初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题(解析版)

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题一、选择题1.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=()A. 12B. √23C. √22D. √532.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为()A. (√3,√3)B. (√3,1)C. (2,1)D. (2,√3)3.如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为()A. √2B. √52C. √5D. 24.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为()A. 97B. 9√130130C. √33D. √35.如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B=α，∠ADC=β，则ABAD为()A. sinαsinβB. cosαcosβC. sinβsinαD. cosβcosα6.如图，在△ABC中AB=2√5，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使得点B恰好落在BC的中点B′处，得到△AB′C′.若tan∠CB′C′=43，则BC的长为()A. 4√5B. 6C. 8D. 107.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，sinA=35，则斜边上的高等于()A. 5B. 4.8C. 4.6D. 48.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=34，CD为AB边上的中线，CE平分∠ACB，则AEAD的值()A. 35B. 34C. 45D. 679.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠A=35，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD=2，AD=AC，则线段OB的长为()A. 2√5B. 3√5C. 2√10D. 4√10310.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值()A. 扩大5倍B. 缩小5倍C. 不变D. 不能确定11.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值()A. 不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小12. 如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC =30°，点D是CB 延长线上的一点，且BD =BA ，则tan∠DAC 的值为( )A. 2+√3B. 2√3C. 3+√3D. 3√3二、填空题13. 如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC =12BD ，连接AC ，若tanB =53，则tan∠CAD 的值______．14. 已知中，tanB =23，BC =6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且BDCD =2，则的面积为______．15. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +√55BD 的最小值是______．16. 如图，Rt △AOB 中，∠AOB =90°，顶点A 、B 分别在反比例函数y =1x (x >0)与y =m x(x <0)的图象上，已知sin∠ABO =√55，则m 的值为______．三、解答题17. 如图，在△ABD 中，∠ABD =∠ADB ，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，连接BC ，DC 和AC ，AC 与BD 交于点O ．(1)用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；(2)如果AB=5，cos∠ABD=3，求BD的长．518.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．(1)求证：OE=OF．(2)若BE=5，OF=2，求tan∠OBE的值．19.如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=3，点D为BC边上的动点(点D不4与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)当DE//AB时(如图2)，求AE的长；(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：如图，取格点E，连接CE．由题意：∠BEC=90°，BE=EC=√2，BC=2，∴cosB=BEBC =√22，故选：C．如图，取格点E，连接CE.构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可．本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．2.【答案】B【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，∴AD=12OA，∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=√3，则点A的坐标为：(√3,1)．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB 的值，进而可得点A 的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．3.【答案】B【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC =∠ADB =90°，∵tanC =2=AD DC ，sinB =13=ADAB ， ∴AD =2DC ，AB =3AD ， ∵AB =3，∴AD =1，DC =12，在Rt △ADC 中，由勾股定理得：AC =√AD 2+DC 2=√12+(12)2=√52，故选：B ．过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC =∠ADB =90°，根据已知求出AD =2DC ，AB =3AD ，求出AD 、CD 的长，根据勾股定理求出AC 即可．本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：过B 作BH ⊥AC 于H ， ∵S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，∴BH =√22+32=9√1313，∴sin∠BAC =BH AB=9√1313√12+32=9√130130， 故选：B ．过B 作BH ⊥AC 于H ，根据三角形的面积公式得到BH ，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：在Rt △ABC 中，∵AB =ACsinα， 在Rt △ADC 中，∴AD =ACsinβ， ∴ABAD =AC sinαAC sinβ=sinβsinα，故选：C ．解直角三角形分别用AC 表示出AB ，AD 即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：作B′H ⊥AB 于H ，如图， ∵△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转， ∴∠AB′C′=∠B ，AB′=AB =2√5， ∵∠AB′C =∠B +∠BAB′，即∠AB′C′+∠CB′C′=∠B +∠BAB′， ∴∠CB′C′=∠BAB′， 在Rt △HAB′中，tan∠HAB′=B′H AH=tan∠CB′C′=43，设B′H =4x ，则AH =3x ， ∴AB′=5x ， 即5x =2√5，解得x =2√55， ∴B′H =8√55，AH =6√55， ∴BH =2√5−6√55=4√55， 在Rt △BB′H 中，BB′=(4√55)(8√55)=4，而B′为BC 的中点， ∴BC =2BB′=8． 故选：C ．作B′H ⊥AB 于H ，如图，利用旋转的性质得∠AB′C′=∠B ，AB′=AB =2√5，再证明即∠CB′C′=∠BAB′，根据正切的定义得tan∠HAB′=B′H AH=tan∠CB′C′=43，设B′H =4x ，则AH =3x ，则AB′=5x =2√5，解得x =2√55，所以B′H =8√55，BH =4√55，然后利用勾股定理计算出BB′，从而得到BC的长．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形．7.【答案】B【解析】解：如图所示，CD⊥AB，CD即为斜边上的高，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，∴sinA=BCAB =BC10=35，即BC=6，根据勾股定理得：AC=√AB2−BC2=8，∵S△ABC=12AC⋅BC=12CD⋅AB，∴CD=AC⋅BCAB =6×810=4.8，故选：B．如图所示，CD⊥AB，CD即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长，利用面积法求出CD即可．此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：如图，过点E和点D作EF⊥AC，DG⊥AC于点F和G，∴EF//DG，∴AEAD =EFDG，∵CE平分∠ACB，∴∠ECF=12ACB=45°，∵∠EFC=90°，∴∠FEC=45°，∴EF=FC，∴AF=AC−FC=AC−EF，∵CD为AB边上的中线，∴DG//BC，DG=12BC，∴EF//BC，∴∠AEF=∠B，∴tan∠AEF=tan∠B=34，∴AFEF =34，即AC−EFEF =34，解得EF=47AC，∵ACBC =34，∴BC=43AC，∴EFDG =EF12BC=47AC12×43AC=67．∴AEAD =EFDG=67．故选：D．如图，过点E和点D作EF⊥AC，DG⊥AC于点F和G，可得EF//DG//BC，根据已知条件和两条直线平行对应边成比例可得EF=47AC，根据三角函数可得BC=43AC，进而可求结果．本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．9.【答案】B【解析】解：过点O作OE⊥AD于E，设BC=3x，在Rt△ABC中，sin∠A=35，∴AB=5x，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=4x，∴AD=AC=4x，∵AB=AD+BD，∴5x=4x+2，解得，x=2，∴AC=AD=8，AB=10，BC=6，∵OE⊥AD，∴AE=ED=12AD=4，∵OE⊥AD，∠C=90°，∴△AOE∽△ABC，∴AOAB =AEAC，即AO10=48，解得，AO=5，∴OC=AC−AO=3，由勾股定理得，OB=√OC2+BC2=3√5，故选：B．作OE⊥AD，根据正弦的定义求出BC、AC，根据垂径定理求出AE，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出AO，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形、相似三角形的判定和性质、掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．【解答】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性等知识，记住锐角三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．利用锐角三角函数的定义，得到BE+CF=BC⋅cosα，设∠DCF=∠DBE=α，易知BE+ CF=BC⋅cosα，根据0<α<90°，由此即可作出判断．【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF//BE，∴∠DCF=∠DBE，设∠DCF=∠DBE=α，∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，∴BE+CF=(DB+DC)cosα=BC⋅cosα，∵∠ABC=90∘，∴0<α<90∘，当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF=BC⋅cosα的值是逐渐减小的．故选C．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，=√3AC．∴AB=2AC，BC=ACtan30∘∵BD=BA，∴DC =BD +BC =(2+√3)AC ， ∴tan∠DAC =DC AC =(2+√3)AC AC =2+√3．故选A ． 13.【答案】15【解析】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53，∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15， 故答案为15． 延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15．本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中． 14.【答案】8或24【解析】解：当△ABC 是锐角三角形时，如图1，∵BC =6，BDCD =2，∴BD =4，∵tanB =23，∴ADBD =23，∴AD=83，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×83=8；当△ABC是钝角三角形时，如图2，∵BC=6，BDCD=2，∴BD=12，∵tanB=23，∴ADBD =23，∴AD=8，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×8=24，综上，△ABC的面积为8或24，故答案为8或24．(1)分两种情况，解直角三角形求得AD，然后根据三角形面积公式即可求得．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，分类讨论是两条的关键．15.【答案】4√5【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故答案为4√5．如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.【答案】−4【解析】解：Rt△AOB中，sin∠ABO=√55，∴OAAB =√55，设AB=a，则OA=√55a，∴OB=√AB2−OA2=√a2−(√55a)2=2√55a，∴OBOA =2√55a√55a=2，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A、B分别在反比例函数y=1x (x>0)与y=mx(x<0)的图象上，∴S△BDO=12|m|，S△AOC=12，∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴△BDO∽△OCA ，∴S △BDO S △ACO =(OB OA )2， ∴12|m|12=4，∴|m|=4，∵在第二象限，∴m =−4，故答案为：−4．解直角三角形求得OB OA =2，过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，根据A 、B 在函数图象上求出S △BDO =12|m|，S △AOC =12，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△ACO ，根据相似三角形的性质得出S △BDOS △ACO =(OB OA )2=4，即12|m|12=4，解得即可．此题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．17.【答案】解：(1)如图，证明：由作法得BC =DC =AB ，∵∠ABD =∠ADB ，∴AB =AD ．∴BC =DC =AD =AB ，∴四边形ABCD 为菱形；(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，OB =OD ，在Rt △ABO 中，cos∠ABO =BO AB =35，而AB =5，∴BO =3，【解析】(1)根据作法画出对应的几何图形得到四边形ABCD；先利用∠ABD=∠ADB得到AB=AD.再利用作法得到BC=DC=AD=AB，从而可判断四边形ABCD为菱形；(2)利用菱形的性质得到BD⊥AC，OB=OD，则根据余弦的对应计算出BO，从而得到BD的长．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的判定与性质．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB=∠OFD=90°，在△OEB和△OFD中，{∠OEB=∠OFD ∠BOE=∠DOF OB=OD，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴OE=OF；(2)解：由(1)得：OE=OF，∵OF=2，∴OE=2，∵BE⊥AC，∴∠OEB=90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE=OEBE =25．【解析】(1)由平行四边形性质得OB=OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；(2)由(1)得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．19.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴△ABD∽△DCE．(2)解：如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM⋅tanB=4k×34=3k，由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2，∴202=(3k)2+(4k)2，∴k=4或−4(舍弃)，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BC=2BM=2⋅4k=32，∵DE//AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，∴∠BAD=∠ACB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABCB =DBAB，∴DB=AB2CB =20232=252，∵DE//AB，∴AEAC =BDBC，∴AE=AC⋅BDBC =20×25232=12516．(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN=90°，MH=AN，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=CM=12BC=12×32=16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=√AB2−BM2=√202−162=12，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF=90°=∠AMD，∵∠DAF=90°=∠MAN，∴∠NAF=∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴ANAM =AFAD=tan∠ADF=tanB=34，∴AN=34AM=34×12=9，∴CH=CM−MH=CM−AN=16−9=7，当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD=2CH=14，∴BD=BC−CD=32−14=18，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=18．【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．(2)解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出ABCB =DBAB，可得DB=AB2CB=20232=252，由DE//AB，推出AEAC =BDBC，求出AE即可．(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，由△AFN∽△ADM，可得AN AM =AFAD=tan∠ADF=tanB=34，推出AN=34AM=34×12=9，推出CH=CM−MH=CM−AN=16−9=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．。