【弹塑性力学】5 弹性应力应变关系汇总

0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。
• 偏应力与偏应变关系
x=2Gx +
sx+0=2G(ex
+
1 3
)+
将体应力与体应变关系代入：
sx=2Gex 同理可得：
sy=2Gey
sz=2Gez
张量形式表示为
sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形 状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。
zx - zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
-
1 2
xz
y
-
1 2
yz
-
1 2
zy
z
以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx 13个独立常数
存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同 性。 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c11y+ c13z z =c13x+ c13y+ c33z xy =0.5(c11 c12) xy yz = c55 yz
5 本构关系
5.1 弹性应力应变关系
• 5.1.1 一般表示 • 5.1.2 材料对称性 • 5.1.3 各向同性弹性体 • 5.1.4 弹性常数的测定 • 5.1.5 矩阵形式表达 • 5.1.6 弹性应变能
5.1.1 一般表示
• 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) ……. zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx)
zx = c55 zx
独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。
5.1.3 各向同性弹性体
• 广义Hooke定律
将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关 系不变，
c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到2个
x =c11x+ c12y+ c12z y =c12x+ c11y+ c12z z =c12x+ c12y+ c11z xy =0.5(c11 c12) xy yz =0.5(c11 c12) yz zx =0.5(c11 c12) zx
• 对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zx y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx
• 弹性系数cmn也应具有对称性
cmn＝cnm
5.1.2 材料对称性
• 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
x
xy
-
xz
yx y - yz
某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零 应力的主方向与应变的主方向重合
• 应变用应力表示
kk=(3+2G)kk
ij
1 2G
ij
ij 2G(3 2G
)
kk
• 体积应力与体积应变关系 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的 关系：
30=(2G+3) 式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。
令
c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame（拉梅）弹性常数
x=2Gx + y=2Gy + z=2Gz + =x + y + z 是体积应变
xy =Gxy yz = Gyz zx = Gzx
• 广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)
• 正交各向异性材料
具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c22y+ c23z z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx
各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料
• 横观各向同性材料
5.1.4 弹性常数的测定
静水压缩实验
11
22
33
1 3
kk
体积模量
K kk / 3 3 2G 2 G
kk
wk.baidu.com
3
3
• 单轴拉伸实验
x 0 0
ij
0
0
0
0 0 0
使用物理关系，有弹性模量和泊松比：
E x G(2G 3)
x
G
相反，有
y x 2(G )
系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取 有关
• 张量形式表示
ij =Cijklkl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取 决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律
• 弹性张量的对称性 （1）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl （2）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。
（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij
独立的弹性常数共有21个
• 两种表示方式之间的关系
弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11＝C1111 c12＝C1122 c13＝C1133 c14＝C1112