6-2简谐振动的叠加
第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
简谐运动的合成
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
92简谐运动的叠加
第七章 振动与波动
24
物理学
利用旋转矢量合成
/2
y
7
8
6
y
7
6
8
5
5
1
4
4
2 3
1x
2 3
4
3 2
5
1x
6
8
7
第七章 振动与波动
25
物理学
用旋转矢量描绘振动合成图
第七章 振动与波动
26
物理学 （3） π
4y
8
1
7
6 2
5
3 4
y
8
7
1
6 5
2
x
3 4
4
3 2
5
1x
6
8
合振动轨迹方程
x A1
2
y A2
2
2xy
cos(2
A1 A2
1
)
sin
2 (2
1
)
物理学
作 业: 9-17
第七章 振动与波动
35
x x1 x2
x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
采用旋转矢量图解法合成合振动
第七章 振动与波动
3
物理学
设一质点同步参加 两独立旳同方向、同频 率旳简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
O x2
A1
x1 x
两振动旳位相差
2
且方向相同步为t = 0，将该方向定为x轴正
向）：
A2
A w1
ω2t
6-2简谐振动的叠加
5
讨论：1. 2 1 2kπ k 0,1,2,
A A1 A2
A
A1
A2
合振幅最大，振动加强
2.
2 1 (2k 1)π k 0,1,2, A2 A A1 A2 A1 A 合振幅减小，振动减弱
3. 一般情况 为任意值
§7-2 简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
A1 sin 1 A2 sin 2 合振动的初相位为： arctan A1 cos 1 A2 cos 2
。
3 0.05sin 0.06sin 5 5 arctan 3 0.05cos 0.06 cos 5 5 6812' 或 24812'
248°12′位于第三象限不合题意， 故知合振动的初相位
（1）
（2）
18
x cost cos sin t sin 改写为 A y cos t cos sint sin B
（3） （4）
以cos 乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得
x y cos cos sin t sin( ) A B
x1 a cost x2 a cos(t 0 ) x3 a cos(t 20 ) xN a cos[t ( N 1)0 ]
求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开繁 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成剖析
2 A cos 2 1
2
t
cos 1 2 t 2
位
移x
合振动 分振动1
振幅周期性变化
分振动2
2 21
oLeabharlann TT23T
2T
2
t
为一复杂振动
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
即 1- 2 << 1 or 2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
声音强弱的变化快 6秒中变化了6次，有6 拍
声音强弱的变化慢6秒中变化了3次，有3 拍
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
x x x1 x2 x1 x2 o
| 振幅2变化缓慢1 |
2
一个强弱变化所需的时间
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,...
由A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
o
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
2 2
振幅随时间的变化非常缓慢
x
医用物理学教学课件 第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
t4 t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X
8c
os(
t
)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：
36
2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
2
2
A0
cos
2
O
X
2 A0
cos 2
1
2
t
注： 2t 1t
1 2
(1
cos
)
cos
2
从角度可分析：
t
2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x
2
A0
cos 1
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
92简谐运动的叠加
9-3
简谐振动的合成
问题：简谐振动的叠加非常复杂， 叠加后的结果与哪些因素有关？ 1、参与叠加的个数； 2、各自的振动方向； 3、各自的振动幅度； 4、各自的振动频率和周期； 5、各自的振动初相位； 我们只介绍三种特殊的叠加：
第七章 振动与波动
1
物理学
一.同一直线上两个同频率简谐振 动的合成————简谐振动
3
y2 18 3 Nhomakorabea1
8 7 6
4
5
7 6
x
4
5
4
5 6 7
第七章 振动与波动
3
2 1
8
23
x
物理学
x y 2 xy 2 2 cos( ) sin ( ) 2 A B AB 2 2 x y π 2 1 （2） ，可得 2 2 A B
合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆。
1 E E E kA C 2
2 k p
五、谐振动合成
1.两同方向同频率谐振动合成
分振动
x1 A1 cos(t 1 ) x 2 A2 cos(t 2 )
2 1 2 2
振动合成 x x1 x2 A cos(t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2 2 k , A A1 A2 特殊情况 A A A ( 2 k 1 ) , 1 2 2 2 , A A1 A2 2
x
A1
x
2
o
o
T
t
x ( A2 A1 ) cos(t ) A A1 A2 2 1 (2k 1) π 合振动振幅最小。
6-2简谐振动的叠加
回顾知识
一、同一直线上两个同频率的简谐振动的合成 同一直线上两个同频率的简谐振动的合成 同频率
x 1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) x 2 = A 2 cos( ω t + ϕ 2 )
合振幅 初相位
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
x = A cos(ωt + ϕ )
结论
如果两个同方向的简谐振动， 频率不同， 如果两个同方向的简谐振动 ， 频率不同 ， 则两个分振动的相位不同，相位差、 则两个分振动的相位不同，相位差、合振动的振 幅、角频率将随时间变化，合振动一般不是简谐 角频率将随时间变化， 振动。 振动。
讨论一种特殊情形： 讨论一种特殊情形：
两个谐振动频率很大，但十分接近， 两个谐振动频率很大，但十分接近，即： ω2 − ω1 << ω2 + ω1 为简单起见： 为简单起见：设
x = A1 cos(ωt + ϕ1 )
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
x = cos ωt cos ϕ1 − sin ωt sin ϕ1 A1
y = cos ωt cos ϕ 2 − sin ωt sin ϕ 2 A2
①
②
① × cos ϕ 2 − ② × cos ϕ 1
x y cos ϕ 2 − cos ϕ 1 = sin ω t sin( ϕ 2 − ϕ 1 ) A1 A2
（2） ）
2 2
∆ϕ =ϕ2 −ϕ1 =π
x y ( + ) =0 A A y 1 2
x y xy + 2 +2 =0 2 A1 A2 A1A2
108846-大学物理-普通物理学-Chap 6-4(3-28)
a
d2x dt 2
A 2 cos( t )
am cos( t )
比x超前π/2 比x超前π
m A 速度振幅
am A 2 加速度振幅
x,v,a
x=Acos(ωt+φ)
a
2
υ
ωt
0
5、由初始条件确定振幅A和初相位φ：
x Acos( t ) dx A sin(t )
x Acos( t )
(ω为角频率，rad/s)
弹簧振子的 周期和频率：
T
2
2
m, 1
k
2 2
k m
例：一劲度系数为k的轻弹簧上端固定，下端挂一质量为m的
物体，使物体上下振动。证明该物体作简谐振动。
例6-2
mg
kx'
m
d 2 x' dt 2
即：
d 2 x' dt 2
2
x'
g
0
2 k
因此，简谐振动的运动方程也可写成：
x Acos( 2 t )
或 x Acos( 2 t )
T
另外经过一个周期后：
x Acos( t ) Acos( t 2 )
A cos( t
2
)
4、简谐振动的速度和加速度：
速度
dx dt
A
sin( t
)
m
cos( t
2
)
加速度
dt
设 t =0 时，x = x0、υ = υ0 ，
则： x0 Acos 0 A sin
得：
A
x02
2 o
2
tan 0 x0
6、简谐振动的矢量表示法：
设一质点绕圆心O作半径为A 、角速度为ω的匀速 圆周 运动。 t =0时，位矢 A与x轴夹角为φ 。 t 时刻 A与x轴 夹角（相角）为ωt+ φ则该质点在轴上的投影的坐标：
简谐振动的合成
2、次谐频：
(1)振动的分解在大多数情况下都是按福里哀谐频分解，即这时分振动的频率都 是某个基频的整数倍。但在另外一定的条件下，其分振动的频率是某个分数基频 （例ν/2）的“谐频”──这种现象叫做次谐频。
(2)出现福里哀谐频和次谐频现象，都是一种非线性效应。但二者有区别；无论多 么弱的非线性都可产生福里哀谐频。但要产生次谐频，则对非线性有阈值限制。
2
由 1cos2 2 cos1
得
x A1
cos2
y A2
cos1
sint sin(2
1)
311Βιβλιοθήκη 由 1 sin2 2sin1
得
x A1
s in 2
y A2
s in 1
cost sin(2
1)
4
32 42 并整理可得
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1)
sin2 (2
1)
Acos(t 0 )
两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动。
其中 合振幅
A A12 A22 2 A1A2 cos(20 10 )
初位相
0
tg 1
A1 sin10 A1 cos10
A2 sin20 A2 cos20
2
2、旋转矢量合成法
两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋转，故形成稳定的平 形四边形。
谐振动，这种分解叫做谐波分析，其中ω—基频，nω—泛频（倍频）或福里哀谐频。
15
16
一个任意的周期性复杂运动，分解后是一组包含一系列谐泛频振动的无穷级数。
一个随机的振动分解后只能用福里哀积分表示，即其频谱线不是分立的，而是 连续的，即
分析简谐振动的几个概念
分析简谐振动的几个概念简谐振动是物理学中一种重要的振动模式，它在许多自然界和工程应用中都有广泛的应用。
本文将对简谐振动的几个概念进行详细的分析。
1. 简谐振动的定义：简谐振动是指一个物体在给定的恢复力作用下，沿着一条直线或者围绕某个平衡位置作往复运动的振动。
简谐振动的特点是周期性、恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离成正比，且与物体的质量无关。
2. 简谐振动的公式：简谐振动的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，在不考虑阻尼和扰动力的情况下，运动方程可以表示为：mx'' + kx = 0，其中m为物体的质量，k为恢复力的常数，x为物体相对于平衡位置的位移，x''为加速度。
3. 简谐运动的特征：简谐振动有几个重要的特征：振动频率、周期、角频率、振幅和相位。
振动频率指的是单位时间内完成的振动次数，它与振动周期的倒数成反比。
振动周期是指完成一个完整的往复运动所需要的时间。
角频率是振动频率的2π倍，通常用符号ω来表示。
振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移。
相位是指振动物体位移相对于某一参考点的位置，可以用角度或时间来表示。
4. 简谐振动的能量：简谐振动的能量包括动能和势能两部分。
在振动的过程中，当物体处于平衡位置时，动能为零，势能最大；当物体处于最大振幅位置时，势能为零，动能最大。
根据机械能守恒定律，物体的总能量在振动过程中保持不变。
5. 简谐振动的叠加原理：叠加原理是指当系统中有多个简谐振动同时存在时，每个振动的叠加效果不影响其他振动的情况下，系统的振动可以看作是这些简谐振动的叠加。
这是因为简谐振动是线性的，可用叠加原理表示。
6. 简谐振动的应用：简谐振动在日常生活和科学研究中有广泛的应用。
钟摆的摆动、弹簧的振动、电路中的交流电振荡等都可以看作是简谐振动。
通过研究简谐振动的特性，可以推导出更复杂振动模式的行为，如非线性振动和混沌振动等。
简谐振动是物理学中一种重要的振动模式，它具有周期性、恢复力与位移成正比等特点。
大学物理振动习题含答案
一、选择题：1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开,使摆线与竖直方向成一微小角度 ,然后由静止放手任其振动,从放手时开始计时;若用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初相为A B /2 C 0 D2．3002：两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同;第一个质点的振动方程为x 1 = A cos t + ;当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点正在最大正位移处;则第二个质点的振动方程为： A)π21cos(2++=αωt A x B )π21cos(2-+=αωt A x C)π23cos(2-+=αωt A x D )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面,振动角频率为;若把此弹簧分割成二等份,将物体m 挂在分割后的一根弹簧上,则振动角频率是 A 2 B ω2 C 2/ω D /24．3396：一质点作简谐振动;其运动速度与时间的曲线如图所示;若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初相应为 A /6 B 5/6C -5/6D -/6E -2/35．3552：一个弹簧振子和一个单摆只考虑小幅度摆动,在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2;将它们拿到月球上去,相应的周期分别为1T '和2T ';则有A 11T T >'且22T T >'B 11T T <'且22T T <'C 11T T ='且22T T ='D 11T T ='且22T T >'6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动,振动方程为)312cos(1042π+π⨯=-t x SI;从t = 0时刻起,到质点位置在x = -2 cm 处,且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 A s 81 B s 61 C s 41 D s 31 E s 217．5179：一弹簧振子,重物的质量为m ,弹簧的劲度系数为k ,该振子作振幅为A 的简谐振动;当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时,开始计时;则其振动方程为： A)21/(cos π+=t m k A x B )21/cos(π-=t m k A x C)π21/(cos +=t k m A x D )21/cos(π-=t k m A x E t m /k A x cos =v 213030图 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动,振辐A = 4 cm,周期T = 2 s,其平衡位置取作坐标原点;若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处,且向x 轴负方向运动,则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为A 1 sB 2/3 sC 4/3 sD 2 s9．5501：一物体作简谐振动,振动方程为)41cos(π+=t A x ω;在 t = T /4T 为周期时刻,物体的加速度为 A 2221ωA - B 2221ωA C 2321ωA - D 2321ωA10．5502：一质点作简谐振动,振动方程为)cos(φω+=t A x ,当时间t = T /2T 为周期时,质点的速度为A φωsin A -B φωsin AC φωcos A -φωcos A 11．3030x 1的相位比x 2的相位A 落后/2B 超前C 落后D 超前 12．3042：一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为A 21,且向x 轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为,T A s B sC sD s 15．5186：已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米,时间单位为秒;则此简谐振动的振动方程为： A)3232cos(2π+π=t x B )3232cos(2π-π=t x C )3234cos(2π+π=t x D )3234cos(2π-π=t x E)4134cos(2π-π=t x 16．3023：一弹簧振子,当把它水平放置时,它可以作简谐振动;若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上,A 竖直放置可作简谐振动,B 竖直放置不能作简谐振动,C 两种情况都可作简谐振动3270图 竖直放置放在光滑斜面上B x A CA/ -D 两种情况都不能作简谐振动17．3028：一弹簧振子作简谐振动,总能量为E 1,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的质量增为原来的四倍,则它的总能量E 2变为A E 1/4B E 1/2C 2E 1D 4E 118．3393：当质点以频率作简谐振动时,它的动能的变化频率为A 4B 2CD ν2119;3560：弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时,弹性力在半个周期内所作的功为A kA 2B 221kAC 1/4kA 2D 020．5182：一弹簧振子作简谐振动,当位移为振幅的一半时,其动能为总能量的 A 1/4 B 1/2 C 2/1 D 3/4 E 2/3 21．5504：一物体作简谐振动,振动方程为)21cos(π+=t A x ω;则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8T 为振动周期时刻的动能之比为：A 1:4B 1:2C 1:1D 2:1E 4:1 22．5505：一质点作简谐振动,其振动方程为)cos(φω+=t A x ;在求质点的振动动能时,得出下面5个表达式： 1 )(sin 21222φωω+t A m 2)(cos 21222φωω+t A m3 )sin(212φω+t kA4 )(cos 2122φω+t kA5 )(sin 22222φω+πt mA T 其中m 是质点的质量,k 是弹簧的劲度系数,T 是振动的周期;这些表达式中A 1,4是对的B 2,4是对的C 1,5是对的D 3,5是对的E 2,5是对的 23．3008：一长度为l 、劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为l 1和l 2的两部分,且l 1 = n l 2,n 为整数. 则相应的劲度系数k 1和k 2为 A 11+=n kn k , )1(2+=n k k B n n k k )1(1+=,12+=n k k C n n k k )1(1+=, )1(2+=n k k D 11+=n kn k , 12+=n k k 24．3562：图中所画的是两个简谐振动的振动曲线;若这两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动的初相为 A π23B πC π21D 0二、填空题：1．3009：一弹簧振子作简谐振动,振幅为A ,周期为T ,其运动方程用余弦函数表示;若0=t 时,1 振子在负的最大位移处,则初相为______________；2 振子在平衡位置向正方向运动,则初相为__________；3 振子在位移为A /2处,且向负方向运动,则初相为______;2．3390：一质点作简谐振动,速度最大值v m = 5 cm/s,振幅A = 2 cm;若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0,则振动表达式为_________________________;3．3557：一质点沿x 轴作简谐振动,振动范围的中心点为x 轴的原点;已知周期为T ,振幅为A ;1若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动,则振动方程为 x =____________;2若t = 0时质点处于A x 21=处且向x 轴负方向运动,则振动方程为 x =_______________;4．3816：一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动,频率为 Hz;t = 0时,x = 0.37 cm 而速度等于零,则振幅是___________,振动的数值表达式为_____________________;5．3817：一简谐振动的表达式为)3cos(φ+=t A x ,已知 t = 0时的初位移为0.04 m,初速度为0.09 m/s,则振幅A =_____________ ,初相 =________________;6．3818：两个弹簧振子的周期都是 s,设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动,经过 s 后,第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动的相位差为____________;7．3819：两质点沿水平x 轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动,平衡位置都在坐标原点;它们总是沿相反方向经过同一个点,其位移x 的绝对值为振幅的一半,则它们之间的相位差为___________;8．3820：将质量为 0.2 kg 的物体,系于劲度系数k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端;假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放,然后物体作简谐振动,则振动频率为__________,振幅为____________;9．3033：一简谐振动用余弦函数表示,其振动曲线如图所示,则此简谐振动的三个特征量为A =_____________； =________________； =_______________;移为,;其振动曲线如图所示;根据此图,它的周期T =___________,用余弦函数描述时初相 =_________________;别为 3033图 3041 t 3046 3398图 -t (s) -3399图 356714．3567：图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动;旋转矢量的长度为0.04 m,旋转角速度 = 4 rad/s;此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x=__________________________SI;15．3029：一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的______________;设平衡位置处势能为零;当这物块在平衡位置时,弹簧的长度比原长长l ,这一振动系统的周期为________________________;16．3268一系统作简谐振动, 周期为T ,以余弦函数表达振动时,初相为零;在0≤t ≤T 21范围内,系统在t =________________时刻动能和势能相等;17．3561：质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子,其固有振动周期为T. 当它作振幅为A 自由简谐振动时,其振动能量E = ____________;18．3821：一弹簧振子系统具有 J 的振动能量,0.10 m 的振幅和1.0 m/s 的最大速率,则弹簧的劲度系数为___________,振子的振动频率为_________;19．3401：两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分别为：)215cos(10621π+⨯=-t x SI , )5cos(10222t x -π⨯=- SI它们的合振动的振辐为_____________,初相为____________;20．3839：两个同方向的简谐振动,周期相同,振幅分别为A 1 = 0.05 m 和A 2 = 0.07 m,它们合成为一个振幅为A = 0.09 m 的简谐振动;则这两个分振动的相位差___________rad;21．5314：一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为)41cos(05.01π+=t x ω SI, )129cos(05.02π+=t x ω SI其合成运动的运动方程为x = __________________________;22．5315：两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为20 cm,与第一个简谐振动的相位差为 –1 = /6;若第一个简谐振动的振幅为310cm = 17.3 cm,则第二个简谐振动的振幅为___________________ cm,第一、二两个简谐振动的相位差1 2为____________;三、计算题：1．3017：一质点沿x 轴作简谐振动,其角频率 = 10 rad/s;试分别写出以下两种初始状态下的振动方程：1 其初始位移x 0 = 7.5 cm,初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；2 其初始位移x 0 =7.5 cm,初始速度v 0 =-75.0 cm/s;2．3018：一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm;现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止,再把物体向下拉10 cm,然 后由静止释放并开始计时;求：1 物体的振动方程；2 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；3 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间;3．5191：一物体作简谐振动,其速度最大值v m = 3×10-2 m/s,其振幅A = 2×10-2 m;若t = 0时,物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动;求：1 振动周期T ；2 加速度的最大值a m ；3 振动方程的数值式;4．3391：在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球,弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡;再经拉动后,该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动,试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时,写出此振动的数值表达式;5．3835在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体,当物体处于平衡状态时,再对物体加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放;已知物体在32 s 内完成48次振动,振幅为5 cm;1 上述的外加拉力是多大2 当物体在平衡位置以下1 cm 处时,此振动系统的动能和势能各是多少6．3836在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g 的小球,弹簧伸长l = 1 cm 而平衡;经推动后,该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm 的振动,求：1 小球的振动周期；2 振动能量;7．5506一物体质量m = 2 kg,受到的作用力为F = -8x SI;若该物体偏离坐标原点O 的最大位移为A = 0.10 m,则物体动能的最大值为多少8．5511 如图,有一水平弹簧振子,弹簧的劲度系数k = 24 N/m,重物的质量m = 6 kg,重物静止在平衡位置上;设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体不计摩擦,使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ;当重物运动到左方最远位置时开始计时,求物体的运动方程;1．3001：C ；2．3002：B ；3C ；5．3552：D ；6．5178：E ； 7．5179：B ；8．5312：B ；9．5501：B ；10．5502：B ；11．3030：B ；12．3042：B ；13．3254：D ；14．3270：B ；15．5186：C ；16．3023：C ；17．3028：D ；18．3393：B ；19．3560：D ；20．5182：D ；21．5504：D ；22．5505：C ；23．3008：C ；24．3562：B ；二、填空题：1．3009： ； - /2；2．3390：)212/5cos(1022π-⨯=-t x 3．3557： )212cos(π-πT t A ；)312cos(π+πT t A 4．3816： 0.37 cm ； )21cos(1037.02π±π⨯=-t x5．3817： 0.05 m ； 或°6．3818：7．3819： 32π±8．3820： Hz ； 0.103 m9．3033： 10 cm /6 rad/s ； /310．3041： 0； 3 cm/s11．3046： /4；)4/cos(1022π+π⨯=-t x SI 12．3398： s ； -2/355065511图13．3399： )cos(1063π+π⨯=-t x a SI ；)2121cos(1063π+π⨯=-t x b SI 14．3567：)214cos(04.0π-πt 15．3029： 3/4； g l /2∆π16．3268： T /8； 3T /817．3561： 222/2T mA π18．3821： 2×102 N/m ； Hz19．3401： 4×10-2 m ； π21 20．3839：21．5314： )1223cos(05.0π+t ω SI 或 )121cos(05.0π-t ω SI22．5315： 10； π-21 三、计算题：1．3017：解：振动方程：x = A cos t +1 t = 0时 x 0 =7.5 cm ＝A cos ；v 0 =75 cm/s=-A sin解上两个方程得：A =10.6 cm----------------1分； = -/4-------------------1分∴ x =×10-2cos10t -/4 SI------------1分2 t = 0时 x 0 =7.5 cm ＝A cos ； v 0 =-75 cm/s=-A sin解上两个方程得：A =10.6 cm, = /4-------------------1分∴ x =×10-2cos10t +/4 SI-------------1分2．3018：解： k = f/x =200 N/m , 07.7/≈=m k ω rad/s----------2分(1) 选平衡位置为原点,x 轴指向下方如图所示(2) t = 0时, x 0 = 10A cos,v 0 = 0 = -A sin解以上二式得： A = 10 cm, = 分 ∴ 振动方程x 2 物体在平衡位置上方5 cm 时,弹簧对物体的拉力：f = mg 而： a = -2x = 2.5 m/s 2∴ f =4 － N= N----------------------------------------------3分 3 设t 1时刻物体在平衡位置,此时x = 0,即： 0 = A cos t 1或cos t 1 = 0∵ 此时物体向上运动,v < 0；∴ t 1 = /2,t 1= /2 =s------------------------1分再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处,此时x = -5,即：-5 = A cos t 1,cos t 1 =－1/2∵ 0, t 2 = 2/3, t 2=2 /3 = s-----------------------------2分t = t 1-t 2 = － s ＝ s-------------------------1分3．5191：解：1 v m = A ∴ = v m / A = s-1∴ T = 2/ s--------------------------------------------3分 2 a m = 2A = v m = ×10-2 m/s 2 ------------------------------2分 3 π=21φ , x = )215.1cos(π+t SI-----------3分 4．3391：解：设小球的质量为m ,则弹簧的劲度系数： 0/l mg k =选平衡位置为原点,向下为正方向．小球在x 处时,根据牛顿第二定律得：220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k =,代入整理后得：0//d d 022=+l gx t x ∴ 此振动为简谐振动,其角频率为-------------------3分 π===1.958.28/0l g ω------------------------2分 设振动表达式为：)cos(φω+=t A x由题意：t = 0时,x 0 = A=2102-⨯m,v 0 = 0,解得： = 0--------------------------------------------------1分∴)1.9cos(1022t x π⨯=--------------------------2分 5．3835：解一：1 取平衡位置为原点,向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为l ,则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0,则：0)(0=+-+∆x l k mg F解得： F = kx 0-------------------------------2分由题意,t = 0时v 0 = 0；x = x 0 则：02020)/(x x A =+=ωv ----------2分又由题给物体振动周期4832=T s,可得角频率 T π=2ω, 2ωm k =∴444.0)/4(22=π==A T m kA F N --------------------------------------------1分2 平衡位置以下 1cm 处：)()/2(2222x A T -π=v ---------------------------2分 221007.121-⨯==v m E KJ-----------------------------------------------2分2222)/4(2121x T m kx E p π== = ×10-4 J-------------------------1分解二：1 从静止释放,显然拉长量等于振幅A 5 cm,kA F =----------------2分2224νωπ==m m k , =Hz--------------------------------------------2分∴ F =N-------------------------------------------------------1分l 0 mg x kl 0k (l +x ) mg2 总能量：221011.12121-⨯===FA kA E J-------------------2分当x = 1 cm 时,x = A /5,E p 占总能量的1/25,E K 占24/25---------------2分∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J,41044.425/-⨯==E E p J------------1分6．3836：解：1 )//(2/2/2l g m k m T ∆π=π=π=ω= s ------------------3分2 22)/(2121A l mg kA E ∆== = ×10-3 J ----------------------------------------2分7．5506：解：由物体受力F = -8x 可知物体作简谐振动,且和F = -kx 比较,知 k = 8 N/m,则：4/2==m k ωrad/s 2--------------------------------------------------2分 简谐振动动能最大值为：2221A m E Km ω== J----------------3分8．5511：解：设物体的运动方程为： )cos(φω+=t A x 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F × = J---------------------------2分当物体运动到左方最远位置时,弹簧的最大弹性势能为 J,即：5.0212=kA J,∴ A = 0.204 m--------------------------------------------------------------------2分A 即振幅;4/2==m k ω rad/s 2 ⇒ = 2 rad/s---------------------------2分按题目所述时刻计时,初相为 = ------------------------------------------2分∴ 物体运动方程为： )2cos(204.0π+=t x SI----------------2分。
简谐运动简谐运动的表达式和图象Ⅱ[技巧]
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简谐运动简谐运动的表达式和图象Ⅱ1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧来回做往复运动，叫做机械振动。
机械振动产生的条件是：（1）回复力不为零。
（2）阻力很小。
使振动物体回到平衡位置的力叫做回复力，回复力属于效果力，在具体问题中要注意分析什么力提供了回复力。
2、简谐振动：在机械振动中最简单的一种理想化的振动。
对简谐振动可以从两个方面进行定义或理解：（1）物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐振动。
（2）物体的振动参量，随时间按正弦或余弦规律变化的振动，叫做简谐振动，在高中物理教材中是以弹簧振子和单摆这两个特例来认识和掌握简谐振动规律的。
3、描述振动的物理量，研究振动除了要用到位移、速度、加速度、动能、势能等物理量以外，为适应振动特点还要引入一些新的物理量。
（1）位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段叫做位移。
位移是矢量，其最大值等于振幅。
（2）振幅A：做机械振动的物体离开平衡位置的最大距离叫做振幅，振幅是标量，表示振动的强弱。
振幅越大表示振动的机械能越大，做简揩振动物体的振幅大小不影响简揩振动的周期和频率。
（3）周期T：振动物体完成一次余振动所经历的时间叫做周期。
所谓全振动是指物体从某一位置开始计时，物体第一次以相同的速度方向回到初始位置，叫做完成了一次全振动。
（4）频率f：振动物体单位时间内完成全振动的次数。
（5）角频率：角频率也叫角速度，即圆周运动物体单位时间转过的弧度数。
引入这个参量来描述振动的原因是人们在研究质点做匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点射影做的是简谐振动。
因此处理复杂的简谐振动问题时，可以将其转化为匀速圆周运动的射影进行处理，这种方法高考大纲不要求掌握。
周期、频率、角频率的关系是：。
（6）相位：表示振动步调的物理量。
现行中学教材中只要求知道同相和反相两种情况。
4、研究简谐振动规律的几个思路：（1）用动力学方法研究，受力特征：回复力F =－ Kx；加速度，简谐振动是一种变加速运动。
6-2简谐振动的叠加
2 1 = ±(2k +1)π k = 0,1,2,
A = A1 A2
A2
合振幅减小, 合振幅减小,振动减弱
A
A1
A A1
2
3. 一般情况 为任意值
2 1 ≠ π
A1 A2 < A < A1 + A2
A2
二,同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + 1 )
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*四,振动的分解 四 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成. 简谐振动所合成. 把有限个或无限个周 期分别为T ,T/2,T/3,… 期分别为 … (或角频率分别为ω ,2ω, 3ω,…)的简谐振动合成 …)的简谐振动合成 起来, 起来,所得合振动也一 定是周期为T 的周期性 振动. 振动.
2A cos(
ω2 ω1
2
t)
拍频为 1 ω2 ω1 ν= = = ν 2 ν1 T 2π 拍的振动曲线如右图
2 2 T=( )= ω2 ω1 ω2 ω1
三,两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为
x = A cos( ω t + α )
y = B cos( ω t + β )
(1) ) (2) )
β-α= π/2 时,
o -B
A x
合振动沿顺时针方向进行; 合振动沿顺时针方向进行;
A y
β-α = π/2 时,
合振动沿逆时针方向进行. 合振动沿逆时针方向进行.
-A
o -A
A x
A=B,椭圆变为正圆,如右图所示. ,椭圆变为正圆,如右图所示.
8
3.如果 3.如果(βα)不是上述数 值,那么合振动的轨迹 为椭圆, 为椭圆,其范围处于边 长分别为2A(x方向)和 方向) 长分别为 方向 2B(y方向 的矩形内. 方向)的矩形内 方向 的矩形内. 两个分振动的频率相 差较大, 差较大,但有简单的整 数比关系, 数比关系,合振动曲线 称为利萨如图形 利萨如图形. 称为利萨如图形.
《物理学教程(第三版)》上册 电子课件 6-2 平面简谐波的波函数
x
)
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数 二 波函数的物理意义
物理学教程 （第三版）
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点处质元的简谐振
动方程，并给出该点处质元与点 O处质元振动的相位差.
sin(πx) 1
o*
1*.0 2*.0 3*.0 x / m x (2k 0.5)m
-1.0
*
t 1.0 s 时刻波形图
sin(πx) 1 x (2k 1.5)m k 0,1,2,
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第三版）
3） x 0.5m 处质元的振动规律并作图 . y 1.0 cos[ 2π( t x ) π ]m 2.0 2.0 2
y Acos 2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
y Acos(t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的 C两x点) 处质y元间A的co相s 2位π差( t.
上点 A处质元的简谐振动方程 yA 3102 cos(4 πt)m
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
A 3102 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[ 2π ( t x ) ] T
第6章简谐振动
（1）x A cos(t ) A振幅
v dx A sin(t )
dt
Vm sin(t )
a
dv
A 2
Vm 速度振幅
cos(t )
dt
am cos(t )
am 加速度振幅
（2）x-t曲线、v-t曲线、a-t曲线：
x
v
t
t
a
vx a
t
t
§6-2 描述谐振动的三个物理量 ——周期、振幅、初相
t 代入速度公式，可得
2
3 v A sint 0.26m s1
负号表示速度的方向沿ox轴负方向
(3)因x0 0.05m v0 0.30m s 1 故振幅和初相分别为
A
x02
v02
2
0.0707m
tg v0 1
1 或 3
，
x0
由题意作出旋转矢量图.
从图可知
44
1
m m0 m
A0 m m0
A
m
A
m
m m0
A0
6.5简谐振动的合成
6.5.1同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成
设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
3、简谐振动的特点：
（1）运动学特征：
a d 2 x 2 x
dt 2
a与x恒成正比且反相
x A cos(t ) x是t的余弦函数
（2）动力学特征：
f合外 kx
要证明一个运动是简谐振动 是否满足下面三个方程之一
f kx
d2x 2x 0
dt 2
x Acost
4、简谐振动中的位移、速度和加速度：
简谐振动的叠加(课堂PPT)
出该振动的位移与时间的关系。
x/cm
解 由图知 A = 4.0×102 m
4.0
P
当t =0 时，
A x0 = 2,v0 >0
2.0 O
1
t/s
{ 由式 x0 = A cos v0 = A sin
-2.0 -4.0
解得
所以
3 x4.01
02c
π
o(st )
两个分振动的频率相差 较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线 称为利萨如图形。
不同频率的垂直振动运动的合成。
§7-3 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动(damped vibration)
振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。
以物体受流体阻力作用下的振动为例：
阻力为 F v dx
dt
物体的振动方程 md2x dxkx0
AB
以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得
xsin ysin co tssi n () （6）
AB
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
A x2 2B y2 22 A xcy B o s) (si2(n )
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐
振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成
设有两个同频率的谐振动
x1A 1co ts (1) x2A 2co ts (2)
合振动 x x 1 x 2 A 1 co t 1 ) s A 2 c ( o t 2 ) s(
由矢量图得 xAcots()（仍为同频率谐振动）
而
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s (1) arctanA A 1 1c so in s 1 1 A A2 2scio ns 2 2
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ν =ν2 −ν1
x2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合振动为 x = x1 + x2 = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
= 2 A cos(
ω 2 − ω1
2
t )cos(
ω 2 + ω1
2
t +ϕ)
4
拍的振幅为 振幅的周期为
′ A 2 ′ A 1
ω2
A
A ω 2 1 A 1
x
A′
O
ω2
A = A 2 + A 2 + 2A A cos[(ω2 −ω1)t + (ϕ2 −ϕ1)] 1 2 1 2
3
由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振 动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 合振动在 内加强或减弱的次数称为拍频。 内加强或减弱的次数称为拍频 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
9
*四、振动的分解 四 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。 简谐振动所合成。 把有限个或无限个周 期分别为T ,T/2,T/3,… 期分别为 … (或角频率分别为ω ,2ω, 3ω,…)的简谐振动合成 …)的简谐振动合成 起来， 起来，所得合振动也一 定是周期为T 的周期性 振动。 振动。
5
x = cosω t cos α − sinω t sin α 改写为 A y = cos ω t cos β − sin ω t sin β B
（3） ） （4） ）
乘以(3)式 乘以(4)式 以cos β 乘以 式，cosα 乘以 式，后相减得
x y cos β − cosα = sinωtsin(β −α) A B
A = A1 + A2
A A1
A2
合振幅最大， 合振幅最大，振动加强
2.
ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π k = 0,12,⋯ ,
A = A1 − A2
A2
合振幅减小， 合振幅减小，振动减弱
A
A1
A A1
2
3. 一般情况 ∆ϕ 为任意值
ϕ2 −ϕ1 ≠ π
A1 − A2 < A < A1 + A2
简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 由矢量图得 而
仍为同频率谐振动） x = A cos( ω t + ϕ ) （仍为同频率谐振动）
6
此式表明，两个互相垂直的、 此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆， 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（ 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 讨论： 讨论： 1. β－α = 0 或 π 时 x y 2 B ( ∓ ) =0 即 y =± x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。 的直线，如图所示。
乘以(3)式 乘以(4)式后相减得 以sinβ 乘以 式，sinα 乘以 式后相减得
（5） ）
x y sinβ − sinα = cosωtsin β −α) ( A B
x y 2xy + 2− cos(β −α) = sin2(β −α) A2 B AB
2 2
（6） ）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 式 式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
10
傅里叶级数可表示为 周期性函数 f (t) 的傅里叶级数可表示为
f ( t ) = A0 + ∑ An cos( nωt + ϕ n )
n谐振动的 操作，称为频谱分析 频谱分析。 操作，称为频谱分析。 将每项的振幅A和对应的角频率 画成图线， 将每项的振幅 和对应的角频率ω画成图线，就 是该复杂振动的频谱 是该复杂振动的频谱 (frequency spectrum)，其中 ， 每一条短线称为谱线。 每一条短线称为谱线。 谱线
y B b -A o
a A x
-B
β－α = 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A。 相位相同，取正号， β－α = π 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。 相位相反，取负号，
合振动的振幅
C = A2 + B 2
7
π 2. 当 β − α = ± 时 2
x2 A
2
+
y2 B
2
=1
B -A
y
合振动的轨迹是以坐标轴为 主轴的正椭圆，如右图所示。 主轴的正椭圆，如右图所示。
y A A2
ϕ2 ϕ ϕ1
A = A2 + A2 + 2A A cos(ϕ2 −ϕ1) 1 2 1 2
A sinϕ1 + A sinϕ2 2 ϕ = arctan 1 A cosϕ1 + A cosϕ2 1 2
A1 x1 x x
1
o
x2
讨论：1. ϕ2 −ϕ1 = ±2kπ k = 0,1,2,⋯
2Acos(
ω2 −ω 1
2
t)
拍频为 1 ω2 −ω1 ν= = =ν2 −ν1 T 2π 拍的振动曲线如右图
2 2 T=( )= ω2 −ω ω2 −ω 1 1
三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为
x = A cos( ω t + α )
y = B cos( ω t + β )
（1） ） （2） ）
A2
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ 2 )
y
ω1
合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) 合振动不再是简谐振动， 合振动不再是简谐振动， 而是一种复杂振动 如图] 矢量图解法 [如图 如图 由矢量图得合振动的振幅为
A
O
ω
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β－α= π/2 时，
o -B
A x
合振动沿顺时针方向进行； 合振动沿顺时针方向进行；
A y
β－α = −π/2 时，
合振动沿逆时针方向进行。 合振动沿逆时针方向进行。
-A
o -A
A x
A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。 ，椭圆变为正圆，如右图所示。
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3.如果 3.如果(β−α)不是上述数 值，那么合振动的轨迹 为椭圆， 为椭圆，其范围处于边 长分别为2A(x方向)和 方向) 长分别为 方向 2B(y方向 的矩形内。 方向)的矩形内 方向 的矩形内。 两个分振动的频率相 差较大， 差较大，但有简单的整 数比关系， 数比关系，合振动曲线 称为利萨如图形 利萨如图形。 称为利萨如图形。