第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020

第二类曲线积分的计算 定义

设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对

AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中

A =n M

B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i n

i S T ∆=≤≤,

又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记

11,

---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .

在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

∑=→∆n

i i

i

i

T x

P 1

),(lim

ηξ∑=→∆+n

i i

i

i

T y

Q 1

),(lim

ηξ

存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

也可记作

⎰⎰+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=

则上述记号可写成向量形

式:⎰⋅L

s d F .

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有

向曲线L 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L

),,(),,(),,(++⎰

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对

二类曲线积分有 ⎰

⎰

-=BA

AB

,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段

时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分 ⎰++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

与第一类曲线积分的区别

首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是

20

1

(,)lim (,)n

i i i

l

i f x y ds s λξη→==∆∑⎰

第二类曲线积分就是

1

(,)(,)lim (,)(,)n

i

i

i

i

i

i

l

i P x y dx Q x y dy P x Q y λ

ξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）

这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的s i ，s i 是一小段弧的弧长，s i 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y 坐标的增量x i =x i −x i−1，y i =y i −y i−1，x i 与y i 是可正可负的。当积分的路径反向时，s i 不变，而x i 与y i 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。 设曲线的参数方程为{

x =x(t)

y =y(t)

α≤t ≤β

则第一类曲线积分的计算公式为

ds ===

这里要注意α≤β，即对t的定积分中，下限比上限小时才有dt>0，也就有

|dt|=dt，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限α对应曲线积分的起点A，他的上限β对应曲线积分的起点A，t的上限β对应终点B。

历年真题

1、设曲线L:f(x,y)=1，f(x,y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是

(A)∫f(x,y)dx

Γ (B)∫f(x,y)dy

Γ

(C)∫f(x,y)ds

Γ (D)∫f x′(x,y)dx

Γ

+f y′(x,y)dy

(2007，数一，4分)

【解析】

设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，则有题设可知

∫f(x,y)dx Γ=∫dx

Γ

=x2−x1>0

∫f(x,y)dy Γ=∫dy

Γ

=y2−y1<0

∫f(x,y)ds Γ=∫ds

Γ

>0

∫f x′(x,y)dx Γ+f y′(x,y)dy=∫0dx

Γ

+0dy=0

答案为B。

2、计算曲线积分∫sin2xdx+2(x2−1)ydy

L

，其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(π,0)的一段。