第三章随机过程作业
第三章随机过程作业
第三章随机过程作业1. 设A 、B 是独立同分布N(0,σ2)的随机变量，求随机过程{X t =At +B,t ∈R 1}的均值函数、自相关函数和协方差函数。
2. 设{X t ,t ≥a}是独立增量过程，且X a =0，方差函数为σX t 2。
记随机过程Y t =kX t +c ，k 、c 为常数，c≠0。
（1） 证明Y t 是独立增量随机过程；（2） 求Y t 的方差函数和协方差函数。
3. 设随机过程X t =X +Y ⋅t +Z ⋅t 2，其中X,Y,Z 是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求{X t }的协方差函数。
4. 设U 是随机变量，随机过程X t =U,−∞ <t <∞ .(1) X t 是严平稳过程吗？为什么？(2) 如果E(U)=μ ,Var(U)=σ2，证明：X t 的自相关函数是常数。
5. 设随机过程X t =U cos t +V sin t,−∞ <t <∞ ,其中U 与V 独立同分布N(0,1)。
(1) X t 是平稳过程吗？为什么？(2) X t 是严平稳过程吗？为什么？6. 设随机变量X 的分布密度为f X ( x), 令 Y( t) = e − X t ( t > 0 ,X > 0), 试求Y( t)的一维概率分布密度及E(Y ( t ))、R X (s,t)。
7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令X (t )={cos πt ,如t 时手机接收到短信息，2t ，如t 时手机未接收到短信息，试求：X (t )的一维分布函数 F [12;x],F[1;x]8. 设随机过程Y n =∑X k n k=1,Y 0=0, 其中X k ( 1 ≤ k ≤ n) 是相互独立的随机变量 ,且P( X k = 1 ) = p ,P( X k = 0 ) = 1 − p = q , 试求{ Y n } 的均值与协方差函数 .9. 设X( t) = A sin (ωt +Z) ,其中A 、ω为常数 , 随机变量Z ～ U( −π ,π) , 令Y ( t) = X 2 ( t ) , 试求 :EY ( t ) 和R Y ( t,t +τ)。
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
应用随机过程第三章习题解
g(t) = f (x, tx)|x|dx
3
第三章 更新过程
第三章 更新过程
其中 f (t, tx) 是 Xi 与 TiXi 的联合密度函数, 当 Xi 与 TiXi 独立时，有
∫ g(t) = λ exp{−λtx}f (x)|x|dx
所以这样的 Ti 是存在的.
3.6 如果 p = P (X = ∞) > 0, 则称 X 是广义的随机变量. 设 X 是广
是 3 分钟. 假设每台电话独立工作, 一共有 6 部电话, 估算上午 10:30 时恰
有 5 部电话占线的概率.
解:
由题可知每台电话占线的概率为
p
=
3 23
,
又各电话是否占线独立，
所以 10:30 有 5 部电话占线的概率为：
P = C65p5(1 − p)
3.11 眨眼使泪水均匀地涂在角膜和结膜的表面，以保持眼球润湿而不
∑ ∑k
∑
P ( Xi = j, Xk+1 > t − j) = (kλ)jexp(−kλ)P (X1 > t − j)/j!
0≤j≤t i=1
0≤j≤t
3.9 设更新过程 N (t) 的更新间隔是 Xn, i1, i2, . . . , in 是 1, 2, . . . , n 的一
个全排列. 对于 n ≥ 2, 证明
= 1/p − 1
3.7 对于泊松过程验证定理 1.2（2）成立.
证明: 对于泊松过程 N (t) 有 m(t) = E(N (t)) = λ·t, 而 λ·(t) 是连续的且 在 t≥0 时是严格增加的，当然是单调不减的, 也即定理 1.2(2) 对于泊松过 程是成立的。
3.8 设更新过程N(t)的更新间隔是来自总体 X 的随机变量。
(解答)《随机过程》第三章习题
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
随机过程第三章作业答案
Yk-1 ]] ≤ b ⋅ ∑ E[I{T ≥ k} ]
k =0
= b ⋅ ∑ P(T ≥ k) = b(1 + E[T]) < ∞，即E[W] < ∞
10证明：利用停时定理2 由已知P(T<∞)=1,得条件1已满足。
2 2 又∀n ≥ 1，E[X T ∧ n ]=E[|X T ∧ n | ] ≤ c；
利用柯西-施瓦茨不等式(E[XY])2 ≤ E[X 2 ]E[Y 2 ]： 令Y=1，(E[|X T ∧ n |])2 ≤ E[|X T ∧ n |2 ]E[12 ] ≤ c ∴ E[|X T ∧ n |] ≤ c，进而有E[ sup|X T ∧ n |] ≤ c < ∞，
第三章习题解答
3-(1) ∵{ X n , n ≥ 0}是鞅， ∴ E[X 0 ] = E[X n ] = 0，且有 E[Yk ]=E[X k -X k-1 ]=0；Var(Yk )=E[Yk2 ]；Var(X n )=E[X 2 n ]；
2 E[Yk2 ]=E[(X k -X k-1 )2 ]=E[X k +X 2 k-1 -2X k X k-1 ] 2 =E[X k ]+E[X 2 其中 k-1 ]-2E[X k X k-1 ]，
9 (一)常规证明： 右侧不等号： E[X T ∧ n ]=E[X T ∧ n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ∧ n ⋅ I{T<n} ]=E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ⋅ I{T<n} ] =E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[∑ X k ⋅ I{T=k} ]
k =0 n-1
E[X k X k-1 ]=E[E[X k X k-1|X 0 X1 =E[X k-1E[X k |X 0 X1
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第三章作业
(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2
[应用随机过程][习题][01]
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第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]
随机过程作业
0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章 平稳随机过程 第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是 随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设 随 机 过 程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其 中 , U 与 V 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,
随机过程作业(全部)
作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。
2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。
3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。
2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。
如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
应用随机过程第3章习题简答
第 3 章补充作业
1. 设 {N (t ), t 0} 是速率为 的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与
协方差函数。
N (t ) E ( N (t )) t ，
RN (s, t ) E ( N (s) N (t )) E{N (s)(( N (t ) N (s)) N (s)]} ,(s t )
F( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) P{ X1 t1 , X 2 t2 , X 3 t3} i 1(1 e ti )
3
( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合密度为：
f ( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) 3e (t1 t2 t3 )
et?0t??rfs1tdt??ss?wfs1tdtw?r?1?e?r?1?det??s2?w?r?1??edsdet当w1r时?0平均到家时间是s的增函数所以1的ds期望时间在s0时最小
随机过程_第 3 章泊松过程习题简答
教材 P16 习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ，则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布，进而， ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为：
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}
《信息与通信工程中的随机过程》习题解答 第3章
相关系数为： ρ = E {UV } = E { X 2 − Y 2 } = E { X 2 } − E { X 2 } = 0 由此得到，U 和V 的联合概率密度为：
1 − e fU ,V (u, v ) = 4π
u 2 +v 2 4
② 有①的结论，容易得到：
fU (u ) =
fV (v ) =
1 4π
2⎪ ⎫
⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
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《随机过程》作业标准答案·第 1 章
所以： 又：
dX (t ) = A。 dt
2⎪ ⎧ ⎫ ⎪ A A 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ (t + τ ) + B(t + τ ) − t − Bt ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 lim E ⎨ − (At + B ) ⎬ ⎪ τ →∞ ⎪ τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2⎪ ⎧ ⎫ ⎪ A ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ τ + At τ + B τ − (At + B )τ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ = lim E ⎨ ⎬ ⎪ τ →∞ ⎪ τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2 ⎧ ⎫ τ 1 ⎪ ⎪ 2 2 E { A2 } = 0 = lim E ⎪ ⎨ Aτ ⎪ ⎬ = lim ⎪ τ →∞ ⎪ ⎪4 ⎪ τ →∞ 4 ⎩ ⎭
所以：
⎧ X1 = Y1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X2 = − Y1 + Y2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ " ⎪ ⎪ ⎪ X =− Yn −1 + Yn ⎪ ⎪ ⎩ n
系数矩阵为下三角矩阵，容易求得 Jocobi 行列式为： J = 1 。所以： fY Y "Y (y1, y2 , ", yn ) = J fX X "X (y1, y2 − y1, ", yn − yn −1 ) 1 2 n 1 2 n = fX (y1 )fX (y2 − y1 )" fX (yn − yn −1 )
第三章 更新理论-随机过程
n
n=0,1,2,,且在这些时刻的更新次数是独立的几何随机变量-1（例 如在 t=0 点，当 X1<时 X1 0 ，第一个事件在 t=0 发生，当 X2< 时 X 2 0， 第二个事件在 t=0 发生， ， 直到某个 k 有 Xk时 X k , 第 k 个事件在 t=发生,因此在 t=0 发生的事件个数服从参数为 1 P{Xn} 的 几 何 分 布 -1 ） 其 均 值 为 -1 ， 于 是
t
t [ ]
m(t ) E[ N (t )] E[ N (t )] m(t ) 结论得证。
0
2
3
t {[ ] 1}
三、若干极限定理(some limit theorems) 1.平均更新速率（the average renewal rate) （1） N () lim N (t)
第三章 更新理论（Renewal Theory) 一、 更新过程（a renewal process)概念 1．定义 定义 设 X1,X2, 是非负独立同分布的（independent and identically distributed） iidF， F(0)=P{Xn=0}<1。 令 S0=0,,Sn= X1+X2+ + Xn, n =1,2, 。 N(t)=sup{n:Snt}， (3.1.1) ， 计数过程{N(t),t0}称为更新过程 （a renewal process)。 若将 Xn 解释为第 n-1 个事件与第 n 个事件之间的间隔时间，则第 n 个 事件在时刻 Sn 发生。由于间隔 iid，所以在各个事件发生时刻此过程在概率 意义上重新开始，事件发生时刻即系统更新时刻，事件即更新。N(t)就是系 统在[0,t]中更新次数 SN(t)就是系统在[0,t]中最后一次更新的时刻。 SN(t) t< SN(t)+1
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中0为常数，求常数A 、B 的值。
设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。
求Y 的概率密度分布函数。
设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere-⎧<=⎨⎩ 求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为Y的正态分布，求X 的概率密度分布。
随机过程作业和答案第三章
随机过程作业和答案第三章第三章马尔科夫过程1、将⼀颗筛⼦扔多次。
记X n 为第n 次扔正⾯出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出⼀步转移概率矩阵。
⼜记Y n 为前n 次扔出正⾯出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出⼀步转移概率矩阵。
解：1)由已知可得，每次扔筛⼦正⾯出现的点数与以前的状态⽆关。
故X(n)是马尔科夫链。
E={1,2,3,4,5,6} ,其⼀步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正⾯出现点数的总和是相互独⽴的。
即每次n 次扔正⾯出现点数的总和与以前状态⽆关，故Y(n)为马尔科夫链。
其⼀步转移概率为其中2、⼀个质点在直线上做随机游动，⼀步向右的概率为p , (0解：由已知可得, 其⼀步转移概率如下：故⼀步转移概率为3、做⼀系列独⽴的贝努⾥试验，其中每⼀次出现“成功”的概率为p ( 0解：由已知得：故为马尔科夫链，其⼀步转移概率为616161616161616161616161616161616161P6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,( i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1, n n n j n n n n i ,,2,1,0 E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1, j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i ⽽时，当 1000000 0000000001Pp q p q p qm m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P )(0)()(,,)(,)(0)(2211mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P )()()(,,)(,)()(22114、在⼀个罐⼦中放⼊50个红球和50个蓝球。
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第三章随机过程作业
1.设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的
均值函数、自相关函数和协方差函数。
2.设是独立增量过程，且，方差函数为。
记随机过程
，、为常数，。
（1）证明是独立增量随机过程；
（2）求的方差函数和协方差函数。
3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为
0、方差为1，求的协方差函数。
4.设U是随机变量，随机过程.
(1) 是严平稳过程吗为什么
(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。
5.设随机过程,其中U与V独立同分布。
(1) 是平稳过程吗为什么
(2) 是严平稳过程吗为什么
6.设随机变量的分布密度为, 令,
试求的一维概率分布密度及。
7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令
试求：的一维分布函数
8.设随机过程, 其中是相互独立的随
机变量 , 且, 试求的均值与协方差函数 .
9.设其中为常数 , 随机变量
, 令 , 试求 :和。
10.设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程
试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。
11.设有随机过程,，其中为均匀分布
于间的随机变量，即试证：
（1）自相关函数
（2）协相关函数
12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作
一个单位距离的随机游动。
若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即
，且各次游动是相互统计独立的。
经过n 次游动，质点所处的位置为。
（1）的均值；
（2）求的相关函数和自协方差函数和。
13.设，其中服从上的均匀分布。
试证 :
是宽平稳序列。
14.设其中服从上的均匀分布. 试
证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 .
15.设随机过程和都不是平稳的，且
其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证
是平稳过程。
16.设是均值为零的平稳随机过程。
试
证 :
仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数，为整数。
17.若平稳过程满足条件，则称是周
期为的平稳过程。
试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。