【弹塑性力学】5 弹性应力应变关系汇总
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具
幂函数型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为幂函数形式，适用于描述岩石等材料 的弹塑性行为。
双曲线型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为双曲线形式，适用于描述某些复合材 料的弹塑性行为。
弹塑性本构模型的选用原则
根据材料的性质选择合适的弹塑性本 构模型，以确保能够准确描述材料的 力学行为。
在选择本构模型时，需要考虑模型的 复杂性和计算效率，以便在实际工程 中得到广泛应用。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹塑性力学基础 • 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质 。
当外力卸载后，物体发生弹性恢复，但需要一定的时间才能完成。这种 现象称为弹性后效。弹性后效的大小与材料的性质、温度和加载速率等 因素有关。
03
塑性应力应变关系
塑性应力应变关系定义
塑性应力应变关系
01
描述材料在塑性变形阶段应力与应变之间的关系。
特点
02
当材料受到超过屈服点的外力时，会发生塑性变形，此时应力
【弹塑性力学】5塑性应力应变关系a【课件】
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
弹性与塑性力学应力应变关系[精]
![弹性与塑性力学应力应变关系[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/b0684f7f964bcf84b9d57b88.png)
x2G x
y2Gy z2G z
xy G xy yz G yz zx G zx
(1E )(12) Lame′常数
(2 G 3)
Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity
2 平面上的屈服轨迹：正六边形。
o
2k 2
3
1
3
3. 平面应力状态： 3 0
1 2k
122k
2 2k
在主应力次序已知时使 用方便。
当主应力次序未知时， 数学表达式不连续，使 用不便。
2
2 2k
122k
1 2k
12k 0
2 2k
3
1 x 1 62123
x
y2 c3 oo0 s 3 c3 oo0 s
3
y 2223
体积应变与三个主应力的和成正比。
3K
3(1E2)0 体积应变与平均应力成正比。
03(1 E2)K
k E
3(1 2)
体积弹性模量
Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity
xE 1xyz
yE 1yzx zE 1zxy
§3–3 弹性应力应变关系——广义虎克定律
一、单拉下的应力--应变关系
y
x
x
x
E
y Ex z Ex
ij0(i,jx,y),z
E：弹性模量
z
x
：泊松比
二、纯剪的应力--应变关系
y
xy
xy
G
i 0(ix,y),z
G
弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
第五节塑性成形时应力应变关系-2013年编辑
21
由于加载路线不同，同一种应力状态可以对
应不同的应变状态; 而且应力与应变主轴不一定重合。
同一种应变状态，也可以对应几种应力状态，
因此，一般情况下只能建立起应力和应变增 量之间的关系，仅在简单加载的条件下，应力主
轴与应变主轴重合，才可以建立全量关系。
22
τ D B I
初始屈服轨迹
F ( f , f )
及
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
应 力 应 变 关 系
上式表明：应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成 正比。
13
弹性变形时的应力应变关系的特点
20
清是哪条路径下的σ-ε关系。
加载路线A→C，应力为σc ，而应变为ε1=εc ， ε2=ε3 = -εc/2。 若卸载至E点，由于塑性变形不可逆，E点应变仍然为C 点应变，再施加切应力E→F，此时应力为σF、τF，而F 点应变仍然为C点应变，因此，F点C点应变状态相同(即 ε1=εc，ε2=ε3=-εc/2。)，而应力不同，不一一对应。
§应力与应变完全成线性关系。 §应力主轴与全量应变主轴重合
§弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变 之间存在统一的单值关系.
§弹性变形时，应力张量使物体产 生体积变化，泊松比小于0.5.
1 2 m m 0,即： 1 2 0， 0.5 E
14
5.2
同理
'
y
1 ' y 2G
' ij
'
z
1 ' z 2G
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
弹性与塑性应力应变关系
02
弹性应力应变关系
弹性应力应变定义
弹性应力
物体受到外力作用时，在内部产生的抵抗 力量。
弹性应变
物体在弹性应力作用下发生的形状变化。
弹性阶段
在弹性应力范围内，物体的应力和应变呈 线性关系，即应力与应变成正比。
胡克定律
胡克定律表述：在弹性范围内，物体的应力和应变满足线性关系，即应 力=弹性模量×应变。
多尺度与跨学科 研究
未来研究可以进一步探索不 同尺度下材料的应力应变行 为，从微观到宏观，深入了 解材料的内在机制。此外， 跨学科的研究方法将有助于 更全面地理解材料的力学性 能，推动相关领域的发展。
实验与数值模拟 的结合
结合实验与数值模拟的方法 ，可以更准确地预测材料的 应力应变行为。通过建立更 精确的数学模型和实验装置 ，可以进一步揭示材料的力 学特性，为工程应用提供更 有力的支持。
应变软化
在某些情况下，随着应变的增加，材 料的屈服强度和极限强度会降低，表 现出应变软化的现象。这种现象通常 出现在高温或长时间变形条件下。
05
实际应用
工程材料选择
弹性材料
在工程中，选择具有高弹性模量和良好稳定性的材料，以确保结构在承受载荷 时具有足够的刚度和稳定性。
塑性材料
对于需要承受较大塑性变形的结构，应选择具有良好塑性和韧性的材料，以避 免脆性断裂和灾难性失效。
应用领域
弹性与塑性应力应变关系在工程 领域中具有广泛的应用价值，如 结构分析、材料设计、机械零件 的强度校核等。了解材料的应力 应变关系有助于合理设计构件， 提高结构的稳定性和安全性。
对未来的展望
新材料与新技术 的应用
随着科技的发展，新型材料 和先进技术的应用将进一步 拓展弹性与塑性应力应变关 系的研究领域。例如，智能 材料、纳米材料等新型材料 的出现，将为该领域的研究 提供更多可能性。
(完整word版)弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习,对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界)，弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力,以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量.求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时,如果考虑所有各方面的因素,则导出的方程非常复杂,实际上不可能求解.因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的.就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满,不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量,例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示.(2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形.而且,材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的.就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变.（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的.（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
工程弹塑性力学-浙大-05
e e1 e2 e3
例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0
e1
1.5l0 l0 l0
0.5;
e2
1.8l0 1.5l0 1.5l0
0.2;
e2
2l0 1.8l0 1.8l0
0.11;
e 2l0 l0 1.0。
l0
e e1 e2 e3
5.3 应变的表示法
• 工程应变与自然应变的关系：
• 一般应力-应变曲线： s =Ee ， e < es (屈服前：线弹性) s =(e) ，e > es (屈服后)
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型 （软钢或强化率较低的材料）
s
加载: s ds 0, e s / E signs
ss
为一个大于或
等于零的参数
卸载: s ds 0, de ds / E
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学院
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 基本实验资料 5.2 应力－应变的简化模型 5.3 应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响
5.1 基本实验资料
拉伸试验和静水压力试验是塑性力学 中的两个基本试验，塑性应力应变关 系的建立是以这些实验资料为基础。
E
O
es
| s | s s ,
e s /E
符号函
数: 1, s 0
e
sign s
0,
s 0
1, s 0
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型
用应变表示的加载准则：
s
加载: s de 0, s s s sign e
弹塑性力学与有限元-屈服总则和弹塑性应力-应变关系
静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏 量应力或其不变量表示：
f(S1，S2，S3) 0 f(J1，J2，J3) 0 f(J2，J3) 0 (6.4)
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间
为讨论方便，在此引入应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力 为坐标轴的空间。显然应力空间是一个六维空间，空间中的每一个点 都代表一个应力状态，应力的变化在应力空间中将会给出一条曲线， 称为应力路径，根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶 段进入塑性阶段的各个界限，即屈服点。把这些点连接起来就形成了 一个曲面（超曲面）称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称 为屈服函数或屈服条件。对于各向同性材料，屈服条件不应与坐标轴 的选取有关，因此屈服条件可以在主应力空间中表示.
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间 L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。
其方程为 s1 s2 s3 显然，
L直线上的点代表物体中承受静 水应力的点的状态，这样的应力 状态将不产生塑性变形。
s1
s3
L直线
s2
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 屈服曲线的方程
屈服曲面是一个等截面
柱面，其母线平行于L直线
，并且此柱面垂直于π平面 。屈服曲线：屈服曲面与π 平面相交所得的一条封闭曲 线，或称屈服轨迹。
屈服曲面
s 3 L(s1 s 2 s3)
平面
屈服曲线
o
s2
弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系
A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成
体积分。
S Fiui dS S ( ijui )n j dS V ( jiui ), j dV
上式代入外力功增量
A ( fi ji, j )ui dV jiui, j dV ijijdV WdVU
弹性主轴
x3 为弹性主轴或材料主轴， 并取另一坐标系 x’i
， 且 x’1
= x1， x’2=x2， x’3=-x3。
4
在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为 13 个独立系数。
Qi’j
x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3
代入
x1
1 0 0 1
x2
0 0 0 -1
x3
0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
2
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
得
x ' x1 ， x ' x 2
1
3 1
，
x ' x3
3
，
x ' x ' x1 x 2
1 2
x ' x ' x3 x1 ， x ' x ' x3 x 2
3 2
应变分量具有相同关系式。
[C]
为对称矩阵
[C]= [C]T。
最后 Eijkl 的独立系数为 21 个——材料为各向异性线弹性材料。 *对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生 剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化 [C] 中系数。 2.2 具有一个弹性对称面的材料 若物体内各点都有这样一个平面， 对此平面对称方向其弹性性质相同，则 称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面 的方向称为弹性主轴。 如取弹性对称面为 x1 —x2 面， x1 x3’ x2 x3
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。
在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。
对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。
这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。
2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。
工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。
在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。
屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。
习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。
对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。
在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。
如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
弹性与塑性应力应变关系
分析式（3-9），该式中只包括了材料常数 和 ，故不能描述应力应变曲线旳全部特征；又因为在 处解析体现式有变化，给详细计算带来一定困难。 该力学模型抓住了韧性材料旳主要特征，因而与实际情况符合得很好。
2、(双)线性强化弹塑性模型（图b）
1/1/2023周书敬
a. 理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前旳弹性变形，而不考虑硬化旳材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增长可连续产生塑性变形。 b. 弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前旳弹性变形，又要考虑加工硬化旳材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增长，也即在加载条件下才干连续产生塑性变形。 4、刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前旳弹性变形。 这
1/1/2023周书敬
第三节 广义胡克定律
这里研究旳是复杂应力状态下旳弹性本构方程。
对各向同性均匀材料，其广义胡克定律为：
1/1/2023周书敬
其中，E为弹性模量（modulus of elasticity）
G为剪切弹性模量(Shear modulus of elasticity)
1/1/2023周书敬
在弹性变形阶段，把应力与应变之间看成是一种线性关系。
1、理想弹性塑性（材料）模型（见图a）
当材料进入塑性状态后，若不考虑材料旳强化性质，则可得到理想弹塑性模型。这里旳强化指旳是当材料在经过塑性形变后，于第二次加载时旳弹性极限提升了。
1/1/2023周书敬
1/1/2023周书敬
一般以为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间旳残余应力引起旳。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。 理想包辛格效应：若一种方向屈服极限提升旳数值和相反方向屈服极限降低旳数值相等，则称为理想包辛格效应。 包辛格效应旳数学描述比较复杂，因而在塑性力学中，对这一效应旳数学描述经常要进行相应旳简化。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解
cos
s2
2 3
i
cos
120
s3
2 3
de2p de3p
s1
s2
s3
d
p i
cos d p
d
p i
cos
d p
120
d
p i
cos
d p
240
2 3
i
cos
2 3
i
cos
120
2 3
i
cos
240
de1p
de2p
de3p
3
d
p i
d
s1
s2
s3 2 i
➢ 若用纯剪时的屈服极限确定常数，则在单 向拉伸时两种屈服条件相差最大，用Mises 条 件 所 确 定 的 最 大 拉 应 力 比 用 Tresca 条 件 所确定的最大拉应力小13.4%。
3－5 塑性应力应变关系
➢ 在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应 变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
1
2
2
2
3
2
3
1
2
2
2 s
或 ( x y )2 ( y z )2 ( z x )2
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)
2
2 s
或 i s
其中
i
3 2
0
3J2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
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（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij
独立的弹性常数共有21个
• 两种表示方式之间的关系
弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11＝C1111 c12＝C1122 c13＝C1133 c14＝C1112
• 对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zx y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx
zx = c55 zx
独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。
5.1.3 各向同性弹性体
• 广义Hooke定律
将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关 系不变，
c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到2个
x =c11x+ c12y+ c12z y =c12x+ c11y+ c12z z =c12x+ c12y+ c11z xy =0.5(c11 c12) xy yz =0.5(c11 c12) yz zx =0.5(c11 c12) zx
0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。
• 偏应力与偏应变关系
x=2Gx +
sx+0=2G(ex
+
1 3
)+
将体应力与体应变关系代入：
sx=2Gex 同理可得：
sy=2Gey
sz=2Gez
张量形式Байду номын сангаас示为
sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形 状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。
存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同 性。 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c11y+ c13z z =c13x+ c13y+ c33z xy =0.5(c11 c12) xy yz = c55 yz
zx - zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
-
1 2
xz
y
-
1 2
yz
-
1 2
zy
z
以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx 13个独立常数
5 本构关系
5.1 弹性应力应变关系
• 5.1.1 一般表示 • 5.1.2 材料对称性 • 5.1.3 各向同性弹性体 • 5.1.4 弹性常数的测定 • 5.1.5 矩阵形式表达 • 5.1.6 弹性应变能
5.1.1 一般表示
• 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) ……. zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx)
5.1.4 弹性常数的测定
静水压缩实验
11
22
33
1 3
kk
体积模量
K kk / 3 3 2G 2 G
kk
3
3
• 单轴拉伸实验
x 0 0
ij
0
0
0
0 0 0
使用物理关系，有弹性模量和泊松比：
E x G(2G 3)
x
G
相反，有
y x 2(G )
• 正交各向异性材料
具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c22y+ c23z z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx
各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料
• 横观各向同性材料
系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取 有关
• 张量形式表示
ij =Cijklkl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取 决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律
• 弹性张量的对称性 （1）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl （2）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。
某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零 应力的主方向与应变的主方向重合
• 应变用应力表示
kk=(3+2G)kk
ij
1 2G
ij
ij 2G(3 2G
)
kk
• 体积应力与体积应变关系 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的 关系：
30=(2G+3) 式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。
令
c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame（拉梅）弹性常数
x=2Gx + y=2Gy + z=2Gz + =x + y + z 是体积应变
xy =Gxy yz = Gyz zx = Gzx
• 广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)
• 弹性系数cmn也应具有对称性
cmn＝cnm
5.1.2 材料对称性
• 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
x
xy
-
xz
yx y - yz