厦门大学数理经济学期末试题

+1 = ( + 1 − ζ − B)+1 = ( + 1 − ζ − B)B
1
1
1
∴ ∙ ⁡ ( + 1 − B)−2⁡ ∙ B −2⁡ ( + 1 − ζ) = ( + 1 − B)−2⁡
1
∴ ∙ B −2⁡ ( + 1 − ζ) = 1⁡ ∴
1
√
=
1
(+1−ζ)
2
=


2(−)2 +4BT−BT
2
=
2(−)2 +3BT
2
由于 T 与 B 均是正常数
∴ 2(1 + 2 ) − ≥ 0
这表明二阶条件
∂2 H
∂u2
≥0
符合二阶条件
∴ 求出的解是符合题意的
综上，λ = −
−B
1
(2 + 2 )2
, u=


, x=


六、假设消费者具有无限生命期，效用函数 U( )=√ 贴现因子为。生产函数为 AK 形式，

- limt→0 *()exp⁡,− ∫0 (() − ) -+

题设得 limt→∞ *()exp⁡,− ∫0 (() − ) -+ = 0
∴ 左边 = 0 − a(0) = −a(0)
∞

∞
1

而右边=∫0 ( − ) ∙ ( ∫0 ( − r) ) = ∫0 ( − )exp⁡,−( ∫0 () − )-
̇λ = 3 − 3 λ
2
2
2
1
2
−
3)
2
而(A-λI) = 0⁡⁡⁡ ∴ λ1,2 = ±√3
x(t) = 1 √3 + 2 −√3
∴{
λ(t) = (2√3 − 3)1 √3 − (2√3 + 3)2 −√3
将横截性条件与可行性条件代入上式
{
x(1) = 2
λ(5) = 0
η
⁡
∙ λ1+2 ∙ 2+2 (1+2 + 2+2 )1−η = λ2+1 代入
可行性条件：̇ = + , (1) = 2
横截性条件：λ(5) = 0
二阶条件：
∂2 H
∂u2
= −2 ≤ 0
符合二阶条件，下面求解。
1
由欧拉方程和最优性条件可得 λ̇ = 3x − 3u , u= ( + λ)
2
分别代入欧拉方程和可行性条件
3
1
3
̇ = + λ
2
2
∴{
即系数矩阵A = (23


1
令̅ () = ∫0 ()

∞
∴ 右边 = ∫0 ( − )exp⁡(−( ̅ − ))
∞
∴ −a(0) = ∫0 ( − ) ∙ −(̅ −)
∞
∞
∴ ∫0 ∙ −(̅ −) = ∫0 ∙ −(̅ −) + (0)
表示该系统鞍点稳定
②在点（ 0.25，0.5）处：
2
J E
1
1
2


2 y 0.25,0.5 1
tr ( J E ) 3
1

1
det( J E ) 1
tr ( J E ) 4 det( J E ) 5 0
2
tr ( J E ) 3 0
表示有两个不相等的实数根
det( J E ) 1 0
表示该系统节点不稳定
二、求解微分方程


= ∙ max*, + − ( + )
k(0)=0 给定，其中 s, a, b, n 和 为正常数
解：
1、 当 ak<b 时，即k <
∴



时，（a>0）
= − ( + )

wk.baidu.com

= , − ( + )-
∴ k = ,−(+)- ∙
当 t=0 时，k = 0
∴ = 0
∴ k = 0 ∙ exp⁡,sa − ( + )-
三、对于方程 ̇ () = () + ()() − () − ()

证明：在limt→∞ *()exp⁡,− ∫0 (() − ) -+ = 0 的条件下，有下面的方程成立。
4
2
①在点（0，
0）处：
2
J E
1
1
2


2 y 0,0 1
tr ( J E ) 2
1

0
det( J E ) 1
tr ( J E ) 4 det( J E ) 8 0
2
tr ( J E ) 2 0
表示有两个不相等的实数根
det( J E ) 1 0


在上式两边同乘以 exp ∫0 ( + )
∴k=

(+)
+

exp⁡,(+)-
当 t=0 时， c = 0 −
∴k=

(+)

+
,0 −(+)exp⁡,(+)-
2、 当 ak≥b 时，即k ≥
∴
∴


(+)


（a>0）
= ∙ (ak) − ( + )
利用可行性条件 (0) = 0, 得 n = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡() = ⁡⁡得 k =
∴X=
∴c=


⁡⁡而⁡u =
u
1
(1+2 )2
=




B
1
(2 + 2 )2
对于二阶条件：
1
3
1
∂2 H
1
1
2 )−⁡2
2 )−⁡2
2 )−⁡2
(1
(1
=
+

−
u(1
+

=
+

[1 − u(1 + 2 )−1 ]

在上式两边同时乘以积分因子 exp ∫0 ( − r) ,该线性方程可表示为

(a∙exp⁡,∫0 (−r)

= ( − ) ∫0 ( − r) 对上式在（0, ∞）上进行积分，


左边=,a ∙ exp⁡,∫0 ( − r) -∙∞
0 = limt→∞ *()exp⁡,− ∫0 (() − ) -+
2
1
1
而λ+1 = +1 −2⁡
2
1
1
∴ ∙ +1 −2⁡ ( + 1 − ζ) = −2⁡
而 = ( ) − +1 + (1 − ζ)
猜+1 = B 代入上式， 而( ) =
∴ = − B + (1 − ζ) = ( + 1 − ζ − B)
−η
1−η
2` (1 , 2 ) = λ1 ∙ 2 ,1
1−η
η
⁡
+ 2 -1−η
−η
1−η
1−η
∴ [λ2+1 ∙ ζ + λ1+1 ∙ 1+1 (1+1 + 2+1 )1−η ] = λ1
−η
1−η
1−η
−η
1−η
1−η
η
⁡
∙ λ1+1 ∙ 2+1 (1+1 + 2+1 )1−η = λ2
∴ 命题得证
四、求解最优控制问题
5
max ∫1 (ux − 2 − 2 )
s ∙ t:⁡⁡⁡⁡⁡̇ = + , (1) = 2
解： 定义 Hamilton 函数
H=(⁡ux − 2 − 2 )+λ(x + u)
最优性条件：
∂H
∂u
= ( − 2) + λ = 0
∂H
欧拉方程： λ̇ = − = −,(u − 2x) + λ∂x
2
∂u
2
2
1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= (1 + 2 )−⁡2 ∙
,2(1+2 )−2(1+2 )
关键只需判断2(1 + 2 ) − 符号即可(1 + 2 ≥ 1)
而u =

∴ 2 .1 +

2
2
/−
2 2 +22 −BT
∴ 原式 =
2
下面求解
由欧拉方程： λ̇ = 0 即λ 是常数
设λ = −c 代入最优性条件，得
1
u
1
(1+2 )2
=c 即u = c ∙ (1 + 2 )2
∴ 2 = 2 ∙ (1 + 2 ) ⁡ ∴ 2 =
同样得出 u 也是一个常数
2
1− 2
设 u=k
̇ = ⁡即 x = kt + n
s.t.
1−η
= (1
1
1−η
⁡
+ 2 )1−η
= + 1+1
⁡
K10 , K 20 给定
1、 利用动态规划方法推导这一问题的一阶条件。
2、 证明问题的解K1+1 = SY ，其中
1
⁡
S = (2⁡ ∙ ζ1−η⁡ + )η
解：max∑
1−η

(1 , 2 ) =
1 √3 + 2 −√3 = 2
∴{
(2√3 − 3)1 5√3 − (2√3 + 3)2 −5√3 = 0
2(7+4√3) −10√3
1 =
−9√3
−√3
(7+4√3)
+
∴{
2
2 =
−9√3
−√3
(7+4√3)
2(7+4√3) −10√3 ∙ √3 +2 −√3
综上： x(t) =
λ(t) =
+
(7+4√3) −9√3 + −√3
2(2√3+3)∙ −10√3 ∙ √3 +2 −√3
(7+4√3) −9√3 + −√3
1
u(t)= (x(t) + λ(t))
2
五、求解最优控制问题
1

min∫0 (1 + 2 )2
s ∙ t:⁡⁡⁡⁡⁡̇ = , (0) = 0, () = T, B 为正常数
−1
1−η
1−η

= (1 , 2 ), ⁡⁡⁡2+1 = ζ1
−1
1−η
1−η
+ ∙ (1+1 , 2+1 ) + λ1 [(1
1−η
1
⁡
+ 2 )1−η − − 1+1 ] +
λ2 (ζ1 − 2+1 )
∂(1 ,2 )
∂
0

1
det( J E ) 1
tr ( J E ) 2 4 det( J E ) 0
tr ( J E ) 2 0
表示有两个相等的实数根
det( J E ) 1 0
表示该系统星形结点稳定
x 2 x y
2、
2
y x y
1
1
解：当x y 0时，可得x 0, y 0或者x , y
∂
1
= 0,
2
1
−2⁡ = λ ;
∂V
∂+1
= 0 , ∙ ` +1 = λ
根据包络原理
` ( ) = λ , ` ( ) + (1 − ζ)- , ` ( ) =
1
1
∴ ∙ λ+1 , + (1 − ζ)- = λ = −2⁡
∂
∂1+1
∂
∂2+1
−η
= 0,
= λ1
= 0, ∙ ` (1+1 , 2+1 ) = λ1
= 0, ∙ ` (1+1 , 2+1 ) = λ2
−η
−η
1−η
η
⁡
η
⁡
1` (1 , 2 ) = λ2 ∙ ζ + λ1 1 ,1 + 2 -1−η
数理经济学期末试题
一. 分析下列非线性系统方程组解的存在性和稳定性
x

x 1 e
1、
2

y 3x y
解：当x y 0时，可得x 0, y 0
0
1



1 0,0 0
ex
J E
6x
tr ( J E ) 2
∴ B = 2⁡ ( + 1 − ζ)2⁡ ⁡
∴{
= , + 1 − ζ − 2⁡ ( + 1 − ζ)2⁡ -
+1 = 2⁡ ( + 1 − ζ)2⁡
七、考察问题：
max∑
1−η

−1
1−η
,⁡⁡⁡ ∈ (0,1), η > 0
⁡⁡⁡2+1 = ζ1 ⁡⁡⁡⁡ζ ∈ (0,1)
解：定义 Hamilton 函数
1
H=(1 + 2 )2 + λu
最优性条件：
∂H
∂u
=
u
1
(1+2 )2
+λ=0
∂H
欧拉方程： λ̇ = − = 0
∂x
可行性条件：̇ = , (0) = 0, () =
二阶条件：
∂2 H
∂u2
1
1
3
= (1 + 2 )−⁡2 − u(1 + 2 )−⁡2
∞
∞
∫0 (t) −(̅ ()−) = (0) + ∫0 (t) −(̅ ()−)

1
其中̅ () = ∫0 () 表示平均利率水平。

解： 将题中方程整理成为一阶线性微分方程形式


+ ( + ) = − ，其中 a, r, ω, c 都是 t 的函数，n 为常数
资本折现率为ζ，初始资本为0 .
请描述消费者最大化一生效用的选择问题，并利用动态规划方法求解。
解：
∞
max=0
√
s.t: +1 + − (1 − ζ) = ( ) =
∴ ( ) = √ + (+1 ) + λ ,( ) − − +1 + (1 − ζ) ∂V