1一次函数的性质
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数，又称为线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的表达形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不为零。
一次函数在数学和实际生活中都具有重要的应用，它的性质是研究一次函数的基础。
本文将从几个方面探讨一次函数的性质。
函数图像一次函数的图像是一条直线。
图像的斜率a决定了函数的增减趋势和斜率的大小，而常数b则决定了函数图像与y轴的焦点位置。
斜率表示函数的变化速率，是函数图像的直角坐标系中的斜率。
斜率为正值时，函数图像向上倾斜；斜率为负值时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像为水平直线。
零点和截距一次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
根据一次函数的定义，当f(x)为零时，有ax + b = 0，解得x = -b/a。
这个零点也称为函数的根或解，它决定了函数与x轴的交点。
另外，一次函数的y截距是指函数图像与y轴的焦点位置，即当x为零时的值，即f(0) = b。
函数的性质一次函数的性质有以下几个重要的特点：1. 增减性：一次函数的增减性由斜率a决定。
当斜率为正值时，函数随着x的增加而增加；当斜率为负值时，函数随着x的增加而减小。
2. 奇偶性：一次函数通常是奇函数，这意味着它满足f(-x) = -f(x)。
即函数图像关于原点对称。
3. 对称轴：一次函数的对称轴是y轴，这是因为斜率同号的点关于y轴对称。
4. 单调性：一次函数在定义域上是严格单调的，即函数图像要么是递增的，要么是递减的。
5. 零点和截距：一次函数的零点决定了函数与x轴的交点，而截距则决定了函数图像与y轴的焦点位置。
6. 切线方程：一次函数的切线方程可以通过对函数的斜率和截距进行求解。
切线是函数图像在某个点上的切线，斜率等于函数在该点的导数。
一次函数的应用一次函数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在数学上，一次函数是代数中的基础概念，它为后续复杂的函数提供了基本的理论基础。
在实际生活中，一次函数可以用来描述线性关系，如经济学中的成本和收益，物理学中的速度和位移等。
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
一次函数的定义及性质
一次函数的定义及性质一次函数，也被称为线性函数，是数学中最简单且最常见的函数之一。
它可以用以下一般形式表示：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义及其性质。
一、定义一次函数是指形式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数，a ≠ 0。
其中，x是自变量，f(x)是函数的值，a称为一次函数的斜率，b称为一次函数的截距。
二、性质一次函数具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像在每单位自变量变化时的纵坐标的变化量。
斜率可以通过函数的解析式中的a来确定。
当a>0时，函数图像呈现上升的趋势；当a<0时，函数图像呈现下降的趋势；当a=0时，函数呈现一条水平线。
2. 截距：一次函数的截距是函数图像与y轴的交点，可以通过函数的解析式中的b来确定。
截距表示了当自变量为0时，函数取得的值。
3. 增减性：根据斜率的正负来判断一次函数的增减性。
当斜率a>0时，函数随着自变量的增大而增加；当斜率a<0时，函数随着自变量的增大而减小。
4. 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
根据一次函数的形式，当ax + b = 0时，可以求得x = -b/a，这就是一次函数的零点。
5. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数集合R，即函数对于任意实数都有定义。
值域取决于斜率a的正负情况，当a>0时，值域为区间(-∞, +∞)；当a<0时，值域为区间(-∞, +∞)。
6. 对称性：一次函数具有x轴的对称性，即对于函数图像上任意一点(a, b)，如果(a, -b)也在图像上，则函数具有对称性。
7. 线性关系：一次函数表示了两个变量之间的线性关系，其中x是自变量，f(x)是因变量。
当自变量的增加导致因变量的相应增加时，我们可以说这两个变量呈正相关的线性关系。
总结：一次函数是一种简单但重要的数学函数，具有直线的特点。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，也称为线性函数，是数学中较为简单而重要的函数类型之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a 表示直线斜率，b 表示直线与 y 轴的截距。
一次函数在数学中有着广泛的应用，本文将介绍一次函数的性质及其在实际问题中的应用。
1. 一次函数的性质一次函数的性质主要包括直线斜率和截距的关系，直线的特殊情况以及函数图像的特点。
1.1 直线斜率和截距的关系在一次函数 y = ax + b 中，直线的斜率 a 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线在 y 轴上的位置。
当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向左上方倾斜；当 a = 0 时，直线平行于 x 轴。
截距 b 则表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置，当 b > 0 时，交点在 y 轴上方；当 b < 0 时，交点在 y 轴下方；当 b = 0 时，交点位于原点。
1.2 直线的特殊情况一次函数中存在两种特殊的情况，即水平和竖直线。
当直线平行于 x 轴时，斜率 a = 0，此时直线呈水平姿态。
水平直线的一般形式为 y = b，其中 b 为直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置。
当直线平行于 y 轴时，斜率不存在，此时直线呈竖直姿态。
竖直直线的一般形式为 x = c，其中 c 为直线与 x 轴的交点在 x 轴上的位置。
1.3 函数图像的特点一次函数的图像呈现直线的形式。
根据直线的性质，我们可以得出以下结论：a) 当a ≠ 0 时，直线是无限延伸的；b) 当 a = 0 时，直线是水平的，长度可能有限也可能无限；c) 当 b = 0 时，直线经过原点。
2. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，其中包括数学、物理、经济等各个领域。
2.1 数学领域在数学中，一次函数常用于解决线性方程组的问题。
线性方程组可以通过一次函数的表示转化为直观易懂的图像，从而得出解的意义和解的性质。
一次函数的图象和性质(提高)知识讲解
= 300 −900
所以 s2 ＝300 t －900(6<t≤10)．
(2)李明返回时所用的时间为 (2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)． 因此，李明返回时所用的时间为 11 分钟．
【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上 坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．
在直线 l2 上，点 P2 (x2 , y2 ) 为直线 l1 、 l2 的交点．其中 x2 < x1 ， x2 < x3 则（ ）
A． y1 < y2 < y3 B． y3 < y1 < y2 C． y3 < y2 < y1 D． y2 < y1 < y3
【答案】A； 提示：由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象．观察直
全体实数
过（0， b ）和（ − b ，0）点的一条直线 k
k >0
k <0
b>0
b<0
b>0
b<0
经过一、二、三 经过一、三、四 经过一、二、四 经过二、三、四
位置
象限
象限
象限
象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数 变化规律
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
3. k 、 b 对一次函数 =y kx + b 的图象和性质的影响：
∴k + b =1.
∴当 k = 1 时， b = 2 ， A(−2, 0) ；
3
3
当 k = − 1 时， b = 4 ， A(4, 0) .
中考复习-第13课时 一次函数的图象和性质
一 次 函 数
不等式： ③kx+b>0, ④kx+b<0.
豫考探究
► 类型之一 一次函数的图象与性质
命题角度： 1．一次函数的概念 2．一次函数的图象与性质
①③ 例1 在下列函数中，y是x的一次函数的有_____________. （填写序号）
5 ①y=2x; ②y= ; ③y=-3x+1; ④y=x2. x
y x b<0 y O x
一次 函数 y=kx+b (k≠0)
y O
图象经过一、 图象经过一、 二、三象限 三、四象限
性质
图象经过一、 二、四象限
图象经过二、 三、四象限
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小
【注意】(1)正比函数性质只与k值有关，与b的取值无关．图象 过一、三象限k>0；图象过二、四象限k<0. (2)一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的平移 得到，b>0时，上移b个单位； b<0时，上移∣b∣个单位.
b , 0）的一条直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点 点(0,b)，和点（ k
（0,0）和（1，k）的一条直线。 【注意】因为一次函数的图象是一条直线，所以由两点确定一条直线 可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数的性质
图象 K>0
正比例 函数 y=kx (k≠0)
K<0
y O b>0 x b<0 y x O x O b>0 y x O
坐标．
[解析] (1)将 x＝2，y＝－3 代入 y＝kx－4，用待定系数法求 解．(2)向上平移 6 个单位，即将(1)中的函数解析式中的常数项加 6.
一次函数概念、图象与性质
描点法步骤：首先确定两个点， 然后通过这两点绘制直线。通常 选择函数与坐标轴的交点作为描
点。
一次函数与x轴交点为(-b/k, 0)， 与y轴交点为(0, b)，其中k为斜
率，b为截距。
斜率对图象影响
斜率k决定了直线的倾斜程度。当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右 下方倾斜。
|k|的大小决定了直线的倾斜角。|k|越大，倾斜角越大，直线越陡峭；|k|越小，倾斜 角越小，直线越平缓。
边际收益分析
利用一次函数描述收益与 销量之间的关系，分析边 际收益。
边际利润决策
根据边际成本和边际收益， 确定最优产量和价格策略。
物理学中运动规律描述
匀速直线运动
通过一次函数表示位移与时间的 关系，描述匀速直线运动规律。
匀变速直线运动
利用一次函数表示速度与时间的关 系，分析匀变速直线运动过程。
自由落体运动
线性关系判断
判断方法
通过观察数据点是否大致分布在一条直线上来判断两个变量之间是否存在线性 关系。
线性关系特点
若两个变量之间存在线性关系，则它们的变化趋势是一致的，即当一个变量增 加时，另一个变量也相应地增加或减少。
02 一次函数图象绘制
直角坐标系中通过在直角坐标系中描点法绘
截距和斜率共同决定了直线的 位置和方向。不同的截距和斜 率组合可以得到不同的直线方 程和图象。
03 一次函数性质分析
单调性
一次函数在其定义域内具有单调性。具体来说，当一次函数的斜率k>0时，函数 在整个定义域内单调递增；当k<0时，函数在整个定义域内单调递减。
一次函数的单调性可以通过其图象直观地反映出来。在平面直角坐标系中，当 k>0时，函数的图象是一条从左下方到右上方的直线，表示函数值随x的增大而 增大；当k<0时，函数的图象是一条从左上方到右下方的直线，表示函数值随x 的增大而减小。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数是数学中一种基本的函数类型，也称为线性函数。
它的特点是函数图像为一条直线，表现出一种简单而直接的变化规律。
一次函数通常以 y = ax + b 的形式表示，其中 a 和 b 都是常数。
一次函数的性质有很多，接下来我们将逐一介绍。
1. 变化趋势：一次函数的图像为一条斜率恒定的直线，斜率的值决定了函数图像的变化趋势。
当斜率 a > 0 时，函数图像为上升的直线；当斜率 a < 0 时，函数图像为下降的直线；当斜率 a = 0 时，函数图像为水平直线。
2. 截距：一次函数的图像在 x 轴上与 y 轴相交的点分别称为 x 轴截距和 y 轴截距。
x 轴截距为负数的情况下，函数的图像位于 y 轴的左侧；x 轴截距为正数的情况下，函数的图像位于 y 轴的右侧。
3. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，即该函数对于任意实数值的 x 都有定义。
一次函数的值域是所有实数，即该函数可以取到任意实数值的 y。
4. 求解交点：一次函数与 x 轴的交点称为根，也就是函数图像与 x轴的交点；与 y 轴的交点称为解，也就是函数图像与 y 轴的交点。
求解根的方法是令 y = 0，并解出 x 的值；求解解的方法是令 x = 0，并解出 y 的值。
5. 判断与关系：对于两个不同的一次函数 f(x) = ax + b 和 g(x) = cx + d，若 a = c 且 b = d，则两个函数是相等的；若 a = c 且b ≠ d，则两个函数是平行的，它们的图像永远不会相交；若a ≠ c，则两个函数是相交的，它们会有一个交点。
6. 性质推广：一次函数的性质可以推广到更高维度的情况。
对于二维空间中的直线，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有两个变量。
对于三维空间中的平面，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有三个变量。
在实际应用中，一次函数常常被用于描述变化的趋势和规律。
一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。
例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。
一次函数的性质与应用
一次函数的性质与应用一次函数，也称为一元一次方程，是指形式为y = ax + b的函数。
在数学中，一次函数是最简单的函数类型之一，拥有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将探讨一次函数的性质以及它在实际生活中的应用。
一、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率可以通过直线的倾斜程度来表示，通常用a来表示。
斜率表示了函数图像的变化率，即表示自变量每变化一个单位，函数值的变化量。
当斜率为正值时，函数图像向上倾斜；当斜率为负值时，函数图像向下倾斜；当斜率为零时，函数图像平行于x轴。
2. 截距：截距指函数图像与y轴的交点，通常用b来表示。
截距表示了函数在自变量为0时的值，即y轴上的函数值。
3. 函数图像：一次函数的图像是一条直线。
当斜率为正时，图像向上倾斜；当斜率为负时，图像向下倾斜。
截距决定了函数图像与y轴的位置。
4. 过点：一次函数可以通过两个已知点来确定。
通过两个不同的点，可以求出函数的斜率，进而求出函数的表达式。
这是一次函数的独特性质之一。
5. 增减性与单调性：一次函数的增减性与斜率的正负有关。
当斜率为正时，函数递增；当斜率为负时，函数递减。
由此可以推断出，一次函数在整个定义域上具有单调性。
二、一次函数的应用1. 速度与时间关系：一次函数可以用来描述速度与时间的关系。
假设某辆汽车以恒定的速度行驶，速度为v，时间为t，那么汽车行驶的距离d可以表示为d = vt。
这个关系可以用一次函数来表示，其中斜率表示了汽车的速度。
2. 成本与产量关系：一次函数可以用来描述成本与产量的关系。
假设某工厂生产一种产品，成本为c，产量为x，那么成本与产量的关系可以表示为c = ax + b。
其中，斜率a表示了单位产量的成本，截距b 表示了固定成本。
3. 人口与时间关系：一次函数可以用来描述人口与时间的关系。
假设某城市的人口数量随时间线性增长，时间为t，人口数量为n，那么人口数量的变化可以表示为n = at + b。
其中，斜率a表示了人口的年增长率，截距b表示了起始人口数量。
一次函数的性质1
（2） 当k＜0时，y随x的增大而减小 _____，这时函 数的图象从左到右下降 _____．
试一试
1、下列一次函数中，y的值随x的增大而减小 (1)、(3) 的有________
(1) y 2 x 1 ( 2) y 3 x 2 (3) y 4 x
脸面，是她自己别要，咎由自取，那就休要怪他别客气！随着最后壹道防线の解除，他就差拿着壹各放大镜，壹寸壹寸地毯式搜索婉然身上任何壹各可能存有箭伤の地方。可 是，令他极度失望の是，没什么找到任何壹各箭伤，连“疑似”箭伤都没什么，连壹各红点都没什么！望着壹丝别挂却是壹点点箭伤都没什么の婉然，二十三小格直到现在才 明白，原来婉然刚刚那样拼命与他顽抗，就是为咯狠狠地激怒他，以求壹死！猜透咯婉然の心思，他气急败坏地留下壹句意味深长の话：“想死？没什么那么容易！爷别会让 您死，爷只会让您生别如死！”第壹卷 第578章 感谢送走咯皇上壹行，王爷总算如释重负地长长出咯壹口。此时左臂の箭伤痛得他汗水出咯壹身又壹身，即使是萧瑟の秋风 中，竟湿透咯里三层外三层の衣裳。幸好当时出咯松露亭之后，他迅速更换咯新の外袍，所以从外面根本看别出任何异样，但是，当他回到房间，秦顺儿替他脱下湿透の衣服 之后，两人那才发现，他の胳膊早已经肿得老高，留下壹片紫得已经发黑の箭痕，而直接参与咯对抗那枚小箭の地方，皮肤被生生地震裂，肌肉都有些外翻出来。即使受咯那 么重の伤，王爷仍是别敢请太医，否则今晚の壹切就要前功尽弃。好在创伤药是园子里常备の药品，秦顺儿赶快就取咯过来，仔细地给他上咯药，又将伤处用绷带缠上，以便 于伤口尽快愈合。药膏敷在伤处，凉丝丝の，随着药力渐渐渗入皮肤，有效地缓解咯胳膊の疼痛，虽然伤口处仍是突突地跳着痛，但已经是可以忍受范围内の事情咯。包扎好 伤口，他の第壹各想法就是派秦顺儿去跟水清传各话，表达对她の谢意。但是想咯想，他又变咯主意，让秦顺儿给他披上披风，亲自来到咯水清院子。来到水清の住处，他并 没什么派秦顺儿先过去，而是直接进咯院子，刚好见到月影从水清の房间里出来。月影没想到那各时候王爷会亲自过来，于是赶快俯身请安。他急于见到水清，就壹边直接进 咯门，壹边问月影：“您家主子呢？”“回爷，仆役在里间刚歇下咯。”他万没什么料到水清已经歇下咯，因为按照惯例，他若是在园子里，她是需要前来向他请安の。今天 她还没什么过来请安，怎么就歇下咯？那各意外情况让他进退两难。进去吧，她已经歇下咯，他晓得她の睡眠极为别好，壹旦被惊搅，那壹夜都别想再睡咯。别进去吧，他可 是特意来感谢她の，无功而返让他很别甘心。犹豫半响，他只得稍微提高咯些声音对月影说道：“告诉您家主子，爷过来谢谢她。”其实，他那句话就是想亲自对水清说，别 管她是否睡着咯，他都亲自来向她表示咯最真诚の谢意。半天也没什么得到里屋有任何回音，想来她是已经睡着咯，那各结果也是意料之中の事情。累咯整整壹天，原本就是 弱别禁风の身子，如此高强度の操劳，又加上松露亭那惊心动魄の壹幕，精神遭受极度惊吓，别给累坏咯才怪呢。可是他又有些失落与惆怅，他多么希望她能亲耳听到他亲口 说出来の那句感谢の话！他对她尽善尽美の接驾无比赞美，他对她の机智勇敢心生敬佩，她从来都别会辜负咯他の期望，别但别会辜负他の期望，而且永远都会给他带来意料 之外の惊喜。四十三天の王府管家已经做得十分完美，而今日の迎接圣驾则是将那份完美发挥到咯极致，更逞论松露亭那化险为夷の壹幕，她真の是仙女吗？点石成金，化腐 朽为神奇，难道她就是老天爷派给她の仙女，救他于危难？第壹卷 第579章 解释仙女没什么睡着，仙女听到咯他の真心感谢，但是仙女再次假装睡着咯，因为仙女早就预料 到他会前来对她进行壹番感谢，而仙女根本就别想听他の那些所谓感谢の话！她今天之所以会那么做，只是尽壹各诸人の本分而已，她是他の诸人，壹荣俱荣，壹损俱损，她 最天然の职责就是为他排忧解难，尽自己最大の力量协助他。所以她今天の所作所为完全是她份内之事，有啥啊需要他来感谢の呢？假设那件事情也需要感谢，那她岂别是天 天都要感谢他？她要感谢他给咯她那么尊贵体面の地位，那么奢华无忧の生活？而那些也全是他作为壹各王爷，作为壹各男人，理所当然应该给予他の侧福晋应有の生活，是 理所当然の事情。既然他为她做の那壹切都是理所当然，为啥啊她为他做の事情就要接受他の感谢？等咯壹段时间，仍
一次函数的图像与性质知识点总结
一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 知识点2、 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 、 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k ﹤0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．公文写作公文写作是指根据公务活动的客观现实和需求，运用科学的逻辑思路和写作手法完成公文的撰写。
一次函数的性质与应用
一次函数的性质与应用一次函数，也被称为一次方程，是数学中的基础概念之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，x 和 y 是变量。
一次函数的性质与应用广泛涉及到数学、物理、经济等多个领域。
一、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度。
斜率等于常数a，斜率为正表示函数图像向上倾斜，斜率为负表示函数图像向下倾斜。
当斜率为零时，函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与坐标轴的交点。
当 x=0 时，函数图像与 y 轴的交点称为 y 轴截距，记作 b；当 y=0 时，函数图像与x 轴的交点称为 x 轴截距，记作 -b/a。
3. 单调性：一次函数的单调性表示函数图像在定义域内是递增还是递减。
当 a>0 时，函数递增；当 a<0 时，函数递减。
4. 零点：一次函数的零点表示函数图像与 x 轴的交点。
令 y=0，解方程 ax + b = 0 可得到 x = -b/a，即 x 轴截距为函数的零点。
二、一次函数的应用1. 直线运动：一次函数可以用来描述物体的直线运动。
其中，x 表示时间，y 表示位置或距离。
斜率表示运动的速度，截距表示初始位置。
2. 成本收益分析：在经济学中，一次函数可以用来分析企业的成本和收益关系。
斜率表示单位产量的成本或收益，截距表示固定成本或初始收益。
通过分析一次函数的图像，可以确定最大利润点或最小成本点。
3. 投资回报率：一次函数可以用来计算投资的回报率。
其中，x 表示投资金额，y 表示回报金额。
斜率表示投资的收益率，截距表示没有投资时的回报。
4. 气温变化：一次函数可以用来分析气温的变化趋势。
其中，x 表示时间（年份或月份），y 表示气温。
斜率表示气温的升降速率，截距表示初始气温。
5. 增长率分析：一次函数可以用来计算增长率。
其中，x 表示时间（年份或月份），y 表示某种指标（如销售额、人口等）。
斜率表示每单位时间内的增长量，截距表示初始值或基准值。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，又称为线性函数，是数学中常见且重要的函数类型。
它的一般形式可以表示为y = ax + b，其中a和b为常数，x为自变量，y 为因变量。
本文将探讨一次函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率可以通过系数a来确定，斜率的正负表示函数的上升或下降趋势，斜率越大越陡峭。
斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减，斜率为零表示函数为水平线。
2. 截距：一次函数的截距可以通过常数b来确定，截距表示函数与坐标轴的交点位置。
当x为零时，对应的y值即为函数的纵轴截距；当y为零时，对应的x值即为函数的横轴截距。
3. 函数图像：一次函数的图像为一条直线。
根据斜率和截距的不同取值，函数的图像可能是上升的直线、下降的直线或者水平线。
二、一次函数的应用1. 表示一种关系：一次函数常用于描述两个变量之间的线性关系。
例如，经济学中的供需关系、物理学中的速度与时间关系等都可以用一次函数来表示。
2. 预测与推理：通过确定一次函数的斜率和截距，可以进行数据的预测与推理。
例如，通过已知的数据点（x1，y1）、（x2，y2）可以利用一次函数来预测其他数据点的值。
3. 优化问题：一次函数在优化问题中也有广泛应用。
例如，生产成本与产量之间的关系、投资与回报之间的关系等，都可以用一次函数来描述，并通过计算斜率和截距来实现最优化。
三、实例分析为了更好地理解一次函数的性质及应用，我们来看一个实例分析。
假设小明每天步行去上学，他发现他步行的时间与距离之间存在一种线性关系。
他记录了以下数据：距离（公里）时间（分钟）1 102 203 30通过这些数据点，我们可以得到一次函数的图像并进一步分析其性质和应用。
首先，根据给定的数据点，我们可以利用最小二乘法确定一次函数的表达式为y = 10x。
其中斜率为10，表示小明步行速度为每分钟10米；截距为0，表示小明在出发时不需要额外的时间。
通过这个函数表达式，我们可以回答一些问题。
一次函数的概念与性质
一次函数的概念与性质一次函数是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的定义可以用以下形式来表示：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨一次函数的概念以及它的性质。
一、一次函数的定义与概念一次函数是一个线性函数，也称为一次多项式函数。
它的定义中包含两个常数项：系数a和常数b。
系数a代表了直线的斜率，决定了图像的倾斜程度和方向；常数b则决定了图像与y轴的交点。
理解一次函数的定义很重要，它让我们能够推断出函数的性质，包括函数图像的斜率、截距和交点等。
通过确定a和b的值，我们可以得到具体的函数表达式，并进一步研究它的性质。
二、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜度量。
斜率的计算方法为斜率=Δy/Δx，即两点间y坐标的变化量除以x坐标的变化量。
2. 截距：一次函数的图像与y轴的交点称为截距，用常数b表示。
它反映了函数图像的位置关系，当x=0时，函数的值为截距b。
3. 定义域与值域：一次函数的定义域是所有实数集合R，而函数的值域则取决于斜率a的正负情况。
当a>0时，值域是从负无穷到正无穷；当a<0时，值域是从正无穷到负无穷。
4. 平行与垂直：一次函数的特点之一是平行和垂直关系。
如果两条直线都有相同的斜率a，它们是平行的；如果其中一条直线的斜率是另一条的倒数的相反数，它们是垂直的。
5. 奇偶性：一次函数是奇函数，因为它具有对称性，即f(-x) = -f(x)。
这意味着函数图像关于原点对称。
三、一次函数在实际生活中的应用一次函数的概念和性质在许多实际问题中都有广泛应用。
以下是其中一些例子：1. 速度和距离：物理中，速度和距离之间的关系可以通过一次函数来描述。
斜率表示速度，截距表示起始位置。
2. 成本和产量：经济学中，成本和产量之间的关系也可以用一次函数来表示。
斜率代表单位产量成本，截距代表固定成本。
3. 温度和时间：气象学中，温度随时间的变化可以用一次函数来描述。
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
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√
√
3.已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，当m是什么数时，
函数值y随x的增大而增大？
解：∴由当题m意 12得时：，2函m-数1>值0，y随解x得的m增＞大12而增大. 4.已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数的图象经
过二、三、四象限，求m的取值范围.
解： 由题意得:
1-2m＜0 m-1＜0
2
这种现象?
观察与思考
x从小到大， y也从小到
大
y 2x4 y 1 x1 3
y x2
y 1 x 1 2
x从小到大， 而y从大到小
上升
下降 b决定与y轴的交点位置 k决定图象的上升或下降 观察这四条直线，你能说出直线y=kx+b的性质吗？
知识要点 一次函数y＝kx＋b的性质
当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左 到右上升；
当一个点在直线 y 1 x 1 上从左向右移动时， 3
自变量x与函数值y怎样变化？
点从左往右移动时，
y 2x 4
y 1 x 1 自变量x从小到大， 3 点的位置也在逐步从低
到高，函数y的值也从
●
小变到大
问：函数y＝2x－4是否也有这
种现象?
问题2 在同一直角坐标系中，画出函数 y＝ -x＋2 和函数
y y 3x 2 3
y 2 x 1 3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 -2
当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左 到右上升；
例2 画出直线 y x 2 和 y 3 x 1的图象，并分析图象的
特征.
2
y
4
3 y减少
2
思考：k,b的值跟图象 有什么关系？
1 x增大
k>0，b>0
k>0，b=0
k>0，b<0
k<0，b>0
k<0，b=0
k<0，b<0
课后作业
见《学练优》本课时练习
① b>0时，直线经过 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过二、三、四象限.
当堂练习
1.某一个一次函数的图象位置大致如图所示，试分别确
定k和b的符号。
y
y
y
o
x
o
x
o
x
k < 0，b > 0
k >0，b< 0 k < 0，b = 0
2.若一个一次函数的图象经过第一、三、四象限，试
确定k和b的符号。 K>0，b<0
，解得
1 m1 2
∴ m的取值范围为 1 m 1
2
5.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与 y轴交点在x轴下 方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解: 由题意得
3m 1 m
8 0
0，解得
1 m 8 3
又∵m为整数, ∴m＝2
课堂小结
一次函数的性质 1.一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 2.k决定图象的上升或下降，b决定图象与y轴的交点位置 3.一次函数的六种图象
-3 -2 -1 O 1 2 3 x -1
y x 2
-2
y 3 x 1 2
当k＜0时，y随x的增大而__减_小__，这时函数的图象从左 到右__下__降_．
归纳总结 一次函数y=kx＋b中，k的正负对函数图象有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大 而增大.
① b>0时，直线经过一、二、三象限； 当②k＜b0<时0时，，直直线线y=经kx过＋一b由、左三到、右四逐象渐限下. 降，y随x的增大 而减小.
当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到 右下降.
一次函数的图象
·
K>0
K > 0，b > 0
K > 0，b = 0
K > 0，b < 0
·
K<0
K < 0，b > 0
K < 0，b =0
K < 0，b < 0
典例精析
例1
画出直线
y
2 3
x
1
和 y 3x 2 的图象，
并分析图象的特征.
y
1 x 1 2
的图象
x 02 20
y=-x+2
x
0 -2
y 1 x 1 -1 0
2
y x 2
y 1 x 1 2
·
·
·
·
当一个点在直线 y=-x+2上从左向右移动时，自变量x与
函数值y怎样变化？
y x 2
●
y 1 x 1 2
点的位置在逐步从高到 低，函数y的值也从大变
到小
问：函数 y 1 x 1是否也有
优翼 课件
学练优八年级数学下（HS） 教学课件
第17章 函数及其图象
17.3 一次函数
3.一次函数的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握一次函数的性质,理解k，b的符号与直线y=kx+b位 置之间的联系（重点）； 2.能应用一次函数的图象与性质解决有关问题（难点）.
导入新课
复习引入
1. 一次函数的一般式： y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2. 一次函数的图象是什么? 一条直线
讲授新课
一 一次函数的性质
问题1
在同一直角坐标系中，画出函数 y
1 x 1 3
和
函数y＝2x－4的图象.
y 2x 4
x 0 -3
y 1 x 1 3
1
0
x
02
y 1 x 1 3
Y=2x-4 -4 0