《多元回归分析》PPT课件
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EXCEL多元回归分析PPT(共46张PPT)
用Excel进行相关与回归分析
用Excel计算描述统计量 用Excel进行相关分析 用Excel进行回归分析
用Excel计算描述统计量
用函数计算描述统计量 描述统计菜单项的使用
一、用函数计算描述统计量
常用的描述统计量有众数、中位数 、算术平均数、调和平均数、几何 平均数、极差、四分位差、标准差 、方差、标准差系数等。下面介绍 如何用函数来计算描述统计量。
单击任一空白单元格， 回车后得几何平均数为14.
产量与需水量之间的关系：抛物线 用Excel进行回归分析 ②R Square（复测定系数R2）：用来说明自变量解释因变量变差的程度，以测定因变量y的拟合效果。 （1）手工输入函数名称及参数
输入“=STDEV（B2:B11）/AVERAGE（ 6313，表示二者之间的关系是正相关。
用Excel进行回归分析
第二步：单击“确定”按钮，弹出“回归”对话框，在“Y值输入区域”输入 $B$1：$B$11；在“X值输入区域”输入$C$1:$C$11，在“输出选项”选 择“$E$1”，如下图所示。
多元回归分析
用Excel进行回归分析
第三步：单击确定按钮，得回归分析结果如下图所示。
回车后得偏度系数为-0. 回车后得调和平均数为1. 第二步：在array1中输入B3：B10，在array2中输入C3：C10，即可在对话框下方显示出计算结果为0. 用Excel进行回归分析 Excel回归分析工具的输出结果包括3个部分： （1）手工输入函数名称及参数 （1）手工输入函数名称及参数 输入“=HARMEAN（B2:B11）”， 方差分析表的主要作用是通过F检验来判断回归模型的回归效果。 用Excel进行回归分析 用Excel进行回归分析 ②R Square（复测定系数R2）：用来说明自变量解释因变量变差的程度，以测定因变量y的拟合效果。 Excel进行回归分析同样分函数和回归分析宏两种形式，其提供了9个函数用于建立回归模型和预测，这9个函数分别是： 项，在“数据分析”项中选择“相关系数”，弹出 第一步：单击“工具”菜单，选择“数据分析” 如果按2/10，即从30个数据中去掉最大的一个值和最小的一个值，再求平均数。 函数的一般导入过程为：点菜单“插入”； 6．TREND计算线性回归线的趋势值 用Excel计算描述统计量 回车后得峰度系数为0.
用Excel计算描述统计量 用Excel进行相关分析 用Excel进行回归分析
用Excel计算描述统计量
用函数计算描述统计量 描述统计菜单项的使用
一、用函数计算描述统计量
常用的描述统计量有众数、中位数 、算术平均数、调和平均数、几何 平均数、极差、四分位差、标准差 、方差、标准差系数等。下面介绍 如何用函数来计算描述统计量。
单击任一空白单元格， 回车后得几何平均数为14.
产量与需水量之间的关系：抛物线 用Excel进行回归分析 ②R Square（复测定系数R2）：用来说明自变量解释因变量变差的程度，以测定因变量y的拟合效果。 （1）手工输入函数名称及参数
输入“=STDEV（B2:B11）/AVERAGE（ 6313，表示二者之间的关系是正相关。
用Excel进行回归分析
第二步：单击“确定”按钮，弹出“回归”对话框，在“Y值输入区域”输入 $B$1：$B$11；在“X值输入区域”输入$C$1:$C$11，在“输出选项”选 择“$E$1”，如下图所示。
多元回归分析
用Excel进行回归分析
第三步：单击确定按钮，得回归分析结果如下图所示。
回车后得偏度系数为-0. 回车后得调和平均数为1. 第二步：在array1中输入B3：B10，在array2中输入C3：C10，即可在对话框下方显示出计算结果为0. 用Excel进行回归分析 Excel回归分析工具的输出结果包括3个部分： （1）手工输入函数名称及参数 （1）手工输入函数名称及参数 输入“=HARMEAN（B2:B11）”， 方差分析表的主要作用是通过F检验来判断回归模型的回归效果。 用Excel进行回归分析 用Excel进行回归分析 ②R Square（复测定系数R2）：用来说明自变量解释因变量变差的程度，以测定因变量y的拟合效果。 Excel进行回归分析同样分函数和回归分析宏两种形式，其提供了9个函数用于建立回归模型和预测，这9个函数分别是： 项，在“数据分析”项中选择“相关系数”，弹出 第一步：单击“工具”菜单，选择“数据分析” 如果按2/10，即从30个数据中去掉最大的一个值和最小的一个值，再求平均数。 函数的一般导入过程为：点菜单“插入”； 6．TREND计算线性回归线的趋势值 用Excel计算描述统计量 回车后得峰度系数为0.
第六章 多元回归分析
2
可决系数
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使 得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除 变量个数对拟合优度的影响:
[ RSS ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ Fk ,n1 n2 2 k ( RSS1 RSS2 ) /(n1 n2 2k )
例6-1：在一个F3，60分布中5%的临界值和拒绝域
面积＝0.95
面积＝0.05
0 2.76 拒绝区域
例6-2：考虑如下解释主要俱乐部棒球运动员薪水的模型：
6.2 参数的最小二乘估计
拟合值和残差的重要性质
（1）残差的样本均值为0； （2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合
值与残差之间的样本协方差也为0；
（3）点( X 2 , X 3 ,
, X k , Y ) 总位于OLS回归线上；
ˆ ˆ X ˆX Y 1 2 2 3 3
（i=2，3…k）
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0： 2=0 进行检验;
另一方面，两个统计量之间有如下关系：
F
e
2 ˆ y i 2 i
n2 ˆ 2
e
ˆ 2 x2 2 i
2 i2) xi2
ˆX k k
随机误差项的均值为0，方差的估计量为：
ee ˆ nk
2
6.3 最小二乘估计量的性质
多元线性回归分析ppt课件
DF 自由度
22 22 22 22 22
Parameter Standard
Estimate Error
t Value
偏回归系数 标准误 t值
5.94327 2.82859 2.10
0.14245 0.36565 0.39
0.35147 0.20420 1.72
-0.27059 0.12139 -2.23
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31很多自变量时，即使其中一些自变量在解释
因变量 Y 的变异时贡献很小，但随着回归方程中自变量的
增加。决定系数仍然会表现为只增不减，故计算校正决定
系数（adjusted coefficient of determination）以消除自变量
个数的影响。公式为：
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2
Multivariate linear regression
概念： 多元线性回归分析也称复线性回归分析（multiple linear regression analysis）,它研究一组自变量如何直接影响一个 因变量。
自变量（independent variable）是指独立自由变量的变量，用向量X 表示；因变量（dependent variable)是指非独立的、受其它变量影响 的变量，用向量Y表示；由于模型仅涉及一个因变量，所以多元线性回 归分析也称单变量线性回归分析（univariate linear regression analysis）
方程组中： lij l ji (Xi Xi )(X j X j ) Xi X j [(Xi )(X j )]/ n liy (Xi Xi )(Y Y ) XiY [(Xi )(Y)]/ n
常数项 b0 Y b1X1 b2 X2 ... bm Xm
第七章多元回归分析文稿演示
❖ 随机误差项具有零均值和同方差
E（ ξ i）=0 var(ξ i)=E(ξ i -E(ξ i))2=E(ξ i)2=σ2 ❖ 随机误差项在不同样本点之间是相互独立的，不存在 序列相关
cov(ξ i, ξ j)=0 i≠j i,j=1,2,…n cov(ξ i, ξ j)=E((ξ i -E(ξ i)(ξ j -E(ξ j))
XXB XY
Bˆ XX1 XY
❖ 以上是通过使用最小二乘法（OLSE）对回归参
数进行的估计，得到的回归参数的最小二乘估
计为
B(X'X)1X'Y
❖ 在正态假定下，回归参数
B
的最大似然估计
（MLE）与最小二乘法（OLSE）是完全相同
的
三、回归方程的效果的检验 ❖ 方程显著性检验 ❖ 回归系数显著性检验 ❖ 拟合优度
(2)构造统计量
F SSR/ p
SSE/(n p1)
(3)检验 给定显著性水平α,查F分布表
若F>Fα,拒绝H0,表明回归总体有显著性关系. 若F<F α,接受原假设,表明不存在线性关系
❖ 2.回归系数显著性检验
❖ 回归系数显著性检验,是对每个解释变量进行检验.
❖ 如果解释变量对被解释变量的影响不显著,应从模型中 删除,如果解释变量对被解释变量的影响显著,应保留在 模型中.
❖令
Q
2 i
Q bˆ
0
Q 即 bˆ0
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi 0
Q
bˆ1
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x1i 0
Q
bˆp
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x pi 0
E（ ξ i）=0 var(ξ i)=E(ξ i -E(ξ i))2=E(ξ i)2=σ2 ❖ 随机误差项在不同样本点之间是相互独立的，不存在 序列相关
cov(ξ i, ξ j)=0 i≠j i,j=1,2,…n cov(ξ i, ξ j)=E((ξ i -E(ξ i)(ξ j -E(ξ j))
XXB XY
Bˆ XX1 XY
❖ 以上是通过使用最小二乘法（OLSE）对回归参
数进行的估计，得到的回归参数的最小二乘估
计为
B(X'X)1X'Y
❖ 在正态假定下，回归参数
B
的最大似然估计
（MLE）与最小二乘法（OLSE）是完全相同
的
三、回归方程的效果的检验 ❖ 方程显著性检验 ❖ 回归系数显著性检验 ❖ 拟合优度
(2)构造统计量
F SSR/ p
SSE/(n p1)
(3)检验 给定显著性水平α,查F分布表
若F>Fα,拒绝H0,表明回归总体有显著性关系. 若F<F α,接受原假设,表明不存在线性关系
❖ 2.回归系数显著性检验
❖ 回归系数显著性检验,是对每个解释变量进行检验.
❖ 如果解释变量对被解释变量的影响不显著,应从模型中 删除,如果解释变量对被解释变量的影响显著,应保留在 模型中.
❖令
Q
2 i
Q bˆ
0
Q 即 bˆ0
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi 0
Q
bˆ1
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x1i 0
Q
bˆp
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x pi 0
第4章多元线性回归分析
4.2.1回归系数估计
结论
4.2 多元线性回归模型参数估计
结论1： OLS估计的一致性 ˆj 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 为一致估计，即
ˆ , j 0, 1, 2, , k p limn j j
结论2： OLS估计的无偏性 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 ˆj 为无偏估计： ˆ ) , j 0, 1, , k E( j j
4.9 自变量共线性 重要概念Biblioteka 4.1 多元线性回归模型设定
模型设定：
假设1（零条件均值:zero conditonal mean）
给定解释变量，误差项条件数学期望为0，即
E(u | X1 , X 2 ,, X k ) 0
Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项 4.8.2 假设条件的放松（二）—异方差 4.8.3 假设条件的放松（三）—非随机抽 样和序列相关 4.8.4 假设条件的放松（四）—内生性
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项
• 去掉假设5不影响OLS估计的一致性、无偏性和渐 近正态性。 • 不能采用t-检验来进行参数的显著性检验，也不能 用F检验进行整体模型检验。 • 大样本情况下，t统计量往往服从标准正态分布 （在原假设下）。
…
xk ( X k1 , X k 2 ,, X kn )
假设2’（样本无共线性:no colinearity）
不存在不全为零的一组数 c0 , c1,, ck使得
c0 c1x1 xk 0
4.2 多元线性回归模型参数估计
心理学研究方法多元回归分析PPT课件
save ——distance –勾上Cook’s和leverage 值
Plots-histogram 和 normal probability plot勾
上-把ZPRED放入Y，把ZRESID放入X轴——
.
12
OK
原始回归方程Y=0.0498X+0.441
标准化回归方程Zy=0.881Zx
β = （δy/ δx）*r =（0.41989/7.426）*0.881=0.04981
.
29
步骤同一元回归
补充步骤 在statistic勾上R square change，part and partial correlation（半偏 相关和偏相关）， conlinerarity diagnostics （共线性判断）
.
30
分层回归方法
Enter：强制进入 Forward：前向选择法 Backward：反向删除法 Stepwise：逐步回归，最常用 把需要控制的变量用这种方法强制enter法
.
39
对强影响点的诊断和处理
同一元线性回归
.
40
多重共线性（conlinerarity diagnostics）
判断方法
✓ 相关系数矩阵：当相关系数>0.8，代表共线性 越大。
✓ 容忍度（tolerance）：最大值为1。当值越小， 代表共线性越大。
✓ 特征值（eigenvalue）：表示该因子所解释变 量的方差。如果很多变量的特征值<1，表示共 线性。
残差是否独立：用durbin-watson进行分析（取值 0<d<4）。如果独立，则d约等于2。如果相邻两点的 残差为正相关，d<2。当相邻两点的残差为负相关时， d>2。
第八讲多元线性回归分析-精选文档
ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
回归分析多元逐步回归
§ 2.5 多元逐步回归算法原理
多元回归模型首先将实际问题所提取的全部变量引 入方程，然后再根据变量的显著性检验把方程中不重 要的变量逐一剔除，建立新方程。
缺点：（1）首先在实际问题中，要提取合 适的变量来建立回归方程本身不是一件很容易 的事情，变量间可能存在高度的相互依赖性会 给回归系数的估计带来不合理的解释；
有更大的回归平方和。
§2.5.1 逐步回归算法的形成思路
如此继续下去，假设已经进行到 l 1 步，那第 l 步
是在未选的变量中选出这样一个变量，它与已选入回 归方程的变量组成 元回归方程，比其他余下的任何
一个变量组成的l 元回归方程，有更大的回归平方和。
逐步回归不仅考虑到按贡献大小逐一挑选重要变量， 而且还考虑到较早选入回归方程的某些变量，有可能 随着其后一些变量的选入而失去原有的重要性，这样 的变量也应当及时从回归方程中剔除，使回归方程中 始终只保留重要的变量。
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
（2）其次变量的一次性引入方程，易导致计 算量增大，运算效率降低，精度不够等问题。
§ 2.5 多元逐步回归算法原理
为了得到一个稳健的、可靠的回归模 型，这就需要给出一种方法，使得能从 影响 y 的因素中自动根据某种准则将y 对
多元回归模型首先将实际问题所提取的全部变量引 入方程，然后再根据变量的显著性检验把方程中不重 要的变量逐一剔除，建立新方程。
缺点：（1）首先在实际问题中，要提取合 适的变量来建立回归方程本身不是一件很容易 的事情，变量间可能存在高度的相互依赖性会 给回归系数的估计带来不合理的解释；
有更大的回归平方和。
§2.5.1 逐步回归算法的形成思路
如此继续下去，假设已经进行到 l 1 步，那第 l 步
是在未选的变量中选出这样一个变量，它与已选入回 归方程的变量组成 元回归方程，比其他余下的任何
一个变量组成的l 元回归方程，有更大的回归平方和。
逐步回归不仅考虑到按贡献大小逐一挑选重要变量， 而且还考虑到较早选入回归方程的某些变量，有可能 随着其后一些变量的选入而失去原有的重要性，这样 的变量也应当及时从回归方程中剔除，使回归方程中 始终只保留重要的变量。
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
（2）其次变量的一次性引入方程，易导致计 算量增大，运算效率降低，精度不够等问题。
§ 2.5 多元逐步回归算法原理
为了得到一个稳健的、可靠的回归模 型，这就需要给出一种方法，使得能从 影响 y 的因素中自动根据某种准则将y 对
多元线性回归分析PPT模板
=1−
SSE
SST
σ e2i
= 1 − σ(y −y)2
i
（6-42）
10
由判定系数的定义可知，R2的大小取决于残差平
2
方和σ e2i 在总离差平方和σ(yi − y) 中所占的比
重。在样本容量一定的条件下，总离差平方和与
自变量的个数无关，而残差平方和则会随着模型
中自变量个数的增加而不断减少，至少不会增加。
回归系数对应的自变量对因变量的影响是否显著，以
便对自变量的取舍做出正确的判断。一般来说，当发
现某个自变量的影响不显著时，应将其从模型中删除，
这样才能做到以尽可能少的自变量达到尽可能高的拟
合优度。
17
多元模型中回归系数的检验同样采用t检验，其原理和基本
步骤与一元回归模型中的t检验基本相同，此处不再赘述。
因此，R2是自变量个数的非递减函数。
11
在一元线性回归模型中，所有模型包含的变量个
数都相同，如果所使用的样本容量也一样，判定
系数便可以直接作为评价拟合优度的尺度。然而
在多元线性回归模型中，各回归模型所含的变量
的个数未必相同，以R2的大小作为衡量拟合优度
的尺度是不合适的。
12
因此，在多元回归分析中，人们更常用的评价指标是所谓
( ′ )是一个(k + 1) × (k + 1)的对称矩阵，根据标准假定1，
rank() = k + 1，k + 1个变量之间不存在高度的线性相关，
因此其逆矩阵存在。式（6-40）两边同时除以( ′ )，可以
得到回归系数最小二乘估计的一般形式：
= ( ′ )−1 ′
（6-41）
第5章多元线性回归分析
Y
n 1
X
nk
β
k 1
u
n 1
17
总体回归函数
E(Y )= X β
或 Y=X β+u
样本回归函数
ˆ u,e 都是有 n 个元素的列向量 其中：Y,Y,
ˆ Yˆ = X β
或
ˆ +e Y = Xβ
β , βˆ
是有
k 个元素的列向量
X 是第一列为1的 n k 阶解释变量
数据矩阵 (截距项可视为解释变量 取值为1)
2
——简单相关系数 简单相关系数（simple correlation coefficient）分别反映各个自变量与因变量的 相关关系。对于二变量的情形，计算公式为
3
——偏相关系数 简单相关系数旨在反映变量之间两两线性 关系，但实际上，每一个简单相关系数不可能 绝对不包括其他因素的相关成分。为了克服简 单相关系数的间接相关信息，提出另一种检验 指标偏相关系数（partial correlation coefficient）。偏相关系数旨在排除其它因素的 影响，单纯反映某个自变量与因变量之间的密 切程度。对于二变量的情形，计算公式如下
18
三、多元线性回归中的基本假定
假定1：零均值假定 E () u 0 ( i 1 , 2 , ,) n i 或
E (u) = 0
假定2和假定3：同方差和无自相关假定
2 i= j C o v ( u ,) u E [ ( u E u ) ( u E u ) ] E ( u u ) i j i i j j ij 0 (i j)
或
其中
i 1 , 2 , ,n
回归剩余（残差）：
ˆ ei Yi - Y i
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..........
yn 0 1xn1 2 xn2 ... p xnp n
写成矩阵形式
y1 Y= y2
1 x11 x21 … x1p x= 1 x12 x22 … x2p
yn
1 x1n x2n … xnp
0
1
...
Q 即 bˆ0
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi 0
Q
bˆ1
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x1i 0
Q
bˆp
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x pi 0
利用t统计量进行参数显著性检验的步骤如下:
(1)对总体参数提出假设:H0:bi=0
(2)构造统计量:
ti
bi
(3)检验
cii
n
1 p
1
n
i 1
ei2
（回归标准差）
对给定α,若︱t︱>t α /2,说明拒绝原假设 若︱t︱<t α /2,则接受原假设.
当有多个自变量对因变量y无显著影响时,可以剔除多 余变量，但由于自变量间的交互作用，不能一次剔除 所有不显著变量。一般是将t值（绝对值）最小的变量 删除掉,每次只剔除1个变量 ,再对求得的新的回归方程 进行检验，直到保留的变量都对y有显著影响为止。
,2
,...,
相互独立
n
n
二、回归参数的估计
设
Yˆ i bˆ 0 bˆ1x1i bˆ 2x2i bˆ pxpi
i yi yˆi yi bˆ 0 bˆ1x1i bˆ 2x2i bˆ 2 i
Q bˆ
0
x11
x12
x1n
2
0
x
p1
xp2
x
pn
n
0
xe 0
Y XB e X Y X XB X e
X XB X Y
Bˆ X X 1 X Y
以上是通过使用最小二乘法（OLSE）对回归参
p
ξ1 ξ2 e= …
ξn
则 Y=Xβ+e
一、多元线性回归模型的基本假定
解释变量x1,x2,…,xp是确定性变量，不是随机变量，而 且rk(X)=P+1<n,表明矩阵X中的自变量列间无多重共线 性
随机误差项具有零均值和同方差
E（ ξ i）=0 var(ξ i)=E(ξ i -E(ξ i))2=E(ξ i)2=σ2 随机误差项在不同样本点之间是相互独立的，不存在 序列相关
第七讲 多元回归分析
（主讲人：许雪剑 唐桂庆）
在许多经济问题中，一元线性回归只不过是回 归分析中的一种特例，它通常是对影响某种经 济现象的许多因素进行了简化考虑的结果。
若某公司管理人员要预测来年该公司的销售额y 时，研究认为影响销售额的因素不只是广告宣 传费x1,还有个人可支配收入x2,价格x3,研究与 发展费用x4,各种投资x5,销售费用x6.
因此我们需要进一步讨论多元回归问题。
第一节 多元线性回归 第二节 可化为多元线性回归的问题 第三节 自变量的选择与逐步回归
第一节 多元线性回归
多元线性回归模型一般形式
y 0 1x1 2 x2 ... p xp
其中，0，1 ，…， p是p+1个未知参数，0为回归常 数，1 ，…，p为回归系数。y称为被解释变量, x1 ，x2…, xp是p个可以精确测量并可以控制的一般变 量，称为解释变量
2i 0
i 0
2 i x1i 0
i x1i 0
2 i xpi 0
i xpi 0
1 2 n 0 1x11 2x12 nx1n 0
1xp1 2xp2 nxpn 0
1 1 1 1 0
对一实际问题，若得到n组观测数据 （ xi1 , xi2 ,…, xip ; yi）,i=1,2,…,n,则线性模 型可表示为：
y1 0 1x11 2 x12 ... p x1p 1
y2
0
1x21
2 x22
...
p x2 p
2
数进行的估计，得到的回归参数的最小二乘估
计为
B ( X ' X )1 X 'Y
在正态假定下，回归参数
B
的最大似然估计
（MLE）与最小二乘法（OLSE）是完全相同
的
三、回归方程的效果的检验 方程显著性检验 回归系数显著性检验 拟合优度
链接
1.方程显著性检验(F检验)
(3)检验 给定显著性水平α,查F分布表
若F>Fα,拒绝H0,表明回归总体有显著性关系. 若F<F α,接受原假设,表明不存在线性关系
2.回归系数显著性检验
回归系数显著性检验,是对每个解释变量进行检验.
如果解释变量对被解释变量的影响不显著,应从模型中 删除,如果解释变量对被解释变量的影响显著,应保留在 模型中.
cov(ξ i, ξ j)=0 i≠j i,j=1,2,…n cov(ξ i, ξ j)=E((ξ i -E(ξ i)(ξ j -E(ξ j))
=E(ξ i )E(ξ j) =0
随机误差项与解释变量之间不相关 cov(xi, ξ i)=0
随机误差项的正态分布假定条件为
i 1
~ N(0, 2) i 1,2,...,
F检验是以方差分析为基础,对回归总体线性关系是否 显著的一种假设检验,是解释模型中被解释变量与所有 解释变量之间的线性关系在总体上是否显著的方法
利用F统计量进行总体线性显著性检验的步骤如下:
(1)提出关于P个总体参数的假设
H0:b1=b2=…=bp=0
(2)构造统计量
F SSR / p
SSE /(n p 1)