四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(文科)试题含答案
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(文科)
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分(2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2()6a -+∞上单调递增；()f x 在上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD…………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221kmx x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。
四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷(文科)
四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数z 满足()12i z i +=，则=z （A ）12（B）2（C（D ）22．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（A ）(1,2)（B ）(1,2]（C ）(2,1)-（D ）[2,1)-3．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若错误!,P Q A P B QP P Q Q {}n a n n S 228580a a a +-+=9S =()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6πy ()f x m n m n -6π3π23π53π()()22239C x y -+-=：()11M ，C ,A B AB 210x y --=280x y +-=210x y -+=230x y +-={}n a n S n T 316a =3112S =1n T >P ABC-PA ⊥ABC 2AB =1AC =60BAC ∠=43π323π12π16π21:8C y x =222:(2)1C x y -+=,P Q 12,C C (4,0)M ||||PM PQ 35454-4ln 3a π=3ln 4b π=34ln c π=a b c c b a <<b c a <<b a c <<a b c <<,x y4312x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩2z x y =-0.6182sin18m =︒24m n +=212cos 27m n-︒P ()222210,0x y a b a b-=>>12,F F I 12PF F ∆1212,,IPF IPF IF F ∆∆∆12,,S S S 1212S S S -≥()()()2ln ln f x ax x x x x =+--ABC ∆(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=3c =ABC ∆P ABCD -PAD ⊥ABCD ABCD//,2AB CD AB DC =23,ACBD F ==G G PCD -0<()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑17 4.1≈ˆˆˆybx a =+()()()1122211ˆnni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-22221x y a b+=0a b >>(0,1)A 22222:(1)M x y r ++=M ()e cos 2xf x x =+-()f x '()f x 0x ≥()f x 'π2x ≥-2cos 20xxe x x ax x +--≥a xOy C cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩αx O 3πθ=56πθ=()R ρ∈C ,A B ,A B C ,A B AB ABO ∆()225f x x =+-()|1|f x x ≥-1m ≥-()()||g x f x x m =+-x m[]8,0z ∈-12-12e <≤2211,e e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭ABC ∆,A B C ，,,,a b c (2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=∴(2)(2)2222a b c a b b a c R R R +⋅++⋅=⋅222a b c ab +-=-2221cos 22a b c C ab +-∴==-0C π<<23C π∴=3c =3sin sin 32a bA B∴==2sin a A ∴=2sin b B =ABC ∆l l a b c =++2sin 2sin 3A B =++2sin 2sin 33A A π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2cos sin 333A A A ππ=+-+sin 3cos 3A A =++PAD ∆ABD ∆PAD∆//GF PDC2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭03A π<<2sin 3A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭2≤+ABC∆2PD E ,,AE CE GF//,2AB CD AB DC=AC BD F ==2AF AB FCCD∴==G G2AGGE ∴=GF CE ∴,GF PDC CE PDC ⊄⊂面面∴G PCD F PCDP CDFV V V ---==11122CDF DF S FB ∆=∴==133P CDF V -∴==182.479.2>()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑()()772211182.479.211iit t y y y y ==-<---∑∑21R 22R 17x =ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=17x >2122232425235x ++++==68.56867.5666667.25y ++++==0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=17x >ˆ0.783.3yx =-+20x ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=20x 69.3574.3+=72.93>22222111122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪=⇒===⇒+=⎨⎪=+⎪⎩，椭圆：过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k -++=⇒=+，可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ……………………………………6分 由圆M 与l ()2221210r r k k r =⇒--+-=由韦达定理得：12122211k k k k r+==-，……………………8分 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++……………………………………9分直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--…………11分 所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，………………12分 21．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x g x x '=-PAD ∆//GF PDC //GF PDC①当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；②当[),x π∈+∞时，()πe 10g x '≥->故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1 ……5分（Ⅱ）令()e cos 2x hx x ax =+--，()e sin x h x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立 ①当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾 …………………………7分 ②当1a ≤时，（i ）若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；…………………………8分（ii ）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos xh x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''= 当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数 又π2πe 02h -⎛⎫''-=> ⎪⎝⎭，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10h x ''=故1π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()10h x ''>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数 又π2πe 102h a ⎛⎫'-=+-> ⎪⎝⎭，()010h a '=-≥，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ⋅≥恒成立……11分 综上所述，1a ≤………………………12分 22．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:1ρ=，21ρ=，故A 、B两点的极坐标为3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫⎪⎝⎭…………………5分 （Ⅱ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：32A ⎫⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：所以的极坐标方程为：13y x =+ 所以AB的极坐标方程为sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且OA 1OB =，故12ABO S ∆==分 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞……………………………………5分（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()gx 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增 要使函数()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭…………………10分。
高2021届高三上期入学考试数学试卷(文科)
A． a 0 B. 0 a 1 C． f ( x1 ) 3 D． f ( x1 ) 1
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线 x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的离心率为
2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三 人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊 三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的 一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
4．函数 f (x) = ln x − 2 +1的零点所在的大致区间是（ ） x
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e,3)
D． (3, +)
5．已知向量 a = ( m，1) ， b = (3，m − 2) ，则 m = 3 是 a // b 的（ ）
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试
的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考生
第 2 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
四川省成都市某校高三(上)入学考试数学(文)试卷答案及解析
2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）入学考试数学（文）试卷一、选择题1. 已知全集为R，集合A={x|1<x<3}，B={y|y≤2}，则集合A∩B=()A.{x|x≤1或x>2}B.{x|x<1或x>2}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2. 复数2i1−i的虚部为( )A.−1B.1C.12D.−123. 从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是()A.平均分B.方差C.中位数D.标准差4. 已知a>b，则“m>2”是“a log2m>b log2m”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 直线ax+by−(a+b)=0(ab≠0)与圆(x−2)2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则ab=( )A.−1B.1C.2D.不确定6. 函数f(x)=x3−1x的图象可能为()A. B.C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，已知网格线中的小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A.(2+√5)πB.(4+√5)πC.(4+2√5)πD.(2+2√5)π8. 宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为a(a>1)cm的圆，正中间有一边长为0.5cm的正方形小孔，现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），若油滴落入孔中的概率为116π，则a=( )A.4B.3C.2D.√29. 如图，一个物体受到两个拉力F1→和F2→的作用，已知|F1→|=3N，|F2→|=4N，两力方向的夹角为θ（0≤θ≤π），若F1→和F2→的合力为F→，且|F→|≤5N，则θ的取值范围为()A.[0,π2]B.[π2,π]C.[0,2π3] D.[2π3,π]10. 已知0<b <a <1，则( ) A.a a >a b >b a B.b a >a b >a a C.a a >b a >a b D.a b >a a >b a11. 如图是函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，若x 0是f (x )在[−π6,2π3]上的极小值点，则f (x 0)+2f (−x 0)=( )A.−4B.0C.2D.412. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (−x )=2，且在(0,+∞)上单调递减，若对任意的x ∈R ，f (x 2−a )+f (x )<2恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞,−1) B.(−∞,−14)C.(−14,+∞)D.(1,+∞)二、填空题已知cos α2=35，则cos α=________．已知在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=8，a 5=14，则首项a 1=________．斜率为12的直线l 过抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，若弦AB 的中点D 到抛物线的准线的距离为10，则p =________．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =2√2，BC =3，AA 1=4，∠ABC =π4，则该直三棱柱的外接球体积为________． 三、解答题已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5=15，S 7=35． (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若a n b n =12n−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．如图，在三棱锥P −ABC 中，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，M ，N 分别为AB ，AP 的中点，过MN 的平面与侧面PBC 交于EF ．(1)求证：MN//EF ；(2)若平面PBC ⊥平面ABC ，AB =AC =3，求点M 到平面PAC 的距离．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”．某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x ，得到了如下的频率分布表：(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（精确到0.1） 附：√145≈12.04．已知f (x )=1x ln x −ax (a ≥0).(1)若函数f (x )在x =e 处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数F (x )=f (x )x，若F (x )在(0,e )上有两个零点，求实数a 的取值范围．（其中e 为自然对数的底数）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点(2,√2). (1)求椭圆M 的方程；(2)若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为k (k >0)的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x =a 相交于点Q ． 求证：直线PQ 的斜率为定值．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−t,y =1+t （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=6m cos θ(m >0)． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB|=6，求实数m 的值．设f(x)=|x +a|+|x −1a |（a ∈R ，且a ≠0）．(1)当a =1时，解不等式f (x )>x +1；(2)求证：f (x )≥2．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）入学考试数学（文）试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义即可得解.【解答】解：∵A={x|1<x<3}，B={y|y≤2}，∴A∩B={x|1<x≤2}.故选C.2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】暂无【解答】解：2i1−i =2i×(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，故虚部为1．故选B.3.【答案】C【考点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】解：将最高分148分录成了150分，则把100个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数．故选C．4.【答案】B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：因为a>b，由m>2，得log2m>1，故a log2m>b log2m.又a log2m>b log2m，得log2m>0，即m>1，所以当a>b时，“m>2”是“a log2m>b log2m”的充分不必要条件．故选B．5.【答案】B【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系【解析】无【解答】解：因为原点O在圆上，若OA⊥OB，则AB为圆的直径，所以直线过圆心(2,0)，故2a−(a+b)=0，得ab=1．故选B．6.【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：由f(−x)=(−x)3−1(−x)=−(x3−1x)=−f(x)可知，该函数为奇函数，排除选项B，C；又f(x)在(0,+∞)上为增函数，排除选项D.故选A．7.【答案】A【考点】由三视图求表面积【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体由半径为1的半球和底面半径为1，母线长为√5的圆锥构成，所以其表面积为S =12×4π×12+π×1×√5=(2+√5)π．故选A ． 8.【答案】 A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】 无【解答】解：根据题意得，油滴落入孔中的概率为P =0.5×0.5π(a 2)2=116π，得a =4．故选A ． 9. 【答案】 B 【考点】 余弦定理 【解析】【解答】解：由题知|F →|2=|F 1→|2+|F 2→|2−2|F 1→|⋅|F 2→|cos (π−θ)=9+16+24cos θ≤25， 解得cos θ≤0， 所以π2≤θ≤π． 故选B ． 10.【答案】 D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】 无【解答】解：由1>a >b >0，则f (x )=a x 为减函数， 所以a b >a a .根据幂函数的性质可得a a >b a ， 所以a b >a a >b a . 故选D ． 11. 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的极值由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由图象可得：A =2，最小正周期为4(π3−π12)=π，故ω=2. 由f (x )在x =π12时取得最大值， 所以sin (2×π12+φ)=1，可得φ=2kπ+π3，k ∈Z .取k =0，得φ=π3， 所以f (x )=2sin (2x +π3)， 可得x 0=π12+π2=7π12，所以f(x 0)+2f(−x 0)=2sin 3π2+4sin (−5π6)=−4．故选A ． 12.【答案】 B【考点】函数恒成立问题奇偶性与单调性的综合【解析】 无【解答】解：令F (x )=f (x )−1，则F (x )在(0,+∞)上单调递减， 又F (−x )=f (−x )−1，故F (x )+F (−x )=f (x )+f (−x )−2=0， 所以F (x )为定义在R 上的奇函数. 由f (x 2−a )+f (x )<2恒成立， 得F (x 2−a )+F (x )<0恒成立，即F (x 2−a )<−F (x )=F (−x )恒成立， 可得x 2−a >−x 恒成立， 即a <x 2+x 恒成立，根据二次函数的性质可知，当x =−12时，x 2+x 取到最小值−14， 所以实数a 的取值范围为(−∞,−14)． 故选B ．二、填空题【答案】−7【考点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】解：cosα=2cos2α2−1=−725．故答案为：−725.【答案】4【考点】等比中项等比数列的性质【解析】无【解答】解：∵ 数列{a n}是等比数列，a1a2a3=8，∴(a2)3=8，解得a2=2.又∵a5=a2q3=2q3=14，q=12，∴a1=a2q=4．故答案为：4．【答案】2【考点】抛物线的性质抛物线的定义【解析】【解答】解：设l：y=12(x−p2)，与抛物线方程联立得x2−9px+p24=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Δ=81p2−p2=80p2>0，x1+x2=9p，则点D的横坐标为92p.又点D到抛物线的准线的距离为10，即92p+p2=10，解得p=2．故答案为：2．【答案】13√263π【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】无【解答】解：在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC cosπ4=5，得AC=√5，所以△ABC的外接圆半径r=12×ACsin∠ABC=12√5√22=√102.所以该三棱柱的外接球半径R=√r2+(AA12)2=√52+4=√262,所以外接球体积V=43π(√262)3=13√263π．故答案为：13√263π．三、解答题【答案】解：(1)由S5=5(a1+a5)2=5a3=15得a3=3，由S7=7(a1+a7)2=7a4=35得a4=5，设公差为d，则d=a4−a3=2，a1=3−2×2=−1，所以a n=−1+(n−1)×2=2n−3．(2)由a n b n=12n−1得，b n=1(2n−1)(2n−3)=12(12n−3−12n−1)．所以T n=12[(−11−11)+(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−3−12n−1)]=12(−1−12n−1)=n1−2n．所以T n=n1−2n．【考点】数列的求和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】无无 【解答】 解：(1)由S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=15得a 3=3，由S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=35得a 4=5，设公差为d ，则d =a 4−a 3=2，a 1=3−2×2=−1， 所以a n =−1+(n −1)×2=2n −3． (2)由a n b n =12n−1得， b n =1(2n−1)(2n−3)=12(12n−3−12n−1)． 所以T n =12[(−11−11)+(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−3−12n−1)] =12(−1−12n−1)=n1−2n ． 所以T n =n1−2n ．【答案】(1)证明：因为M ，N 分别为AB ，AP 的中点，所以MN//PB . 又MN ⊄平面PBC ，所以MN//平面PBC . 因为平面MNFE ∩平面PBC =EF ， 所以MN//EF ．(2)解：取BC 中点O ，连接PO ，AO .因为△PBC 是等边三角形，所以PO ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC . 因为AB =AC =3，所以AO ⊥BC . 又BC =2，M 为AB 中点，易得PO =√3，AO =2√2，PA =√11. 在△PAC 中，cos ∠PCA =PC 2+AC 2−PA 22PC⋅AC=16，所以sin ∠PCA =√356， 所以S △PAC =12PC ⋅AC sin ∠PCA =√352， S △AMC =12S △ABC =12×12BC ×AO =√2，所V P−AMC =13×√2×√3=√63. 设点M 到平面PAC 的距离为d . 因为V M−PAC =V P−AMC ， 所以13×√352d =√63， 解得d =2√21035，所以点M 到平面PAC 的距离为2√21035． 【考点】点、线、面间的距离计算 两条直线平行的判定 【解析】【解答】(1)证明：因为M ，N 分别为AB ，AP 的中点，所以MN//PB . 又MN ⊄平面PBC ，所以MN//平面PBC . 因为平面MNFE ∩平面PBC =EF ， 所以MN//EF ．(2)解：取BC 中点O ，连接PO ，AO .因为△PBC 是等边三角形，所以PO ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC . 因为AB =AC =3，所以AO ⊥BC . 又BC =2，M 为AB 中点，易得PO =√3，AO =2√2，PA =√11. 在△PAC 中，cos ∠PCA =PC 2+AC 2−PA 22PC⋅AC=16，所以sin ∠PCA =√356， 所以S △PAC =12PC ⋅AC sin ∠PCA =√352， S △AMC =12S △ABC =12×12BC ×AO =√2， 所V P−AMC =13×√2×√3=√63.设点M到平面PAC的距离为d. 因为V M−PAC=V P−AMC，所以13×√352d=√63，解得d=2√21035，所以点M到平面PAC的距离为2√21035．【答案】解：(1)作出频率分布直方图如图所示：(2)平均数为：x¯=1100(10×10+30×10+50×20+70×40+90×20)=60，方差为：s2=1100[(10−60)2×10+(30−60)2×10+(50−60)2×20+(70−60)2×40+(90−60)2×20]=580，所以标准差s=√580=2√145≈24.1．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数极差、方差与标准差【解析】无无【解答】解：(1)作出频率分布直方图如图所示：(2)平均数为：x¯=1100(10×10+30×10+50×20+70×40+90×20)=60，方差为：s2=1100[(10−60)2×10+(30−60)2×10+(50−60)2×20+(70−60)2×40+(90−60)2×20]=580，所以标准差s=√580=2√145≈24.1．【答案】解：(1)f′(x)=1−ln xx2−a.因为函数f(x)在x=e处的切线平行与x轴，则f′(e)=0，即a=0，此时f′(x)=1−ln xx2.令f′(x)=0，解得x=e.当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)．(2)F(x)=f(x)x=ln xx2−a，定义域为(0,+∞)，则F′(x)=1−2ln xx3，当x∈(0,√e)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，当x∈(√e,+∞)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)在x=√e处取得极大值F(√e)=12e−a.又F(1e)=−e2−a<0，所以F(x)在(0,e)上有两个零点只需{F(√e)>0,F(e)<0,即{12e −a >0,1e −a <0, 解得1e 2<a <12e ， 所以实数a 的取值范围为1e 2<a <12e．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】 【解答】 解：(1)f ′(x)=1−ln x x 2−a .因为函数f(x)在x =e 处的切线平行与x 轴，则f ′(e)=0，即a =0，此时f ′(x)=1−ln x x .令f ′(x)=0，解得x =e .当0<x <e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 当x >e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)． (2)F(x)=f(x)x=ln x x 2−a ，定义域为(0,+∞)，则F ′(x)=1−2ln x x 3，当x ∈(0,√e)时，F ′(x)>0，F(x)单调递增， 当x ∈(√e,+∞)时，F ′(x)<0，F(x)单调递减， 所以F(x)在x =√e 处取得极大值F(√e)=12e −a . 又F (1e)=−e 2−a <0，所以F(x)在(0,e)上有两个零点只需{F(√e)>0,F(e)<0,即{12e−a >0,1e 2−a <0,解得1e 2<a <12e ，所以实数a 的取值范围为1e 2<a <12e ． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则ca =√22①， 4a 2+2b 2=1②， 又a 2=b 2+c 2③，由①②③解得a 2=8，b 2=4，c 2=4， 所以椭圆M 的标准方程为x 28+y 24=1．(2)证明：易得A(0，2)，B(0，−2)， 直线l 的方程为y =kx −2. 因为直线l 不过点(2√2,0)， 所以k ≠√22. 由{y =kx −2,x 2+2y 2=8,得(2k 2+1)x 2−8kx =0，所以x N =8k 2k 2+1，从而N (8k2k 2+1,4k 2−22k 2+1)，P (2k ,0)， 直线AN 的斜率为4k 2−22k 2+1−28k 2k 2+1=−12k，故直线AN 的方程为y =−12k x +2. 令x =2√2，得Q (2√2,−√2k+2).直线PQ 的斜率k PQ =−√2k+22√2−2k=√22√2k −2=√2(√2k 2(√2k −1) =√22， 所以直线PQ 的斜率为定值√22． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的离心率 椭圆的标准方程 【解析】左侧图片未给出解析． 左侧图片未给出解析．【解答】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则ca =√22①， 4a 2+2b 2=1②， 又a 2=b 2+c 2③，由①②③解得a 2=8，b 2=4，c 2=4， 所以椭圆M 的标准方程为x 28+y 24=1．(2)证明：易得A(0，2)，B(0，−2)， 直线l 的方程为y =kx −2. 因为直线l 不过点(2√2,0)， 所以k ≠√22. 由{y =kx −2,x 2+2y 2=8,得(2k 2+1)x 2−8kx =0， 所以x N =8k2k +1，从而N (8k2k 2+1,4k 2−22k 2+1)，P (2k ,0)， 直线AN 的斜率为4k 2−22k 2+1−28k 2k 2+1=−12k ，故直线AN 的方程为y =−12k x +2. 令x =2√2，得Q (2√2,−√2k+2).直线PQ 的斜率k PQ =−√2k+22√2−2k=−√2+2k 2√2k −2=√2(√2k 2(√2k −1) =√22， 所以直线PQ 的斜率为定值√22． 【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1−t,y =1+t （t 为参数），两式相加得x +y =0，所以直线l 的极坐标方程为：θ=34π和θ=74π. 由ρ=6m cos θ(m >0)，得ρ2=6mρcos θ. 因为ρ2=x 2+y 2，x =ρcos θ，所以曲线C 的普通方程为x 2−6mx +y 2=0，即(x −3m )2+y 2=9m 2 ．(2)由(1)知直线l 和曲线C 均过极点，将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程得：ρ=−3√2m （舍）或ρ=3√2m ． 因为|AB|=6，所以3√2m =6，解得m =√2 ． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的极坐标方程 参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程 【解析】【解答】解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1−t,y =1+t （t 为参数），两式相加得x +y =0，所以直线l 的极坐标方程为：θ=34π和θ=74π.由ρ=6m cos θ(m >0)，得ρ2=6mρcos θ. 因为ρ2=x 2+y 2，x =ρcos θ，所以曲线C 的普通方程为x 2−6mx +y 2=0，即(x −3m )2+y 2=9m 2 ． (2)由(1)知直线l 和曲线C 均过极点，将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程得：ρ=−3√2m （舍）或ρ=3√2m ． 因为|AB|=6，所以3√2m =6，解得m =√2 ． 【答案】(1)解：当a =1时，不等式f (x )>x +1, 等价于|x +1|+|x −1|>x +1， 即{x ≤−1,−3x −1>0,或{−1<x <1,x −1<0, 或{x ≥1,x −1>0, 解得{x|x ≠1}．(2)证明：f (x )=|x +a |+|x −1a |≥|(x +a )−(x −1a )|=|a +1a |=|a |+|1a |（因为a 与1a 同号） ≥2√|a |×|1a |=2， 所以f (x )≥2．【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】(1)解：当a =1时，不等式f (x )>x +1, 等价于|x +1|+|x −1|>x +1， 即{x ≤−1,−3x −1>0,或{−1<x <1,x −1<0, 或{x ≥1,x −1>0,解得{x|x ≠1}．(2)证明：f (x )=|x +a |+|x −1a |≥|(x +a )−(x −1a )|=|a +1a |=|a |+|1a |（因为a 与1a 同号）≥2√|a |×|1a |=2，所以f (x )≥2．。
四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题(含解析)
四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________． ．． ．．已知实数,x y 满足x a ，则下列关系式恒成立的是（．221111x y >++ln 2(1)x +＞ln 2(yA ．14B ．128．已知函数()sin(4)(0f x A x ϕ=+<于直线π24x =-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间A ．12B ．1二、填空题三、解答题(1)求证：AP CP ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积．19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合参考答案：8．C【分析】根据已知条件求得求法求得正确答案.sin πA ϕ⎧=⎪因为M 为双曲线右支上一点，设12,MF m MF n ==，则m -故222224,m n mn a m +-=∴+在12F MF △中，2121|||F F MF =15．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得积的坐标运算公式求MA MB ⋅的值【详解】解：如图，设()11,,A x y B y y -317．（1）见解析（2）n T =【详解】试题分析：(1)题中所给的递推关系整理可得：{}n a n -是首项为2，公比为19．(1)可以用线性回归方程模型拟合(2)5722ˆyx =-，种子的发芽颗数为【分析】（1）根据已知数据代入相关系数公式计算即可作出判断；。
2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试数学(文)试题 PDF版
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A I B 的元素个
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z 5i ， 则 z 的共轭复数为 （ ） 1 2i
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的
数学成绩为125 分），物理成绩是多少？n Nhomakorabean
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
附：回归方程 $y a$ b$x 中, b$ i1 n
(xi x)2
=
i 1 n
xi 2
2
nx
第 1 页 共 4 页 命题人：
A． y 2x 2x B． y x tan x
C． y x sin x
D． y 1 2x x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA
当 MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
i 1
i 1
n
又因为
42
xi
i 1
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a$ y b$x 74 0.5110 19 ，所以 $y 0.5x 19 ，................10 分
四川省顶级名校2021届高三上学期开学考试 数学(文)试题
文科数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知集合 ，则集合 的元素个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．i为虚数单位， ，则 的共轭复数为（）
A. B． C. D．
3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（）
（2） 对称轴为 ..................5分
当 时，即 ，
在 上单调递增；.................8分
当 时，即 ，又
令 ，则 ，
当 或 时， ；
当 时， ；
在 ， 上单调递增；
在 上单调递减..................12分
19.（1）设 与 相交于点 ，连接 ，
∵四边形 为菱形，∴ ，且 为 中点，
由短轴长为2，可得 ，…………1分
又 ，解得 ， ，
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共6小题；共70分）
17.(本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 名，获取他们本次考试的数学成绩( )和物理成绩( )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 ．经调查得知， 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常， 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： 其中 分别表示这 名同学的数学成绩、物理成绩， ， 与 的相关系数 ．
15．已知 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值集合是___________．
2021年四川省成都市青羊区石室中学高考数学适应性试卷(文科)(一)(附答案详解)
2021年四川省成都市青羊区石室中学高考数学适应性试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·四川省成都市·模拟题)已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|,x、y、z为非零实数}，则M的子集个数是()A. 2B. 3C. 4D. 82.(2021·四川省成都市·模拟题)若复数z满足(1+i)⋅z=1−i2021，则其共轭复数z−的模为()A. 1B. −1C. √2D. √223.(2021·安徽省·月考试卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.(2020·重庆市市辖区·月考试卷)设等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，则“q>0”是“S1⋅S3<S22”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.(2020·安徽省六安市·期末考试)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生6.(2021·四川省成都市·模拟题)已知圆柱形石材，底面圆半径为5−12，高为log59，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为()A. 45π B. 4π(log53)2 C. 4π(log59)2 D. 425π7.(2020·云南省昭通市·单元测试)已知圆的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于2√3的概率为()A. 1πB. 34C. 14D. 128. (2021·云南省大理白族自治州·模拟题)已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)( )A. 是偶函数B. 其图象关于直线x =π2对称 C. 在[π4,π2]上是增函数D. 在区间[π6,2π3]上的值域为[−√3,2]9. (2021·四川省成都市·模拟题)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1有极值点，则cos2B +cosB 的取值范围是( )A. [−98,0]B. [−98,0)C. (−98,0)D. [−98,12]10. (2021·四川省成都市·模拟题)已知圆C 1：(x +2)2+y 2=1，C 2：(x −2)2+y 2=49，动圆C 满足与C 1外切且C 2与内切，若M 为C 1上的动点，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A. √2B. √3C. 2D. √511. (2021·四川省成都市·模拟题)设函数f(x)=e x+a ，g(x)=2−4e −x−a ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得f(x 0)−g(x 0)=−x 022−2x 0成立，则实数a 值为( )A. −2+ln2B. 1+ln2C. −1−ln2D. 2+ln212. (2021·四川省成都市·模拟题)已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，棱DD 1中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、C 1D 1的距离相等，点Q 使得异面直线A 1Q 、BC 所成角正弦值为定值√2121，点R 在面BAA 1B 1内运动.当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面CDD 1C 1内时，则多面体RMPC 1Q 体积最小值为( )A. 56B. 12C. 1D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·四川省成都市·模拟题)已知方程(m −2)x 2+my 2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______ ．14. (2020·湖北省十堰市·期中考试)圆x 2+y 2+4x −6y +1=0关于直线ax −by +8=0(a >0,b >0)对称，则3a +2b 的最小值是______ ．15. (2021·四川省成都市·模拟题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,a n )在y =x 上，[x]表示不超过x 的最大整数，则[20212S 1+20212S 2+⋯+20212S 2021]= ______ ．16. (2021·福建省泉州市·模拟题)拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设△ABC 代表旧城区，新的城市发展中心O 1，O 2，O 3分别为正△ACD ，正△ABE ，正△BCF 的中心.现已知AB =2，∠ACB =30°，△O 1O 2O 3的面积为√3，则ABC 的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. (2019·福建省·单元测试)在△ABC 中，2cos 2A−B 2cosB −sin(A −B)sinB +cos(A +C)=−35． (1)求cos A 的值；(2)若a =4√2，b =5，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18.(2021·四川省成都市·模拟题)如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，BC的中点．(1)证明：A1E，AB，DF三线共点；(2)求三棱锥D−A1FC1的体积．19.(2021·福建省泉州市·模拟题)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线y=t(t<0)上的投影、当△PQF为等边三角形时，其面积为4√3．(1)求C的方程；(2)设O为原点，过点P的直线1与C相切，且与椭圆x24+y22=1交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M.试问：是否存在t，使得|AM|=|BM|恒成立？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由．20.(2020·广东省广州市·期末考试)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？21.(2020·河南省·模拟题)已知函数f(x)=xe x−ae2x(a∈R)在定义域内有两个不同的极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且x1<x2，若不等式x1+λx2>0恒成立，求正实数λ的取值范围．22. (2021·四川省成都市·模拟题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t,α中的一个为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ：ρsin(θ−π3)=1．(1)当t 为参数，α=π3时，判断曲线C 1与直线l 的位置关系；(2)当α为参数，t =2时，直线l 与曲线C 1交于不同的两点A ，B ，若P(0,2)，求1|PA|+1|PB|的值．23. (2020·江苏省·单元测试)已知a >0，b >0，且a +b =1．(1)求1a +2b 的最小值； (2)证明：ab+2ba 2+b 2+1<√52．答案和解析1.【答案】D【知识点】子集与真子集【解析】解：当x、y、z都是正数时，m=4；当x、y、z都是负数时，m=−4；当x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，m=0；故该集合中有3个元素，则其子集个数为23=8．故选：D．讨论x、y、z的符号，得到集合M的元素，然后根据子集的公式可得结论．本题主要考查了集合子集的概念，以及分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】A【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：由(1+i)⋅z=1−i2021=1−(i4)505⋅i=1−i，得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i12+12=−i，∴|z−|=|z|=|i|=1．故选：A．利用虚数单位i的运算性质及复数代数形式的乘除运算化简z，再由|z−|=|z|求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【知识点】对数与对数运算、指数与指数幂的运算【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．根据对数的性质：T=a log a T，可得：3=10lg3≈100.48，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴MN ≈101731080=1093．故选D．4.【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：S1=a1，S2=a1(1+q)，S3=a1(1+q+q2)，故S22−S1⋅S3=a12[(1+q)2−(1+q+q2)]=a12q，因为在等比数列{a n}中，a1≠0，故S1⋅S3<S22⇔q>0，故选：C．求出等比数列的和，作差，再根据充要条件的定义进行判断即可．本题考查了充要条件的定义，等比数列求和，属于基础题．5.【答案】D【知识点】系统抽样【解析】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为10，∵45号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为5，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以5为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n=5+10(n−1)=10n−5，由于10n−5=815，即n=81，故D被抽到．故选：D．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合45号学生被抽到，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．6.【答案】A【知识点】球的表面积和体积【解析】解：因为圆柱的底面圆半径为5−12，高为log 59，且log 59=2log 53， 又5−12=1√5<12=log 5√5<log 53， 所以若此石材可加工成体积最大的球体，则此球的半径为5−12， 所以此球的表面积为S =4π⋅(1√5)2=4π5．故选：A ．比较圆柱的底面圆半径和高的一半的大小，求出此石材可加工成体积最大的球体的半径，再求球的表面积．本题考查了圆柱的结构特征与球体的结构特征与应用问题，是基础题．7.【答案】C【知识点】与面积有关的几何概型、几何概型【解析】解：如图，要使过点M 的所有弦都大于2√3，|OM|≤1， 所以点M 在以O 为圆心，1为半径的圆的内部及圆周上， 所以过点M 的所有弦的长度都大于2√3的概率P =π4π=14． 故选：C ．由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M 在以O 为圆心，1为半径的圆的内部及圆周上，根据与面积有关的几何概率公式可求． 本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．8.【答案】D【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)=2sin(ωx +π3) 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列， ∴12⋅2πω=π2，∴ω=2，f(x)=2sin(2x +π3).把函数f(x)的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin2x 的图象， 故g(x)是奇函数，故A 错误；令x =π2，可得g(x)=0，故g(x)的图象关于点(π2,0)对称，故B 错误； 当x ∈[π4,π2]，2x ∈[π2,π]，g(x)是减函数，故C 错误；当x ∈[π6,2π3]，2x ∈[π3,4π3]，g(x)∈[−√3,2]，故D 正确，故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】B【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】解：∵f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1， ∴f′(x)=x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)，又∵函数f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1有极值点， ∴x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)=0有两个不同的根， ∴△=(2b)2−4(a 2+c 2−ac)>0，即ac >a 2+c 2−b 2，即ac >2accosB ，即cosB <12， ∴−1<cosB <12，∴cos2B +cosB =2cos 2B +cosB −1=2(cosB +14)2−98∈[−98,0)，故选：B ．先求导f′(x)=x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)，从而化函数f(x)有极值点为x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解cos B 的取值范围即可求得．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是中档题．10.【答案】B【知识点】向量的数量积【解析】解∵圆C 1的方程为：(x +2)2+y 2=1，∴圆C 1的圆心为(−2,0)，半径r 1=1，同理圆C 2的圆心为(2,0)，半径r 2=7， 设动圆C 的半径为R ，∵动圆C 满足与C 1外切且C 2与内切，∴|C 1C|=r 1+R =1+R ，|C 2C|=r 2−R =7−R ， 两式相加得|C 1C|+|C 2C|=1+7=8>4，∴圆心C 在以C 1、C 2为焦点的椭圆上运动， 由2a =8，c =2，得a =4，b =√a 2−c 2=2√3， ∴椭圆方程为x 216+y 212=1，即动圆圆心C 的轨迹方程为：x 216+y 212=1，如下图，∵M 为C 1上的动点，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴当|CC 1|最小时，|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， ∵|CC 1|最小值为a −c =2，∴|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为√22−12=√3， 故选：B ．根据两圆相切的性质证出|C 1C|+|C 2C|=8>4，得到圆心C 在以C 1、C 2为焦点的椭圆上运动，可得动圆圆心C 的轨迹方程，再利用椭圆的性质和勾股定理即可求解． 本题考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系，动点轨迹方程的求法，椭圆的性质，属于中档题．11.【答案】D【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值 【解析】解：若存在实数x 0，使得f(x 0)−g(x 0)=−x 022−2x 0成立，即e x 0+a +4ex 0+a =2−x 022−2x 0在x 0∈(−∞,+∞)上成立，由e x 0+a +4e x 0+a ≥2√e x 0+a ⋅4ex 0+a =4，当且仅当e x 0+a =4e x 0+a 即x 0=ln2−a 时取“=”，设g(x)=2−x 22−2x ，则g′(x)=−x −2，由g′(x)<0，解得：x >−2，由g′(x)>0，解得：x <−2， 故g(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 故g(x)≤g(−2)=4， 要使得e x 0+a +4ex 0+a =2−x 022−2x 0在x 0∈(−∞,+∞)上成立，则x 0=ln2−a =−2，故a =2+ln2， 故选：D ．求出ex 0+a+4e x 0+a ≥4，2−x 022−2x 0≤4，得到关于a 的方程，求出a 的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，基本不等式的性质以及转化思想，是中档题．12.【答案】A【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、异面直线所成角 【解析】解：∵四边形CDD 1C 1中，点P 到异面直线BC 、C 1D 1的距离相等，且点P 到直线C 1D 1的距离始终为CP ， ∴点P 的轨迹为是以C 为焦点，以x =−1为准线的抛物线，∵四边形CDD 1C 1中，点Q 使得异面直线A 1Q 、BC 所成角正弦值为定值√2121，即点Q 使得异面直线A 1Q 、A 1D 1所成角正弦值为定值√2121，则其正切值为定值√510，而A 1D 1⊥PD 1，∴在Rt △A 1D 1P 中，D 1PA 1D 1=√510，则D 1P 为定值√55，则点Q 的轨迹是以D 1为圆心，√55为半径的14圆，显然S MPC 1Q =S △MC 1Q +S △MC 1P ， 而(S △MC 1Q )min =12×√5×(2√5−√55)=12(当Q 为过D 1且垂直MC 1的直线与圆的交点时)，(S △MC 1P )min =12×√5×32√5=34(当P 处切线//MC 1时)，∴(S MPC 1Q )min =12+34=54，而动点R 到平面CDD 1C 1的距离为定值2， ∴多面体RMPC 1Q 体积最小值为13×54×2=56． 故选：A ．依题意，求得动点P 及动点Q 的轨迹，由此可求得△MC 1Q ，△MC 1P 面积的最小值，进而求得四边形MPC 1Q 面积的最小值，而动点R 到平面CDD 1C 1的距离为定值2，用锥体的体积公式即可得解．本题考查立体几何与圆锥曲线的综合运用，涉及了动点的轨迹方程以及多面体体积的求法，考查直观想象及逻辑推理等数学素养，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于难题．13.【答案】(0,2)【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：∵方程(m−2)x2+my2=1表示双曲线，∴(m−2)m<0，即0<m<2，∴m的取值范围是(0,2)．故答案为：(0,2)．由方程(m−2)x2+my2=1表示双曲线，可得(m−2)m<0，求解得答案．本题考查双曲线的方程与几何性质，是基础题．14.【答案】3【知识点】直线与圆的位置关系及判定、基本不等式【解析】解：由x2+y2+4x−6y+1=0，得(x+2)2+(y−3)2=12，∴圆心坐标为(−2,3)，∵圆x2+y2+4x−6y+1=0关于直线ax−by+8=0(a>0,b>0)对称，∴2a+3b=8，即a4+3b8=1，则3a +2b=(3a+2b)(a4+3b8)=32+9b8a+a2b≥32+2√9b8a⋅a2b=32+32=3．当且仅当9b8a =a2b，即a=2，b=43时上式取等号．∴3a +2b的最小值是3．故答案为：3．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程，整理后借助于1的代换，再由基本不等式求最值．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.【答案】2022【知识点】数列求和方法【解析】解：∵点(n,a n)在y=x上，∴a n=n，∴S n=n(n+1)2，∴12S n =1n(n+1)=1n−1n+1，∴2021(12S1+12S2+⋯…+12S2021)=2021×(1−12+12−13+⋯…+12021−12022)=2021×(1−12+12−13+⋯…+12021−12022)=2021×20212020=2022+12021，∴[20212S1+20212S2+⋯+20212S2021]=[2022+12021]=2022，故答案为：2022．点(n,a n)在y=x上，可得a n=n，利用求和公式可得S n，12Sn，利用裂项求和方法可得：2021(12S1+12S2+⋯…+12S2021)，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2√33【知识点】解三角形的实际应用【解析】解：如图所示，连接CO1，CO2，由题意得：CO1=√33AC，CO2=√33BC，∠O2CB=30°，∠O1CA=30°，又∠ACB=30°，∴∠O1CO2=90°，又S△O1O2O3=√34O1O22=√3，∴O1O2=2，由勾股定理可得：CO12+CO22=O1O22，则(√33AC)2+(√33BC)2=O1O22，得AC2+BC2=12，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos30°又AB=2，解得AC⋅BC=8√33，∴S△ABC=12AC⋅BC⋅sin30°=2√33．故答案为：2√33．连接CO1，CO2，得CO1=√33AC，CO2=√33BC，∠O2CB=30°，∠O1CA=30°，进一步可得∠O1CO2=90°，利用勾股定理求得AC2+BC2=12，再由余弦定理AC⋅BC，则ABC 的面积可求．本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，考查余弦定理的应用，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由2cos2A−B2cosB−sin(A−B)sinB+cos(A+C)=−35可得cos(A−B)cosB−sin(A−B)sin(A+c)=−35，可得cos(A −B)cosB −sin(A −B)sinB =−35， 即cos(A −B +B)=−35， 即cosA =−35，(Ⅱ)由正弦定理，asinA =bsinB ，所以sinB =bsinA a=√22， 由题意可知a >b ，即A >B ，所以B =π4，由余弦定理可知(4√2)2=52+c 2−2×5c ×(−35)． 解得c =1，c =−7(舍去)．向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影：|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =ccosB =√22．【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数公式、余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sin A 的值；(Ⅱ)利用a =4√2，b =5，结合正弦定理，求出B 的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c 的大小．本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18.【答案】(1)证明：EF//A 1D 且EF ≠A 1D ，∴A 1E ，DF 共面．∴设A 1E⋂DF =P ，则P ∈A 1E ，而A 1E ⊂面AA 1B 1B ， ∴P ∈面AA 1B 1B ；同理可得∴P ∈面ABCD ，∴点P 在面ABCD 与面AA 1B 1B 的公共直线AB 上， 即A 1E ，AB ，DF 三线共点．(2)解：连接AC 交DF 于点P ，由相似比有DP ：PF =AD ：FC =2：1，V D−A 1FC 1=V D−A 1PC 1+V F−A 1PC 1=V D−A 1PC 1+12V D−A 1PC 1=32V D−A 1PC 1， 连接DB 交AC 于点Q ，由AA 1⊥面ABCD ，DQ ⊂面ABCD ，AA 1⊥QD ，AC ⊥QD ，AC ∩AA 1=A ， 所以DQ ⊥面AA 1CC 1，DQ =√2，S △A 1PC 1=12×2√2×2=2√2， V D−A 1FC 1=32V D−A 1PC 1=32×13×2√2×√2=2．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、平面的基本性质及应用 【解析】(1)设A 1E⋂DF =P ，证明P ∈面AA 1B 1B ；P ∈面ABCD ，说明点P 在面ABCD 与面AA 1B 1B 的公共直线AB 上，推出A 1E ，AB ，DF 三线共点．(2)连接AC 交DF 于点P ，由相似比有DP ：PF =AD ：FC =2：1，通过V D−A 1FC 1=V D−A 1PC 1+V F−A 1PC 1=V D−A 1PC 1+12V D−A 1PC 1=32V D−A 1PC 1，连接DB 交AC 于点Q ，转化求解即可．本题考查几何体的体积的求法，三线共点问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)，F(0,p2)，△PQF 为等边三角形时，其面积为4√3， ∴12⋅|PQ|2⋅sin π3=4√3，解得|PQ|=4，∵Q 为P 在动直线y =t(t <0)上的投影，∴Q(x 0,t)， 当△PQF 为等边三角形时，|PQ|=|PF|=|QF|， 由抛物线的定义知，t =−p2， ∴{y 0+p 2=4x 02+p 2=16x 02=2py 0，解得p =2． ∴抛物线C 的方程为x 2=4y ； (2)存在t ，使得|AM|=|BM|，t =1．证明如下：设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 02=4y 0，Q(x 0,t)，∵y =14x 2，∴y′=12x ，∴切线l ：y −y 0=12x 0(x −x 0)，即y =12x 0x −y 0，联立{y =12x 0x −y 0x 24+y 22=1，得(1+12x 02)x 2−2x 0y 0x +2y 02−4=0．∴x 1+x 2=2x 0y 01+12x 02，则y 1+y 2=12x 0x 1−y 0+12x 0x 2−y 0=12x 0⋅2x 0y 01+12x 02−2y 0=4y 0x 02+2 ∵Q(x 0,t)，∴l OQ ：y =−tx 0x ，联立{y =−tx 0x y =12x 0x −y 0，得y M =−2y 0t x 02−2t ， ∵|AM|=|BM|，且A 、B 、M 共线，∴M 为AB 的中点， 则2y M =y 1+y 2，即−4y 0t x 02−2t =4y 0x 02+2，解得t =1．综上，存在t ，使得|AM|=|BM|，t =1．【知识点】抛物线的概念及标准方程、直线与抛物线的位置关系【解析】(1)根据正三角形得三角形的边长，再由抛物线的定义列方程组，解方程即可； (2)根据导数的几何意义得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得M 的坐标，由|AM|=|BM|知M 为AB 的中点，再根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f =4860=45，故可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B(3,45)，故所求概率为C 32×(45)2×15=48125； (2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100=15(元)，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．②根据题意及(2)①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13=5(元)， 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260×5−3×100=1000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为235×5−2×100=975(元)因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．【知识点】众数、中位数、平均数、n次独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的期望与方差【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f=4860=45，可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X服从二项分布X～B(3,45)，由此能求出该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率．(2)①列表求出样本中快递费用及包裹件数，由此能求出样本中每件快递收取的费用的平均值．②揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加5元，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司平均每日利润的期望值为260×5−3×100=1000元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司平均每日利润的期望值为235×5−2×100=975元，从而公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．21.【答案】解：(1)由题可知f′(x)=(x+1)e x−2ae2x=0有两个不等的实根，即x+ 1−2ae x=0有两个不等的实根，令2a=x+1e x =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−(x+1)e x(e x)2=−xe x，∴当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减，∴ℎ(x)max=ℎ(0)=1，又ℎ(−1)=0，x∈(−∞,−1)时，ℎ(x)<0，x∈(−1,+∞)时，ℎ(x)>0，∴2a∈(0,1)，即a∈(0,12)；(2)由(1)知，x1，x2是方程x+1e x=2a的两根，∴−1<x1<0<x2，则x1+λx2>0即为x2>−x1λ>0，∵ℎ(x)在(0,+∞)上单减，∴ℎ(x2)<ℎ(−x1λ)，又ℎ(x2)=ℎ(x1)，∴ℎ(x1)<ℎ(−x1λ)，即x1+1e x1<−x1λ+1ex1λ，两边取对数，并整理得，λln(x1+1)−λln(1−x1λ)−(1+λ)x1<0对一切x1∈(−1,0)恒成立，设F(x)=λln(x+1)−λln(1−xλ)−(1+λ)x,x∈(−1,0)，则F′(x)=λx+1+11−xλ−(1+λ)=(1+λ)(x+1−λ)x(x+1)(λ−x)当λ≥1时，F′(x)>0对x∈(−1,0)恒成立，∴F(x)在(−1,0)上单增，故F(x)<F(0)=0恒成立，符合题意；当0<λ<1时，λ−1∈(−1,0)，x∈(λ−1,0)时，F′(x)<0，∴F(x)在(λ−1,0)上单减，F(x)>F(0)=0，不合题意．综上，λ≥1．【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】(1)问题可等价于x+1−2ae x=0有两个不等的实根，令2a=x+1e x=ℎ(x)，利用导数研究函数ℎ(x)的性质，可得2a∈(0,1)，由此求得实数a的取值范围；(2)显然，x1，x2是方程x+1e x =2a的两根，依题意，x2>−x1λ>0，则x1+1e x1<−x1λ+1ex1λ，两边取对数得到λln(x 1+1)−λln(1−x 1λ)−(1+λ)x 1<0对一切x 1∈(−1,0)恒成立，再构造函数F(x)=λln(x +1)−λln(1−x λ)−(1+λ)x,x ∈(−1,0)，分λ≥1及0<λ<1讨论得解．本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想以及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当t 为参数，α=π3时，曲线C 1表示直线：y =√3(x −1)，由l ：ρsin(θ−π3)=1，得l ：12ρsinθ−√32ρcosθ=1， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得y =√3x +2，因为斜率相等，所以曲线C 1与直线l 平行；(2)当α为参数，t =2时，曲线C 1的参数方程{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)， 消去参数得曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=4，易知直线过P(0,2)，故设直线l 的参数方程为{x =12t y =2+√32t (t 为参数)， 联立直线l 的参数方程与曲线C 1的普通方程，得t 2+(2√3−1)t +1=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=1−2√3,t 1t 2=1，故1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=2√3−1．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)当t 为参数，α=π3时，化简曲线C 1表示直线：y =√3(x −1)，求出l ：ρsin(θ−π3)=1，即可y =√3x +2，推出结果．(2)求出曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=4，联立直线l 的参数方程与曲线C 1的普通方程，利用参数的几何意义，转化求解即可．本题考查极坐标方程以及参数方程与普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)1a +2b =(a +b)(1a +2b )=3+2a b +b a ≥3+2√2a b ⋅b a =3+2√2，当且仅当“b =√2a =2−√2”时取等号，故1a +2b的最小值为3+2√2；(2)证明：ab+2ba2+b2+1=ab+2ba2+b25+4b25+1≤2√a2⋅25+2√25⋅1=ab+2b2√5(ab+2b)=√52，当且仅当a=12,b=√52时取等号，此时a+b≠1．故ab+2ba2+b2+1<√52．【知识点】基本不等式【解析】本题主要考查基本不等式的运用，属于中档题．(1)利用基本不等式即可求得最小值；(2)关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．。
高三数学上学期入学考试考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校石室2021届高三数学上学期入学考试考试题文〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，那么z =〔〕 A.1i - B.1i +C.1i --D.1i -+【答案】A 【解析】 【详解】由2017i 1iz=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，那么1i z =-，应选：A. (){}2ln 34A x y x x ==--+，{}222x B y y -==，那么A B =〔〕A.()0,1B.(]4,4-C.(],4-∞ D.()4,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】由二次不等式的解法可得：()4,1A =-，由指数函数的值域的求法可得：(]0,4B =，再结合并集的运算可得：(]4,4A B =-，得解.【详解】解：解不等式2340x x --+>，解得41x -<<，即()4,1A =-，又因为222x -≤，所以22024x -<≤，即(]0,4B =，即(]4,4A B =-，应选B.【点睛】此题考察了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属根底题. 3.以下判断正确的选项是〔〕A.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃≤，020*******x +≤〞B.函数()f x =的最小值为2C.“2x=〞是“2x -=D.假设0a b ⋅<，那么向量a 与b 夹角为钝角 【答案】C 【解析】 【分析】00x ∃>，020*******x +≤〞，选项A 错误，由()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()3g t =，即B 错误；由根式方程的求法得“2x =〞是“2x -=C 正确，由向量的夹角可得向量a 与b 夹角为钝角或者平角，即D 错误，得解.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃>，0201920190x +≤〞，即A 错误；对于选项B ，令t =3t≥，那么1()g t t t=+，3t ≥， 又()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()(3)3g t g ==，即B 错误；对于选项C ，由“2x =〞可得“2x -=由“2x -=220x x -=-=，解得“2x =〞，即“2x=〞是“2x -=C 正确，对于选项D ，假设0a b ⋅<，那么向量a 与b 夹角为钝角或者平角，即D 错误， 应选C.()44sin cos f x x x =-，以下结论不正确的选项是〔〕A.在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 B.图像关于y 轴对称C.最小正周期为2πD.值域为[]1,1-【答案】C 【解析】 【分析】 由2222sincos 1,cos sin cos 2x x x x x +=-=，求得()f x =cos2x -，再利用()f x 的性质即可得解.【详解】解：因为()44sin cos f x x x =-2222(sin cos )(sin cos )x x x x =-+22sin cos cos 2x x x =-=-，那么函数是在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增的偶函数，且值域为[]1,1-，周期为22ππ=， 即选项,,A B D 正确，选项C 错误，应选C.【点睛】此题考察了三角恒等变换及函数()f x =cos2x -的性质，属根底题.5.在如图的程序框图中，假设输入m =77，n =33，那么输出的n 的值是 A.3 B.7 C.11 D.33【答案】C 【解析】这个过程是7723311=⨯+，33311=⨯，故所求的最大公约数是11。
四川省成都市青羊区石室中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文(含解析).doc
四川省成都市青羊区石室中学2021届高三数学上学期10月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆B. M N ⊆C. M N ⋂=∅D.M N R =【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据子集判定可得结果.【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ）A. iB. 1C. i -D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】利用)ni n N *∈（的周期求解.【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=， 且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅， 所以原式=2311i i i i i ++=--=-. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和)ni n N *∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题p ：(),0x ∀∈-∞，22310x x -+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A. p 的否定为“[0,)x ∃∈+∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B. p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C. p 的否定为“[0,)x ∃∈+∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D. p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(文科)试题含答案
当
MA MF
=
2 时， ∆AMF 的面积为（
）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
A．
P
=
N 1000
B．
P
=
4N 1000
C．
P
=
M 1000
D．
P
=
4M 1000
10. 已知 log2 x = log3 y = log5 z < −1，则 2x, 3 y, 5z 的大小关系为（ ）
（1）当 a = 1 时，求函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程；
（2）若 a < 0 ，讨论函数 f (x) 在 x ∈(0, +∞) 的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA = FC ，且 ∠DAB = ∠DBF = 60° ． （1）求证： AC ⊥平面 BDEF ； （2）若 AB = 2 ，求三棱锥 A − EDC 的体积.
=
α
(0
<
α
<
π 3
)
，
B
为
C2
上的一点，
且
∠AOB
=
π 3
，求
∆AOB
面积的最大值．
第 5 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
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石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期数学入学考试参考答案（文科）
1
数是（ ）
A．0
B．1
2021届四川省成都市石室中学高三一模数学(文)试题及答案
2021届四川省成都市石室中学高三一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合x y z xyzM mm x y z xyz⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案：D分,,x y z 都是正数，,,x y z 都是负数，,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数，,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m 的值，从而求得集合M 的元素的个数，由此可得出集合M 的子集的个数.解：因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =， 所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8， 故选：D.2．若复数z 满足2021(1)1i z i +⋅=-，则其共轭复数z 的模为（ ）A ．1B ．1-C D ．2答案：A由复数的四则运算得出z ，再由模长公式得出共轭复数z 的模. 解：()1010202121010(1)i i i i i =⋅=⋅-=21(1)1211(1)(1)2i i i z i i i i ----====-++-,||1z i z ∴==故选：A3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案：D 解：试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由2132S S S ⋅＜可得出0q >，利用等价性即可判断.解：11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++，故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ．点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题.5．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生答案：D根据系统抽样的定义和抽取方法，结合等差数列的通项公式，求得抽取的号码数105n -，结合选项，即可求解.解：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，可得系统抽样的分段间隔为10， 设第1组被抽的号码为x ，则抽查的号码构成一个首项为x ，公差为10的等差数列，即抽到的号码为(1)10x n +-⨯， 因为45号学生被抽到，可得(51)1045x +-⨯=，解得5x =，即被抽的号码数为105n -， 令1058,200,616,815n -=，解得13205621,,,81,101010n =，即第81组抽样的号码为815. 故选：D.6．已知圆柱形石材，底面圆半径为125-，高为5log 9，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（ ） A ．45π B ．()254log 3πC ．()254log 9πD ．425π 答案：A比较圆柱的底边直径与高的大小，从而确定此石材可加工成体积最大的球体的半径，再由表面积公式得出此球表面积. 解：1255log 9log 51,251->=⋅=<，125log 925-∴>⋅即1523log 5->故此石材可加工成体积最大的球体的半径为125-即此球表面积为2124455ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：A7．已知圆C 的半径为2，在圆C 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于为（ ） A ．1πB ．34C ．14D ．12答案：C当M 是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要M 点到圆心C 的距离不大于1即可满足要求，由此可得M 点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．解：当M 是弦中点时，弦长最短，弦长为1CM =，所以过点M 的所有弦的长度都大于M 落在以点C 为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为221124P ππ⨯==⨯． 故选：C点评：本题考查几何概型，解题关键是确定点M 所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （ ） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 答案：D利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位， 得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象. 对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 函数()y g x =为奇函数，A 选项错误； 对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 21x ≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则cos 2cos B B +的取值范围是（ ）A ．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．91,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：B先求出()'f x ，根据条件可得()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出cos B 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.解：由()222()2f x x bx a c ac '=+++-，根据()f x 有极值点， 则()222()20f x x bx a c ac '=+++-=有两个不同的实数根.所以222440b a c ac，即222a c b ac +-<由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-=<，由0B π<<，所以11cos 2B -<<，2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48B B B B B ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭由11cos 2B -<<，则21992cos ,0488B ⎛⎫⎡⎫+-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭所以cos 2cos B B +的范围是9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B点评：关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出11cos 2B -<<的范围，属于中档题. 10．已知圆()221:21C x y ++=，()222:249C x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） ABC ．2D答案：B求出点C 的轨迹为椭圆，可知1C 为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出1minCC ，再利用勾股定理可求得CM 的最小值.解：易知圆1C 的圆心()12,0C -，圆1C 的半径为11r =，圆2C 的圆心()22,0C ，半径为27r =，12124C C r r =<-，所以，圆1C 内含于圆2C ，设圆C 的半径为R ，则1217CC R CC R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，故121284CC CC C C +=<=，故圆心C 的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为1C 、2C ，设该椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则28a =，可得4a =，24c =，可得2c =，b ∴==所以，点C 的轨迹方程为2211612x y +=.10CM C M ⋅=，则1CM C M ⊥且11C M =，由椭圆的几何性质可得1min2CC a c =-=，故2211min3CMCC C M=-=故选：B.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.11．设函数()x a f x e +=，()24x a g x e --=-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()2000022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（ ）A ．2ln 2-+B ．1ln 2+C ．1ln 2--D ．2ln 2+答案：D 由题意得24222x ax ax eex +--+=--+有解，而4()44x a x a x a x ah x e e e e+--++=+=+≥=，22211()22(4)2(2)44222x k x x x x x =--+=-++=-++≤，从而得242242x ax ax eex +--+=--+=，进而得ln 22a -=-解：解：存在实数0x ，使得()()2000022x f x g x x -=--成立，即2(24)22x a x ax e e x +----=--有解， 即24222x ax ax eex +--+=--+有解，令4()44x a x a x a x ah x e e e e+--++=+=+≥，当且仅当4x ax ae e ++=，即ln 2x a =-时取等号，令22211()22(4)2(2)4222x k x x x x x =--+=-++=-++，则()k x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,)-+∞上单调递减，所以当2x =-时，()k x 取得最大值，即()(2)4max k x k =-=， 由已知当()4h x ≥，当且仅当ln 2x a =-时取等号，当()4k x ≤时，当2x =-时取等号，因为24222x ax ax eex +--+=--+有解，所以242242x ax ax eex +--+=--+=，即ln 22a -=-，得2ln 2a =+，故选：D点评：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是由题意得24222x ax ax eex +--+=--+有解，然后构造函数()4x a x ah x e e +--=+，2()222x k x x =--+，求得()4h x ≥，()4k x ≤，从而可得242242x ax ax e ex +--+=--+=，进而可求出a 的值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1AQ 、BC 所成角正弦值为定值2121，点R 在面11BAA B 内运动.当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A ．56B ．12C ．1D ．13答案：A由题意可知四边形1MPC Q 中，动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，514圆.动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，而1MPC Q 面积1=MC Q 面积1+MC P 面积，所以分别求出1MC Q 面积最小值，1PC M 面积最小值即可 解：四边形1MPC Q 中，动点Q 的轨迹是为以1D 5为半径的14圆.动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以1x =-为准线的抛物线.1MPC Q 面积1=MC Q 面积1+MC P 面积1MC Q 面积最小值1122MC QS==1PC M 面积最小值134MC PS==(当P 处切线∥1MC 时，等号成立) 1MPC Q 面积最小值1=MC Q 面积1+MC P 面积=54动点R 到面11DD C C所以多面体1RMPC Q 故选：A点评：关键点点睛：此题考查立体几何中轨迹问题，解题的关键是由题意得动点Q 的轨迹是为以1D为半径的14圆.动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，然后分析求解即可，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题 二、填空题13．已知方程()2221m x my -+=表示双曲线，则m 的取值范围是_______________________．答案：()0,2利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 解：解：因为方程()2221m x my -+=表示双曲线，所以()20m m -<，即02m <<， 所以m 的取值范围是()0,2， 故答案为：()0,2.14．圆224610x y x y ++-+=关于直线80(0,0)ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是_____. 答案：3由题意可得直线80(0,0)ax by a b -+=>>过圆心，从而可得238a b +=，即3148a b +=，所以3232348a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简后利用基本不等式可得答案 解：解：由224610x y x y ++-+=，得22(2)(3)12x y ++-=，所以圆心为(2,3)-， 因为圆224610x y x y ++-+=关于直线80(0,0)ax by a b -+=>>对称， 所以直线80(0,0)ax by a b -+=>>过圆心(2,3)-， 所以238a b +=，即3148a b +=， 所以323233933482822a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当982b a a b =，即42,3a b ==时取等号， 故答案为：315．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a 在y x =上，[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦_______________________． 答案：2020先求得n a n =，再求得n S ，进而求得20212nS ，然后用裂项求和求得122021202120212021+++222S S S ，最后根据其范围求得结果.解：依题意可得n a n =，所以数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=， 因此202120211120212(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以， ()122021202120212021111111+++2021222122320212022120212021120212020,202120222022S S S ⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，故122021202120212021+++2020222S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.点评：方法点睛： 本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设ABC 代表旧城区，新的城市发展中心123,,O O O ，分别为正ACD △，正ABE △，正BCF △的中心､现已知2,30AB ACB ∠==，123O O O 的面积为3，则ABC 的面积为___________.答案：233连接12,CO CO ，易得122133,,30,3033CO AC CO BC O CB O CA ==∠=∠=，进而得到1290O CO ∠=，利用勾股定理得到2212AC BC +=，然后再利用余弦定理求得AC BC ⋅即可. 解：如图所示：连接12,CO CO ，由题意得：122133,,30,30CO CO O CB O CA =∠=∠=， 又因为30ACB ∠=， 所以1290O CO ∠=，12321233O O O SO ==，解得122O O =，由勾股定理得2221212CO CO O O +=，即22212AC O O ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2212AC BC +=，由余弦定理得2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅，解得AC BC ⋅=所以三角形ABC 的面积为123sin 3023ABCS AC BC =⋅=点评：关键点点睛：本题关键是证得1290O CO ∠=，再利用勾股定理和余弦定理求得AC BC ⋅而得解. 三、解答题17．在ABC 中，232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （1）求cosA 的值：（2）若a =5b =，求BA 在AC 方向上的投影． 答案：（1）3cos 5A =-；（2）35． （1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cos A 的值； （2）先利用余弦定理求出c ，也即是BA ，再根据投影的定义，求BA 在AC 方向上的投影，其中需要注意的是BA 和AC 的夹角是A 的补角. 解：解：（1）由232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=- 可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-， 即3cos()5A B B -+=-， 即3cos 5A =-，（2）由余弦定理可知2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =，7c =-（舍去）．向量BA 在AC 方向上的投影：3||cos()cos 5BA A c A π-=-=． 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点.（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点； （2）求三棱锥11D A FC -的体积. 答案：（1）证明见解析；（2）2.（1）先通过平行关系证明1,A E DF 共面，然后设出1,A E DF 的交点P ，根据已知条件判断出P 在AB 上，即可完成证明；（2）连接AC 交DF 于点P ，连接DB 交AC 于点Q ，通过将三棱锥11D A FC -切割可得111111F P D A C D A C P F A C V V V ---=+，再根据线段比例关系得到111132D A C D A F PC V V --=，通过计算高DQ 的长度以及底面11A PC 的面积计算出三棱锥11D A FC -的体积.解：（1）证明：因为,E F 分别是1,B B BC 的中点，所以1//EF B C ， 又因为11//B C A D ，所以1//EF A D 且1EF A D ≠，1A E ∴，DF 共面，∴设1A E DF P =，则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B B ，P ∴∈面11AA B B ，同理可得P ∴∈面ABCD ，∴点P 在平面ABCD 与平面11AA B B 的公共直线AB 上，即1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）连接AC 交DF 于点P ，因为CF //AD ，所以由相似比可知::2:1DP PF AD FC ==，所以1111111111111322D A C D A C F A C D A C D A F P P P P P C D A C V V V V V V ------=+=+=，连接DB 交AC 于点Q ，因为1AA ⊥平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ， 所以1AA QD ⊥，AC QD ⊥，1AC AA A =∩， 所以DQ ⊥平面11AACC ，2DQ 111222222A PC S =⨯= 所以11111133131222222323D A C D A C A PC F P V V SDQ --==⨯⨯⨯=⨯⨯. 点评：方法点睛：立体几何中求几何体体积常用的方法：（1）直接法：所给的是规范几何体，且已知条件比较集中时，就按所给图象的方位用公式直接计算体积；（2）等体积法（换底法）：当按所给图象的方位不易计算体积，可选择其中较集中的面作为底面，以便计算底面积和高；（3）割补法：所给的是非规范的几何体，通过对图象的割补或体积变换，化为与已知条件直接联系的规范几何体，并作体积的加减法.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得AM BM =恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）C 的方程为24x y =；（2）存在，1t =.（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；（2）根据导数的几何意义得到直线l 的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得,A B 的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点M 的纵坐标，由AM BM =可知点M 为,A B 的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果. 解：（1）设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵PQF △为等边三角形时，其面积为∴21sin 23PQ π⨯=4PQ =， ∵Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ， 当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2pt =-，∴0220200+42162p y x p x py ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得2p =， ∴C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2004x y =，()0,Q x t∵214y x =，∴12y x '=， ∴切线0001:2l yy x x x ，即001:2l yx x y ，00222000022112122242401y x x y x x x x y x y y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪⎝⎭⎪++⎪--⎩==， ∴0012201122x y x x x +=+， ∴000120100200022001112122242212x y y x x x x x y y y y y x x +=-+-=⨯-=++；∵()0,Q x t ，∴0:OQ tl y x x =-， 0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩， ∵AM BM =，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点， ∴122M y y y =+，即0022004422t x t y y x =--+，则1t =.综上，存在t ，使得AM BM =恒成立，1t =. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg (不足1kg ，按1kg 计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：200 201300 301400 401 250 350 45030126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来1天揽件数在101~400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不会超过150件，且日工资为100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 答案：（1）45；（2）①15元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为975元，不利. （1）由频率估计概率即可；（2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可 解：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 显然未来1天中，包裹件数在101400~之间的概率为45（2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10431530201525830415100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元（ii）根据题意及（2）（i），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），将题目中的天数转化为频率，得20020130030140040125035045030126若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利. 21．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x ，2x 是方程12x x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 解：（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根， 即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==， ()2(1)()x xx x e x e xh x e e -+-'==，x ∈R ，(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，1x ，2x 是方程12xx a e +=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>->因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即111111x x x x e eλλ--++<，两边取对数，并整理得：()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.点评：本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t ，α中的一个为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线:sin 13l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）当t 为参数，3πα=时，判断曲线1C 与直线l 的位置关系；（2）当α为参数，2t =时，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，若2(0)P ，，求11||||PA PB +的值答案：（1）曲线1C 与直线l 平行；（2）1．（1）首先将曲线1C 和直线l 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线1C 的普通方程，再得将直线l 的参数方程，利用t 的几何意义求11||||PA PB +的值. 解：（1）当t 为参数，3πα=时，曲线1C 表示直线：3(1)y x =- 由:sin()13l πρθ-=，得13:sin cos 122l ρθρθ-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得32y x =+因为斜率相等，所以曲线1C 与直线l 平行；（2）当α为参数，2t =时，曲线1C 的参数方程12cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数 消去参数得曲线1C 的普通方程22(1)4x y ，易知直线过(0,2)P ， 故设直线l 的参数方程为12()322x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 联立直线l 的参数方程与曲线1C 的普通方程，得2(231)10t t 设,A B 对应的参数为12,t t ，则1212123,1t t t t 故12121212121111231t t t t PA PB t t t t t t ． 点评：方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：1.直角坐标系下的弦长公式()22121214AB k x x x x =++-或是()212122114y y y y k ++-；2.利用直线参数方程的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-. 23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：2221+++ab b a b＜． 答案：（1）3+；（2）证明见解析.（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 解：（1）12122()333a b a b z a b a b b a ⎛⎫+=++=+++=+ ⎪⎝⎭，当且仅当“b =”时取等号， 故12a b+的最小值为3+ （2）证明：222222241155ab b ab b b b a b a ++=+++++)222222ab ab b b ab b a +==+⋅，当且仅当1,2a b ==时取等号，此时a +b ≠1． 故2221+++ab b a b ． 点评：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.。
高2021届成都石室中学文科答案(0920)
成都石室中学高2021届高三周考（03）文科答案一、选择题：DBCD AAAD BDAC 二、填空题：13.135° 14.23815. 21y x =-- 16.(,0][1,)-∞⋃+∞ 三、解答题17．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅰ）设11n n n b a a +=,数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：16n T <.显然11646n T n =-+在n N +∈上单调递增，于是16n T <. 18．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”（1（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内，有三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人进步幅度在(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率.附：22()()()()()n ad bc K ab c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++......................................6分.....................................12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，12AA AB ==. （1）求证：1AB //平面1C BD ；（2）若异面直线AC 和11A B 所成角的余弦值为21313，求四棱锥11B AA C D -的体积.20．已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；.....................................6分.....................................6分.....................................12分.....................................12分（2）若1A ，2A 分别为C 的左右顶点，G 为直线1x =上的任意一点，直线1GA ，2GA 分别与C 相交于M 、N 两点，连接MN ，试证明直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.21．已知函数()22ln f x x ax b =-+.（1）若函数()f x 在(]0,1上单调递增，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，其中12x x <，求证：121x x <......................................4分.....................................6分.....................................10分.....................................7分.....................................12分...................................5分22．已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C . （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的面积...................................7分..................................9分..................................12分..................................10分..................................5分。
高三数学上学期入学考试试题文试题 3
石室中学2021届高三数学上学期入学考试试题 文一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.设复数z 满足z +i =3﹣i ，那么=-zA ．﹣1+2iB ．1﹣2iC ．3+2iD ．3﹣2i2.全集U =R ，集合A={x |x ＜﹣1或者x ＞1}，那么=A C UA.〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕 B ．〔﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞〕 C ．〔﹣1，1〕 D ．[﹣1，1]“0x ∀>，1ln 1x x ≥-〞的否认是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<- B．00x ∃>，001ln 1x x <-C ．00x ∃≤，001ln 1x x <- D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤-4.在如图的程序框图中，假设输入77,33m n ==，那么输出的n 的值是A ．3B ．7C ．11D ．335. 在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x ，假设x 满足|x |≤m 〔m ＞0〕的 概率为，那么m 的值等于 A ． B ．3C ．4D ．﹣26. ?九章算术?中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞 ，某“堑堵〞的三视图如下图，俯视图中虚线平分矩形的面积，那么该 “堑堵〞的体积为A. 2B.32C. 1D. 462+{a n }满足a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，那么数列{a n }前8项的和S n 为 A ．510B ．126C ．256D ．5128. 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()tan f x x =，那么以下结论正确的选项是A. ()32123f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()13322f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()22313f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()13223f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．0>a ，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，假设y x z +=3取最小值为1,那么a 的值是A. 1-B. 1C. 32- D. 1-或者1x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,那么CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011.向量c b,a,满足：)0,4(=a ，)4,4(=b ，0)()(=-⋅-c b c a ，那么c b ⋅的最大值是 A. 24 B. 2824- C. 2824+ D. 2812．假设关于x 的不等式12ee2e 2x x m x +-+>+〔其中e 为自然对数的底数，0,x m >∈Z 〕恒成立，那么m 的最大值为A ．4B ．5C ．3D ．2二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13. 5log = .14. 直线:2(l y x =过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C只有一个公一共点，那么C 的离心率为 ．111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，假设134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,那么球O 的直径为 ．16. 函数2()2cos (0)2xf x x ωωω=->，()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，那么ω的范围为 .三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分17. 〔本小题满分是12分〕迈入20211月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸〞级的大神.随着直播答题的开展，平台“烧钱HY 〞形式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进展了调查，得到的数据如下表：(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题形式的态度与性别有关系？(II)在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：18.〔本小题满分是12分〕如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． (I)求角A 的大小；(II)假设6ABC π∠=，AC 边上的中线BD ABC ∆的面积．19. 〔本小题满分是12分〕某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量〔单位：件〕进展了统计，制成频率分布直方图如下：实体店销售量（单位：件）频率组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012706560555045403530250频率组距网店销售量（单位：件）70656055504540350.0680.0460.0440.0200.0100.0080.004〔Ⅰ〕假设将上述频率视为概率，该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；〔Ⅱ〕假设将上述频率视为概率，该服装店实体店每天的人工本钱为500元，门本钱为1200元，每售出一件利润为50元，求该门一天获利不低于800元的概率；〔Ⅲ〕根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值〔准确到0.01〕．20.〔本小题满分是12分〕椭圆 C 的两个顶点分别为),(),,(0202B A- ，焦点在 x 轴上，离心率为23. 〔I 〕求椭圆 C 的方程〔II 〕设21F F ,为C 的左、右焦点，Q 为C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与C 的交点为P 、R ，求三角形PQR 面积的最大值.21. 〔本小题满分是12分〕()()1g x n x =-+，其中0mn ≠ 〔I 〕假设1m n ==，求()()()h x f x g x =+的单调区间；〔II 〕假设()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：〔二〕选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．〔I 〕求曲线21C C ,的极坐标方程； 〔II 〕射线:(0,0)2l πθαρα=≥<<分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲 函数()13f x x x =-+-．〔I 〕解不等式()1f x x ≤+；〔II 〕设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2021届2021~2021学年上期入学考试 数学参考答案〔文科〕1-5：CDBCC 6-10：AADBA 11-12：CA 13、5 14、5 15、13 16、7(3,]217、解:〔I 〕依题意，2K 故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播答题形式的态度与性别有关系；……………6分〔Ⅱ〕由题意，参与答题游戏获得过奖励的人数一共有100020%200⨯=人； 其中男性被调查者获得过奖励的人数为60015%90⨯=人，故女性调查者获得过奖励人数为110人，记女性被调查者参与游戏瓜分过奖励为事件A ， 那么110(A)0.275400P ==. 所以女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.275.……………………12分 18.解：由b c C a 2cos 2=-．正弦定理，可得B C C A sin 2sin cos sin 2=- 即)sin(2sin cos sin 2C A C C A +=- 可得：A C C cos sin 2sin =-sin ≠C 21cos -=∴A),0(π∈A 那么32π=A …………………〔6分〕 〔2〕由〔1〕可知32π=A ．6π=∠ABC 6π=C那么AB AC =．设x AD =，那么x AB 2=，在ABD ∆中利用余弦定理：可得．A AD AB AD AB BD cos 2222⋅-+= 即3572=x 7，可得5=x ，故得ABC ∆的面积3532sin 4212=π⨯⨯=x S ．…………………〔12分〕19、解〔Ⅰ〕由题意，网店销量都不低于50件一共有(0.0680.0460.0100.008)510066+++⨯⨯=〔天〕，实体店销售量不低于50件的天数为(0.0320.0200.0122)510038++⨯⨯⨯=〔天〕，实体店和网店销售量都不低于50件的天数为1000.24=24⨯〔天〕，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+382480-=〔天〕……………4分 〔Ⅱ〕由题意，设该门一天售出x 件，那么获利为50170080050x x -≥⇒≥ .…………6分 设该门一天获利不低于800元为事件A ，那么(A)(50)(0.0320.0200.0120.012)50.38P P x =≥=+++⨯=.故该门 一天获利不低于800元的概率为0.38..…………8分〔Ⅲ〕因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=> 故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.3450+552.350.34⨯≈〔件〕…………12分20、解：〔1〕232==a c a ,∴13==b c ,∴…………………………………………4分〔2〕因为PR F QPR S S 1=………………………………6分 因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ，),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：0132422=-++ty y t )(由弦长公式可得：41441616122222++=++⋅+=t t t t t PR )(|| 又因为点1F 到直线l 的间隔 2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t 〔当2=t 等号成立〕所以2=max S ……………………12分 21、解:分 当01x <<时， 2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->；当1x >时， 2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<．……………4分故)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞．……………5分，()2111ln ...+m x n x x ∴=①，同理，()2222+ln ...m x n x x =② 由①-分分要证()121220g x x m x x ++<+，即证：122112ln 20x x x x x x +<-+， 即证：11212221ln +01x x x x x x ->+（），……………9分 令121x t x =>，即证()1ln +20,11t p t t t t -=>∀>+． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++，……………10分 ()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：〔1〕 因为 ，，，所以 的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ，因为 的普通方程为， 即 ，对应极坐标方程为．……………………5分 〔2〕因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，那么),(),,(αραρ21N M ，那么αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM ＝414242+-)sin(πα 又 ，),(43442πππα-∈-，所以当 242ππα=-，即83πα= 时，||||ON OM 获得最大值 412+……10分 23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ． ∴原不等式的解集为]5,1[．…………………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，那么1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ， n n m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn4=1)2(42=+≥n m ，原不等式得证．…………………〔10分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2021届四川省成都石室中学高三上期期中文科数学试卷
2021年四川省成都石室中学高三上期期中文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A ＝{y ∈R|y ＝lgx ，x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是( ) A.A ∩B ＝{－2，－1} B.( R A)∪B ＝(－∞，0) C.A ∪B ＝(0，＋∞) D.( R A)∩B ＝{－2，－1}2．复数112i iz i +=--的共轭复数z 的虚部是( ) A.2i B.－2i C.12 D.－123．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P(12，y)，则sin(2π＋2α)＝( )A.12 B.1 C.－12D.－24．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为94P 是△A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是( ) A.12πB.3π C.4π D.6π 5．已知函数f(x)＝|x ＋a|－|x －a|(a ≠0)，h(x)＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则f(x)，h(x)的奇偶性依次为( ) A.偶函数，奇函数 B.奇函数，偶函数 C.偶函数，偶函数 D.奇函数，奇函数6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是()3 B.8 7 38．已知e 是自然对数的底数，函数()2x f x e x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．(1)()()f f a f b <<B ．()(1)()f b f f a <<C ．()()(1)f a f b f <<D ．()(1)()f a f f b <<9．已知直线l ：y ＝ax ＋1－a(a ∈R)，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 由两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程：①y ＝－2|x －1|；②(x －1)2＋(y －1)2＝1；③x 2＋3y 2＝4.其中直线l 的“绝对曲线”的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题 10．lg14－lg25＝____________. 11．已知x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z ＝2x －3y 的最大值为________.12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：小时)的变化关系为C ＝2204tt +，则经过__________小时候池水中药品的浓度达到最大.13．已知cos α－sin α2，则tan α＝______________.14．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3.下列四个命题： ①若x ＞y ，则[x]＞[y]；②若[x]＞[y]，则x ＞y ；③设函数f(x)＝||1()2x ，则函数y ＝[f(x)]的值域为{0，1}；④方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的解集是{x|1≤x ＜5}. 其中真命题的序号是_________________.(写出所有真命题的序号)三、解答题15．已知()2cos 23sin ,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足•0m n =． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2Af ，且2a =，求b c +的取值范围． 16．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，D 1A ＝DD 1＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2.(1)求证：A 1O ∥平面AB 1C ； (2)求三棱锥B 1－ABC 的体积.17．(本小题满分12分)为了宣传今年10月在我是举办的“第十五届中国西部博览会”组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a ，x 的值；(2)从地2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“西博会”组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q(p ，q ∈R)，且a 2，a 3，a 5成等比数列 (1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()()122,0,2,0F F -,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论. 20．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝(1＋x)lnx. (1)求函数f(x)在x ＝1处的切线方程； (2)设g(x)＝()(1)f x a x -，对任意x ∈(0，1)，都有g(x)＜－2，求实数a 的取值范围；参考答案1．D【解析】由已知，x ＞1，故y ＝lgx ＞0，即A ＝(0，＋∞)，于是A ∩B ＝{1，2}，A 错误，A ∪B ＝{－1，－2}∪(0，＋∞)，C 错误，( R A)∪B ＝(－∞，0]∪{1，2}，故B 错误，( R A)∩B ＝{－2，－1}，D 正确 考点：集合运算 2．D【解析】2(1)2(1)(1)2222i i i i i z i i +=-=-=-+，∴2i z =-，故z 虚部为－12考点：复数的概念及其代数运算 3．C【解析】在单位圆上，当x ＝12，y ＝±2，于是tan α＝∴sin(2π＋2α)＝cos2α＝cos 2α－sin 2α＝222222cos sin 1tan 131cos sin 1tan 132αααααα---===-+++ 考点：三角函数图象，性质，诱导公式，二倍角公式 4．B，32，PA 1＝1， 设△ABC 的中心为Q ，则∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成角有tan ∠PAQ ＝11AA PQ AQ PA == 即PA 与平面ABC 所成角为3π. 考点：三棱柱体积，解三角形 5．D【解析】f(－x)＝|－x ＋a|－|－x －a|＝|x －a|－|x ＋a|，故f(x)为奇函数 x ＞0时，－x ＜0，h(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x 2－x ＝－h(x)x ＜0时，－x ＞0，h(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x 2－x ＝－h(x) 且h(0)＝0，故h(x)也是奇函数 考点：函数的奇偶性 6．D 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题. 7．C【解析】原几何体是一个三棱锥，底面是边长为4的正三角形，一条长为4的侧棱垂直于底面，可知，四个面的面积分别为，8，8，，故最大面积为. 考点：三视图，棱锥的表面积 8．D 【解析】∵函数()2xf x e x =+-的零点为a ，f （0）=-1＜0，f （1）=e -1＞0，∴0＜a ＜1．∵函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，g （1）=-1＜0，g （2）=ln2＞0，∴1＜b ＜2． 综上可得，0＜a ＜1＜b ＜2．再由函数()2xf x e x =+-在（0，+∞）上是增函数，可得()()()1f a f f b <<，故选D ．点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，那么函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=O ，这个c 也就是f （x ）=0的根． 9．C【解析】由l ：y ＝ax ＋1－a 可知，该直线过定点(1，1) ①对于y ＝－2|x －1|＝22(1)22(1)x x x x -+≥⎧⎨-<⎩是以(1，0)点为折点的折线，如图无论a 为何值，它与l 都最多有一个公共点，故①不是“绝对曲线”； ②(x －1)2＋(y －1)2＝1是以(1，1)为圆心，1为半径的圆， 直线l 过圆心，他们相交所得线段长为定值2 因此，存在a ＝±2满足条件，故②是“绝对曲线”③将l 的方程代入x 2＋3y 2＝4，得(3a 2＋1)x 2＋6a(1－a)x ＋3(1－a)2－4＝0 设他们的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则2226(1)31a a x x a --+=+，22223(1)431a x x a --=+由弦长公式：|AB|2＝(1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]即：a 2＝(1＋a 2)[(26(1)31a a a --+)2－4223(1)431a a --+] 化简整理得：222262()131a a a a +-++＝0 令f(a)＝222262()131a a a a +-++，由于f(1)＝12－4＜0，f(3)＝9251049-＞0 所以函数f(a)在(1，3)内有零点，即方程f(a)＝0有实数根 故存在实数a ∈(1，3)满足条件，故③是“绝对曲线”； 考点：直线与曲线位置关系，弦长，新定义 10．－2【解析】原式＝lg(14÷25)＝lg 1100＝－2 考点：对数运算 11．2【解析】画出可行域如图将可行域三个顶点坐标代入目标函数，可知当直线z ＝2x －3y 经过点A(1，0)时，z 的最大值为2.考点：简单线性规划 12．2 【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号 考点：基本不等式，实际应用 13．－1【解析】由cos α－sin αsin(α－4π)，即sin(α－4π)＝－1， 于是α－4π＝2k π－2π(k ∈Z) α＝2k π－4π(k ∈Z) 所以tan α＝tan(2k π－4π)＝－tan 4π＝－1 考点：三角函数性质 14．③④【解析】对于①，当x ＝1.2，y ＝1.1时，x ＞y 成立，但[x]＝[y]，故①错误； 对于②，当x ＝1.1，y ＝1.2时，有[x]≥[y]，当x ＜y ，故②错误； 对于③，∵|x|≥0，∴f(x)＝2|x|∈(0，1] 当f(x)∈(0，1)时，y ＝[f(x)]＝0 当f(x)＝1时，y ＝[f(x)]＝1故y ＝[f(x)]的值域为{0，1}，③正确；对于④，根据定义，要使得[x]＝[y]，必有|x －y|＜1 当x ≤－1时，113||||244x x x -+--=≥1，11[][]42x x +-=无解 当－1＜x ＜1时，14x +∈(0，12)，[14x +]＝0，而12x -∈(－1，0)，[12x -]＝－1≠[14x +] 当1≤x ＜3时，14x +∈[12，1)，[14x +]＝0，而12x -∈[0，1)，[12x -]＝0＝[14x +] 当3≤x ＜5时，14x +∈[1，32)，[14x +]＝1，而12x -∈[1，2)，[12x -]＝1＝[14x +] 当5≤x ＜7时，14x +∈[32，2)，[14x +]＝1，而12x -∈[2，3)，[12x -]＝2≠[14x +] 当x ≥7时，113||||244x x x -+--=≥1，11[][]42x x +-=无解综上所述，11[][]42x x +-=的解集为{x|1≤x ＜5}，故④正确. 考点：函数性质，不等式，方程 15．（1）π；（2）(]2,4 【分析】（1）由向量乘法的坐标表示列式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简，即可得出最小正周期；（2）由最值列式，求出A 的值，根据正弦定理以正弦表示边长，由三角形内角和将正弦中的角度化为同一个角，根据角的取值范围求出最值. 【详解】（1）由·0m n =得22cos cos 0x x x y +-=，即22cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，其最小正周期为π.（2）由题意得32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()262A k k Z πππ+=+∈， 因为0A π<<,所以3A π=，由正弦定理得,b B c C ==，24sin 333336b c B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以b +c 的取值范围为(]2,4. 【点睛】本题考查三角函数的化简以及解三角形中的最值问题，化简时一般结合二倍角公式以及辅助角公式，求边长最值时有两个方法，一种是将边化为正弦，由角的范围求最值，另一种是结合余弦定理，由基本不等式求最值.16．(1)见解析；(2)16【解析】试题分析：(1)要证A 1O ∥平面AB 1C ；只需证明A 1O 与平面AB 1C 内的一条直线平行即可，结合图形，可选择B 1C ；(2)求追求的体积，关键是确定谁做底面，然后找到相应的高即可. 试题解析：(1)如图，连结CO ，AC ，则四边形ABCO 为正方形所以，OC ＝AB ＝A 1B 1， 且OC ∥AB ∥A 1B 1，故四边形A 1B 1CO 为平行四边形，所以A 1O ∥B 1C 又A 1O平面AB 1C ，BC ⊂平面AB 1C ，所以A 1O ∥平面AB 1C.(2)因为D 1A ＝D 1D ，O 为AD 中点，所以D 1O ⊥AD 又侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，交线为AD 故D 1O ⊥底面ABCD ，∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ∴点B 1到平面ABCD 的距离等于D 1O ∴11111113326B ABC ABC V SD O -∆=⋅=⨯⨯= 考点：空间线面关系，二面角，空间向量 17．(1)a ＝18，x ＝0.9；(2)35【解析】试题分析：(1)根据第1组数据，先求出总人数n，然后对照直方图中的数据，分别求出a和x；(2)利用分层抽样的原理，先确定出每组抽出的人数，列出所有两人获奖的情况，找出第2组至少1人获奖的情况数，求出相应概率.试题解析：(1)根据频率表中第1组数据可知，第1组的总人数为50.5＝10再结合频率分布直方图可知n＝100.0110⨯＝100∴a＝100×0.020×10×0.9＝18x＝271000.0310⨯⨯＝0.9(2)第2，3，4组中回答正确的共有54人∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：654×18＝2人；第3组：654×27＝3人；第3组：654×9＝1人设第2组的2人为A1，A2，第3组中的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C.则从6人中抽2人的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共15个基本事件其中第2组至少1人被抽中的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)这9个事件∴第2组至少1人获得幸运奖的概率为93 155=.考点：抽样方法，统计，直方图，频率，概率.18．(1)p＝－1，q＝0；(2)T n＝19[(3n－1)4n＋1]【解析】试题分析：(1)先利用变更序号法，将S n转化为a n，再根据{a n}是等差数列且a2，a3，a5成等比数列，建立p，q的方程组，可求出p和q的值；(2)根据a n＋log2n＝log2b n，找到b n的通项公式，然后用错位相减法求T n.试题解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋p ＋q 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p(n －1)＋q] ＝2n －1＋p ∵{a n }是等差数列∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ，且a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴(5＋p)2＝(3＋p)(9＋p) 解得p ＝－1. (2)由(1)得a n ＝2n －2 ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅T n ＝b 1＋b 2＋……＋b n －1＋b n＝1×40＋2×41＋3×42＋……＋(n －1)4n －2＋n4n －14t n ＝ 1×41＋2×42＋……＋(n －2)4n －2＋(n －1)4n －1＋n4n 作差得：－3T n ＝40＋41＋42＋……＋4n －1－n4n＝14(13)414143n n nn n ----⋅=- ∴T n ＝19[(3n －1)4n ＋1] 考点：等差数列，等不数列，数列的通项公式，前n 项和，错位相减法19．(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =写出椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++.试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，3y =±.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．20．(1)y ＝2(x －1)；(2)a ∈(0，1]. 【解析】试题分析：(1)分别求出f(1)和f '(1)，即可写出切线方程；(2)求g(x)的导数，对a 分类讨论，找到g(x)＋2在x ∈(0，1)的最大值，使其最大值小于0即可. 试题解析：(1)f '(x)＝lnx ＋1x x+ ∴f '(1)＝2，且切点为(1，0)∴f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1) (2)g(x)＝1ln (1)xx a x +-，x ∈(0，1)当a ＜0时，g(x)＞0不合题意 当a ＞0时，由g(x)＜－2，得lnx ＋2(1)1a x x-+＜0令h(x)＝lnx ＋2(1)1a x x-+，注意到h(0)＝0，h'(x)＝22(24)1(1)x a x x x +-++令Φ(x)＝x 2＋(2－4a)x ＋1，其△＝16a(a －1) 当0＜a ≤1时，△≤0，h'(x)≥0在x ∈(0，1)恒成立故h(x)在(0，1)上为增函数，故x∈(0，1)时，h(x)＜h(1)＝0a＞1时，Φ(0)＝1＞0，Φ(1)＝4(1－a)＜0x0∈(0，1)，使得Φ(x0)＝0∴当x∈(x0，1)，Φ(x)＜0，h'(x)＜0，h(x)在(x0，1)上是减函数h(x)＞h(1)＝0，不合题意综上所述，a∈(0，1].考点：利用导数研究函数的性质，曲线的切线，不等式，恒成立问题.。
2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试文数(试题+解析)
度上期入学考试文科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．i 为虚数单位， 512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞ 5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3a =2b =，60A =︒，则B 为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=- B ．tan y x x = C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 12x f x ax ax =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是 （ ）A ．0a < B. 01a << C ．()13f x > D ．()11f x < 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E③平面与平面不可能垂直； ④四边形.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114620,3108,350350,ii i i i i i xy x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nxya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).α1DBB 1BFD E（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）若2AB =，求三棱锥A EDC -的体积.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）圆C 的方程为225x y +=，若圆C 与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），试探究OP ，OQ 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）． （Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且π∠=，求AOBAOB∆面积的最大值．3石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <- (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =2x =当0x <<或x >()0f x '>；当2266a x --<<时，()0f x '<；()f x 在2(0,)6a --，2()6a -++∞上单调递增；()f x 在22(66a ---上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD …………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD的距离为FO =………………9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯= …………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，212251m x x k-=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分 21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x-=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1aea a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 ()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aae e a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）． 可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+ …………9分 当6πα=时，S ． 所以AOB ∆．…………10分110a e a a --+-->11a e a a --+>+。
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A． 2x < 3y < 5z
B． 3y < 2x <lt; 3 y < 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．11π
14π
B． 3
28π
C． 3
D．16π
12.已知
a
为常数，函数
f
(x)
=
2ex
−
1 2
ax2
−
ax
+ 1 有两个极值点
第 1 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
A． y = 2x − 2−x B． y = x tan x
C． y = x − sin x
D． y = 1 − 2x x
8．抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
x1，x2(x1＜x2)，则下列结论
正确的是 （ ）
A． a < 0 B. 0 < a < 1 C． f ( x1 ) > 3 D． f ( x1 ) < 1
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
>
0) 的离心率为
2，则该双曲线的渐近线方程为
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试判断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）；
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的
数学成绩为125 分），物理成绩是多少？
∑ ∑ n
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．i 为虚数单位，
z
=
5i 1+ 2i
，
则z
的共轭复数为
（
）
A. 2 − i
B． 2 + i C. −2 − i D． −2 + i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学 生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学 生中被抽到的是（ ）
石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A = {( x, y) x + y = 0, x, y ∈ R}, B = {( x, y) x − y+1 = 0, x, y ∈ R} ，则集合 A I B 的元素个
i=1
i=1
i=1
i =1
xi − x
2
= 16940,
42
∑
i =1
yi − y
2 = 5250, 其中
xi , yi 分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i = 1, 2, 3,L , 42 ， y 与 x 的相关系数
r = 0.82 ．
第 3 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
_______________
第 2 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得 与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得 与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少 钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱. 15 ． 已 知 f (x) 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 ， f ′(x) 是 f (x) 的 导 函 数 ， f (−1) = 0 ， 当 x > 0 时 ， xf ′(x) − 3 f (x) < 0 ，则使得 f (x) > 0 成立的 x 的取值集合是___________． 16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面 α 交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点 F ，则：①平面α 分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
4．函数 f (x) = ln x − 2 +1的零点所在的大致区间是（ ） x
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e, 3)
D． (3, +∞)
uv
uv
uv uv
5．已知向量 a = ( m，1) ， b = ( 3，m − 2 ) ，则 m = 3 是 a // b 的（ ）
当
MA MF
=
2 时， ∆AMF 的面积为（
）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
A．
P
=
N 1000
B．
P
=
4N 1000
C．
P
=
M 1000
D．
P
=
4M 1000
10. 已知 log2 x = log3 y = log5 z < −1，则 2x, 3 y, 5z 的大小关系为（ ）
③平面α 与平面 DBB1 不可能垂直； ④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本
次考试的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
A．充要条件 条件
B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要
6 ．已知 ∆ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a = 2 3 ， b = 2 ， A = 60° ，则 B 为
（）
A．60° B．60°或 120°
C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, +∞) 单调递减的函数是（ ）
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知，
A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果
更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 42
42
42
42
xi = 4620, yi = 3108, xi yi = 350350, ∑