(川理工)电磁场与电磁波重要例题习题解读
电磁场与电磁波(第四版)习题解答
(3)
V/m (4)平均坡印廷矢量
rad/m Hz
第6章习题
习题6.2
解: (1)电场的复数形式 由
A/m
(也可用式求解磁场,结果一样)
将其写成瞬时值表达式 A/m
(2)入射到理想导体会产生全反射,反射波的电场为 与其相伴的反射波磁场为 总的电场 总磁场 (3)理想导体上的电流密度为
处的
和
; (2)求在直角坐标中点
处
与矢量
构成的夹角。 解: (1)由已知条件得到,在点(-3,4,-5)处, 则 (2)其夹角为
习题1.17在由
、
和
围成的圆柱形区域,对矢量
验证散度定理。 证: 在圆柱坐标系中 所以, 又 则
习题1.21求矢量
沿
平面上的一个边长为
的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与
A/m
习题6.4
解:
反射系数为 透射系数为 故反射波的电场振幅为 透射波的电场振幅为
V/m V/m
习题6.7
解:区域,本征阻抗
透射系数为 相位常数 则 电场: V/m 磁场: A/m
习题6.13
解:电场振幅最大值相距1.0m,则,得 因电场振幅第一最大值距离介质表面0.5m,即处,故反射系数。 由 又 可得到
,可见,矢量是磁场矢量。其源分布 (4)在球坐标系中
,可见,矢量是磁场矢量。其源分布
习题2.26
解: (1)由,得 故 (2)由,得 故 (3) 故 (4)
习题2.30
解: (1)在界面上法线方向的分量为 (2) (3)利用磁场边界条件,得 (4)利用磁场边界条件,得
习题3.3
解: (1) 由可得到
《电磁场与电磁波》-习题及详细题解
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预备知识:矢量分析习题及题解
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电磁场与电磁波例题详解
第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解:点M 的坐标是1,0,1000===z y x ,则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。
其等值面方程为 :0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x++=的矢量线方程。
解: 矢量线应满足的微分方程为 :zy dzy x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xydx yx dy xy dx 2222解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2221c y x xc z ,c 1和c 2是积分常数。
例1.3 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点(1,1,2)处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。
解:由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy xϕ,02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xz xy y ϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα 所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例1.4 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解:点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos zy x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xy zxz yyz xϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ,求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
电磁场与电磁波习题答案资料讲解
电磁场与电磁波习题答案第四章习题解答★【4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为0U ,求槽内的电位函数。
解 根据题意,电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ==;② (,0)0x ϕ=; ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②,电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a a ππϕ∞==∑ 由条件③,有 01sinh()sin()n n n b n xU A a a ππ∞==∑两边同乘以sin()n xa π,并从0到a 对x 积分,得到002sin()d sinh()an U n x A x a n b a a ππ==⎰ 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩,故得到槽内的电位分布 01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n xx y n n b a a aππϕππ==∑4.2 两平行无限大导体平面,距离为b ,其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。
上板和薄片保持电位0U ,下板保持零电位,求板间电位的解。
设在薄片平面上,从0=y 到d y =,电位线性变化,0(0,)y U y d ϕ=。
解 应用叠加原理,设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中,1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为0U )的电位,即10(,)x y U y b ϕ=;2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界条件为:22(,0)(,)0x x b ϕϕ==① 2(,)0()x y x ϕ=→∞②③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b db ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩; 根据条件①和②,可设2(,)x y ϕ的通解为21(,)sin()en x bn n n yx y A b ππϕ∞-==∑;由条件③有 00100(0)sin()()n n U U y y d n y b A U U b y yd y b db π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n ybπ,并从0到b 对y 积分,得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d bn d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d bππ 故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d nb b ππππ∞-=+∑ 4.4 如题4.4图所示的导体槽,底面保持电位0U ,其余两面电位为零,求槽内的电位的解。
电磁场与电磁波_部分课后习题解答
电磁场与电磁波部分课后习题解答CH11.2给定三个矢量A ,B ,C:A =x a+2y a -3z a B= -4y a +z aC =5x a-2z a求:⑴矢量A的单位矢量A a ;⑵矢量A 和B的夹角AB θ; ⑶A ·B 和A ⨯B⑷A ·(B ⨯C )和(A ⨯B)·C ;⑸A ⨯(B ⨯C )和(A ⨯B )⨯C解:⑴A a =A A=(x a +2y a -3z a )⑵cos ABθ=A ·B /A BAB θ=135.5o⑶A ·B =-11, A ⨯B=-10x a -y a -4z a⑷A ·(B ⨯C )=-42(A ⨯B)·C =-42⑸A ⨯(B ⨯C)=55x a -44y a -11z a(A ⨯B)⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r) =x a(-y )+y a (x),求其矢量线方程,并定性画出该矢量场图形。
解:由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln (2x +2y +2z )通过点P (1,2,3)的等值面方程。
解:等值面方程为ln (2x +2y +2z )=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ(x,y,z )=62x 3y +ze 在点P (2,-1,0)的梯度。
解:由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0,y=0,z=0及z=2所包围的区域,设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A沿闭合曲面S 的通量,其中矢量场的表达式为A =x a32x +y a (3y+z )+z a (3z -x)⑵验证散度定理。
电磁场与电磁波例题详解
第5章 时变电磁场例5.1 证明均匀导电媒质内部,不会有永久的自由电荷分布。
解: 将E Jσ=代入电流连续性方程,考虑到媒质均匀,有 0)()(=∂∂+⋅∇=∂∂+⋅∇tE t E ρσρσ由于:ρερερ=⋅∇=⋅∇=⋅∇E E D,)(,所以:0=⋅+∂∂ρεσρt ,t e t ⋅-=εσρρ0)(例5.2 设z =0 的平面为空气与理想导体的分界面,z <0 一侧为理想导体,分界面处的磁场强度为)cos(sin ),0,,(0ay t ax H a t y x H x -=ω,试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。
解:)cos(sin )cos(sin 00ay t ax H a ay t ax H a a H n J y x z S -=-⨯=⨯=ωω),()cos(sin )sin(sin )]cos(sin [000y x c ay t ax aH ay t ax aH ay t ax H yt S S +-=-=-∂∂=∂∂-ωωρωωρ假设t =0 时,0=s ρ,由边界条件s D n ρ=⋅以及n 的方向可得)cos(sin ),0,,(0ay t ax aH a t y x D z -=ωω)cos(sin ),0,,(0ay t ax aH a t y x E z -=ωω例5.3 试求一段半径为b ,电导率为σ,载有直流电流I 的长直导线表面的坡印廷矢量,并验证坡印廷定理。
图5.1解:如图5.1,一段长度为l 的长直导线,其轴线与圆柱坐标系的z 轴重合,直流电流将均匀分布在导线的横截面上,于是有:σπσπ22,1b I a J E b a J z z===在导线表面bIa H πφ2 =因此,导线表面的坡印廷矢量 3222bI a H E S rσπ-=⨯=它的方向处处指向导线的表面。
将坡印廷矢量沿导线段表面积分,有R I b l I bl b I dS a S S d S Sr S 22232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=⋅-⎰⎰σππσπ例5.4 在两导体平板(0=z 和d z =)之间的空气中传播的电磁波,其电场强度矢量)cos(])/sin[(0x y k t z d E a E -=ωπ,其中x k 为常数。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为,则同理,矢径r 与y 轴正向的夹角为,则矢径r 与z 轴正向的夹角为,则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯()()-()(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ (1)要使A B ⊥,则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得:381b c += 即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。
(2)要使A B ,则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=- 可得 b=-3,c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++,x y B ae be =+,因为B A ⊥,所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221a b +=; ⑵由⑴,⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元:x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---=常数 求解上面三个微分方程:可以直接求解方程,也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( (1)k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 (2)由(1)(2)式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= (3) )()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= (4))(21xz a yz a k zdz -=对(3)(4)分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ,则应有 div A =0即: div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r 的方向与柱面垂直,并且矢径 r到柱面的距离相等(r =a )所以,2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰=22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223yz A x yze xy e =+ 而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y xe x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0,所以矢量场A 为无旋场。
电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答
四章习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的 盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为 U o ,求槽内的电位函数。
解根据题意,电位 (0, y) (x,0) (x,b)电位y b ( x )。
上板和薄片保持电位 U °,下板保持零电位,求板间电位的解。
设在薄片平面上,从y 0到y d ,电位线性变化,(0, y) U 0y d 。
解 应用叠加原理,设板间的电位为(x,y )1(x, y) 2(x, y)其中,1 (x, y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为(x, y) n 1aa两边同乘以 题4.1图由条件③,有sin(nA nU oAsinh(— b)sin( n x)aa2U on sinh( n ba)(1 x―),并从 a cos n 0到a 对x 积分,得到an xsin( -- )dxasinh( n b a) 0 a4U 02U o ) n sinh(n ,n b a)1,3,5,L2,4,6,L sin h(^^)s135,L nsinh(n b a) aa4.2两平行无限大导体平面,距离为b ,其间有故得到槽内的电位分布(x,y)型 n y a 极薄的导体片由y d 到 (x, y)满足的边界条件为 (a, y) 0 0U 。
(x, y)的通解应取为 ① ② ③ 根据条件①和②, ②2(x,y) 0 (x )U°)的电位,即1(x,y) U0yb ;2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界条件为:①2(x,0) 2(x,b) 0根据条件①和②, 由条件③有 U o③ 2(0, y) (0,y) 可设 2(x, y )的通解为 2(x,y ) U o n y A sin(- 1 b U T yU E y(0 (d 1(o, y) Un y )e A V )eA n Sin( 1d) b) by(0 (dy d) y b)n y两边同乘以sin(- b 2U o d b o ),并从 o 到b 对y 积分,得到b )ysin( / 、U o 2bU o El L 厂求在上题的解中,除开 2W e 故得到 4.3 C f 厂定出边缘电容。
(川理工)电磁场与电磁波重要例题、习题
电磁场与电磁波易考简答题归纳1、什么是均匀平面电磁波?答:平面波是指波阵面为平面的电磁波。
均匀平面波是指波的电场和磁场只沿波的传播方向变化,而在波阵面内和的方向、振幅和相位不变的平面波。
2、电磁波有哪三种极化情况?简述其区别。
答:<1)直线极化,同相位或相差;2)圆极化,同频率,同振幅,相位相差或;<3)椭圆极化,振幅相位任意。
3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程<即亥姆霍兹波动方程的复数形式),并说明意义。
答:,式中称为正弦电磁波的波数。
意义:均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时,电场和磁场的振幅不变,它们在时间上同相,在空间上互相垂直,并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。
电场和磁场的分量由媒质决定。
4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式,并简述其意义。
答:物理意义:A、第一方程:时变电磁场中的安培环路定律。
物理意义:磁场是由电流和时变的电场激励的。
B、第二方程:法拉第电磁感应定律。
物理意义:说明了时变的磁场激励电场的这一事实。
C、第三方程:时变电场的磁通连续性方程。
物理意义:说明了磁场是一个旋涡场。
D、第四方程:高斯定律。
物理意义:时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。
5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式,并简述其意义。
答:<1)微分形式<2)积分形式物理意义:同第4题。
6、写出达朗贝尔方程,即非齐次波动方程,简述其意义。
答:,物理意义:激励,源激励,时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播,是时变源的电场辐射过程。
7、写出齐次波动方程,简述其意义。
答:,物理意义:时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动,故称时变电磁场为电磁波,且电磁波的传播速度为:8、简述坡印廷定理,写出其数学表达式及其物理意义。
答:<1)数学表达式:①积分形式:,其中,,称为坡印廷矢量。
由于为体积内的总电场储能,为体积内的总磁场储能,为体积内的总焦耳损耗功率。
电磁场与电磁波课后习题分析
静电场作业 2016年10月26日1 已知一根长直导线的长度为1km ,半径为0.5mm ,当两端外加电压6V 时,线中产生的电流为A ,试求:① 导线的电导率;② 导线中的电场强度;③ 导线中的损耗功率。
解 (1) 由IR V =,求得 ()Ω==366/16R 由 SR σ=,求得导线的电导率为 ()()m S 1054.3105.036107233⨯=⨯⨯⨯==-πσRS(2) 导线中的电场强度为()m V 10610633-⨯===V E (3) 单位体积中的损耗功率 2E P l σ=,那么,导线的损耗功率为()W 122==L r E P πσ4-2 设同轴线内导体半径为a ,外导体的内半径为b ,填充媒质的电导率为。
根据恒定电流场方程,计算单位长度内同轴线的漏电导。
解 设0;,====ϕϕ时,时b r V a r 。
建立圆柱坐标系,则电位应满足的拉普拉斯方程为0d d d d 12=⎪⎭⎫⎝⎛=∇r r r r ϕϕ 求得同轴线中的电位ϕ及电场强度E 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a b r V ln ln ϕr e E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∇=b a Vrln 1ϕ 则 r e E J ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==b a Vr ln 1σσ单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⎰b a VI sln 2d πσs J 那么,单位长度内同轴线的漏电导为⎪⎭⎫⎝⎛===b a V I R G ln 21πσ()m S 4-3 设双导线的半径a ,轴线间距为D ,导线之间的媒质电导率为,根据电流场方程,计算单位长度内双导线之间的漏电导。
解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+ρ和-ρ,利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的电场强度大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=r D r E 112περ 那么,两导线之间的电位差为aa D V a d a-=⋅=⎰-ln d περr E 单位长度内两导线之间的电流大小为()a D D I ss-=⋅=⋅=⎰⎰ερσσs E s J d d则单位长度内两导线之间的漏电导为()⎪⎭⎫⎝⎛--===aa D a D DVIR G ln 1πσ ()m S若a D >>则单位长度内双导线之间的漏电导为⎪⎭⎫⎝⎛=a D G ln πσ()m S4-4 已知圆柱电容器的长度为L ,内外电极半径分别为a 及b ,填充的介质分为两层,界面半径为c 。
电磁场与电磁波答案解析
第7章 导行电磁波1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗; 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯( 2.1r ε=),求其特性阻抗与300MHz 时的波长。
解:空气同轴线的特性阻抗00.7560ln60ln =65.9170.25b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线:00.75=41.404ln345.487 0.25b Z a ===Ω80.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时,用聚乙烯(εr =2.25)作电介质,忽略损耗⑴ 对于300Ω的双线传输线,若导线的半径为0.6mm ,线间距应选取为多少? ⑵ 对于75Ω的同轴线,若内导体的半径为0.6mm ,外导体的内半径应选取为多少? 解:⑴ 双线传输线,令d 为导线半径,D 为线间距,则0110 ln , ln1 300 ln3.75, 25.5D L C D d dDZ dDD mm dμπεππ=====∴== ⑵ 同轴线,令a 为内导体半径,b 为外导体内半径,则0112 ln , 2lnb L C b a aμπεπ==01 ln 752 ln1.875, 3.91bZ abb mm aπ===∴==3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求:终端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。
解:005050100112505010035L L L Z Z j j j Z Z j j ---++Γ===-=-+-+-1 2.6181L L S +Γ===-Γ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==⨯+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭43.55 +34.16j =4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ,终端阻抗为4030j +Ω,求其输入阻抗in Z 。
电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面,球的两极点处分别设置点电荷q 和q -,试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R Rπ+-+-=-=R R D22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e则球赤道平面上电通密度的通量d d z z SSS Φ====⎰⎰D S D e22322232()[]2d 4()()aq a a r r r a r a ππ--=++⎰221211)0.293()aqa q q r a =-=-+3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云,在球心有一正电荷Ze (Z 是原子序数,e 是质子电荷量),通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ,试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZ erπ=D e原子内电子云的电荷体密度为 333434a aZe Zer r ρππ=-=-电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r rarZe r rr ρπππ==-D e e故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中,体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ,轴线相距为c )(a b c -<,如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布,不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布,这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布,而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布,如题3.3图()b 所示。
《电磁场与电磁波》笔记和课后习题(含考研真题)详解
第1章矢量分析1.1复习笔记一、标量场和矢量场1.一个只用大小描述的物理量为标量。
若所研究的物理量为一标量,则该物理量所确定的场为标量场,如温度场,密度场等。
用一个标量函数来表示该场为2.一个既有大小又有方向特性的物理量为矢量。
若所研究的物理量为一矢量,则该物理量所确定的场为矢量场,如力场、电场等。
用一个矢量函数来表示该场为二、标量场的方向导数与梯度1.在直角坐标系中方向导数的计算公式为式中,是方向l的方向余弦。
特点:方向导数既与所研究的点有关,也与方向有关。
2.标量场的梯度是一个矢量,在直角坐标系中,梯度的表达式为在柱坐标系和球坐标系中,梯度的表达式为标量场的梯度意义:描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。
3.梯度运算的基本公式:三、矢量场的散度与旋度1.散度矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。
矢量场的散度是个标量,在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中的计算式分别为2.散度定理(高斯定理)矢量场F的散度在体积V上的体积分,等于矢量场F在限定该体积的闭合面S上的面积分。
3.旋度旋涡源密度矢量。
矢量场的旋度是个矢量,在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中分别表示为4.斯托克斯定理矢量场F的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲线C上的线积分。
四、无旋场与无散场1.仅有散度源而无旋度源的矢量场为无旋场,如静电场,。
梯度矢量的重要性质:它的旋度恒等于零,即。
2.仅有旋度源而无散度源的矢量场为无散场,如恒定磁场,。
旋度矢量的重要性质:它的散度恒等于零,即。
五、格林定理1.格林第一恒等式2.格林第二恒等式3.格林定理的应用:(1)利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。
(2)格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。
因此,如果已知其中一种场的分布,即可利用格林定理求解另一种场的分布。
六、亥姆霍兹定理在有限区域V内,任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定,且可表示为:1.2课后习题详解(一)思考题1.1如果A·B=A·C,是否意味着B=C?为什么?答:并不意味着B=C。
电磁场与电磁波习题答案
r
r
r
证明: cos2 α
+ cos2 β
+ cos2 γ
=
x2 r2
+
y2 r2
+
z2 r2
=
x2
+ y2 r2
+ z2
=1
1-2
已知
v A
=
evx
−
9evy
−
evz
,
v B
=
2evx
−
4evy
+
3evz
,求:
(1)
v A
+
v B
(2)
v A
−
v B
(3)
v A
⋅
v B
(4)
Av ×
Hale Waihona Puke v B解:(1)= −31evx − 5evy + 14evz
1-3
已知
v A
=
evx
+
bevy
+
cevz
,
v B
=
−evx
+
3evy
+
8evz
,若使
v A
⊥
v B
及
v A
//
v B
,则
b
和
c 各应为多少?
解:要使
v A
⊥
v B
,则
v A
⋅
v B
=
0
即
−1+ 3b + 8c = 0 或 3b + 8c −1 = 0 ,满足
在(0,0,0)处
gradϕ (0,0,0) = 3evx − 2evy − 6evz
电磁场与电磁波课后习题及答案五章习题解答
5.1真空中直线长电流/的磁场中有一等边三角形回路,如题5.1图所示,求三角形回路内的磁通。
解根据安培环路泄理,得到长直导线的电流/产生的磁场题5.1图穿过三角形回路而积的磁通为由题5.1图可知,z = (x —〃)tan? = V,故得到5.2通过电流密度为丿的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,如题5.2图所示。
计算各部分的磁感应强度并证明腔内的磁场是均匀的。
解将空腔中视为同时存在丿和_丿的两种电流密度,这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布:一个电流密度为丿、均匀分布在半径为力的圆柱内,另一个电流密度为均匀分布在半径为&的圆柱内。
由安培环路左律,分别求出两个均匀分布电流的磁场,然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路左律= 可得到电流密度为丿.均匀分布在半径为b的圆柱内的电題5.2图流产生的磁场为B b=\ 电流密度为、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为这里□和◎分别是点°。
和⑷到场点p的位宜矢量。
将和〃$叠加,可得到空间各区域的磁场为圆柱外:B=^Jx(D圆柱内的空腔外:B = ^-Jx^r.-^r a | (r h<b, r a >a)空腔内:B = =(為va)式中d是点和5到点S的位苣矢量。
由此可见,空腔内的磁场是均匀的。
5.3下而的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是,求其源变量J。
(1)H =e r ar , B = (圆柱坐标)(2)H =5(-©) + 匕处,B =卜』(3)H =e x ax-e^ay, B = “)H(4)H = e0ar , B = (球坐标系)解根据恒泄磁场的基本性质,满足V 5 = 0的矢量函数才可能是磁场的场矢量,否则, 不是磁场的场矢量。
若是磁场的场矢量,则可由j = VxH求出源分布。
< 1)在圆柱坐标中V B = - — (rB r) = -—(ar2) = 2a^0r dr 1 r dr该矢量不是磁场的场矢量。
电磁场与电磁波课后习题及答案
电磁场与电磁波课后习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下: 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求:(1)A a ;(2)-A B ;(3)A B ;(4)AB θ;(5)A 在B 上的分量;(6)⨯A C ;(7)()⨯A B C 和()⨯A B C ;(8)()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 (1)23A x y z+-===-e e e A a e e e A (2)-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e (3)=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e -11(4)由 c o s AB θ=8==A B A B ,得 1c o s AB θ-=(135.5= (5)A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ==A B B (6)⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e (7)由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e(8)()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
(1)判断123PP P ∆是否为一直角三角形;(2)求三角形的面积。
《电磁场与电磁波》习题参考问题详解
《电磁场与电磁波》知识点与参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0,即0F∇⋅≡,如此矢量场是无散场,由旋涡源所产生,通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0,即0F ∇⨯≡,如此矢量场是无旋场,由散度源所产生,沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理〔高斯定理〕和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是:散度〔高斯〕定理:SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理:sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中,矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一确实定。
〔 √〕5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数,在时间为一定值的情况下,它们是唯一的。
〔 √ 〕6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
〔√ 〕7、梯度的方向是等值面的切线方向。
〔 × 〕8、标量场梯度的旋度恒等于0。
〔 √ 〕9、习题1.12, 1.16。
第2章电磁场的根本规律〔电场局部〕1、静止电荷所产生的电场,称之为静电场;电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向一样。
2、在国际单位制中,电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的根本方程的积分形式是:V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的根本方程的微分形式是:V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的,电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧,电场→E 的切向分量E 1t -E 2t =0;而磁场→B 的法向分量B 1n -B 2n =0。
7、在介电常数为的均匀各向同性介质中,电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,如此电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下,导体部电场强度、磁场强度等于零,导体外表为等位面;在导体外表只有电场的法向分量。
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电磁场与电磁波易考简答题归纳1、什么是均匀平面电磁波?答:平面波是指波阵面为平面的电磁波。
均匀平面波是指波的电场→E 和磁场→H 只沿波的传播方向变化,而在波阵面内→E 和→H 的方向、振幅和相位不变的平面波。
2、电磁波有哪三种极化情况?简述其区别。
答:(1)直线极化,同相位或相差 180;2)圆极化,同频率,同振幅,相位相差 90或 270;(3)椭圆极化,振幅相位任意。
3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程(即亥姆霍兹波动方程的复数形式),并说明意义。
答:002222=+∇=+∇→→→→H k H E k E ,式中μεω22=k 称为正弦电磁波的波数。
意义:均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时,电场和磁场的振幅不变,它们在时间上同相,在空间上互相垂直,并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。
电场和磁场的分量由媒质决定。
4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式,并简述其意义。
答:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ρεμμεE H t H E tE J H )4(0)3()2()1(物理意义:A 、第一方程:时变电磁场中的安培环路定律。
物理意义:磁场是由电流和时变的电场激励的。
B 、第二方程:法拉第电磁感应定律。
物理意义:说明了时变的磁场激励电场的这一事实。
C 、第三方程:时变电场的磁通连续性方程。
物理意义:说明了磁场是一个旋涡场。
D 、第四方程:高斯定律。
物理意义:时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。
5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式,并简述其意义。
答:(1)微分形式(2) 积分形式 物理意义:同第4题。
6、写出达朗贝尔方程,即非齐次波动方程,简述其意义。
答:→→→-=∂∂-∇J tA A μμε222,ερμε-=∂Φ∂-Φ∇→→222t物理意义:→J 激励→A ,源ρ激励Φ,时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播,是时变源的电场辐射过程。
7、写出齐次波动方程,简述其意义。
答:0222=∂∂-∇→→tH H με,0222=∂∂-∇→→t E E με物理意义:时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动,故称时变电磁场为电磁波,且电磁波的传播速度为:μευ1=p8、简述坡印廷定理,写出其数学表达式及其物理意义。
答:(1)数学表达式:①积分形式:⎰⎰⎰++∂∂=⋅-→→τττστεμd E d E H t S d S S222)2121(,其中,→→→⨯=H E S ,称为坡印廷矢量。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ρD B t BE t D J H )4(0)3()2()1( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→→→→q S d D l d B Sd tB l d E S d t D J l d H S SS l s l )4(0)3()2()()1(由于⎰=ττεd E W e221为体积τ内的总电场储能,⎰=ττμd H Wm221为体积τ内的总磁场储能,⎰=ττσd EP 2为体积τ内的总焦耳损耗功率。
于是上式可以改写成:P W W tS d H E me S++∂∂=⋅⨯-⎰→→→)(,式中的S 为限定体积τ的闭合面。
②微分形式:222)2121(E H E t S σμε++∂∂=⋅∇-→,其中,→→→⨯=H E S ,称为坡印廷矢量,电场能量密度为:221E w e ε=,磁场能量密度:221H wmμ=。
(2)物理意义:对空间任意闭合面S 限定的体积τ,→S 矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。
它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。
9、写出麦克斯韦方程组的复数形式。
答:ρωω=⋅∇=⋅∇-=⨯∇+=⨯∇→→→→→→→D B B j E Dj J H 010、写出达朗贝尔方程组的复数形式。
答:→→→-=+∇J A A μμεω22,ερμεω-=Φ+Φ∇→→2211、写出复数形式的的坡印廷定理。
答:⎰⎰⎰-+++=⋅→→τττωτd w w j d P P P S d S e m T e m S)(2)(平均平均其中241H wm ‘平均μ=为磁场能量密度的平均值,2'41Ew e ε=平均为电场能量密度的平均值。
这里场量→→H E 、分别为正弦电场和磁场的幅值。
正弦电磁场的坡印廷定理说明:流进闭合面S 内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗;而流进(或流出)的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。
坡印廷矢量)21Im()21Re(21***→→→→→→→⨯+⨯=⨯=H E j H E H E S为穿过单位表面的复功率,实部)21Re(*→→→⨯=H E S 平均为穿过单位表面的平均功率,虚部)21Im(*→→→⨯=H E Q平均为穿过单位表面的无功功率。
12、工程上,通常按ωεσ的大小将媒质划分为哪几类?答:当∞→ωεσ时,媒质被称为理想导体; 当210>>ωεσ时,媒质被称为良导体; 当221010<<-ωεσ时,媒质被称为半导电介质;当210-<<ωεσ时,媒质被称为低损耗介质; 当0=ωεσ时,媒质被称为理想介质。
13、简述均匀平面电磁波在理想介质中的传播特性。
答:(1)电场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系,电场与磁场处处同相,在传播过程中,波的振幅不变,电场与磁场的振幅之比取决于媒质特性,空间中电场能量密度等于磁场能量密度。
(2)相速度为:μευ1=p,频率πω2=f ,波长:)(221μεωπμεωπμελ=====k kf T v p 其中,电场与磁场的振幅比,即本征阻抗:εμη==y xH E ,电场能量密度:221E w e ε=,磁场能量密度:22H w m μ=二者满足关系:em w E H H w ====222222εμεμμ14、试写出麦克斯韦位移电流假说的定义式,并简述其物理意义。
答:按照麦克斯韦提出的位移电流假说,电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度,称为位移电流密度,即tD J d ∂∂=→→。
物理意义:位移电流一样可以激励磁场,即变化的电场可以激励磁场。
15、简述什么是色散现象?什么是趋肤效应?答:在导电媒质中波的传播速度随频率变化,这种现象称为色散现象。
导电媒质中电磁波只存在于表面,这种现象称为趋肤效应,工程上常用穿透深度δ(m )表示趋肤程度,16.相速度和群速度有什么区别和联系?答:区别:相速度是波阵面移动的速度,它不代表电磁波能量的传播速度,也不代表信号的传播速度。
而群速度才是电磁波信号和电磁波能量的传播速度。
联系:在色散媒质中,二者关系为:ωυυωυd d p pg -=11,其中,pν为相速度,gν为群速度。
在非色散媒质中,相速度不随频率变化,群速度等于相速度。
17、写出真空中安培环路定律的数学表达式,说明它揭示的物理意义。
答:∑⎰=⋅→→Il d B Cμ,它表明在真空中,磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代数和。
18、写出电荷守恒定律的数学表达式,说明它揭示的物理意义。
dV t S d J V S ⎰⎰∂∂-=⋅ρ答:电荷守恒定律表明任一封闭系统的电荷总量不变。
也就是说,任意一个体积内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷量。
19、简述分界面上的边界条件答:(1)法向分量的边界条件A 、→D 的边界条件S D D n ρ=-⨯→→→)(21,若分界面上0=S ρ,则0)(21=-⨯→→→D D nB 、→B 的边界条件0)(21=-⨯→→→B B n(2)切向分量的边界条件 A 、→E 的边界条件0)(21=-⨯→→→E E nB 、→H 的边界条件→→→→=-⨯S J H H n )(21,若分界面上0=→S J ,则0)(21=-⨯→→→H H n(3)理想导体(∞=σ)表面的边界条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⇔=⋅=⇔=⋅=⇔=⨯=⇔=⨯→→→→→→→→→→→→00)4(00)3(00)2()1(ερερS n Sn t S t S E E n B B n E E n J H J H n ,式中→n是导体表面法线方向的单位矢量。
上述边界条件说明:在理想导体与空气的分界面上,如果导体表面上分布有电荷,则在导体表面上有电场的法向分量,则由上式中的④式决定,导体表面上电场的切向分量总为零;导体表面上磁场的法向分量总为零,如果导体表面上分布有电流,则在导体表面上有磁场的切向分量,则由上式中的(1)决定。
重要习题例题归纳第二章 静电场和恒定电场一、例题:1、例2.2.4(38P )半径为0r 的无限长导体柱面,单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。
试计算空间中各点的电场强度。
解:作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ,应用高斯定律计算电场强度的通量。
当0r r <时,由于导体内无电荷,因此有0=⋅⎰→→SS d E ,故有0=→E ,导体内无电场。
当0r r>时,由于电场只在r 方向有分量,电场在两个底面无通量,因此2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r Sr r S r r r r S =⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰→→→→ 则有:r E l r 02περ= 2、例2.2.6(39P )圆柱坐标系中,在m r 2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷,其电荷密度为3/-⋅m C ρ。
利用高斯定律求各区域的电场强度。
解:由于电荷分布具有轴对称性,因此电场分布也关于z 轴对称,即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上,其值相等,方向在r 方向上。
现作一半径为r ,长度为L 的同轴圆柱面。
当m r 20≤≤时,有02=⋅=⋅⎰→→rL E S d E r Sπ,即0=r E ;当m r m42≤≤时,有)4(1220-=⋅=⋅⎰→→r L rL E S d E r Sπρεπ,因此,)4(220-=r rE r ερ;当m r 4≥时,有L rL E S d E r Sπρεπ0122=⋅=⋅⎰→→,即r E r 06ερ=。
3、例2.3.1(41P )真空中,电荷按体密度)1(220ar -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内,其中0ρ为常数。
试计算球内、外的电场强度和电位函数。
解:(1)求场强:当a r >时,由高斯定律得2224επQ E r S d E S==⋅⎰→→而Q 为球面S 包围的总电荷,即球形区域内的总电荷。
300242002158)(44)(a dr a r r dr r r Q aaπρπρπρ=-==⎰⎰因此20302152r a a E rερ→→=当a r <时)53(44)(1425300020121a r r dr r r E r S d E rS-===⋅⎰⎰→→επρπρεπ因此)33(23001a r r a E r-=→→ερ (2)球电位;当a r >时,取无穷远的电位为零,得球外的电位分布为ra r d E r r03022152)(ερ=⋅=Φ⎰∞→→当a r =时,即球面上的电位为20152ερa S =Φ 当a r <时)1032(2)(24220011a r r a r d E r a rS +-=⋅+Φ=Φ⎰→→ερ4、例2.4.1(48P )圆心在原点,半径为R 的介质球,其极化强度)0(≥=→→m r a P m r 。