空间向量与立体几何知识点.docx
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高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。
④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。
平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。
⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。
⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。
立体几何与空间向量知识点归纳总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则|||||,cos |sin n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d =直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C A P =A B +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z O P =O A +O B +O ++=． 7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4c o s ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p O P =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p x e y e z e =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若b ≠，则12//,,a b a b xλλλλ⇔=⇔==．()721a a a x =⋅=+ ()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=。
空间向量与立体几何
）
3 2 5 , ] 3 5
B． [
3 2 , ] 3 2
C． [
6 2 5 , ] 6 5
D． [
6 2 , ] 6 2
17．在正方体 AC1 中，直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成角的大小为____________． 18．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱长都为 1 ，则二面角 A CD B 的余弦值为（ ）
6
27． （12 分）在如图所示的空间直角坐标系 O－xyz 中，原点 O 是 BC 的中点，A 点坐标为
(
3 1 , ,0) ，D 点在平面 yoz 上，BC = 2，∠BDC = 90°，∠DCB = 30°. 2 2
（Ⅱ）求 cos AD, BC 的值.
（Ⅰ）求 D 点坐标；
28． （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， ABC PA 的中点，N 为 BC 的中点。AF⊥CD 于 F，如图建立空间直角坐标系。 （Ⅰ）求出平面 PCD 的一个法向量并证明 MN//平面 PCD； （Ⅱ）求二面角 P—CD—A 的余弦值。
A． OM OA OB OC 1 1 C． OM OA OB OC 2 3
B． OM 2OA OB OC 1 1 1 D． OM OA OB OC 3 3 3
3 5
1 5
C．
D．
7 5
13.已知空间三点 A(0, 2,3) ， B(2,1, 6) ， C (1, 1,5) ， a ( x, y,1) ，若向量 a 分别与 AB ， AC 垂直，则向量 a 的坐 标为_ . )
数学空间向量与立体几何知识点(一)
数学空间向量与立体几何知识点(一)数学空间向量与立体几何向量的定义和运算•向量的定义：向量是有方向和大小的量，用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
•向量的加法：向量的加法满足两个向量之和的大小等于这两个向量的大小之和，方向等于两个向量的方向的夹角的平分线。
•向量的减法：向量的减法等于用被减向量的终点连接减向量的起点形成的向量。
•数量积：也叫点积或内积，表示两个向量相乘后再与它们的夹角的余弦值相乘得到的数值。
•向量积：也叫叉积或外积，表示两个向量相乘后得到的向量。
空间几何的基本概念•点：空间中没有长度、宽度和高度的位置。
•线段：两个点之间的部分，具有长度。
•直线：由无数个点构成的路径，长度没有限制，无法计算。
•射线：由一条直线上的一个点出发，沿着该直线的一个方向一直延伸的部分。
•平面：由无数个点构成的一个平面区域，具有长度和宽度。
•立体：具有长度、宽度和高度的空间。
空间几何的常用定理•调和平行四边形定理：对于平行四边形ABCD，有AC/BD=AB/CD。
•平行线分线段定理：如果两条直线L1和L2平行，分别与两条交线交于点A和点B，那么由A和B引两条平行于交线的直线，得到的两个线段AB和CD互相平行且等于。
•空间三角形重心定理：在空间三角形ABC中，过A点引AD // BC，过B点引BE // AC，过C点引CF // AB，交DE和FC于点K，则有AK:KD=3:1，BK:KE=3:1和CK:KF=3:1。
•垂直平分线定理：在空间三角形ABC中，对于任意平行于BC的平面O，其交线与BC所在平面的交线为垂直平分线。
空间几何的常见应用•判断点的位置关系：通过线段的长度关系判断点是否在线段上。
•计算线段的长度：根据两个端点的坐标计算线段的长度。
•计算角的度数：通过向量的运算计算出角度的大小。
•判断线段的位置关系：通过向量的运算判断线段是否平行、垂直等。
•计算平面和曲面的面积和体积：通过向量的运算计算平面和曲面的面积和体积。
立体几何和空间向量综合知识点(高中数学)
立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。
2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。
3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。
（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。
（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。
《空间向量与立体几何》知识点
《空间向量与立体几何》知识点1.空间向量的概念：⑴在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．⑵向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．⑶向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作||AB ．⑷模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．⑸与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．⑹方向相同且模相等的向量称为相等向量．2.空间向量的加法和减法：⑴求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 起点的对角线OC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．特别地，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+. ⑵求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．3.实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4.设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5.如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6.向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7.平行于同一个平面的向量称为共面向量．8.向量共面定理：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使AP xAB yAC =+；或对空间任一定点O ，有O P O A x A B y A C =++；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=．9.已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，记作a 〈，b 〉．两个向量夹角的取值范围是：a 〈，[0b 〉∈，]π． 10.对于两个非零向量a 和b ，若a 〈，2b π〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11.已知两个非零向量a 和b ，则cos a b a 〈，b 〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos a b a b a ⋅=〈，b 〉．零向量与任何向量的数量积为0． 12.a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos b a 〈，b 〉的乘积．13.若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有：⑴cos e a a e a a ⋅=⋅=〈，e 〉；⑵0a b a b ⊥⇔⋅=；⑶()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ⑷cos a 〈，a b b a b ⋅〉=；⑸a b a b ⋅≤． 14.向量数乘积的运算律：⑴a b b a ⋅=⋅；⑵()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ⑶()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15.若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，}z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16.空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{x ，y ，}z ，使得p xa yb zc =++．17.若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{p p xa yb zc =++，x ，y ，}z R ∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的， {a ，b ，}c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18.设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =．存在有序实数组{x ，y ，}z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(p x =，y ，)z ．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x ，y ，)z ．19.设1(a x =，1y ，1)z ，2(b x =，2y ，2)z ，则⑴12(a b x x +=+，12y y +，12)z z +． ⑵12(a b x x -=-，12y y -，12)z z -.⑶1(a x λλ=，1y λ，1)z λ．⑷121212a b x x y y z z ⋅=++．⑸若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．⑹若0b ≠，则12//a b a b x x λλ⇔=⇔=，12y y λ=，12z z λ=．⑺222111a a a x y z =⋅=++．⑻cos a 〈，121212222222111222x x y y z z a bb a b x y z x y z ++⋅〉==++⋅++． ⑼1(A x ，1y ，1)z ，2(B x ，2y ，2)z ，则 ()()()222212121AB d AB x x y y z z ==-+-+-．20.在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．在空间直角坐标系中，点P 的坐标就是向量OP 的坐标.21.若点1(A x ，1y ，1)z ，2(B x ，2y ，2)z ，则：⑴线段AB 的中点C 的坐标为12(2x x +，122y y +，12)2z z +； ⑵点P 在直线AB 上，且AP AB λ=，则点P 的坐标为： 121(()OP OA AB x x x λλ=+=+-，121()y y y λ+-，121())z z z λ+-.22.直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．空间中不共线三点A 、B 、C 确定的平面ABC 的法向量有无数条，我们可以这样来求出它的一个法向量：设平面ABC 的法向量(n x =，y ，)z ，则n AB ⊥，n AC ⊥，进而可以得到关于x 、y 、z 的两个三元一次方程，对其中一个变量赋值就可以得到一个法向量n .23.若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔ ()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．24.若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=． 25.若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔ a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．26.设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a ba b θϕ⋅==．27.设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l nl n θϕ⋅==．28.设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．29.点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．30.在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为|cos d PA PA =〈，|PA nn n ⋅〉=．31.点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为|cos d PA PA =〈，|PA nn n ⋅〉=．。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
奎屯 新疆
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a( R) 运算律：⑴加法交换律： a b b a
① (a) b (a b ) a (b ) 。② a b b a （交换律） 。
③ a (b c ) a b a c （分配律） 。
④不满足乘法结合率： (a b)c a(b c)
A．2 B．
D． C． 或-2
或2
例 2、在空间直角坐标系中，点 A（1，﹣1，1）与点 B（﹣1，﹣1，﹣1）关于（
C．z 轴
B ）对称
A．x 轴
B．y 轴
D．原点
例 3、已知向量
试题分析：由题可知：
,
,且
，则
的值为
，且
，有
，即 m=5．例 4、源自知，则向量的夹角为
(
C
)
A．30°
B．45°
C．60°
cos cos n1 , n2
PQ n n
4． 点面距离 h ： 求点 P x0 , y0 到平面 的距离： 在平面 上去一点 Q x, y ， 得向量 PQ ;； 计算平面 的法向量 n ;. h
4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离
线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作
a // b 。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） ， a // b 存在实数 λ ，使 a ＝ λ b。 （3）三点共线：A、B、C 三点共线<=> AB AC <=> OC xOA yOB(其中x y 1) （4）与
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何的知识点总结
空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点第一篇：空间向量1. 空间向量的表示方法空间向量可以用有向线段、坐标和向量分量等多种方式进行表示。
其中，有向线段表示空间向量的长度、方向和起点，坐标表示空间向量的左端点和右端点的坐标，向量分量表示空间向量在三个坐标轴上的投影。
2. 空间向量的加减法空间向量的加减法与二维向量的加减法类似，可以通过将两个向量的分量逐一相加或相减得到结果向量的分量。
也可以通过平移法、三角法、正交分解等方法进行计算。
3. 空间向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积都具有几何意义和物理意义。
数量积表示两个向量之间的夹角余弦值和向量长度的乘积，通常用于计算向量的投影和求解平面或直线的方程。
向量积表示两个向量所在平行四边形的面积和法向量，通常用于计算向量的叉积、平面或直线的法向量以及计算空间中两个平面的夹角。
4. 空间向量的共线、垂直和平行空间向量的共线、垂直和平行是三种基本关系。
当两个向量共线时，它们所在直线相交或重合；当两个向量垂直时，它们的数量积为0，而向量积为一个与它们垂直的向量；当两个向量平行时，它们的向量积为0，而数量积为它们长度的乘积。
5. 应用举例空间向量广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
例如，通过计算物体的重心和质量分布情况，可以求解物体的转动惯量和稳定性问题；通过计算矢量场中的散度和旋度，可以分析流体的运动状态和变化规律；通过计算三维空间中的距离和夹角，可以在计算机图形学中进行三维模型的建模和渲染。
第二篇：立体几何1. 立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的基本几何对象和它们的性质、关系的数学分支。
它包括点、线、面、体和空间角等多个基本概念，用于描述和分析三维物体的形状、大小和位置关系。
2. 立体几何的基本公理立体几何的基本公理是欧几里得几何的扩展，是指空间中的点、线、面、体和空间角等基本几何对象应满足的性质和约束。
这些公理包括点的唯一性、直线的唯一性、平面的唯一性、线段长度的可加性、平面的无限性、等角推移原理等。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2。
空间向量的运算。
定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图）。
；；运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律:⑶数乘分配律:运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3。
共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于,记作。
(2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。
(3）三点共线:A、B、C三点共线<=〉<=〉（4）与共线的单位向量为4。
共面向量（1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2)共面向量定理:如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。
（3）四点共面:若A、B、C、P四点共面〈=〉〈=〉5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数,使。
6。
空间向量的直角坐标系：(1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。
注：①点A（x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y，—z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变,其余的分坐标均相反。
②在y轴上的点设为（0,y，0），在平面yOz中的点设为（0,y，z）(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。
空间向量与立体几何知识点
空间向量知识要点1. 空间向量的概念：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量是既有大小，又有方向的量。
（2）向量具有平移不变性 2. 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
相等向量：长度相等且方向相同的向量． 3. 空间向量的运算。
<向量加法运算>定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()()a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++<向量减法运算>⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．<向量数乘运算>⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ= ．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==baCB Aa b C C -=A -AB =B<向量的数量积>⑴ 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A a O B b == ，则A O B ∠叫做向量a与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。
3. 共线向量量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 工0 ), a // b 存在实数 入，使a = X b 。
(3) 三点共线：A B 、C 三点共线<=>AB<=>oc(4) 与a 共线的单位向量为4.共面向量(1)定义: 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2) 共面向量定理：如果两个向量ad 不共线，p 与向量a,b 共面的条件r是存在实数x,y 使p xa yb 。
(3) 四点共面：若A 、B C 、P 四点共面<=>AP xAB yAC<=> OP xOA yOB zOC(其中 x y z 1)r5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量2. (2)向量具有平移不变性 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、 uuuuuruuu rv uun LLW LUU rOB OA ABa b ； BA OA OB a运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(a b) c a (b c) ⑶数乘分配律：(a b) a b 减法与数乘运算如下(如ruuur运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 平行六面体法则 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合，那么这些向ACxOA yOE （其中（yap，存在一个唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。
「若三向量a,b)c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
③（分配律）。
④不满足乘法结合率：
二．空间向量与立体几何
1．线线平行两线的方向向量平行
1—1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直
1-2面面平行两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面)两线的方向向量垂直
2—1线面垂直线与面的法向量平行
2-2面面垂直两面的法向量垂直
3线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：（移项,内积为0，则垂直)
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若，，
则，
(5）夹角公式:。
ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角,钝角Δ
（6)两点间的距离公式：若，,
则,
或
7。空间向量的数量积.
5.解：
所以，。
(1)；
（2）。
；
（3）。
2.解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
(2）解：∵,又∵，
∴。
所以，平面平面。
3.
解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∴,
。
.
4.分析:⑴
∴∠BAC＝60°,
⑵设＝（x，y，z）,则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1,1）或＝（－1,－1，－1）.
⑵加法结合律:
⑶数乘分配律：
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
3。共线向量.
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
空间向量与立体几何知识点归纳总结.docx
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b ; BA OA OB a b; O Pa (R )运算律：⑴加法交换律： a b b a⑵加法结合律：( a b ) ca( b c )⑶数乘分配律： ( a b )a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。
（3）三点共线：A、 B、C 三点共线 <=> AB AC<=> OC xOA yOB(其中x y 1)a（4）与a共线的单位向量为a4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量a , b不共线，p与向量a , b共面的条件是存在实数x , y 使p xa yb 。
（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面 <=> AP x AB y AC<=> OP x OA y OB zOC (其中 x y z 1)5.空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组 x , y, z ，使pxa yb zc 。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设 O , A, B , C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x , y , z ，使 O PxO A yO BzO C 。
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立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a ba b a b ⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b⋅=⇔⊥．（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，故实质上应有：cos cos ,a b θ=<>．（2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法．4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a对应的有向线段的起点是A，终点是B，则向量a可以记为AB，其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的方向不确定，是任意的．由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常用到．5、相等向量长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a与向量b相等，记为a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a的相反向量记为－a二、共面向量1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量．2、共面向量定理若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在+。
实数对x、y,使得p=xa yb3、空间平面的表达式空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使=+或对空间任一定点O,有MP xMA yMB=++（其中或OP xOA yOB zOM++=）这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件．1x y z三、空间向量基本定理1、定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa yb +zc +2、注意以下问题（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面。
那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底。
a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．3、向量的坐标表示（1）单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k 表示．（2）空间直角坐标系 在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k 以点O 为原点，分别以i 、j 、k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐标系O －xyz,点O 叫原点，向量i 、j 、k 都叫坐标向量．（3）空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设i 、j 、k 为坐标向量，存在唯一有序数组（x ，y ，z ）使a xi y j zk =++，有序数组（x ，y ，z ）叫做a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记为a =(),,x y z 。
对坐标系中任一点A ，对应一个向量OA ，则OA =a xi y j zk =++。
在单位正交基底i 、j 、k 中与向量OA 对应的有序实数组（x ，y ，z ），叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ）.四、空间向量的运算1、空间向量的加法三角形法则（注意首尾相连）、平行四边形法则，加法的运算律：交换律 a b b a +=+结合律 ()()a b c a b c ++=++2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-，即从b 的终点指向a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．3、空间向量的数乘运算（1）定义实数λ与a 的积是一个向量，记为a λ，它的模与方向规定如下：① a a λλ=⋅ ② 当0λ>时，a λ与a 同向；当0λ<时，a λ与a 异向；当0λ=时．0a λ= 注意：① 关于实数与空间向量的积a λ的理解：我们可以把a 的模扩大（当λ>1时），也可以缩小（λ< 1 时），同时，我们可以不改变向量a 的方向（当0λ>时），也可以改变向量a 的方向（当0λ<时）。
.② 注意实数与向量的积的特殊情况，当0λ=时，0a λ=；当0λ≠，若0a =时，有0a λ=。
③ 注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．比如a λ+，a λ-无法运算。
（2）实数与空间向量的积满足的运算律设λ、μ是实数，则有()()a a λμλμ= （结合律）()a a a λμλμ+=+ （第一分配律）()a b a b λλλ+=+ （第二分配律）实数与向量的积也叫数乘向量．4、共线向量（1）共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。
若a 与b 是共线向量，则记为a //b 。
注意：零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量定理对空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb（3）空间直线的向量表示式如果直线 l 是经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点 O ，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式=+OP OA ta ，其中向量a 叫做直线 l 的方向向量．注意：①若在 l 上取AB a =，则有(),(1)OP OA t AB OP OA t OB OA t OA tOB =+∴=+-=-+ ②上式可解决三点P 、A 、B 共线问题的表示或判定． ③当12t =时，1122OP OA OB =+，点P 为AB 的中点，这是中点公式的向量表达式．④ 若P 分AB 所成比为λ，则111OP OA OB λλλ=+++5、空间直角坐标系在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴正半轴沿逆时针方向转 900能与 y 轴的正半轴重合。
让右手拇指指向 x 轴正方向．食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。
一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系．在平面上画空间直角坐标系 O －xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。
空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，是空间向量模长公式的推广，如果知道儿何体上任意两点的坐标．我们就可直接套用．设11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，则12PP = 特别地，P 1（x,y,z ）到原点的距离222z y x |OP |++=6、空间向量的数量积运算其中→→→→><b a b ,a 与为的夹角，范围是[0，π]，注意数量积的性质和运算律。