12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理

第十二讲 矩阵特征值估计

特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。

一、 特征值界的估计

定理1. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有

()

Im M

λ≤其中，ij ji

1i ,j n

a a M

m a x

2

≤≤-=

证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x

x

=λ，

H

x x 1=，

则 H

x A x

λ=

→

(

)

()

H

H

H

H H

x A x x

A x x A x

λ==

=

()

()()H

H

H

T

2jIm x

A

A

x

x

A

A

x λ-λ=λ=-=-

将x 写成[]

T

12n x

,,,=ξξξ

()()n

n

H

T

i ij ji j

i 1

j 1

x

A

A

x a a ==-=ξ-ξ∑∑

()

()()n n

i ij ji j

i 1j 1

n

n i ij ji j

i 1

j 1

2I m a a a a ====λ=

ξ-ξ≤

ξ-ξ∑∑

∑∑

n

'

i j ij ji

i ,j 1

a a ==

ξξ-∑

（'∑表示不含i ＝j ）

n

'

i j

i ,j 1

2M

=≤ξξ∑

()

2

n

2

2

'

i j i ,j 1

I m M

=⎛

⎫λ≤ξξ ⎪

⎝

⎭

∑

()

n

2

2

'

i j

i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑

()

n

2

2

2

'

i

j

i ,j 1M n n 1==-ξξ∑

n

n

n

n

n

2

2

2

2

4

2

4

'

i

j

i

j

i

i

i

i ,j 1

i ,j 1

i 1

i 1

i 1

=====ξξ=

ξξ-

ξ≤

ξ-

ξ∑

∑

∑

∑

∑

(

)n

2

2

i

i

i 11==

ξ-ξ∑

不妨写为： (

)

(

)

(

)n

2

222

2

2

1

1

2

2

i

i i 3

111==ξ-ξ

+ξ

-ξ

+

ξ

-ξ∑

(

)(

)(

)2

2

2

2

2

2

n

11

22

2

2

i

i

i 3

1112

2

=⎛⎫⎛⎫ξ

+-ξξ

+-ξ ⎪

⎪

≤++

ξ-ξ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

∑

12

≤

取等号的条件为2

2

1

2

12

ξ=ξ=

，但

2

x

1

=，所以其它2

i

ξ=

∴

()

Im M

λ≤定理2. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ

()R e n λ≤τ ()

I m n s

λ≤

其中，ij

1i,j n

m a x a ≤≤ρ

=，ij ji

1i,j n

m a x a a ≤≤τ

=+，ij ji

1i,j n

s

m a x a a ≤≤=-

二、 盖尔圆法

定义：设()

n n

ij

n n

A

a C

⨯⨯=

∈,由方程

n

ii i ij

j 1

i j

z a R a =≠-≤=

∑

所确定的圆称

为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。