运筹学排队论新优秀课件
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《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
排队论课件
③服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： • 负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相 同的负指数分布(看病)； • 爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相 同的爱尔朗分布。
• 定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）；
为叙述方便，引用下列符号，令
• M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
• D代表定长分布输入或定长分布服务； • Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系 统可以写成M/M/N； • 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成M/D/1。 • 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 • 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务， 单个服务通道的等待制系统。
多通道服务方式
(1)系统中没有车辆的概率 为： 1 P (0) N 1 k N N !(1 / N ) k 0 k! ( 2)系统中有 k个车辆的概率： k .P (0), k! P（k） k P (0), kN N! N k N k N
1
5 5 10s / 辆
两种系统比较
4个M/M/1
平均车辆数 平均排队长 平均耗时 平均等候时间 20 16.68 30 25
M/M/4
6.6 3.3 10 5
设顾客平均到达率为，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道通过接受 服务的平均服务率为，则平均服务时间为1/ 。比率 / 叫做服务强度 或交通强度，可以确定系统的状态。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。 1)在系统中没有顾客的概率为P(0) 1 2)在系统中有n个顾客的概率为P (n) n (1 ) 3)系统中的平均车辆数n 4)系统中的平均方差 2 5)平均排队长度q n 6)非零平均排队长度q w 1 1 n
运筹学课件第十章排队论
第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学第五章排队论PPT课件
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
2020/11/30
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排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
2020/11/30
8
排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
2020/11/30
9
排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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21
➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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20
❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
上海交通大学管理科学-运筹学课件第六章排队论
第6章 排队论在日常生活和工作中，人们常常会为了得到某种服务而排队等候。
比如顾客到商店购买东西，病人到医院看病，汽车进加油站加油，轮船进港停靠码头等，都会因为拥挤而发生排队等候的现象。
这时，商店的售货员和顾客，医院的医生和病人，加油站的加油泵和待加油的汽车，码头的泊位和停泊的轮船等，形成了各自的排队服务系统，简称排队系统。
在一个排队系统中，通常包括一个或多个“服务设施”，服务设施可以指人，如售货员，医院大夫等。
也可以是物，如加油泵、码头泊位等。
同时还包括许多进入排队系统要求得到服务的“顾客”。
这里的顾客是指请求服务的人或物。
如到医院看病的病人，或等待加油的汽车等。
作为顾客总希望一到系统马上就能得到服务，但客观情况并非如此。
由于顾客的到达和服务机构对每个顾客的服务时间具有随机性，因此出现排队现象几乎是不可避免的。
当然，为了方便顾客减少排队时间，排队系统可以多开设服务设施。
但那将增加系统的投资和运营成本，还可能发生空闲浪费。
排队论（Queueing Theory ）是为解决上述问题而发展起来的一门学科。
排队论起源于上世纪初，当时的美国贝尔（Bell ）电话公司发明了自动电话后，满足了日益增长的电话通讯的需要。
但另一方面，也带来了新的问题，即如何合理配置电话线路的数量，以尽可能减少用户的呼叫次数。
如今，通讯系统仍然是排队论应用的主要领域。
同时在运输、港口泊位设计、机器维修、库存控制等领域也获得了广泛的应用。
6. 1 排队系统的基本概念6. 1. 1排队系统的一般表示一个排队系统可以抽象描述为：为了获得服务的顾客到达服务设施前排队，等候接受服务。
服务完毕后就自行离开。
其中把要求得到服务的对象称为顾客，而把服务者统称为服务设施或服务台。
在排队论中，把顾客的到达和离开称为排队系统的输入和输出。
而潜在的顾客总体又称为顾客源或输入源。
因此任何一个排队系统是一种输入－输出系统，其基本结构如图6-1所示。
排队系统图6-16. 1. 2排队系统的特征由排队系统的基本结构可知，任何一个排队系统的特征可以从以下三个方面加以描述。
第七章 运筹学课件排队论
时齐的马氏链：马氏链{X (n), n 0,1,2,...} 若满足：P{ X n m j X n i} Pij (m)
则称 { X (n), n 0,1,2,...} 为时齐马尔可夫链
P (m) — 系统由状态i经过m 个时间间隔 ij
（或m 步）转移到状态j 的转移概率
n1
n
n
n
n1
n+1
系统达到平稳状态时：
pn pn (t ) P{N (t ) n}, (n 0,1,2...)
0 p0 1 p1 0 平衡方程： n 1 pn 1 n 1 pn 1 (n n ) pn
当
Cn
e t t0 b(t ) 0 t0 其中 0 ，为一常数。
服务时间分布:
（3）k阶爱尔朗（Erlang）分布：每个顾客接受服务 时间服从k阶爱尔朗分布，其密度函数为：
k (kt ) b(t ) (k 1)!
k 1
e
kt
排队系统的分类
符号表示: X/Y/Z
设 T X1 X 2 X k ，则T的密度函数为
bk (t ) E (T )
k ( kt ) k 1
( k 1)! 1
e kt , 1 k 2
t 0
,
D (T )
如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T爱尔朗分布。
n
定理1：设 N (t )为时间 0, t 内到达系统的顾客数 则{N (t ), t 0}为Poisson过程的充要条件是
充要条件是相继到达的时间间隔T服从相互 独立的参数为 的负指数分布。
第5章 排队论ppt课件
❖ 1、队长——系统中的顾客数量
m
L S Pi i i0
队长
m
m
i P0 i P0 i i 1
i0
i1
P0
m i1
d d
(
i)
P0
d d
m
(
i1
i)
P0
d d
1 m 1
(
)
1
1
P0
1
(m
1) m (1 ) 2
m
m 1
1
LS
m 2
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
i-1个细菌
一、生灭过程定义
❖ 研讨系统内部形状变化的过程 形状i+1
一个事件
系统形状i
一个事件
形状i-1
在Δt时辰内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt)→0
系统具有0,1,2,……个形状。在任何时辰，假设 系统处于形状i，并且系统形状随时间变化的过 程满足以下条件，称为一个生灭过程：
M/M/1/∞/∞排队系统
系统容量无限、顾客源无限 最根本的排队系统 排队过程为生灭过程过程
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
P0
P1
P2
Pi
列形状转移方程组求各形状概率
P1 P0
P1
P0
P0
Pi ii1Pi1Pi1iP0
Pi 1
i0
( 1 23 i )P 0 1
排队论(讲稿)PPT课件
概况2
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
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X/Y/Z/A/B/C 各符号的意义为：
X/Y/Z/A/B/C
X—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下 列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； GI——表示一般相互独立的时间间隔分布； G——表示一般服务时间的分布。
X/Y/Z/A/B/C
（三）排队系统的主要数量指标
1. 队长和排队长 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾
客数与正在接受服务的顾客数之和)。 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源 顾客到来
排队结构 排队规则
服
服务规则
务 机
构
离去
排队系统
图12-1
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分：
1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。
(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统 的，他们是单个到达，还是成批到达。病人 到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库看作是 顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
Where the Time Goes ?
美国人一生中平均要花费--
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 饮食
商业服务系统
系统类型 理发店 银行出纳服务 ATM机服务 商店收银台 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处 经纪人服务
顾客
服务台
人
理发师
人
出纳
人Hale Waihona Puke ATM机人收银员
阻塞的管道 管道工
人
售票员
人
航空公司代理人
人
股票经纪人
运输服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 等待起飞的飞机 航班服务 出租车服务 电梯服务 消防部门 停车场 急救车服务
顾客 汽车 卡车 轮船 飞机 人 人 人 火灾 汽车 人
服务台 收费员 装货工人 卸货工人 跑道 飞机 出租车 电梯 消防车 停车空间 急救车
运筹学排队论新
第十二章 排队论 本章内容
➢基本概念 ➢到达间隔的分布和服务时间的分布 ➢单服务台负指数分布排队系统的分析 ➢多服务台负指数分布排队系统的分析 ➢一般服务时间M/G/1模型
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)。 1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在 研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研 究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相 应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别 是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速 发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。
(2) 服务方式。这是指在某一时刻 接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。
(3) 服务时间的分布。在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负 指数分布、K级爱尔朗分布、一般分 布(所有顾客的服务时间都是独立同分 布的)等等。
（二）排队模型的分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、 排队规则和服务机制的不同，对排队模型进 行分类。D．G．Kendall在1953年提出了模 型分类方法，1971年在排队论符号标准化会 议上，将Kendall符号扩充为如下固定格式：
Y—表示服务时间分布，常用下列符号：
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
X/Y/Z/A/B/C
Z—表示服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s＞1) 表
示多个服务台。
A—表示系统中顾客容量限额，或称等待空 间容量：
排队规则
损失制
混合制
队长有限 等待时间有限 逗留时间有限
3．服务台情况。服务台可以从3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式
图12-2 单队列-单服务台排队系统
图12-3 单队列——S个服务台并联的排队系统 图12-4 S个队列——S个服务台的并联排队系统
图12-5 单队——多个服务台的串联排队系统 图12-6 多队——多服务台混联、网络系统
∞ 时为等待制系统，此时∞一般省略不 写；若为有限整数时，为混合制系统。
X/Y/Z/A/B/C
B—表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，
此时一般∞也可省略不写。
C—表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。
例如：某排队问题为 M／M／S／∞／∞／FCFS
面对拥挤现象，如何做到既保证一定的 服务质量指标，又使服务设施费用经济合 理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施 费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研 究解决的问题之一。
第一节 基本概念
（一）排队系统的特征及组成
➢ 排队系统的共同特征: ① 有要求得到某种服务的人或物。排队 论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服务 的人或机构称为“服务台”或“服务员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一个 是随机的，服从某种分布。
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到 达时间间隔的分布。这是求解排队系统 有关运行指标问题时，首先需要确定的 指标。
顾客流的概率分布一般有定长分布、 二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
2、排队规则 这是指服务台从队列中选取 顾客进行服务的顺序。
等待制
先到先服务 后到先服务 随机服务 优先权服务
则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；
服务时间为负指数分布； 有s(s＞1)个服务台； 系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M/M/s
某些情况下，排队问题仅用 上述表达形式中的前3个、4个、5 个符号。如不特别说明均理解为 系统等待空间容量无限；顾客源 无限，先到先服务，单个服务的 等待制系统。
X/Y/Z/A/B/C
X—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下 列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； GI——表示一般相互独立的时间间隔分布； G——表示一般服务时间的分布。
X/Y/Z/A/B/C
（三）排队系统的主要数量指标
1. 队长和排队长 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾
客数与正在接受服务的顾客数之和)。 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源 顾客到来
排队结构 排队规则
服
服务规则
务 机
构
离去
排队系统
图12-1
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分：
1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。
(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统 的，他们是单个到达，还是成批到达。病人 到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库看作是 顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
Where the Time Goes ?
美国人一生中平均要花费--
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 饮食
商业服务系统
系统类型 理发店 银行出纳服务 ATM机服务 商店收银台 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处 经纪人服务
顾客
服务台
人
理发师
人
出纳
人Hale Waihona Puke ATM机人收银员
阻塞的管道 管道工
人
售票员
人
航空公司代理人
人
股票经纪人
运输服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 等待起飞的飞机 航班服务 出租车服务 电梯服务 消防部门 停车场 急救车服务
顾客 汽车 卡车 轮船 飞机 人 人 人 火灾 汽车 人
服务台 收费员 装货工人 卸货工人 跑道 飞机 出租车 电梯 消防车 停车空间 急救车
运筹学排队论新
第十二章 排队论 本章内容
➢基本概念 ➢到达间隔的分布和服务时间的分布 ➢单服务台负指数分布排队系统的分析 ➢多服务台负指数分布排队系统的分析 ➢一般服务时间M/G/1模型
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)。 1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在 研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研 究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相 应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别 是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速 发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。
(2) 服务方式。这是指在某一时刻 接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。
(3) 服务时间的分布。在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负 指数分布、K级爱尔朗分布、一般分 布(所有顾客的服务时间都是独立同分 布的)等等。
（二）排队模型的分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、 排队规则和服务机制的不同，对排队模型进 行分类。D．G．Kendall在1953年提出了模 型分类方法，1971年在排队论符号标准化会 议上，将Kendall符号扩充为如下固定格式：
Y—表示服务时间分布，常用下列符号：
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
X/Y/Z/A/B/C
Z—表示服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s＞1) 表
示多个服务台。
A—表示系统中顾客容量限额，或称等待空 间容量：
排队规则
损失制
混合制
队长有限 等待时间有限 逗留时间有限
3．服务台情况。服务台可以从3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式
图12-2 单队列-单服务台排队系统
图12-3 单队列——S个服务台并联的排队系统 图12-4 S个队列——S个服务台的并联排队系统
图12-5 单队——多个服务台的串联排队系统 图12-6 多队——多服务台混联、网络系统
∞ 时为等待制系统，此时∞一般省略不 写；若为有限整数时，为混合制系统。
X/Y/Z/A/B/C
B—表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，
此时一般∞也可省略不写。
C—表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。
例如：某排队问题为 M／M／S／∞／∞／FCFS
面对拥挤现象，如何做到既保证一定的 服务质量指标，又使服务设施费用经济合 理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施 费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研 究解决的问题之一。
第一节 基本概念
（一）排队系统的特征及组成
➢ 排队系统的共同特征: ① 有要求得到某种服务的人或物。排队 论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服务 的人或机构称为“服务台”或“服务员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一个 是随机的，服从某种分布。
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到 达时间间隔的分布。这是求解排队系统 有关运行指标问题时，首先需要确定的 指标。
顾客流的概率分布一般有定长分布、 二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
2、排队规则 这是指服务台从队列中选取 顾客进行服务的顺序。
等待制
先到先服务 后到先服务 随机服务 优先权服务
则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；
服务时间为负指数分布； 有s(s＞1)个服务台； 系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M/M/s
某些情况下，排队问题仅用 上述表达形式中的前3个、4个、5 个符号。如不特别说明均理解为 系统等待空间容量无限；顾客源 无限，先到先服务，单个服务的 等待制系统。