第四章作业参考答案

2
4
0
2 ,T0
1, c4
1 4
e j / 4 , c4
1 4
e
j
/
4
,
c5
1 2
e j / 4 , c5
1 e j / 4 , 2
c6
1 4
e
j
/
4
,
c6
1 4
e
j
/
4
,
其他ck
0.
h).
x(t)
x1 (t )
x2
(t)
sin
2t
1
1
t
1
0
t t
2
1
1 2j
e j 2t e j 2t
20
20
21
1 2 e jk0t dt 1 1te jk0t dt
20
20
0
1 2
te jkt
jk
|10
1
jk
1 0
e
jkt
dt
1 2
(1)k
jk
e jkt
k 2 2
|10
1 2
(1)k
jk
[(1)k
k 2
2
1]
(1)k
2 jk
(1)k 1
2k 2 2
ck
1 (k
k 2
(4
2
k
2
)
,
k为奇数
0, k偶数
m). 0 / 3,T0 6
1 x 0(t)
令周期方脉冲 x 0(t)：
-6 -3 -1/2 0 1/2 3 6 t
则：x(t) x1(t) x2 (t) x0 (t 3 / 2) x0 (t 3 / 2)
取x0(t)的一个周期
~x (t
第四章作业参考答案 P162.
• 4.1解：a).
x(t)
e j100t ,0
100,T
2
100
50 , c1
1, ck
0, k
1
x(t) e j100t
b).
cos[
(t
1)
/
4]
1
[e
j (t 1) 4
e
j (t 1)
4]
2
j
j
0
4
,T
8, c1
e4 2
, c1
e
4
2
, ck
0, k
4.23求图P4.23所示函数的傅立叶的反变换。
X ()
X ()
c
c
arg X ()
c
c
解：1.
c
c
arg X ()
c
c
X ()
X
(
)
earg
X
(
G ) 2c
(
)
G2c ()e jt0
x(t )
F
1 X
( )
c
sin
cc (t
t0 )
解：2.
X ()
1
c
c
arg X ()
1
c
k k
k 1 k
0 ,T0 2.
g).
x(t) (1 cos 2t) cos(10t ) 1 1 (e j2t e j2t ) 1 (e j(10t / 4) e ) j(10t / 4)
42
2
1 (e j(10t / 4) e j(10t / 4) ) 1 (e j(2 10t / 4) e j(8t / 4) e j(8t / 4) e j(12t / 4) )
T0
1
2
sin
te jkt / 2dt
1
1
2 (e jt e jt )e jkt / 2dt
40
4 2j 0
1 (e 2 j (2t ) / 2 e j (2t ) )dt 8j 0
1 8j
2
j (2 k )
e j (2t ) / 2
|02
j
2 (2
k)
e
j ( 2t ) / 2
取x0(t)的一个周期
~x (t
)
1
| t | 1 2
0, 其他t
则：
~x (t 1/ 2) X~ ()e j / 2 , ~x (t 3 / 2) X~ ()e j3/ 2
c1k
2 X~ (k0 )e jk0 / 2
T0
2e jk / 4 4
sin
c(k
/ 4)
e jk / 4 sin( k / 4) 2e jk / 4 sin( k / 4)
6 k / 6
k
c1k
X~ (k0 )e jk0 3/ 2
T0
e jk / 2 sin( k / 6) k
则：
ck
c1k
c2k
e jk / 2 sin( k k
/ 6) e jk / 2 sin( k k
/ 6)
sin( k / 6) (e jk / 2 e jk / 2 ) k
2 j sin( k / 6) sin k / 2 k
则fL=?，fH=?。
解：
s(t) f (t) cos 2106t
S F s(t) F () ( 2106 ) ( 2106 ) / 2
1 F ( 2 106 ) 1 F ( 2 106 )
2
2
S( )
/ 2
所以 fL=999Hz； fH=1001Hz；
10011000 999
解 : (a) y(t)=| cost |，T=π,ω=2π/T=2.
y(t)是偶函数,ck=Bk.
1 y(t)
2Bk
2 T
T /2
T /2 y(t) cos k0tdt
…
…
0
t
2 T
T /2
T /2 cos t cos k0tdt
1 T
T /2
T
/
{cos(1
2
k0
)t
cos(1
k0
)t}dt
x(t) x1(t) x2 (t)
0 / 3,T0 6
2 x 1(t)
1 x 2(t)
-6 -4 -2 0 2 4 6 t
-6 -5 -1 0 1 5 6 t
同理
c1k
X 1 (k )
T0
A1T1 T0
sin
c2 (k0T1 / 2)
2 2 sin c2 (k / 3) 2 sin c2 (k / 3)
x2 (t)
0 ,T0 2
c2k
1 T0
T0 0
x2 (t)e
jk0t dt
1 2
1 0
x2
(t )e
jk0t dt
1 2
2 1
x2
(t
)e
jk0t
dt
1
1
(1
t)e
jk0t dt
1
2 e jk0t dt
20
21
1 1 e jk0t dt 1 1te jk0t dt 1 2 e jk0t dt
)
1
| t | 1 2
0, 其他t
则： ~x (t 3 / 2) X~ ()e j3/ 2 , ~x (t 3 / 2) X~ ()e j3/ 2
c1k
X~ (k0 )e jk0 3/ 2
T0
e jk / 2 6
sin c(k
/ 6)
同理：
e jk / 2 sin( k / 6) e jk / 2 sin( k / 6)
1 T0
T0 / 2 te jk0t dt
T0 / 2
1 T0
te jk0t
jk0
|11
1
jk0
1
e
1
j
k0t
dt
(1)k
2 jk
[11]
e jk0t 2
|11
(1)k
jk
0;
ck
j(1)k
k
,k
1,2.c0
1 T0
T0 / 2 tdt 0.
T0 / 2
x(t) 1 j(1)k e jkt j(1)k e jkt
1.
c). cos 4t sin 8t 1 [e j4t e j4t ] 1 [e j8t e j8t ]
2
2j
0
4,T
2
, c1
c1
1 2
,
c2
2
1 j
,
c2
1 2j
, ck
0, k
1,2.
d). 类似c)的做法。。。。。 略
e).
1
ck T0
T0 / 2 et e jk0t dt
kHz
999 1000 1001
例2、如图所示的系统中 cos0t 是自激振荡器，
理想低通滤波器为
2e j 2 / 3
sin(
k
/ 3))
c0
1 T0
x(t)dt 1 1 3 2 1
T0
32
k).
x(t) x1 (t) x2 (t),
x1(t) (t 2k ), x2 (t) 2 (t (2k 1))
k
k
0 ,T0 2
c1k
1 T0
x(t )e jk0t dt
1))T1X/
2)
()
2
j sin c(T1 / 2)) e j( ) sin c(( X1() G()
/ 2 /2)T1
/
2)
je j ( sin(( )T1 / 2) sin(( )T1 / 2) )
2
( )T1 / 2
( )T1 / 2
来自百度文库
ck
X (k0 )
T0
je j 2
2Bk
1
2sin(1 2k) 1 2k
/2
2sin(1 2k) 1 2k
/ 2
2(1)k 1 1
1 {2sin(1 k0 )T / 2 2sin(1 k0 )T / 2}
T
1 k0
1 k0
1 2k 4(1)k (1 4k 2 )
1 2k
ck
2(1)k (1 4k 2 )
2j
2)
1 (k
2j
2)
(1)k
2 jk
(1)k 1
2k 2 2
1
1
2 jk
1
k 2 2
,
(k 2) 1 (k 2)
k为奇数 1 ， k为偶数, k 0
2 j
2j
2 jk
c0
1 T0
T0 / 2
x(t )dt
1{
1
(1 t)dt
2
dt}
3.
T0 / 2
20
1
4
i).
c
1
X
()
Gc
(
c
/
2)
e
j
/
G 2 c
(
c
/
2)
Gc
(
c
/
2)
e
j
/
G 2 c
(
c
/
2)
Gc ( c / 2)e j / 2 Gc ( c / 2)e j / 2
x(t) F 1
X ()
c 2
sin
c
ct
/
2
e e jct / 2 j
/2
c 2
sin
c
ct
/
2
e
j2
sin(
k
/ 6)
k
sin
k
/
2
,
k为奇数
0， k为偶数
j(cos(
2k
/ 3)
k
cos
k
/
3)
,
k为奇数
0， k为偶数
n). 0 / 2,T0 4
1 x 0(t)
令周期方脉冲 x 0(t)：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t
则：x(t) x1(t) x2 (t) 2x0 (t 1/ 2) x0 (t 3 / 2)
/2
sin(( k (k
/ 2
2)
))
sin(( k (k
/2
2)
))
je j 2
/2
sin( k / 2) (k 2)
sin( k (k
/ 2) 2)
je j / 2 sin( k / 2) (4 k 2 )
je j / 2 sin( k (4 k 2 )
/
2)
,
0, k 2
6
3
c2k
X 2 (k)
T0
A2T2 T0
sin
c2 (k0T2
/ 2)
11 sin c2 (k / 6) 1 sin c2 (k / 6)
6
6
ck
c1k
c2k
2 sin 3
c2 (k
/ 3)
1 sin 6
c2 (k
/ 6)
6 2k
2
sin 2 k / 3 sin 2 k / 6
6 2k 2
2 k / 4
k
同理：
c2k
X~ (k0 )e jk0 3/ 2
T0
e jk 3/ 4 sin( k / 4)
k
则：
ck
c1k
c2k
2e jk / 4 sin( k k
/ 4)
e jk 3/ 4 sin( k k
/ 4)
sin( k / 4) (2e jk / 4 e jk 3/ 4 ) k
e jct / 2 j
/2
c 2
sin
c
ct
/
2
e e j(ct / 2 / 2)
j(ct / 2 / 2)
c 2
2
ct
sin ct
/ 2cos(ct
/2
/ 2)
2
t
sin
2
ct
/
2
例1、某低频信号f(t)的最高频率分量为fm=1kHz，该信号经
cos2 10 6调t制后的信号g(t)占据频率范围为fL≤fg≤fH，
T0
1 1 (t)e jkt dt 1
2 1
2
同理
c2k
1 T0
T0 x2 (t )e jk0t dt
1 1 2 (t 1)e jkt dt e jk (1)k
2 1
从而：
ck
c1k
c2k
1 2
(1)k , k
0,1,2
l ) 0 / 2,T0 4
ck
1 T0
x(t )e jk0t dt
|02
1 2((1)k 1)
8
j
j (2 k )
2((1)k 1)
j (2 k )
(4
2
k
2
)
k奇数
0, k为偶数
另解：
0 / 2,T0 4
X () X1() (e jG()) / 2
j ( ( ) ( )) (e
令 x(jtxe)1(jt()x1(t)s)isnGin2Tct1,((则 (t
sin(
k
/
2) sin(
k
/
6),
k为奇数, c0
0，k为偶数
1 2
j). 0 2 / 3,T0 3
ck
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
1
0 (t 2)e jk 2t / 3dt
1
(2t
2)e
jk 2t
/ 3dt
3 2
0
3j
2 2k 2
(e j 2 / 3
sin(
k 2
/ 3)
1 (2 e jk / 2 e jk ), k 1,2
j 2k
c0 0.
4.2在全波整流电路中，如输入交流电压x(t)，则输出电压y(t)=|x(t)|.
(a)当 x(t)=cost,概略地画出输出y(t)的波形并求傅里叶系数。
(b)输入信号中直流分量振幅为多少，输出信号中直流分量振幅为多少？
T0 / 2
1
T0
ete jk0t
|11
(
jk0 )
T0 / T0
2
e
/2
t
e
jk0t
dt
(1)k 2
[e
e 1 ]
(
jk0
)ck
ck
(1)k [e e1], k
2(1 jk )
0,1,2.
x(t)
(1)k [e e1]e jkt
k 2(1 jk )
0 ,T0 2.
f).
ck