量即与长度相同方向相反的向量DE DE →→

()

2. 向量的加法、减法与数乘。

（1）向量的加法是用三角形法则来定义的。

也可以用平行四边形法则求，当与不共线时，两个法则是一致a b a b →+→→→

的，而与共线时，平行四边形法则就不适用了a b →→

例如：

求a b c →+→+→

如图：向量的多边形

法则：多个向量相加，将它们顺序“头尾相接”，则以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量，即为这多个向量的和向量。

（）向量的减法：向量加上的相反向量，即2a b a b a b →→→-→=→+-→

()

（3）实数与向量的积

λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→

=→=→→→⎧

⎨⎪⎪⎩⎪⎪长度方向：时，与同向；时与反向；时，

，∥||||||0000

（）设向量，，及实数，，满足：4a b c →→→

λμ ①a b b a →+→=→+→

②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→ ③a b a b →-→=→+-→() ④·λμλμ()()a a →=→ ⑤()λμλμ+→=→+→

a a a ⑥λλλ()a

b a b →+→=→+→ ⑦||||||λλa a →=→

⑧±||||||||||a b a b a b →-→≤→→≤→+→

（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式）

（）向量与非零向量共线（平行）有且只有一个实数，使得5b a →→

⇔λ b a →=→λ

（）平面向量基本定理（向量的分解定理），是同一平面内的两612e e →→

个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在唯一实数对，，使得a →

λλ12

a e e →=→+→λλ1122

这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的

和，叫做向量，的线性组合。，叫做表示这一平面内λλ11221212e e e e e e →+→→→→→

所有向量的一组基底。

注：①基底不唯一，关键是不共线；②基底给定，分解形式唯一⎧⎨

⎩

［练习］

1.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，ABCD M AB a AD b →=→→=→

用，表示，，和a b MA MB MC MD →→→→→→

解：在平行四边形ABCD 中

∵，AC a b DB a b →=→+→→=→-→

∴MA AC a b a b

→=-→=-→+→=-→-→12121212()

∴MB DB a b a b

→=→=→-→=→-→12121212()

MC AC a b a b

→=→=→+→=→+→12121212() MD BD DB a b a b

→=→=-→=-→-→=-→+→1212121212() 21.设，不共线，点在上，求证：·且，OA OB P AB OP OA OB →→→=→+→

+=λμλμ

λμ，∈R

分析：∵点在上，可知与共线，得，再用以为起点P AB AP AB AP t AB O →→→→=→

的向量，表示OA OB →→

证明：∵A 、P 、B 三点共线

可知与共线，AP AB →→

则存在唯一实数t ，

使得AP t AB →=→

∴OP OA t OB OA →-→=→-→()

即，令，OP t OB t OA t t →=→+-→

==-()11μλ 则··且OP OA OB →=→+→

+=λμλμ1

注意：这是一个充分必要条件命题，可判定三点共线。

3121212.e e a e k e b k e e a b →→→=→+→→=→+→→→⇔，是不共线的向量，，，则∥

_______________

分析：∵与共线平行存在实数，使，即a b m a m b e k e →→⇔→=→→+→

()12 =→+→→→

mk e m e e e 1212，又，不共线 ∴±11

==⎧⎨⎩⇒=mk k m k

（二）向量的坐标运算

1.在直角坐标系内，分别取与轴，轴同方向的两个单位向量，作x y i j →→

为基底，则任一向量，有且只有一对实数，使得，称a x y a x i y j →→=→+→

()()()x y a a x y ，叫做向量的直角坐标，记作，——向量的坐标表示→→

=