第2讲 数列求和及简单应用(教案)

第2讲 数列求和及简单应用高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一 分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1 (2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若2(1)n an n n b a =+-⋅，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎨⎧ S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2⇒a n ＝2n ＋1. (2)∵2(1)n a n n nb a =+-⋅ ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2·4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)，∴T n ＝2(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝8(4n －1)3＋G n ， 当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n 2＝n ， ∴T n ＝8(4n －1)3＋n ， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2， ∴T n ＝8(4n －1)3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8(4n －1)3＋n ，n ＝2k ，k ∈N *，8(4n －1)3－n －2，n ＝2k －1，k ∈N *.思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1 (2017届北京市朝阳区二模)已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝13的等比数列．设132log 1()n n b a n *=-∈N ．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)证明 由已知得a n ＝13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n ， 所以1312log ()121(N )3n n b n n *=-=-∈，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2.所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b 2n ＝4n －1，则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列．c n ＝a n ＋b 2n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋4n －1，则T n ＝13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ＋3＋7＋…＋(4n －1) ＝13×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2. 即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． 热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．例2 (2017·河南省夏邑一高模拟)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ，由条件得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，故a n ＝3n －1，b n ＝2n (n ∈N *)．(2)T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ， ① 2T n ＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n －1)×2n ＋1， ②①—②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝3×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －2－(3n －1)×2n ＋1＝3×2(1－2n )1－2－2－(3n －1)×2n ＋1 ＝(4－3n )2n ＋1－8，∴T n ＝8＋(3n －4)·2n ＋1.思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．跟踪演练2 (2017·江西省赣州市十四县(市)联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝7，a 3为整数，且S n 的最大值为S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 2＝7，a 3为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，故a 5≥0，a 6≤0，解得－73≤d ≤－74， 因此d ＝－2，数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n 2n ＝11－2n 2n， 所以T n ＝92＋722＋523＋…＋11－2n 2n， ① 12T n ＝922＋723＋524＋…＋11－2n 2n ＋1， ②由②－①，得－12T n ＝－92＋2⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1＋11－2n 2n ＋1， 整理得－12T n ＝－72＋7－2n 2n ＋1， 因此T n ＝7＋2n －72n (n ∈N *)． 热点三 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和． 例3 (2017届湖南省郴州市质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 3＝3，且λS n ＝a n a n ＋1，在等比数列{b n }中，b 1＝2λ，b 3＝a 15＋1.(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，且⎝⎛⎭⎫S n ＋n 2c n ＝1，求T n . 解 (1)∵λS n ＝a n a n ＋1，a 3＝3，∴λa 1＝a 1a 2，且λ(a 1＋a 2)＝a 2a 3＝3a 2，∴a 2＝λ，a 1＋a 2＝a 3＝3，①∵数列{a n }是等差数列，∴a 1＋a 3＝2a 2，即2a 2－a 1＝3， ②由①②得a 1＝1，a 2＝2，∴a n ＝n ，λ＝2，∴b 1＝4，b 3＝16，则b n ＝2n ＋1或b n ＝(－2)n ＋1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝n (1＋n )2，∴c n ＝2n (n ＋2)， ∴T n ＝21×3＋22×4＋23×5＋…＋2(n －1)(n ＋1)＋2n (n ＋2)＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝32－2n ＋3n 2＋3n ＋2. 思维升华 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2)常用的裂项公式①若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2； ②1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ④1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； ⑤1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )．跟踪演练3 (2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知等差数列{a n }的前n 和为S n ，公差d ≠0，且a 3＋S 5＝42，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列b n ＝1a n －1a n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，因为等差数列{a n }的前n 和为S n ，a 3＋S 5＝42，a 1，a 4，a 13成等比数列．所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋5a 1＋5×42d ＝42，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d ).又公差d ≠0，所以a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝1a n －1a n，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________. 答案 2n n ＋1解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴∑k ＝1n1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 2．(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n .由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16， ②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ， 故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ， ③4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1， ④③－④，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1 ＝－(3n －2)×4n ＋1－8，得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83. 所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83. 押题预测1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋22n n (n ＋1)，其前n 项和为S n ，若存在M ∈Z ，满足对任意的n ∈N *，都有S n <M 恒成立，则M 的最小值为________．押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循．答案 1解析 因为a n ＝n ＋22n n (n ＋1)＝2(n ＋1)－n 2n n (n ＋1)＝12n －1n －12n (n ＋1)， 所以S n ＝⎝⎛⎭⎫120×1－121×2＋⎝⎛⎭⎫121×2－122×3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1n －12n (n ＋1)＝1－12n (n ＋1)， 由于1－12n (n ＋1)<1，所以M 的最小值为1. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1) (a 为常数，且a >0)，且4a 3是a 1与2a 2的等差中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n . 押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用a n ，S n 的关系求a n ，也是高考出题的常见形式．解 (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)，所以a 1＝a ，当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)， ①S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)， ②由①－②，得a n ＝a ·a n －1，即ana n －1＝a ，故{a n }是首项a 1＝a ，公比为a 的等比数列，所以a n ＝a ·a n －1＝a n .故a 2＝a 2，a 3＝a 3.由4a 3是a 1与2a 2的等差中项，可得8a 3＝a 1＋2a 2，即8a 3＝a ＋2a 2，因为a ≠0，整理得8a 2－2a －1＝0，即(2a －1)(4a ＋1)＝0，解得a ＝12或a ＝－14(舍去)，故a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＝12n .(2)由(1)得b n ＝2n ＋1a n ＝(2n ＋1)·2n ，所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)×2n －1＋(2n ＋1)×2n ，①2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)×2n ＋1， ②由①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)×2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)×2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)×2n ＋1＝－2－(2n －1)×2n ＋1，所以T n ＝2＋(2n －1)×2n ＋1.A 组 专题通关1．(2017届湖南师大附中月考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 答案 D解析 由已知有a n a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，则a n ＋2a n ＝2，所以数列{a n }奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，可以求出a 2＝2，所以数列{a n }的项分别为1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32，…，而b n ＝a n ＋a n ＋1，所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64，故选D.2．(2017届陕西省渭南市质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝3，S 5＝25，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1 0082 017，则n 的值为( ) A ．504 B ．1 008C ．1 009D ．2 017答案 B解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3，5a 1＋5×42d ＝25，解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，又因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝1 0082 017， 解得n ＝1 008，故选B.3．(2017届江西省鹰潭市模拟)已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 100等于( )A ．－100B ．0C ．100D ．10 200答案 A解析 a 1＝－1＋22，a 2＝22－32，a 3＝－32＋42，a 4＝42－52，…，所以a 1＋a 3＋…＋a 99＝(－1＋22)＋…＋(－992＋1002)＝(1＋2)＋(3＋4)＋…＋(99＋100)＝5 050，a 2＋a 4＋…＋a 100＝(22－32)＋…＋(1002－1012)＝－(2＋3＋…＋100＋101)＝－5 150，所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝5 050－5 150＝－100.4．(2017届广东省潮州市模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和， a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝____________. 答案 12－13n ＋1－1解析 因为a n ＋1a n ＝2·3n2·3n －1＝3，所以数列{a n }为等比数列．所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 5．(2017届安徽蚌埠怀远县摸底)对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－0.2]＝－1，[1.72]＝1，已知a n ＝⎣⎡⎦⎤n 3(n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前项和，则S 2 017＝________. 答案 677 712解析 由于⎣⎡⎦⎤13＝0，⎣⎡⎦⎤23＝0，⎣⎡⎦⎤33＝⎣⎡⎦⎤43＝⎣⎡⎦⎤53＝1，⎣⎡⎦⎤63＝⎣⎡⎦⎤73＝⎣⎡⎦⎤83＝2，根据这个规律，后面每3项都是相同的数，2 017－2＝671×3＋2，后余2项， 所以S 2 017＝1＋6712×671×3＋672＋672＝677 712.6．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1) ＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3] ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3. 当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.7．(2017届山东省胶州市普通高中期末)正项数列{}a n 的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{}a n 的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{}b n 的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{}a n 是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上可知，数列{}a n 的通项公式a n ＝2n . (2)证明 由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，所以b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2.T n ＝116⎣⎢⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－⎦⎥⎤1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 8．(2017届江西省南昌市模拟)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n a n ＋1，求数列{}b n 的前2n 项和T 2n .解 (1)设等差数列{}a n 的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5， 可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)(2n ＋1) ＝(－1)n －1·(4n 2－1)，所以T 2n ＝(4×12－1)－(4×22－1)＋(4×32－1)－(4×42－1)＋…＋(－1)2n －1×[4×(2n )2－1] ＝4[12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2]＝－4(1＋2＋3＋4＋…＋2n －1＋2n )＝－4×2n (2n ＋1)2＝－8n 2－4n .B 组 能力提高9．(2017·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，且b n ＝a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24等于( )A ．294B ．174C ．470D ．304答案 D解析 由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等差数列，因此a nn ＝1＋()n －1×1＝n ，a n＝n 2，b n＝⎩⎨⎧－12n 2，n ＝3k ＋1，k ∈N ，－12n 2，n ＝3k ＋2，k ∈N ，n 2，n ＝3k ＋3，k ∈N ，因此b 3k ＋1＋b 3k ＋2＋b 3k ＋3＝9k ＋132，k ∈N ，S 24＝9(0＋1＋…＋7)＋132×8＝304，故选D.10．(2017·河南省豫南九校质量考评)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前21项的和为________． 答案 2 112解析 当n 为奇数时，cos 2n π2＝0，sin 2n π2＝1；当n 为偶数时，cos 2n π2＝1，sin 2n π2＝0，所以当n 为奇数时有a n ＋2＝a n ＋1； n 为偶数时a n ＋2＝2a n ，即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列．所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋...＋a 21)＋(a 2＋a 4＋a 6＋...＋a 20) ＝(1＋2＋3＋...＋11)＋(2＋22＋ (210)＝12×112＋2(210－1)2－1＝6×11＋211－2＝2 112.11．(2017届江苏如东高级中学等四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝18，且对任意m ，n ∈N *，都有a 2m－1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋34(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)． ①求数列{b n }的通项公式；②设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为S n ，是否存在正整数p ，q ，且1<p <q ，使得S 1，S p ，S q 成等比数列？若存在，求出p ，q 的值，若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意，令m ＝2，n ＝1， 则a 3＋a 1＝2a 2＋34(2－1)2，解得a 3＝1.令m ＝3，n ＝1，则a 5＋a 1＝2a 3＋34(3－1)2，解得a 5＝5.(2)①以n ＋2代替m ，得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋3， 则[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝3， 即b n ＋1－b n ＝3.所以数列{b n }是以3为公差的等差数列． 又b 1＝a 3－a 1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ②因为1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1， 所以S n ＝13⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n3n ＋1. 则S 1＝14，S p ＝p 3p ＋1，S q ＝q 3q ＋1.因为S 1，S p ，S q 成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3p ＋12＝14·q3q ＋1，即6p ＋1p 2＝3q ＋4q .因为1<p <q ，所以3q ＋4q ＝3＋4q >3，即6p ＋1p 2>3.解得3－233<p <3＋233.又1<p ，且p ∈N *，所以p ＝2，则q ＝16.所以存在正整数p ＝2，q ＝16，使得S 1，S p ，S q 成等比数列．12．(2017届江苏泰州中学月考)已知各项都为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项都为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7， ①又b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2a 4＝a 23＝b 24＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4， ②由①②得3q 2－4q －4＝0， 解得q ＝2或q ＝－23(舍去)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1. (2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)×20＋2×2＋(3＋1)×22＋4×23＋(5＋1)×24＋…＋[(n －1)＋1]×2n －2＋n ×2n －1 ＝(20＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)， 设H n ＝20＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1， ③ 则2H n ＝2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n ×2n ， ④由③－④，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n 1－2－n ×2n ＝(1－n )×2n －1， ∴H n ＝(n －1)×2n ＋1，∴T n ＝(n －1)×2n ＋1＋1－24n 1－4＝⎝⎛⎭⎫n －23×2n ＋23. 当n 为奇数，且n ≥3时， T n ＝T n －1＋(n ＋1)×2n －1＝⎝⎛⎭⎫n －53×2n －1＋23＋(n ＋1)×2n －1 ＝⎝⎛⎭⎫2n －23×2n －1＋23， 经检验，T 1＝2符合上式，∴T n ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫2n －23×2n －1＋23，n 为奇数，⎝⎛⎭⎫n －23×2n＋23，n 为偶数.。