电路方程的矩阵形式
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13-电路方程的矩阵形式
n1 n n2 n3
矩阵形式 KVL : ub AT un
B 二.基本回路矩阵： = { b i j } l b 基本回路数 支路数 1.约定：（1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 （2）支路排列顺序为先连支后树支。 1 支路j与回路i关联，方向一致。 bij= -1 支路j 与回路i关联，方向相反。 0 支路j 不在回路 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 5 4 支路 3l 3 4 5 6 回路 1 2 3 l3 0 1 -1 0 l2 1 1 0 0 1 -1 1 = [ 1 Bt ] 2 B= 2 0 1 6 1 0 1 -1 l1 3 0 0 Bl Bt 1
2.基本回路矩阵Bf 表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KVL的矩阵形式
设 ub [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul
ut
u1 u3 u4 u2 u5 u6
l个独立 KVL方程
（2）KVL的矩阵形式 ３ 电路中的（n-1）个树支电压可用 （n-1）阶列向量表示，即 Q
４ ６ ５ 1 Q2
ut ut 1
T
ut 2
0 1 0 1 0 1
... ut ( n1)
1
T
２ Q3
ub Q f ut
1 0 0 T Q f ut 1 1 0
本章内容佳木斯大学信息电子技术学院佳木斯大学信息电子技术学院13131关联矩阵回路矩阵割集矩阵132回路电流方程的矩阵形式133结点电压方程的矩阵形式134状态方程136割集电压方程的矩阵形式135本章主要在图的基本概念的基础上介绍了关联矩阵回路矩阵和割集矩阵以及用这些矩阵表示的kclkvl方程
矩阵形式 KVL : ub AT un
B 二.基本回路矩阵： = { b i j } l b 基本回路数 支路数 1.约定：（1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 （2）支路排列顺序为先连支后树支。 1 支路j与回路i关联，方向一致。 bij= -1 支路j 与回路i关联，方向相反。 0 支路j 不在回路 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 5 4 支路 3l 3 4 5 6 回路 1 2 3 l3 0 1 -1 0 l2 1 1 0 0 1 -1 1 = [ 1 Bt ] 2 B= 2 0 1 6 1 0 1 -1 l1 3 0 0 Bl Bt 1
2.基本回路矩阵Bf 表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KVL的矩阵形式
设 ub [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul
ut
u1 u3 u4 u2 u5 u6
l个独立 KVL方程
（2）KVL的矩阵形式 ３ 电路中的（n-1）个树支电压可用 （n-1）阶列向量表示，即 Q
４ ６ ５ 1 Q2
ut ut 1
T
ut 2
0 1 0 1 0 1
... ut ( n1)
1
T
２ Q3
ub Q f ut
1 0 0 T Q f ut 1 1 0
本章内容佳木斯大学信息电子技术学院佳木斯大学信息电子技术学院13131关联矩阵回路矩阵割集矩阵132回路电流方程的矩阵形式133结点电压方程的矩阵形式134状态方程136割集电压方程的矩阵形式135本章主要在图的基本概念的基础上介绍了关联矩阵回路矩阵和割集矩阵以及用这些矩阵表示的kclkvl方程
电路方程的矩阵形式
回路序号与对应连支所在列的序号相同； 回路绕向与连支方向相同 2 用回路矩阵B表示的KCL、KVL矩阵方程 用回路矩阵表示的KVL矩阵方程： 用回路矩阵表示的KCL矩阵方程：
用回路矩阵表示的KVL矩阵方程
用回路矩阵表示的KCL矩阵方程
三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1 割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
树的概念
树支：连接所有节点，不构成闭合回路的支路与节点相互连通 的图。图G的树为：（a)、(b)、(c)。(d)、(e)不是树
割 集 的 定 义
adf, bcf, abe,def,bdef, acef,abcd七种是割集, adef ,abcde不是割集。
状态变量 列向量
状态变量
三、列状态方程
对线性时不变动态网络，独立的电容电压和 电感电流就是能满足上述条件的一组变量， 可作为网络的一组状态变量。举例见P357
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表 示）
用回路矩阵表示的KVL矩阵方程
用回路矩阵表示的KCL矩阵方程
三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1 割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
树的概念
树支：连接所有节点，不构成闭合回路的支路与节点相互连通 的图。图G的树为：（a)、(b)、(c)。(d)、(e)不是树
割 集 的 定 义
adf, bcf, abe,def,bdef, acef,abcd七种是割集, adef ,abcde不是割集。
状态变量 列向量
状态变量
三、列状态方程
对线性时不变动态网络，独立的电容电压和 电感电流就是能满足上述条件的一组变量， 可作为网络的一组状态变量。举例见P357
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表 示）
电路方程的矩阵形式
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
3 独立割集---能够列出一组独立的KCL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 基本割集---以树的概念确定的单树支割集
往往以基本割集互感时不是对角阵（主对 角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ，
5 节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方 阵，
主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳；
电路中有互感时仍为n-1阶方 阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳 都有可能含有互感。
§5 割集电压方程的矩阵形式
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
常态树：树支不包含电流源和电感元件的树
5 割集导纳矩阵Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压， 称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
状态变量法借助一组称为状态变量的辅 助变量，建立关于状态变量与输入变量 的一阶微分方程组，称为状态方程。建 立输出与状态变量和输入的关系称为输 出方程。
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
3 独立割集---能够列出一组独立的KCL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 基本割集---以树的概念确定的单树支割集
往往以基本割集互感时不是对角阵（主对 角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ，
5 节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方 阵，
主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳；
电路中有互感时仍为n-1阶方 阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳 都有可能含有互感。
§5 割集电压方程的矩阵形式
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
常态树：树支不包含电流源和电感元件的树
5 割集导纳矩阵Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压， 称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
状态变量法借助一组称为状态变量的辅 助变量，建立关于状态变量与输入变量 的一阶微分方程组，称为状态方程。建 立输出与状态变量和输入的关系称为输 出方程。
《电路分析》电路方程的矩阵形式
2
3
1
6
1 2 3456
1 1 1 1 0 0 0
4
Aa
2
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0 1
0 1 1 0 0011
1
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0 1 1
2
5
4
1
1 2 3456
1 1 1 1 0 0 0
A
2
0
0 1 1 0
1
3 1 0 0 1 1 0
4
0
1
0
0 1 1
2-1、回路矩阵B
B定义：行对应图的回路li ，列对应图的 各 个 支 路 bj ， 是 (b-n+1)b 的 矩 阵 。 B=[bij]中： 当支路j不在回路i内， bij=0; 当支路j在回路i内，且支路方向与回路
U2 Z2 (I2 Is2 ) Us2
Ub Zb (Ib Isb ) Usb
VCR:
U1 Z1(I1 Is1) Us1
U2 Z2 (I2 Is2 ) Us2
Ub Zb (Ib Isb ) Usb
其中:
Z1 0
0
Z2
Z0 0
0 0
Ub ZI b Us ZI s
Ι T sb
15-4 回路电流方程的矩阵形式
一、复合支路模型:(记忆)
I sk
Ιk
- U sk +
Zk
+
Uk
-
电路图中第k条支路
P342 图15-7
k 有向图中第k条支路
I sk
Ιk
Ιsk - U sk +
Zk
+
Uk
-
Uk Zk (Ik Isk ) Usk
电路方程的矩阵形式ppt课件
第十五章 电路方程的矩阵形式
结束
重点
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩 阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结
点电压方程和割集电压方程； 难点
割集电压方程的列写。
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果
称为基本割集组。
l1
l2
结束
bt l3
Q
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
6
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
4
1
5 8
5 8
Q2
6
6
7
7
3
2 Q1 3
2
Q3
4
1
结束
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8) Q2 (1,3,5,8) Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8)
Q1
树支为
4
1
同一个图，有
5,6,7,8 Q4 时的基
5 8
6
Q2 许多不同的树， 因此能选出许
本割集 组。
7
3
2
Q3
多不同的基本 割集组。
7
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩
阵 1. 关联矩阵的特点
描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
(1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关
bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反；
bjk= 0，支路k与回路j无关联。
结束
重点
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩 阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结
点电压方程和割集电压方程； 难点
割集电压方程的列写。
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果
称为基本割集组。
l1
l2
结束
bt l3
Q
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
6
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
4
1
5 8
5 8
Q2
6
6
7
7
3
2 Q1 3
2
Q3
4
1
结束
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8) Q2 (1,3,5,8) Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8)
Q1
树支为
4
1
同一个图，有
5,6,7,8 Q4 时的基
5 8
6
Q2 许多不同的树， 因此能选出许
本割集 组。
7
3
2
Q3
多不同的基本 割集组。
7
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩
阵 1. 关联矩阵的特点
描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
(1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关
bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反；
bjk= 0，支路k与回路j无关联。
电路方程的矩阵形式(专业)
第15章 电路方程的矩阵形式
重点 1.图、树、割集 2.关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集 矩阵的概念及描述 3、回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式
第15章 电路方程的矩阵形式
15.1 割集
一.割集Q 是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：
(1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； (2) 保留Q 中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。
1 0 0 0 11
i1
④1
i
2
i3
i
4
i5
i1 i2 i4
i3 i4 i5
i1 i5 i6
0
i6
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
n-1个独立方程
② 用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程
u4
u4
0
Qf
u T t
0 1
1
1 0 1 1
0
1
0
1
u4 u5 u6
u4
u5 u6 u4 u5
u5
u6
u5 uu16 u2
i1 i2
i2 i3 i1
i2
i3
i5
i6
i1
i2
0 0 1
i3 i3
[Bf]=[ Bt 1 ]
[Bf
]T
重点 1.图、树、割集 2.关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集 矩阵的概念及描述 3、回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式
第15章 电路方程的矩阵形式
15.1 割集
一.割集Q 是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：
(1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； (2) 保留Q 中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。
1 0 0 0 11
i1
④1
i
2
i3
i
4
i5
i1 i2 i4
i3 i4 i5
i1 i5 i6
0
i6
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
n-1个独立方程
② 用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程
u4
u4
0
Qf
u T t
0 1
1
1 0 1 1
0
1
0
1
u4 u5 u6
u4
u5 u6 u4 u5
u5
u6
u5 uu16 u2
i1 i2
i2 i3 i1
i2
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i1
i2
0 0 1
i3 i3
[Bf]=[ Bt 1 ]
[Bf
]T
电路第15章电路方程的矩阵形式
元件参数的识别
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
电路方程的矩阵形式
2
4
③
3Q
1
25 Q
3
④Q
1
Q1（1，2，4，5） Q2（3，2，4） Q3（6，4，5）
12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、关联矩阵
1、完全关联矩阵Aa
6
①
②
2
4
③ 节点 1： i1 i2 i6 0 节点 2： i2 i3 i4 0
1
3 5
树 指图G中的一个连通子图，它包含图G的全部节点 而不包含任一回路。
显然，对含n个节点的电路来说，树支数目为n-1。
6
①
②
2
4
③①
②
③
1
3 5
3
1
5
④
④
G
6
①
②
2
4
③
1
3 5Biblioteka ④12.2 回路、树、割集
①
②
③
3
1
5
④
6
②
①
③
3 1
④
6
②
①
2
4
③
3
1
5
④ G
12.2 回路、树、割集
①
②
2
4
③
5
④
②
①
l11 0 0 1 1 0 Bf l20 1 0 0 1 1[Bl :Bt][1l :Bt]
l30 0 1 1 0 1
Bl
Bt
12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
三、割集矩阵 描述有向图中割集和支路关联的性质
1、独立割集矩阵Q:
独立割集的个数为n-1个 给割集赋一方向
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
电路方程的矩阵形式
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1.关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程。
难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。
§ 15.1 图的矩阵表示1. 有向图的关联矩阵2.电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。
若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。
有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述 3. 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
4. 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
5. 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
6. 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。
7.一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。
支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。
设有向图的结点数为 n ,支路数为b ,且所有结点与支路均加以编号。
于是，该有向图的关联矩阵为一个 」阶的矩阵，用 表示。
它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素 定义如下：8.，表示支路 k 与结点j 关联并且它的方向背离结点9.-1 一，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点； 10.n:A，表示支路k 与结点j 无关联。
对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是1 23 45 61'-I -1 0 1 0 0A=2 0 0 1 -1-1 D 3 41 0 0 0+1 +4 0 +1 -1 0图 15.1J-的每一列元素之和为零。
关联矩阵丄的特点:①每一列只有两个非零元素，一个是+1，—个是-1，如果把 的任一行划去，剩下的矩阵用 亠』表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵， 所以往往略去“降阶”二字） ，被划去的行对应的结点可以当作参 考结点。
例如，若以结点4为参考结点，把上式中'3-的第4行划去，得 A0 0-1 0+1 -+1的第3行划去，得 A0 01-1 0 0 -1或一个-1 ，每一个这样的列必对应于与参考结从而画岀有向图。
第15章电路方程的矩阵形式
矩阵形式的KCL：[ Q ][i ]=0
it Ql il
[1
Ql
] iilt
0
回路矩阵表示时 BTt il it
Ql BtT
４
５
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
回支 4 5 6 1 2 3
1 1 -1 0 1 0 0 B = 2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1 ]
6
2 13
1
3
基本回路数=连支数=b-(n-1)
3.割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
12
5
4
3
{2,4,5,6} 12
3
{2,3,6}
1 5•
4
{1,3,5,6}是否割集？
•
Idk gkj Uej gkj (U j Usj )
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) gkj (U j Usj ) Isk
•
(2) I dk 为 CCCS
•
•
设 I dk kj I ej
•
•
•
I ej
Yj
(U
j
Usj
)
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) kjYj (U j Usj ) Isk
第15章 电路方程的矩阵形式
②
2 2 1
③
②
1
①
5 4 6 3
④
5 4 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
①
③
3
④
12
②
②
②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4 6
2
③
3
④
3
④
6
6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 4 , 6}
Q4: { 1 , 5 , 2 }
13
单树支割集（基本割集） 单树支割集（基本割集）
矩阵形式的KCL 矩阵形式的
i1 i2 i3 i4 i5 i6
Ai= 0
24
②
1
①
2 5 4
④ ③
矩阵形式KVL 矩阵形式
A un = u
T
3 6
un1 − un 2 1 −1 0 − u + u 0 −1 1 n3 u n2 n1 un 3 0 0 1 = = un 2 − u n1 0 − 1 0 un 3 un 2 0 1 0 un1 − un 3 0 − 1 1
18
例：任选一树，确定一组基本割集 任选一树，
Q1 2 3 5 6 7 8 4 5 6 7 Q5 8 Q4 1
解：
2 3
1 Q2 4 Q3
Q1[1,2] Q2[2,3,4] Q3[4,5]
Q4[4,6,7] Q5[7,8]
19
15- 关联矩阵、回路矩阵、 §15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
2 2 1
③
②
1
①
5 4 6 3
④
5 4 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
①
③
3
④
12
②
②
②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4 6
2
③
3
④
3
④
6
6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 4 , 6}
Q4: { 1 , 5 , 2 }
13
单树支割集（基本割集） 单树支割集（基本割集）
矩阵形式的KCL 矩阵形式的
i1 i2 i3 i4 i5 i6
Ai= 0
24
②
1
①
2 5 4
④ ③
矩阵形式KVL 矩阵形式
A un = u
T
3 6
un1 − un 2 1 −1 0 − u + u 0 −1 1 n3 u n2 n1 un 3 0 0 1 = = un 2 − u n1 0 − 1 0 un 3 un 2 0 1 0 un1 − un 3 0 − 1 1
18
例：任选一树，确定一组基本割集 任选一树，
Q1 2 3 5 6 7 8 4 5 6 7 Q5 8 Q4 1
解：
2 3
1 Q2 4 Q3
Q1[1,2] Q2[2,3,4] Q3[4,5]
Q4[4,6,7] Q5[7,8]
19
15- 关联矩阵、回路矩阵、 §15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
电路PPT课件第15章 电路方程的矩阵形式
ppt课件
11
§15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一. 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
aij = 1 aij aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
节点数 支路数
有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i
1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
ppt课件
17
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割
R1
ppt课件抽象
i1 i2
i3
有 向 图2
连通图 图
不连通图
+
-
抽象 不连通图
+ -
二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点}
抽象 连通图
① １ ②ppt课件
允许孤立节点存在3
2.子图
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
电路方程的矩阵形式
连支所构成的割集为单树支割集。
(a, b, e), 如下图中 (b, c, f ), ( a, f , d )
④ n 个结点和 b 条支路的连通图，其树支为( n -1)，有(n
-1)个单树支割集，称为基本割集组，n个结点的连通图，独立 割集为( n -1)，独立割集不一定是单树支割集。 ⑤ 连通图可以有许多不同的树，可选出许多基本割集组。
这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用 Bf 表示 Bf 的行列次序：l 条连支依次排列在对应于 Bf 的第 1 至 l 列, 然后再排树支；每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号, 该连支的方向为对应回路的绕行方向，Bf 中将出现一个 l 阶单位子矩阵
B f应的部分
② 回路矩阵 B 左乘支路电压列向量，所得乘积是一个 l 阶列
向量，因矩阵 B 的每一行表示每一对应回路与支路的关联情况.
BU 0,
回路1中的 u 回路 2 中的 u 0 BU 回路 l 中的 u
Chapter 15 电路方程的矩阵形式
主 要 内 容
1．关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵;
2．KCL, KVL的矩阵形式；
3．回路电流（网孔电流）方程，结点电压方程，
割集电压方程和列表方程的矩阵形式；
4. 状态方程.
§15-1 割集
KCL 和 KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系 取决于电路中各元件的连接方式。 电路的拓扑--电路中各元件的连接方式。 电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图,回路,树,割 集等）。 1. 割集：是 G 的一个支路集合，移去这些支路，将使 G 分 离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的. 可以利用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集, 与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（ 因移去这些支路，
第14章 电路方程的矩阵形式
⎧+1 ⎪ bij = ⎨−1 ⎪0 ⎩
支路j与回路i相关联，且二者方向一致(正向关联) 支路j与回路i相关联，且二者方向相反(反向关联) 支路j与回路i非关联
基本回路矩阵表示的 KVL 方程的矩阵形式为
B f ub = 0
基本回路矩阵表示的 KCL 方程的矩阵形式为
i b = BTf i l
（3）基本割集矩阵及其表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 基本割集就是单树支割集，习惯规定基本割集的方向与其关联的树支方向一致，基本割集的数 目等于树支数。设一个基本割集由某些支路组成，则称这些支路与该基本割集相关联，支路与割集 关联的性质可用基本回路矩阵 Q f 表示， Q f 的行对应基本割集，列对应支路，它的每个元素 qij 定 义如下
Ai b = 0
关联矩阵表示的 KVL 方程的矩阵形式为
ub = A Tu n
（2）基本回路矩阵及其表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 在有向图中，基本回路就是单连支回路，习惯规定基本回路的方向与连支的方向一致，对于一 棵树，其基本回路与支路的关联情况可用基本回路矩阵 B f 来表示， B f 的行对应于基本回路，列对 应于支路。设一个基本回路由某些支路组成，则称这些支路与该基本回路关联，它的每个元素 bij 定 义如下
⎡ jω L1 ⎢ ± jω M ⎣
⎡ L2 −1 ⎢ ± jω M ⎤ =⎢ Δ ⎥ jω L2 ⎦ ⎢ ∓M ⎢ ⎣ Δ
∓M ⎤ Δ ⎥ ⎥ L1 ⎥ ⎥ Δ ⎦
两个电流从同名端流入时取“ − ”号，异名端流入时取“+”号。式中 Δ = jω L1 L2 − M 对于全耦合情况， Yb 不存在。 （3）含受控源情形 当电路中含有受控源时，标准支路的一般形式为
U k = Z k ( I k + I sk ) − U sk = Z k I k + Z k I sk − U sk
电路方程的矩阵形式
电路方程的矩阵形式
一、实际工程应用中，电路的规模日益增大，结构日益复杂，为了便于借助计算机做为辅助手段，求解方程，要求将电路方程用矩阵形式表示。
1，回路电流方程（网孔电流法）由于描述支路与回路关联性质的是回路矩阵B，所以适合用以Ｂ表示的ＫＣＬ和ＫＶＬ推到回路电流方程的矩阵形式，在加一组约束方程，便得到了回路方程的矩阵形式。
（不允许存在无伴电流源）
２，节点电压法：节点电压法以结点电压为电路的独立变量，并且用ＫＣＬ列足够的独立方程。
宜用以矩阵A表示的KCL和ＫＶＬ推到结点电压方程的矩阵形式。
在加一组约束方程，便得到了结点电压法的矩阵形式。
（不允许存在无伴电压源）
3，另外还有割集电压方程，（割集电压法是结点电压法的推广）列表法等方法，列表法适应性很强，方程易于建立，但缺点是规模大，零元素所占比例越大，稀疏技术发展以使这一缺点变得微不足道。
二．二端口网络
任何复杂由线性Ｒ、Ｌ（Ｍ）、Ｃ元件构成的无源一端口可以用一个等效阻抗表征它的外部特性。
同理，任何给定的由线性Ｒ、Ｌ（Ｍ）、Ｃ元件构成的无源二端口的外部性能可以用３个参数确定，那么只要找到一个由具有三个阻抗组成的简单二端口，两个二端口参数相同，则两个二端口的外部特性完全相同，它们是等效的。
三、回转器和负阻抗变换器
回转器有把一个端口上的电流“回转”为另一个端口上的电压或相反的过程的本领。
正是这一性质，使回转器具有把一个电容回转为一个电感的本领。
负阻抗变换器（简称ＮＩＣ）也是一个二端口，为电路设计中实现负Ｒ、Ｌ、Ｃ提供可能行。
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4
3
4 0 0 -1 1 -1 0
④
6 节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1
Aa=
2 3
-1 -1 0 011
0 0
10 0 -1
4 0 0 -1 1 -1 0
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
Ik
Iek U Sk
Zk IS
U k
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS2 ISb T
U U1 U 2 Ub T
U S U S1 U S2 U Sb T
Z=diag[Z1 Z2 Zb ]
Y=diag[Y1 Y2 Yb ]
Z=Y -1
I Y (U S U ) IS
第十五章 电路方程的矩阵形式
本章重点 （1）图的矩阵表示 关联矩阵A 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q （2）矩阵形式的 KCL、KVL （3）节点电压方程的建立
§15-1 图的基本概念
i1 i2 i3 i1 i2 i3 i = 0
抽象
i1 i2 i3
+
抽象
支路
-
无
一. 图的基本概念
抽象
向
L
图
uS
R2 C
有 向
R1
抽象
图
连通图 图
不连通图
+
-
抽象 不连通图
+ -
二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点}
抽象 连通图
① １ ②
允许孤立节点存在
2.子图
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
3. 连通图 图G的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图。 4.有向图
u4
0
0
1
1
1 0 1 1
0
1
0
1
u4 u5 u6
u4
u5 u6 u4 u5
u5
u6
u5
u6
u1
u2
0 1 1
u5 u6 u3
KVL的另一种形式
[u]
ut
ul
QTut
1
QTl
ut
ul
Q
T l
ut
用树支电压表示连支电压
0 j 支路不在割集i中
４
５
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
设
[i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
ut=[ u4 u5 u6 ]T
(2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向。
§15-2. 回路、树、割集
一. 回路
回路L是连通图G的一个子图。
具有下述性质
(1)连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。
123 75
6 84
23 5 回路
12 5
78 4 不是回路
二 . 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组。
②
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
小结：
A
B
KCL Ai=0
KVL ATun=u
Ql
B
T t
BTil=i
it BTt il
Bu=0 ul = - Btut
Q
Qi=0 it Qlil
QTut=u
ul
Q
T l
ut
§15-4 回路电流方程的矩阵形式
一. 复合支路
由RLC、电压源、电流源组成 参考方向如图所示 不存在无伴电流源
二. 复合支路约束方程
Z
diag[R1 , R2 ,
jL3 ,
jL4 ,
1 ]
jC5
.
.
I S [I S1 0 0 0 0]T
R1
jL3
1
jC5
1
jC5
R2
1
jC5 jL4
1
jC5
.
Il1
.
Il2
R1
.
IS1
.
U
S
2
§15-5 节点电压方程的矩阵形式
电路分析依据：
KCL A i =0 KVL u=ATun 元件特性方程
0
1
0
0
1 1 1 0 1 0
0
1
1
0
0
1
i1
i2
i3
i1 i2 i1 i2 i2 i3
i1 i2 i3
i3
i4
i5
i6
i1
i2
i3
KCL的另一种形式
B=[ Bt 1 ]
it
B
T t
il
BT
B1Tt
B1Tt
il
it
un1 un2
un3
1
un1 un2
un2
un3
un3 un1
un2
un1 un3
u1
u2
u3
u4
u5 u6
ATun u
结点电压
支路电压
二. 基本回路矩阵B 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质
４
５
３
２
６
1
B = {b ij} lb
基本回路数 支路数 约定：
1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
回支 4 5 6 1 2 3 1 1 -1 0 1 0 0
i6
0
i1
i2
i5
i2 i3 i6
矩阵形式的KCL A i = 0
1
①
4
②
2
5 3
④
6
矩阵形式KVL
③
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
1
0
0
1
0 1
1 1 0 0 1 0
0
1 1 0 0
il
用连支电流表示树支电流
三. 基本割集矩阵Q
用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质
４
５
Q = { q i j } n-1 b
３
基本割集数 支路数
２
６ 约定 (1) 割集方向与树支方向相同。
1
(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。
1 j支路在割集i中且与割集i方向一致
qij= -1 j支路在割集i中且与割集i方向相反
3、当电路中含有与无源元件串联的受控电压源时（控制量 为其它支路无源元件的电压或电流）， Z不再是对角阵。
三. 回路方程
KVL BU 0
Ik
Iek U Sk
KCL I BT Il
Zk IS
VCR U ZI ZIS U S
BU BZI BZIS BU S 0
U k
BZB T Il BU S BZIS
单树支割集 单树支割集
1
独立割集 独立割集
3
2
4
{1，2，3，4} 割集
1
2
3
4
{1，2，3，4} 割集
三个分离部分
4 保留4支路，图不连通的。
§15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一. 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割 集。
单树支割集（基本割集）
连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。