3.5 非简谐效应(Anharmonicity)
固体物理 晶格非简谐效应
第12页/共25页
1.微观解释 (1)气体热传导
碰撞
高
放能
温
区 碰撞
吸能
气体分子
低温 区
1 3
CV
v
CV单位体积热容
---平均自由程
v 热运动平均速度
第13页/共25页
(2)晶格热传导 晶格热振动看成是“声子气体”，
高温
低
区
温
区
扩散
声子数密 度大
声子数密 度小
n
1
e kBT 1
1 3
CV
v
CV单位体积热容
T n
1
T
1
T
第15页/共25页
(2)低温时，T<<D
n
1
e
kBT
e
A T
e kBT 1
1 3
CV
v
A
e T,
CV T 3 ,
T
3e
A T
,
T 0,
实际上热导系数并不会趋向无穷大。
因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整
碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。
(2) K h 0 ---反常过程( U过程)。
第3页/共25页
qy
q1
q3
q2
qx
qy
K h q1
q3
q2
q1 q2
qx
3.7.1 热膨胀
热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。
1.物理图象
0
R
R0
假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R0附近作振动，离
2
15、非简谐效应 自由能
2、晶体热传导系数
把声子系统看成声子气体
1 k Cv v 3
(1)
如果采用德拜模型，声子的平均速度是一常数，热导系数与温度的关
系完全取决于比热和平均自由程与温度的依赖关系。
由关系式
v z
1 z
平均自由程反比于单位时间内的平均碰撞次数z 而z与声子的浓度n成正比，因此 因此
z n
第 15 页
§3.7 晶格振动的非简谐效应
Hale Waihona Puke Page 16在T→ 0时，晶体中主要激发波长很长的声子
U过程出现的几率很小 边界散射成为主要因素，因而热导系数变成晶体线度L的函数：
k
1 Cv v 3
k
1 Cv vL 3
由于低温下，
Cv T 3
所以边界散射热导系数与温度的关系为
k T3
第 23 页
§3.7 晶格振动的非简谐效应
2、考虑非简谐效应下的计算
考虑势能展式中三次方项的非简谐项的贡献，则U（r）可写为
U (r )
1 1 2 3 ( 6 ) 2 6
作代换
d 3U ( r ) ( 7 ) 3 dr r0 1 2 b ( 8 ) 1 c 6
§3.7 晶格振动的非简谐效应 一．非简谐效应
讨论晶格振动
取简谐近似
等效成相互独立的3N（N是原子数目）个简正振动 一旦一种模式（声子）被激发，它将保持不变 不把能量传递给其他模式的简正振动。 问题： 简谐近似下，把温度不相同的两晶体接触后，它们的温度不会
达到同一个温度，各自保持温度不变。这与事实不符。 温度最终达到平衡必须由晶格振动的非简谐效应解释。 固体的热传导：电子导热和声子（晶格）导热
5.4+非简谐效应
1 2!
2U R2
R0
2
R0 R
简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，但 位移的平均值为零，所以两原子间距不变，无 热膨胀现象。
（2）非简谐效应
展开式中取前三项：
U (R0
)
U
(R0 )
1 2!
2U R2
R0
2
1 3!
3U R3
lns (q)
V
U equ V
T
qs
1 2
e
1
s (q ) kBT
1
s
(q
)
lns
V
(q)
U equ
V
T
qs
qs
lns (q)
V
U equ V
T
1 V
F2 kBT lnZ
F2
kBT
qs
1 2
s (q) ln 1 e s (q) kBT
kBT
F U equ
V
qs
1 2
s (q) kBTln(1 e s (q) kBT )
P
F V
nqs
1
qs
e kBT 1
1
kBT
1
qs
kBT
1
qs
T nqs
1
T
1
T
(2)低温时，T<<D
非简谐效应-热传导
热膨胀
Kittel 书 P89
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
取近似下，可以得到固体热膨胀系数：
— 格临爱森常数 K0 — 晶格体变模量
—— 格临爱森定律
固体热膨胀系数与热容成正比：
当温度低于德拜温度时， 膨胀系数增长迅速，而在 更高的温度就增加的比较 慢。
03_07_非简谐效晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
势能在平衡位置附近的展开：
1. 晶格的热膨胀
能量升高后，由于非 简谐作用，实际势能曲线 的平衡位置向右偏离；即 晶格常数变大，发生热膨 胀。 热膨胀是一种非简谐效应
简谐近似 （抛物线）
平衡位置
实际势能
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
根据声子理论可以得到热导率:
1 cv v 3
λ-声子的平均自由程； v- 声子平均速度。 徳拜模型中: 声子平均速度为常数。 高温区：
1 1 T n-碰撞 n
低温区： 热容急剧下降（德拜）
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
声子散射的两类过程:
N过程 (Normal) 正常过程 U过程 (Umklapp) 倒逆过程 （1） N 过程， 散射前后声子都顺着热流方向，对热导无阻碍。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
散射前后声子 都在1BZ内。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动的非简谐效应之一热传导(xiugai)
两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个 声子，这可以看成是两个声子相互碰，最后变 成第三个声子。声子的这种相互作用可用下面 的物理图象来理解:一个声子的存在将在晶体 中引起周期性的弹性应变，由于非简谐项的影 响，晶体的弹性模量不是常数，而受到弹性应 变的调制，由于弹性模量的变化，将使第二个 声子受到散射而产生第三个声子.声子间的相 互作用，还必须遵守能量守恒定律和动量守恒 定律。
v 代表声子的平均速率，把(3-99)式与（3-93）
相比较，热导系数x可写成:
x 1 Cvl 3
(3-100)
上式和气体的热导系数形式上是一样的。
• (3-100)式中，声子的平均自由程L，在高温 下l T 1 ，主要由它们的碰撞过程决定。
• 计入原子间相互作用的非简谐项，可以从理论上 导出，在高温下l eB/T ，而在低温下。
把(3-94)式代入(3-95)式，则：
Q
Cvxl
dT dx
（3-96）
而自由路程l可表成: l vx
其中τ代表声子两次碰撞间相隔的时间，把上式代 入(3-96)式得：
Q
Cvx2
dT dx
（3-97）
这里应是对所有声子的平均值，由
能量均分定理可知:
2
vx
1
2
x
3
（3-98）
因此(3-97)式可表成： Q 1 Cvl dT （3-99） 3 dx
决定，在这种情形下，(3-100)式变成：
x 1 CvD 3
(3-101)
此处D是晶体的线度尺寸，是一个常数，因此这时x与温度的 关系主要决定于热容量C对温度的关系，在3.4节中已经知道 在低温下，C T 3 ，所以在低温下，品体的热传导将按T3变化。
高二物理竞赛课件：非简谐效应
非简谐效应
晶体的状态方程
简谐近似：
晶格振动可描述成一系列线性独立的谐 振子，相互不发生作用，不能交换能量， 声子一旦被激发出来，数目一直保持不 变不能传递能量，不能处于热平衡。
实际晶体：
原子间的相互作用力并非完全简谐，晶格的原子振动不能描述 成为一系列严格线性谐振子，谐振子相互间要发生作用，声子与 声子间将相互交换能量，某种频率的声子可以转换成另一种频率 的声子，经过一段时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。
晶体体积为V，对各向同性介质中的弹性波
◇对每一支振动，波矢的数值在q～q+dq的振动模式的数 目：
◇频率在ω～ ω+dω的振动模数： ◇对一q，对应3种弹性波，频率在ω～ ω+dω格波数：
模式密度： 平均能量：
热容： 对晶体中有N个原子，3N个正则频率
德拜温度：
比热特征可由德拜温度确定 比热趋于经典极限。
非简谐项是使晶格振动达到热平衡的重要原因。
晶体的状态方程
晶格的自由能与状态方程
1 热力学关系
晶体的状态方程
2 自由能
U(V)——T=0时晶格的结合能,只与晶格的体 积有关而和温度无关。
晶体的状态方程
2 自由能
求和对所有支和所有q进行 3 状态方程
假设：把布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，
即把格波看成是弹性波，且假定纵波和横波的波速相等。
近代采用两种模型的混合——杂化模型
极低温度下，比热和温度T3成比例。
爱因斯坦模型与德拜模型的比较
◇爱因斯坦模型：将晶体的所 有频支的色散关系简化为同一 条水平直线，忽略了频率较低 的声子的作用，将所有格波当 作光学波来处理。
◇德拜模型：针对长声学波。 将格波作为弹性波处理，低温 下，只有长波声子能被激发。
非简谐效应Anharmonicity
3.5 非简谐效应（Anharmonicity)一. 简谐近似的不足二. 非简谐下的解三. 绝缘体的热导率四. 晶格状态方程和热膨胀参考：黄昆书3.10 3.11 两节Kittel 8 版5.2 5.3 两节一.简谐近似的不足；非简谐项和热膨胀效应。
在简谐近似下，我们描述了晶体原子的热运动，并以此图像解释了固体热容、离子晶体的光学及介电性质。
简谐近似下的晶体，每个简正振动模将完全独立于所有其它振动模而传播，并且可以应用叠加原理，这样的晶体我们可称作简谐晶体。
但这种简谐晶体的一些性质却和实际晶体完全不同，是我们过于理想化的结果。
然而在简谐近似下，得出了一些与事实不符合的结论：1.没有热膨胀；2.力常数和弹性常数不依赖于温度和压力；3.高温时热容量是常数；4.等容热容和等压热容相等C V = C P5.声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。
或说：两个点阵波之间不发生相互作用，单个波不衰减或不随时间改变形式。
6.没有杂质和缺陷的简谐晶体的热导是无限大的。
7.对完美简谐晶体而言，红外吸收峰，Raman 和Brilouin 散射峰以及非弹性中子散射峰宽应为零。
以上结论对于实际晶体而言，没有一条是严格成立的。
原因是前几节我们在求解原子运动方程时，只考虑了势能展开项中的二次项（简谐项），此时势能曲线是对称的，温度提高，原子振动幅度加大，并未改变其平衡位置，所以不会发生热膨胀。
如果考虑到实际势能曲线的非对称性所带来的非简谐项的影响，上面的与实际晶体性质不相符的推论就都不存在了。
然而非谐项的存在将会给运动方程的求解带来很多的困难，所以我们在讨论非简谐效应时，往往更多的采用定性分析的方法，采用对简谐近似结论修订和补充的方法来适应非简谐的情况。
简谐近似,势能为抛物线，两边对称。
0a r若考虑展开式的高次项，得到的模式不再是相互独立的，此时也不能再定义独立的声子了，如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量，此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波间的相互作用，即可把高次项作为微扰来考虑，此时的声子气体就不再是理想气体若原子间的相互作用势是严格的简谐势，则声子间无相互作用，没有能量交换，若果真如此的话，那么一个晶体就不可能进入热平衡状态，由外界干扰而激发产生的声子数不会变化。
非线性效应
分类
自相位调制SPM和 交叉相位调制XPM
受激布里渊散射 SBS和受激拉曼散
射SRS
四波混频
从本质上说，任何物质都是由分子、原子等基本组成单元组成。在常温下，这些基本组成单元在不断地作自 发热运动和振动。光纤中的受激布里渊散射SBS和受激拉曼散射SRS都是激光光波通过光纤介质时，被其分子振动 所调制的结果，而且SBS和SRS都具有增益特性，在一定条件下，这种增益可沿光纤积累。SBS与SRS的区别在于， SBS激发的是声频支声子，SRS激发的是光频支声子。受激布里渊散射SBS产生原理：SBS是光纤中泵浦光与声子间 相互作用的结果，在使用窄谱线宽度光源的强度调制系统中，一旦信号光功率超过受激布里渊散射SBS的门限时 （SBS的门限较低，对于1550nm的激光器，一般为7~8dBm ），将有很强的前向传输信号光转化为后向传输，随着 前向传输功率的逐渐饱和，使后向散射功率急剧增加。
非线效应
光纤传输的衰耗和色散与光纤长度是呈线性变化的，呈线性效应，而带宽系数与光纤长度呈非线性效应。非 线性效应一般在WDM系统上反映较多，在SDH系统反映较少，因为在WDM设备系统中，由于合波器、分波器的插入 损耗较大，对16波系统一般相加在10dB左右，对32波系统，相加在15dB左右，因此需采用EDFA进行放大补偿，在 放大光功率的同时，也使光纤中的非线性效应大大增加，成为影响系统性能，限制中继距离的主要因数之一，同 时，也增加了ASE等噪声。
研究结果表明，噪声的非线性效应对非线性系统而言是一种较为普遍的动力学行为。1988-1991年期间，浸 渐消去理论和绝热摄动理论的提出为噪声非线性效应的研究提供了一个理想的条件，即系统不受外界环境的影响， 不存在能量交换的状态变化。Fox研究了非磁滞双稳系统中的噪声非线性效应，通过特征作用的方法产生一个能 量谱表达式求解不确定的方程，这种方法具有一定的普遍性。
复旦固体物理讲义-28非简谐效应
本讲要解决的问题及所涉概念•简谐近似*相互作用势能只保留到二次项，晶格振动为一系列线性独立的谐振子，不发生相互作用，也不交换能量*这样，声子不能把能量传递给其他频率的声子*与此有关的物理现象，比如热膨胀、热传导，就不能用简谐近似来描述•非简谐效应*热膨胀*热传导声子气体http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应2第28讲、非简谐效应1.简谐近似的局限2.热膨胀3.Grueneisen状态方程4.热膨胀与Grueneisen常数5.热传导6.晶格振动的相互作用（声子语言）7.晶体热传导系数http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应31、简谐近似的局限•修正绝热近似时，曾作两个假定以简化问题1.微小振动：原子虽然不是固定在它们的平衡位置，但是偏离平衡位置的距离很小2.简谐近似：离子之间的相互作用势能展开式只保留到二次项，即力常数与位移的一次项成正比•但是，固体中的很多重要的物理性质不能用简谐近似解释，如*热膨胀*热传导http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应42、热膨胀•严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀？•热胀冷缩*温度升高，晶体体积膨胀*？•温度升高？——晶格振动能量增大•晶体体积膨胀？*→原子平均间距或晶格常数增加*→但是严格的简谐近似为什么不能产生热膨胀？http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应65、热传导•固体导热*电子贡献+？•晶体中原子的热运动•晶格振动！*但是，原子仅仅是在平衡位置附近振动，*而且晶格振动是一种集体的振动！•热传导就是振动的传播•格波的传播？*但是，简谐近似 格波独立，因此格波之间不能交换能量http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应20简谐振动 热传导?•与温度有关的声子分布的均匀过程如何建立？•靠相互作用，靠碰撞？•简谐近似：格波独立，声子间没有相互作用！•必须考虑非简谐效应——声子与声子之间的碰撞，各个格波之间有相互作用http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应236、晶格振动相互作用（声子语言）•一个声子的存在会引起周期性弹性应变•这种弹性应变如果较大，则不能再用简谐近似来描写•这样，非简谐弹性应变对晶体的弹性常数产生空间和时间上的调制•第二个声子感受到这种弹性常数的调制，受到散射而产生第三个声子http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应24声子气•将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器•不同模式的声子具有不同的动量，能量•速度，按Debye近似，声速•声子间的相互作用就象气体间分子的碰撞一样，交换动量、能量 简谐近似下不可能•虽然当作气体分子处理，但注意：声子是晶格振动的能量量子，是一种元激发，不具有质量，声子数也不守恒，可以产生和湮灭•声子描写的是整个晶格的振动！现局域！远大于晶格常数，仍可看成这个区域整体的振动http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应25http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应27平均自由程取决于声子碰撞•理论分析非常复杂：取决于声子与声子之间的碰撞，还有声子与杂质的碰撞，声子与样品边界的碰撞•声子与声子之间碰撞：三声子碰撞过程的动量、能量守恒关系（K 是倒格矢）Kq q q +=+=+321321ωωωhttp://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应29正常过程：K 等于零•常称N 过程(Normal process)，对应q 1和q 2较小•声子的动量没有发生变化，因此，N 过程只改变声子的动量分布•如果声子的总动量为零，就没有热流•在热平衡下，由于()()q q -=ωω•因此，N 过程由于只改变声子的动量分布，而基本上不影响热流的方向==∑ii q Qhttp://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应31翻转过程：K 不等于零•对应q 1和q 2较大，与B 区的尺度可比才能发生，能量大的格波参与才能发生•这种格波数随温度下降很快，因此，U 过程可改变声子数的分布•这种过程对热导率的下降十分有效•常称U 过程(Umklapp Process)•声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量≠=∑ii q Q关键是改变声子分布！•看上去是平均自由程，关键是改变声子数分布•晶体中存在这样的机制，使声子分布可以局域地趋于平衡。
黄昆方程和非简谐振动
参考Kittel 8版 p264
五. 极化激元（Polaritons) （电磁激元）
由于光子是横向电磁场量子，光照射离子晶体时将激发 横向电磁场，从而对离子晶体中光频支横波振动产生影响， 特别是当光子频率ω = cq和横波光学支声子的频率ω T相近时， 两者的耦合很强，其结果将使光子与TO声子的色散曲线都发 生很大的变化，形成光子－横光声子的耦合模式，其量子称 作极化激元。它是离子晶体中的一种元激发。由于ω= ωT 时， 对应的光子波数与Brillouin 区的尺寸相比为小量，因此极化 激元是长波横向光学声子与电磁场的耦合量子。 基于极化激元特点：它是两种模式耦合的结果，又是晶 体中一种特有的集体运动模式。因而受到更多的关注。
*
假定： E eff E0eit
只考虑长波，令q＝0
和2.1节相比，这里考虑的是受迫振动。我们只考虑 q＝0 解。
只考虑长波情形，即 q→0，所有原子都有相同位移时： ②
u u0 eit u u0 eit
(2 M 2 )u0 2 u0 eE0 2 u0 (2 M 2 )u0 eE0
·
光学支色散关系 声学支色散关系
q
但横光子不与纵光学声子发生耦 合作用，垂直入射不能激发LO声 子。
一. 离子晶体长光学波的特点：
离子晶体由正负离子组成，例如 NaCl 。离子晶体的长光 学波描述的是原胞内正负离子之间的相对运动，因此在波长较 大时，半个波长范围内可以包含许多个原胞，在两个波节之 间同种电荷的离子位移方向相同，异性电荷离子位移方向相 反，因此波节面就将晶体分成许多薄层，在每个薄层里由于异 性电荷离子位移方向相反而形成了退极化场 Ed，所以离子晶 体的长光学波又称极化波。 由后面两张图可以清楚地看出：离子晶体长光学波的极化 对纵波和横波的影响是不同的，纵波的极化场增大了原子位移 的恢复力，从而提高了振动频率，而横波的极化场对频率基本 没有影响，所以离子晶体中，
3.5 非简谐效应(Anharmonicity)
3.5 非简谐效应（Anharmonicity)一. 简谐近似的不足二. 非简谐下的解三. 绝缘体的热导率四. 晶格状态方程和热膨胀参考：黄昆书3.10 3.11 两节Kittel8 版5.2 5.3 两节一.简谐近似的不足；非简谐项和热膨胀效应。
在简谐近似下，我们描述了晶体原子的热运动，并以此图像解释了固体热容、离子晶体的光学及介电性质，下一节还将用来解释辐射波和晶体的相互作用问题。
简谐近似下的晶体，每个简正振动模将完全独立于所有其它振动模而传播，并且可以应用叠加原理，这样的晶体我们可称作简谐晶体。
但这种简谐晶体的一些性质却和实际晶体完全不同，是我们过于理想化的结果。
然而在简谐近似下，得出了一些与事实不符合的结论：1.没有热膨胀；2.力常数和弹性常数不依赖于温度和压力；3.高温时热容量是常数；4.等容热容和等压热容相等C V = C P5.声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。
或说：两个格波之间不发生相互作用，单个格波不衰减或不随时间改变形式。
6.没有杂质和缺陷的简谐晶体的热导是无限大的。
7.对完美简谐晶体而言，红外吸收峰，Raman 和Brilouin 散射峰以及非弹性中子散射峰宽应为零。
以上结论对于实际晶体而言，没有一条是严格成立的。
简谐近似,势能为抛物线，两边对称。
a r 0见Peter Bruesch Phonons ：Theory and Experiments Ⅰ对实际晶体而言，它们反抗把体积压缩到小于平衡值的能力要大于反抗把体积膨胀时的能力，所以势能曲线是不对称的，振幅增大，原子距离增大，这是发生热膨胀的根源。
0()a T a δ=+见Kittel p892l G aπ=二维正方晶格中正常声子碰撞过程k1+k2 = k3二维正方晶格中倒逆声子碰撞过程k1+ k2= k3 + G l可以把倒逆过程看成是：一个声子被布喇格反射、同时伴随着吸收或发射另一个声子。
在任一声子碰撞过程中，没有什么进入或离开晶体，总动量是守恒的，我们认为动量和声子有关只是对晶体总动量的一种人为分割，是为了方便讨论问题而引入的。
非简谐效应
非简谐效应非简谐效应，又称为高次谐波失真，是指在非线性系统中，当外部激励力幅度较大时，系统的响应将产生谐波成分，且谐波的频率与激励频率不成正比的现象。
非简谐效应广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域，例如在音响系统中产生音乐的谐音，或者在桥梁等结构中引起震动。
非简谐效应的研究主要基于非线性动力学理论。
线性系统满足叠加原理，即系统的响应与激励成线性比例关系；而非线性系统则不满足该原理，导致系统产生谐波失真。
非简谐效应包括主要谐波失真、次谐波失真和相位失谐。
非简谐效应的表征通常通过功率谱密度来描述，即将系统的响应信号分解成频谱分量。
常用的频谱分析方法有快速傅里叶变换（FFT）等，通过将时域信号转换为频域信号，可以直观地观察到谐波失真的情况。
非简谐效应的研究具有广泛的应用价值。
在物理学中，非简谐效应被广泛应用于微振动、光学等领域的研究中，例如利用非线性光学效应生成高次谐波。
在工程学中，非简谐效应的研究对于设计和控制非线性系统具有重要意义，例如在结构健康监测中，通过分析桥梁等结构的非简谐效应可以判断其结构的健康状况。
在生物学中，非简谐效应的研究可用于了解生物系统的非线性行为，进而揭示生物系统的运行机制。
非简谐效应的发生机制可以归结为两个方面：非线性特性和耦合作用。
非线性特性是指系统响应与激励响应成非线性关系，例如当激励力较大时，系统的响应会出现非线性增长。
耦合作用是指系统中不同模态或分量之间的相互作用，例如在桥梁中，不同结构分量受到不同频率的激励力，导致谐波失真的产生。
非简谐效应的研究方法主要包括实验方法和理论方法。
实验方法是通过搭建实验装置以及采集和分析实验数据来研究非简谐效应的发生机制和特性。
理论方法是通过建立数学模型，运用非线性动力学理论等工具，对非简谐效应进行定量研究。
这两种方法相辅相成，可以相互验证和支持。
总而言之，非简谐效应是非线性系统中的一种重要现象，广泛应用于各个领域。
通过研究非简谐效应，可以揭示非线性系统的运动特性以及响应规律，对于设计和控制非线性系统具有重要意义。
朗道的非简谐振动-概述说明以及解释
朗道的非简谐振动-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可着重介绍非简谐振动的基本概念和特点。
非简谐振动指的是振动系统中频率不随振幅的变化而保持恒定的振动。
与简谐振动不同，非简谐振动具有振幅依赖性，振幅越大，频率越高。
非简谐振动在自然界和工程领域都有广泛的应用。
在自然界中，许多物理系统如弹簧振子、摆锤等都体现出非简谐振动的特点。
在工程领域中，非简谐振动的理论在结构物的抗震设计、飞行器的稳定性分析等方面具有重要作用。
朗道是非简谐振动理论的重要奠基人之一。
他提出了一套完整的非简谐振动理论，解决了许多传统简谐振动理论无法解释的问题。
朗道的非简谐振动理论为我们深入理解非简谐振动的本质提供了重要的理论工具和方法。
本文将围绕非简谐振动的概念、朗道的非简谐振动理论以及非简谐振动的应用展开阐述。
通过对非简谐振动特点的总结和对朗道的非简谐振动理论的评价，我们可以全面了解非简谐振动的基本原理和应用价值。
同时，也将展望非简谐振动在未来的研究方向，为相关领域的深入研究提供指导和启示。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应包括对整篇文章的结构和各个章节的概述。
在本文中，文章结构主要包括引言（1.引言）、正文（2.正文）和结论（3.结论）三个部分。
引言部分主要对整篇文章进行概述，并明确文章的目的。
引言部分内容还包括对非简谐振动的概念进行简单介绍。
正文部分分为三个小节，分别是2.1 非简谐振动的概念、2.2 朗道的非简谐振动理论和2.3 非简谐振动的应用。
其中，2.1 非简谐振动的概念部分需要详细介绍非简谐振动的定义、特点以及与简谐振动的区别。
2.2 朗道的非简谐振动理论部分需要对朗道提出的非简谐振动理论进行介绍和分析。
2.3 非简谐振动的应用部分则着重介绍非简谐振动在实际应用中的具体场景和意义。
结论部分主要总结非简谐振动的特点，并对朗道的非简谐振动理论进行评价。
同时，还可以展望非简谐振动的未来研究方向，以引发读者对该领域的兴趣。
上讲回顾非简谐效应
• 简谐效应的局限 • 热膨胀
* 平衡位置与温度的关系与势能曲线形式有关 * Grueneisen常数
• 热传导
* 声子气体相互作用图象（一个声子的存在导致晶格 畸变，从而影响第二个声子） * 注意，声子不是实物粒子
http://10.107.0.68/~jgche/
缺陷
1
补充、确定振动谱的实验方法
http://10.107.0.68/~jgche/ 缺陷
18
缺陷将导致无限大原胞
• 点缺陷示 意图
* * * * 完整晶体 空位缺陷 替位缺陷 填隙缺陷
原胞
• 如套用原 来划分原 胞的方式
* 无限大 原胞
http://10.107.0.68/~jgche/ 缺陷
19
面缺陷无限原胞示意图
• 半无限晶体保持二维周 期性，平移周期性在表 面(界面)处中断 表面
界面
http://10.107.0.68/~jgche/ 缺陷
20
2、定性描写——周期性破缺体系电子态特征
• 缺陷引起的电子态有什么特征？ • 缺陷态局域在缺陷附近！
* 束缚态 * 共振态
• 通过表面这个周期性破缺系统（对称性在垂直 于表面方向被破坏）的例子来认识这个问题
2. 定性描写——周期性破缺体系电子态特征
3. 定量描写
4. 方法比较
http://10.107.0.68/~jgche/ 缺陷
17
1、缺陷问题的特征
• Bloch定理在固体物理学基础理论中的重要地 位——能带理论，晶格动力学，…
* Bloch定理基础——晶体的三维平移周期性
非单调效应
非单调效应非单调效应（non-monotonic effects）是指某一因素的改变引起结果的变化不是单调的（即不是随着该因素的增大或减小而单调地增加或减少）。
举个例子，假设我们想了解一个人喝酒量和心脏疾病之间的关系。
如果我们只考虑饮酒量的大小和心脏疾病之间的关系，那么我们可能会得出一个单调效应的结论：饮酒量越大，患心脏疾病的风险就越高。
但是，如果我们考虑饮酒频率、饮酒的类型，以及饮酒与非饮酒的日常习惯之间的相互影响，那么我们可能会发现这种关系并不是单调的，而是具有非单调效应。
非单调效应是一种常见的现象，在各种领域的研究中都有涉及，例如经济学、环境科学、心理学、医学等。
非单调效应的出现通常是由于复杂性所导致的（例如，存在多个互相作用的因素），并且其结果可能具有重要的政策或实践意义。
因此，研究人员必须使用适当的统计和研究方法来捕捉和理解非单调效应。
在经济学中，非单调效应通常与外部性有关。
外部性是指一个人或组织的行为对其他人或组织产生的影响。
例如，一家工厂的排放物可能会损害周围社区居民的健康，导致医疗费用增加。
在这种情况下，排放物水平的增加并不一定会导致医疗费用直线上升，这就是非单调效应的例子。
在环境科学中，非单调效应通常与化学物质暴露有关。
例如，某些化学物质的作用可能取决于暴露于其水平的时间和剂量。
在低剂量下可能会有正面的效应，但在高剂量下会有负面效应，这是非单调效应的例子。
在医学中，非单调效应可能涉及药物剂量。
例如，某些药物的治疗效果可能随着剂量的增加而增加，但在某个阈值点之后，效果反而开始减弱，这是非单调效应的例子。
此外，非单调效应还可能涉及某些性别差异，生理差异等因素。
如何捕捉和理解非单调效应是一个重要且复杂的问题。
研究人员通常使用非参数方法、机器学习技术和多元分析方法来分析非单调效应。
非参数方法是一种不需要预先定义函数形式的方法，可以捕捉非线性和非单调关系。
机器学习技术是一种可以从数据中自动发现复杂模式的方法。
非简谐效应
非简谐效应
非简谐效应是指在振动系统中存在多个频率成分时，振幅不同频率成分叠加后的振动
结果不再是简单的正弦函数振动。
它产生的原因可以是振动系统的初始条件不同，也可以
是有外力施加在振动系统上。
非简谐效应在许多领域都有应用，比如在电子学中的非线性电路中，振动力学中的非
线性振动系统，以及光学中的非线性效应等等。
在这些系统中，非简谐效应的存在使得振
动表现出更加复杂的振动模式，丰富了振动现象的多样性。
非简谐效应的产生可以通过线性叠加的概念来理解。
在简谐振动中，各个频率成分的
振动可以看作是互相独立的，振动幅度之间没有相互影响。
但是在非简谐振动中，不同频
率成分的振动会相互影响，导致振幅的变化。
非简谐效应还可以通过谐波失真来解释。
简谐波是指频率和基波相同的波形，而谐波
则是指频率是基波频率整数倍的波形。
在非简谐振动中，不同频率成分产生的谐波会相互
叠加，从而影响整个振动的波形。
非简谐效应的研究对于理解和应用振动现象具有重要意义。
通过对非简谐效应的研究，科学家们可以更好地理解振动系统的行为，并为各种工程和科学应用提供更准确的模型和
设计方法。
15、非简谐效应 自由能
等效成相互独立的3N（N是原子数目）个简正振动 3N（ 是原子数目） 一旦一种模式（声子）被激发， 一旦一种模式（声子）被激发，它将保持不变 不把能量传递给其他模式的简正振动。 不把能量传递给其他模式的简正振动。 问题： 简谐近似下，把温度不相同的两晶体接触后，它们的温度不会 问题： 简谐近似下，把温度不相同的两晶体接触后， 达到同一个温度，各自保持温度不变。这与事实不符。 达到同一个温度，各自保持温度不变。这与事实不符。 温度最终达到平衡必须由晶格振动的非简谐效应解释。 温度最终达到平衡必须由晶格振动的非简谐效应解释。 固体的热传导：电子导热和声子（晶格） 固体的热传导：电子导热和声子（晶格）导热
1 k = Cv v ⋅ λ 3
(1)
1 k∝ T
第 13 页
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
Page 14
在低温情况下， ＜＜Θ 在低温情况下，T＜＜ΘD
声子数
n(q ) =
1 e
hω q / k BT
−1
≈
1 e
ΘD /T
−1
≈e
−Θ D / T
而平均自由程与声子数成反比，所以低温下热导系数与温度的关系大体 而平均自由程与声子数成反比， 上为
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
第9页
Page 10
② 倒逆过程（U过程） 倒逆过程（ 过程） 对于K 对于Kh≠0的情况，它对应的情况是： 的情况，它对应的情况是： q1和q2数值较大，其夹角又较小时， q1＋q2可能会落在第一布里渊区之外。 数值较大，其夹角又较小时， 可能会落在第一布里渊区之外。 与格波解一一对应的波矢应为能落在第一布里渊区内的波矢 q3=q1＋q2-Kh。 倒逆过程改变了热流的基本方向，即对热传导起了一个阻滞的作用。 倒逆过程改变了热流的基本方向，即对热传导起了一个阻滞的作用。 倒逆过程是热阻的一个重要机制。 倒逆过程是热阻的一个重要机制。
5非简谐效应
晶体的热膨胀和热传导
一.
二. 三. 四.
简谐近似的不足
非简谐下的解 绝缘体的热导率 晶格状态方程和热膨胀
一、简谐近似的不足；非简谐项和热膨胀效应。
在简谐近似下，我们描述了晶体原子的热运动，并以此 图像解释了固体热容、离子晶体的光学及介电性质，还 用来解释辐射波和晶体的相互作用问题。 简谐近似下的晶体，每个简正振动模将完全独立于所有 其它振动模而传播，并且可以应用叠加原理，这样的晶 体我们可称作简谐晶体。 但这种简谐晶体的一些性质却和实际晶体完全不同，是 我们过于理想化的结果。
0
2 0
s 0
2 0 2 0 2
①
s
g0 0 20
其解的形式为：
v0 A(cos t cos2t )
③
这里只考虑了Fourier 展开式中的头三项，所以只有2ω 项， 如果考虑 3 项，则会有 3ω 的项。 将③ 式代入 ①求解，并假定 sA<<1，有：
低温下λ 随T下降指数增长
T TD , e
TD T
2 3 之间的数字
低温下平均自由程迅速增长的原因是因为U过程决定着λ ， 但能参与U 过程的高q 声子随温度下降迅速减少所致。
晶体尺寸、不均匀性、杂质和缺陷也都影响平均自由程， 成为影响晶体热导率的因素，晶体尺寸越小、杂质和缺陷越多， 声子被散射的几率越大，热导率越小。 晶体热容也是温度的函数，高温下接近一个不变的常数， 低温下与温度成三次方关系： C T 3
dT j dx
负号表示热能传输总是从高温到低温。
固体中，可以通过自由电子传热，也可以通过格波来传 热，本节只讨论绝缘体的热导，即晶格热导：热能以格波群 速度在固体中传播。简谐近似下无杂质、无缺陷的晶体其热 导率应该趋于无穷，这与事实不符，在考虑了格波与晶体边 界、杂质原子、缺陷及格波之间的相互作用后，绝缘体的热 导率可以得到很好的理解。
非简谐效应
由P＝0的条件得：
F ＝0 V T
（3－83）
晶格的内能U包括两部分：
1．温度T时原子处于平衡位置 晶体结合能U0（V）
2. 晶格 振动能UL. 故晶格 自由能可写成（参考温度时为单位体积）
F＝ U0（V）＋UL —TS ＝ U0（V）＋FL
式中FL代表晶格 振动对自由能的 贡献。
（3－84）
（3-97）
式中 为单位体积固体的 热容。把式（3-96）代入式
（3-97）得
（3-98）
而 x 方向的平均自由程 可表示为
，其中为声
子两次碰撞间的平均自由时间
（3－99）
对于立方晶体 为声子的平均速率，平均自由程
又可写成
101） 比较（3-101）式和（3-95）式 可得到声子热导率
这和气体的热导率形式上是一样的。
§3-5 非简谐效应
一． 简谐近似的 局限性
v 简谐近似→独 立的格 波→独 立的谐 振子 →声子间无互作用→
T不变时，同ω的 n
不变。
v 解释了热容（尤其是 低温下热容）。但不 能解释热膨胀。若取 到高次项，左、右不 对称，可解释热膨 胀）。
势能取到高次项后：
1.原子运动方程不是线性微分方程； 2.原子状态的通解不再是特解的线性叠加； 3.交叉项不能消除； 4.格波间有互作用； 5.声子相互作用（碰撞、产生、湮灭）。
4、应用中相关的问题：
①形状记忆合金； ②受到机械约束的材料，由于热膨胀可能产 生内应力，导致形变； ③内、外膨胀不同导致开裂（例如，焊接） 不同膨胀系数的材料之间的过渡与配合。
5、存在负热膨胀系数的材料。（ZrW2O8）
90
三、声子碰撞与热传导
在固体中声子和电子都能传输热量，在金 属中以电子传热为主，称为电子热导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.5 非简谐效应（Anharmonicity)
一. 简谐近似的不足
二. 非简谐下的解
三. 绝缘体的热导率
四. 晶格状态方程和热膨胀参考：黄昆书3.10 3.11 两节Kittel8 版5.2 5.3 两节
一.简谐近似的不足；非简谐项和热膨胀效应。
在简谐近似下，我们描述了晶体原子的热运动，并以此图像解释了固体热容、离子晶体的光学及介电性质，下一节还将用来解释辐射波和晶体的相互作用问题。
简谐近似下的晶体，每个简正振动模将完全独立于所有其它振动模而传播，并且可以应用叠加原理，这样的晶体我们可称作简谐晶体。
但这种简谐晶体的一些性质却和实际晶体完全不同，是我们过于理想化的结果。
然而在简谐近似下，得出了一些与事实不符合的结论：1.没有热膨胀；
2.力常数和弹性常数不依赖于温度和压力；
3.高温时热容量是常数；
4.等容热容和等压热容相等C V = C P
5.声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。
或说：两个格波之间不发生相互作用，单个格波不衰减或不随时间改变形式。
6.没有杂质和缺陷的简谐晶体的热导是无限大的。
7.对完美简谐晶体而言，红外吸收峰，Raman 和Brilouin 散射峰以及非弹性中子散射峰宽应为零。
以上结论对于实际晶体而言，没有一条是严格成立的。
简谐近似,势能为抛
物线，两边对称。
a r 0
见Peter Bruesch Phonons ：Theory and Experiments Ⅰ对实际晶体而言，它们反抗把体积压缩到小于平衡值的能力要大于反抗把体积膨胀时的能力，所以势能曲线是不对称的，振幅增大，原子距离增大，这是发生热膨胀的根源。
0()a T a δ
=+
见Kittel p89
2l G a
π=
二维正方晶格中正常声子碰撞过程
k1+k2 = k3二维正方晶格中倒逆声子碰撞过程
k1+ k2= k3 + G l
可以把倒逆过程看成是：一个声子被布喇格反射、同时伴随着吸收或发射另一个声子。
在任一声子碰撞过程中，没有什么进入或离开晶体，总动量是守恒的，我们认为动量和声子有关只是对晶体总动量的一种人为分割，是为了方便讨论问题而引入的。
一个声子的晶体动量并不是唯一确定的，和是同一个声子。
在物理上可以定义的量是一个声子波包所携带的动量，当振动完全简谐时，此动量为零。
所以：晶体动量和真实动量实际上是两个极不相同的概念，上面的等式应看作是关于波矢的几何干涉条件，而不视为动量守恒定律，才是更为正确的概念。
q ()q G +
倒逆过程图示：
见顾书p260
实线表示向右传播的波（
），虚线表示向左传播的波（），
2a λ<2a λ>
声子气体和真实气体的热导过程示意图
声子气体
真实气体
热
注意：室温下这些晶体中声子的平均自由程只有几十个纳米，即几百个原子间距内就会发生碰撞。
所以不难理解晶体热导率的数值有限。
晶体尺寸、不均匀性、杂质和缺陷也都影响平均自由程，成为影响晶体热导率的因素，晶体尺寸越小、杂质和缺陷越多，声子被散射的几率越大，热导率越小。
晶体热容也是温度的函数，高温下接近一个不变的常数，低温下与温度成三次方关系：所以，绝缘体的热导率随温度变化，高温部分主要取决于声子随温度的变化，λ的增大受限于晶体尺寸，温度下降带来的声子数目变化不再影响热导率
的提高。
低温部分热容随温度急剧下降决定了热导率随温度明显下降。
杂质和缺陷的无规分布，会给声子散射带来更多机会，使热导率下降。
3
V
C T ∝,,,T n λκ↓↓↑↑
κ
高纯度NaF 晶体热导率曲线，完全符合上述分析。
锗晶体同位素效应对热导率的影响，富集样品中含有96％的Ge 74，而天然样品含有不足40％的Ge 74，所以前者热导率大于后者。
见Kittel 8版p94
LiF晶体中同位素效应对热导率的影响，.与锗晶体同位素效应对热导率的影响结果是一致的。
见黄昆书p148
LiF晶体不同尺寸样品热导温度关系图。
见黄昆书p146 图3-31
四条曲线既反映了样品尺寸对热导率的影响，也整体反映了热容以及声子数目对热导率的影响。
原子无序分布给热导率带来的影响：
见黄昆书p148.。