第四节-泰勒级数与幂级数
泰勒级数和幂级数的定义和应用
泰勒级数和幂级数的定义和应用泰勒级数和幂级数是微积分中经常使用的级数形式，它们可以用于各种函数的逼近和计算。
本文将介绍泰勒级数和幂级数的定义和应用，并且讨论两者的区别和联系。
一、泰勒级数的定义及应用（一）泰勒级数的定义泰勒级数是一类特殊的幂级数，它的一般形式可以写为：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$其中 $f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。
泰勒级数是把一个函数在某一点处展开成无穷项的幂级数，从而能够方便地计算、逼近该函数。
对于某些简单的函数而言，它们的泰勒级数是已知的，因此可以把任意复杂的函数展开成这些简单函数的线性组合，从而方便计算。
（二）泰勒级数的应用泰勒级数可以应用于各种不同类型的函数，例如三角函数、指数函数、对数函数、多项式函数等等，下面列举几个例子：（1）正弦函数的泰勒级数为：$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$可以看出，这个泰勒级数是无穷个奇数指数幂的和，因此可以用来计算任意一个正弦函数。
（2）自然对数函数的泰勒级数为：$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$可以看出，这个泰勒级数是无穷个奇数次幂上符号不同的和，因此可以用来计算自然对数函数。
（3）多项式函数可以展开为幂级数的形式，例如：$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$该多项式函数可以表示为其泰勒级数的有限项之和，从而可以用于函数的逼近。
二、幂级数的定义及应用（一）幂级数的定义幂级数是一类形式简单的级数，其一般形式可以写为：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$其中 $c_n$ 是常数，$a$ 是幂级数的中心，它表示在 $a$ 点展开。
泰勒级数与幂级数
泰勒级数与幂级数泰勒级数与幂级数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍泰勒级数与幂级数的定义、性质和应用。
一、泰勒级数的定义和性质泰勒级数是一类特殊的无限级数，可以将函数表示为一组无穷多个项的和。
它是由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里·泰勒在18世纪首次提出并发展的。
1.泰勒级数的定义对于一个实数或复数函数f(x)，如果它在某个区间上的无限次可导，则可以将该函数表示为一个幂级数的形式：f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)^2 + a3(x-x0)^3 + ...其中，a0、a1、a2...都是常数系数，x0是展开点（展开点可以选择函数定义域内的任意一点）。
展开后的系数a0、a1、a2...可以由函数在展开点的导数来确定。
2.泰勒级数的性质（1）泰勒级数可以用来求解函数在展开点附近的近似值。
当x与x0的距离趋近于0时，级数中的每一项也会趋近于0，从而可以用有限项的和来近似表示函数的值。
（2）泰勒级数的收敛性要求函数f(x)在展开点附近是光滑的。
如果函数在展开点处的各阶导数都存在且有界，则泰勒级数一定收敛于f(x)。
（3）泰勒级数的展开点的选择会影响级数的收敛性和收敛速度。
一般情况下，选择离函数的兴趣点最近的点作为展开点，可以得到更好的近似结果。
（4）泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，因此它也具有幂级数的性质。
比如，可以对泰勒级数进行求和、求导和积分等操作。
二、泰勒级数的应用泰勒级数作为一种重要的数学工具，在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举一些典型的应用场景。
1.函数逼近与近似计算泰勒级数可以用来近似计算各种数学函数的值，特别是在计算机科学中。
对于一些复杂的函数，直接进行计算可能非常困难，但通过泰勒级数展开后可以用多项式来表示，从而可以简化计算。
2.研究函数的性质通过泰勒级数展开，可以更好地研究函数的性质。
比如，可以通过泰勒级数判断函数的增减性、凸凹性和拐点等，从而更好地了解函数的特点并进行相关应用。
函数的泰勒展开与幂级数的理论与应用
函数的泰勒展开与幂级数的理论与应用函数的泰勒展开和幂级数是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的数学和物理问题的求解中。
本文将简要介绍泰勒展开和幂级数的理论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、泰勒展开的理论基础泰勒展开是一种近似表示函数的方法，它利用函数在某一点处的导数信息，将函数表示为一组多项式的和。
对于一个充分光滑的函数，可以将其泰勒展开为如下形式的级数：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$$式中，$f'(a)$代表函数在点$a$处的一阶导数，$f''(a)$代表函数在点$a$处的二阶导数，依此类推，$R_n(x)$是剩余项。
二、幂级数的理论基础幂级数是一种形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$的级数，其中$a_n$是常数，$a$是常数点。
幂级数具有在收敛区间内收敛的性质，当$x$取常数点$a$时，级数只有第一项$a_0$，所以在该点处幂级数就等于函数本身。
在幂级数的收敛区间内，我们可以对其进行求和、求导、求积分等操作。
三、泰勒展开与幂级数的关系实际上，泰勒展开是幂级数的一种特殊形式。
当我们将函数$f(x)$在常数点$a$处进行泰勒展开时，将会得到一个幂级数形式。
而幂级数则是泰勒展开的一般形式，它的常数点可以是任意值。
四、泰勒展开与幂级数在实际问题中的应用1. 近似计算泰勒展开和幂级数在科学计算中广泛应用于函数的近似计算。
由于幂级数具有在收敛区间内收敛的性质，我们可以通过截取幂级数的有限项来近似表示一个函数。
特别是在某些函数的计算非常复杂的情况下，使用幂级数的近似计算方法可以大大简化问题。
2. 解析函数拓展使用泰勒展开和幂级数可以对某些有限定义域内的函数进行扩展，得到更为广泛的定义域。
泰勒展开与幂级数的数学计算与应用
泰勒展开与幂级数的数学计算与应用泰勒展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
它在数学分析、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒展开的基本概念、计算方法以及其在数学和实际问题中的应用。
一、泰勒展开的基本概念泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
设函数f(x)在点x=a处具有无穷阶可导性，那么泰勒展开的基本形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点x=a处的二阶导数，依此类推。
展开式中的每一项都是函数在a点处的导数与(x-a)的幂的乘积，系数为导数的阶乘倒数。
二、泰勒展开的计算方法泰勒展开的计算方法主要分为两种：一种是使用泰勒公式，另一种是使用幂级数。
1. 泰勒公式泰勒公式是泰勒展开的基本公式，它给出了函数在某一点处的泰勒展开式。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)为余项，表示泰勒展开与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，余项趋向于0，泰勒展开式与原函数完全一致。
2. 幂级数幂级数是一种特殊的级数形式，它由无穷多个幂函数的和组成。
泰勒展开可以看作是幂级数的一种特殊情况。
幂级数的一般形式如下：f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+a_3(x-a)^3+...其中，a_0、a_1、a_2等为常数系数。
幂级数的收敛区间由常数系数的取值范围决定。
三、泰勒展开的应用泰勒展开在数学和实际问题中有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用领域。
数列与级数的幂级数与泰勒级数展开
数列与级数是数学中常见的概念，而幂级数与泰勒级数展开是数列与级数中重要的一种运算方法。
本文将介绍数列与级数的概念，并探讨幂级数与泰勒级数展开的应用。
首先，我们来了解数列与级数的概念。
数列是按照一定规律排列的一组数，可以用函数的形式表示。
数列中的每一个元素称为项，通常用a₁, a₂, a₃, …, a ₙ表示。
例如，1, 2, 3, 4, …就是一个数列。
而级数是将数列中的所有项相加得到的结果。
级数的和可以是有穷的，也可以是无穷的。
例如，1 + 1/2 +1/4 + 1/8 + … 就是一个无穷级数，它的和是2。
接下来，让我们来了解幂级数与泰勒级数展开。
幂级数是形如∑(an * xn)的级数，其中an是系数，xn是变量的幂。
幂级数可以用来表示各种函数，比如三角函数、指数函数和对数函数等。
而泰勒级数展开是一种特殊的幂级数展开，用来近似表示函数。
泰勒级数展开的基本思想是将函数在某个点上展开成幂级数的形式。
具体来说，对于一个在点a处有n阶可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3!+ ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
当x = a时，上述级数就是函数f(x)在点a处的泰勒级数展开式。
通过泰勒级数展开，我们可以将各种函数近似表示为幂级数的形式。
这对于函数的计算和分析非常有帮助。
例如，我们可以利用泰勒级数展开来计算复杂函数的近似值，或者研究函数在某个点的性质。
总结起来，数列与级数是数学中常见的概念，用来研究一组按照规律排列的数。
而幂级数与泰勒级数展开则是数列与级数中的一种重要运算方法，用来近似表示各种函数。
通过幂级数与泰勒级数展开，我们可以计算和分析函数的性质，提高对函数的理解和应用能力。
泰勒级数与幂级数分析
泰勒级数与幂级数分析泰勒级数和幂级数是数学中重要的概念，它们在函数近似和数值计算中有着广泛的应用。
本文将对泰勒级数和幂级数的概念进行详细的分析，并探讨它们在数学和工程领域中的实际应用。
一、泰勒级数泰勒级数是一种用无穷多个项来表示函数的级数。
具体而言，给定一个函数f(x)，如果它在某个点a处具有所有阶导数，那么泰勒级数可以用下面的公式表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
泰勒级数的基本思想是通过函数在某个点处的导数来逼近函数本身。
泰勒级数在数学分析和应用领域有广泛的应用。
它可以用于近似计算，当我们知道函数在某个点的导数时，通过截取泰勒级数的有限项，可以获得函数在附近的近似值。
此外，泰勒级数还可以用于解析函数的性质研究，通过泰勒级数的展开式，我们可以推断函数的奇偶性、最值和收敛性等。
二、幂级数幂级数是一种特殊的泰勒级数，它将泰勒级数扩展到了一般的情况，即考虑函数在某个点的全体阶导数。
具体而言，给定一个函数f(x)，幂级数可以用下面的公式表示：f(x) = a₀ + a₁(x-a) + a₂(x-a)² + a₃(x-a)³ + ...其中，a₀、a₁、a₂等表示级数的系数。
幂级数在数学分析和应用领域有着广泛的应用。
它可以用于解析函数的表示，通过确定幂级数的系数，我们可以将一个函数表示为无穷级数的形式，这样可以更好地研究函数的性质与行为。
此外，幂级数还可以用于解决微分方程、差分方程以及常微分方程的边值问题。
三、应用案例泰勒级数和幂级数作为重要的数学工具，应用于各个领域中。
以下是一些具体实例：1. 物理学中的应用：泰勒级数和幂级数在物理学中具有广泛的应用。
幂级数与泰勒展开知识点
幂级数与泰勒展开知识点在数学领域中，幂级数与泰勒展开是重要的概念与工具。
它们被广泛应用于函数逼近、数值计算、解析几何和物理学等领域。
本文将介绍幂级数与泰勒展开的基本概念、性质以及应用。
一、幂级数的定义与性质幂级数是指形如 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$ 的函数表达式，其中 $a_n$ 是常数系数，$c$ 是参考点。
幂级数在参考点的收敛域内具有无限可微的性质。
幂级数的收敛域可以通过求解其收敛半径来确定。
收敛半径的计算可以通过使用庞加莱-霍尔默尔公式或柯西-阿达玛公式。
这些公式基于级数的常数系数 $a_n$，通过计算极限来获得收敛半径。
幂级数的性质包括加法、乘法、求导和积分等。
对于幂级数$f(x)$ 和 $g(x)$，它们的和、差、乘积和复合等运算结果均为幂级数。
此外，对幂级数进行求导和积分操作后仍然可以得到幂级数。
二、泰勒展开的定义与应用泰勒展开是幂级数的一种特殊形式，它将任意函数表示为一个幂级数的形式。
泰勒展开的核心思想是使用函数在某个点处的导数信息来逼近函数的值。
若函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处具有无穷阶可导的性质，则其泰勒展开式为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，其中 $f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。
泰勒展开在函数逼近中具有广泛的应用。
通过选择适当的参考点和截断级数，可以利用泰勒展开将复杂函数近似为简单的幂级数形式。
这种逼近方法在计算机科学、物理学和工程学等领域中起着重要作用。
三、应用案例1. 求解函数的近似值：通过泰勒展开可以将复杂函数逼近为幂级数形式，从而可以通过有限项级数来近似计算函数的值。
这在科学计算和数值解法中非常有用。
2. 函数图像的绘制：幂级数具有较好的可视化性质，可以通过有限项级数来逼近函数的图像。
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
幂级数和泰勒级数
1.3、和函数: 1.3、和函数: 在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x) , 为函数项级数的和函数. 称 s( x) 为函数项级数的和函数. 和函数 若函数项级数的部分和 sn (x), 则lim sn ( x ) = s( x ) 余项
n→∞
rn ( x) = s( x) − sn ( x)
1
时可按数项级数的敛散 判别法分别进行判定 时可按数项级数的敛散 判别法分别进行判定 .
ρ
1 ± )n , 此 时 , 原级数可化为 ∑ a n (
n= 0
∞
ρ
求下列幂级数的收敛区间: 例1 求下列幂级数的收敛区间:
n x (1) ∑ (−1) ; n n=1 ∞ ∞ n
(2) ∑ (−nx )n ;
1.4、 1.4、幂级数及收敛性 (1)定义: 的级数称为幂级数 幂级数. (1)定义: 形如 ∑ an ( x − x0 )n 的级数称为幂级数. 定义
n= 0 ∞
当x0 = 0时, 幂级数为 ∑ an x n ,
n= 0
∞
其中 an 为幂级数系数. 幂级数系数
1(可加性) 1(可加性) 可加性 4 逐项可导性
2 乘法
3、和函数的连续性
5、逐项可积性
幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变， 幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变， 但是收敛区间可能改变。 但是收敛区间可能改变。
求和函数的主要思想：在收敛区间内通过逐项求导 求和函数的主要思想： 或者逐项积分设法将幂级数转化为几何级数， 或者逐项积分设法将幂级数转化为几何级数，利用 几何级数求和公式就和，再还原即可。 几何级数求和公式就和，再还原即可。 ∞ 1 x n+1 对∑ n= 0 n + 1 1、求收敛半径 、 2、求导数，使其转化为几何级数，然后求和 、求导数，使其转化为几何级数， 3、对 、 ∞ 对
大学数学泰勒展开与幂级数
大学数学泰勒展开与幂级数泰勒展开是数学中常用的近似函数的方法之一，它是利用函数在某一点的导数信息来逼近原函数的方法。
而幂级数是一类特殊的函数级数，可以表示为无穷多个项的和，每一项都是自变量的幂函数。
一、泰勒展开的概念与基本原理泰勒展开是函数在某一点附近的一种近似表示。
设函数f(x)在点x=a处有无穷阶可导，那么它在x=a点附近的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ……其中，f(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在点x=a处的值，(x-a)ⁿ表示(x-a)的n次幂。
泰勒展开的基本思想是用函数在某点的导数值来逼近函数在该点的函数值。
二、泰勒展开的应用领域1. 函数近似计算：通过泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的多项式，便于计算与分析。
2. 误差估计：通过泰勒展开，可以得到近似函数与原函数之间的误差，并进行估计。
3. 函数图像研究：利用泰勒展开，可以分析函数在某一点的局部特性，如极值、拐点等。
三、泰勒展开的具体步骤1. 确定展开点：通常选择函数的某一特殊点作为展开点，如0点、极值点等。
2. 求导数：计算函数在展开点处的各阶导数。
3. 求导数的值：将展开点代入各阶导数的表达式，求得导数在展开点处的值。
4. 按泰勒展开式公式写出泰勒展开式：根据泰勒展开式的形式，将函数、展开点和导数的值代入。
四、幂级数的概念与性质幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它可以表示为：f(x) = a₀ + a₁(x-a) + a₂(x-a)² + a₃(x-a)³ + ……幂级数的性质有：1. 收敛半径：幂级数可以收敛于某个范围内的实数，这个范围就是收敛半径。
2. 收敛区间：幂级数收敛的区间称为收敛区间，收敛区间的两个端点可能包括在内，也可能不包括在内。
第四节 函数展开成幂级数
二、函数展开成幂级数
( 1 ) 将 f ( x ) 展开成 ( x x 0 ) 的幂级数 , 即
f (x)
n0
an ( x x0 )
n
f
(n)
( x0 )
n0
n!
( x x0 ) .
n
在点 x 0 的泰勒级数
( 2 ) 将 f ( x ) 展开成 x 的幂级数 , 即
n2
f
( n)
( x ) n ! an ( n 1) ! an1 ( x x0 ) ;
令 x x0 a n
1 n!
f
( n)
( x0 )
∵ 系数是唯一的, ∴ f (x)的展开式是唯一的.
定义:
则称 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
例1. 将 f ( x ) e x 展开成 x 的幂级数. 解:
f
(n)
(x) e ,
x
f
(n)
(0) 1
( n 0 ,1 , 2 , ) ,
写出级数: 1 + x
lim
a n1 an
1 2!
x
2
0,
1 n!
x
n
，
n
lim
1 n1
( n 0, 1, 2, ),
泰勒系数
且展开式是唯一的 .
证明: f ( x ) 在 U ( x 0 ) 内能展开成 ( x x 0 ) 的幂级数
即 f ( x ) a 0 a1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 )n
( x U ( x 0 ))
数学分析中的泰勒级数与幂级数展开
在数学分析中，泰勒级数与幂级数展开是重要的概念和工具。
它们为我们提供了一种将函数用无穷序列表示的方法，这对于研究函数的性质和计算近似值至关重要。
在本文中，我们将介绍泰勒级数和幂级数展开的概念、性质以及它们的应用。
首先，让我们从泰勒级数展开开始。
泰勒级数是将函数在某一点处展开为幂级数的表达式。
具体来说，我们假设函数f(x)在某一点a附近具有无限阶可导性质。
那么，泰勒级数展开的公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。
这个展开式可以理解为用各阶导数的系数乘以(x-a)的幂的方式来近似表示函数的值。
当x接近于a时，前面几项的影响更大，后面的项的影响逐渐减小。
泰勒级数展开的优点之一是它可以用有限的项来近似表示函数。
通过截断级数，我们可以得到一个多项式，它在原函数附近是一个很好的逼近。
例如，对于f(x) = sin(x)，在点a=0处展开，我们可以得到泰勒级数展开式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...通过截取前几项，例如取前四项，我们可以得到一个多项式近似sin(x)的函数：P(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!该多项式在原函数sin(x)附近非常接近，并且当x接近于0时，他们的值越来越接近。
幂级数是泰勒级数的一种特殊情况，它以零点为展开点。
幂级数展开不仅适用于函数的近似，还可以用于计算函数的和、积分以及微分等数学问题。
幂级数的一般形式为：f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + a_3(x-a)^3 + ...其中，a_0，a_1，a_2等是待定常数，x-a是每一项的幂。
第四节-泰勒级数与幂级数.doc
第四节 泰勒级数与幂级数教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式。
教学难点：幂级数的收敛域及和函数。
教学时数：4 教学内容：一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3)n u x n =都在D 上有定义，则称表达式121()()()nn u x u x u x ∞==++∑为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1()()n k k S x u x ∞==∑称为部分和函数．2．收敛域 定义：设1()n n u x ∞=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0xD ∈，若数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称0x 是1()nn u x ∞=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．3．和函数 定义：设函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得1()()n n S x u x ∞==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1()n n u x ∞=∑的和函数．二、幂级数1．幂级数的定义定义：设{}(0,1,2,)n a n =是一实数列，则称形如00()n n n a x x ∞=-∑的函数项级数为0x 处的幂级数．00x =时的幂级数为0n n n a x ∞=∑．2．阿贝尔定理 定理：对幂级数()nnn a x x ∞=-∑有如下的结论：⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数00()nn n a x x ∞=-∑都绝对收敛； ⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都发散．例1：若幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由阿贝尔定理知，幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛且绝对收敛．3.幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，0()nnn a x x ∞=-∑绝对收敛；⑵ 当0x x R ->时，()nnn a x x ∞=-∑发散．如果幂级数()n n n a x x ∞=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑在(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．则称上述R 为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛区间．4.幂级数收敛半径的求法 求幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径R法一：⑴ 求极限11000()()lim ()n n nn n a x x x x a x x ρ++→∞--=-⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =；法二：若n a 满足0n a ≠，则1limnn n a R a →∞+=； 法三；⑴求极限0()n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．例2： 求下列幂级数的收敛域⑴12!n n n x n ∞=∑⑵1nn ∞= ⑶221212n nn n x ∞-=-∑ 解：⑴ 收敛半径1112(1)!lim lim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞，所以收敛域为(,)-∞+∞；⑵收敛半径1lim1n n n n a R a →∞+=== 当51x -=-时，对应级数为1nn ∞=这是收敛的交错级数，当51x -=时，对应级数为1n ∞=P -级数，于是该幂级数收敛域为[4,6)；⑶ 由于22122212()lim 2(21)2nn n n n x n x x n x ρ+-→∞+=⨯=- 令()1x ρ<，可得x <R =当x =1212n n ∞=-∑，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为(． 5.幂级数的性质设幂级数00()nn n a x x ∞=-∑收敛半径为1R ；00()nn n b x x ∞=-∑收敛半径为2R ，则 1．0000()()()()nnn nnnn n n n a x x b x x ab x x ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；2．0001[()][()]()()nnnn nni n in n n i a x x b x x a bx x ∞∞∞-====-⋅-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥； 3．幂级数()nnn a x x ∞=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续；4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有11()[()][()]()nnn nnnn n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞-==='''=-=-=-∑∑∑．5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有1000001()[()][()]()1xxxnnn n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞∞+====-=-=-+∑∑∑⎰⎰⎰例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴11(11)n n nxx ∞-=-<<∑ ⑵411(11)41n n x x n +∞=-<<+∑解：⑴ 令11()(11)n n S x nxx ∞-==-<<∑，则111()()1xxn n n n x S x dx nxdx x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰所以2211(),(11)(1)(1)x x S x x x x -+==-<<--； ⑵ 令411()(11)41n n x S x x n +∞==-<<+∑，则4144411()()411n nn n x x S x x n x +∞∞==''===+-∑∑ 所以4422001111()(1)12121xx x S x dx dx x x x ==-+⋅+⋅-+-⎰⎰ 111ln arctan 412x x x x +=+--，(11)x -<<． 例4：求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数。
幂级数和泰勒级数的区别
幂级数和泰勒级数的区别你了解幂级数和泰勒级数吗？他们有什么区别呢？下面我给大家讲一下。
幂级数是指实数集合上，如果两个实数x和y，有如下形式的乘积： axy=f(x)+g(y)，其中， f(x)， g(y)为常数函数，这样的级数叫做幂级数。
一般地，我们把多项式的次数叫做幂级数的次数。
2。
泰勒级数，也称为勒贝格级数，是有理函数的一类扩展，指的是以无穷小的速率增加的函数。
该函数是以实数集上的连续函数作为初值，通过将以初始值的函数表达式加上导数处理得到的。
当x →∞时，将x = 0代入可得泰勒级数： 2lx+ln2y=0，即l^2x+2y=0。
这个级数的收敛半径为x，所以，当x→∞时，级数收敛于零。
4。
但是你不要以为泰勒级数就比幂级数简单很多哦！他们的共同点就是都会无限的增长。
不过增长的快慢是不同的。
幂级数一开始非常的慢，而后来就越来越快。
而泰勒级数却是慢慢的增长。
不过你不用担心。
有句话说得好：慢就是快。
其实在科学界有句话：慢就是快。
因为这句话与那个著名的公式联系在一起。
大家应该知道吧！呵呵！快就是慢。
我现在讲一下他们的区别： 1。
6。
最后你再对比一下，就更容易看出他们之间的差别了。
如果你拿手指着一只猫说：“哇！这只猫真漂亮！”这只猫就会非常开心，在墙角撒娇，摆尾巴，让人喜爱，这叫欣赏。
你用语言描述猫的形态，叫观察。
你把猫抱起来摸它的毛，又软又顺，非常舒服，这叫享受。
用手去捏猫的鼻子，猫会很生气，会躲开，甚至会抓你。
这叫抚摸。
你想把猫怎么样，但它却跳开，这叫制服。
你让它跑步，它能轻松地跑几百米，这叫速度。
2。
而你上述提到的事物叫实验。
实验的对象、操作、结果都必须是明确的。
而欣赏、描述、抚摸、捏和制服猫是模糊的。
3。
第一个，如果做实验需要很长时间，而且还需要很多仪器。
而观察可以随时随地进行。
4。
第二个，有很多实验根本没法重复。
例如，你找一百个人过来欣赏、抚摸、捏和制服这些动物，并拍照留念。
然后问大家哪个最漂亮？估计你会找出来十个或者八个或者六个答案。
6.4 函数的幂级数展开
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解 因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以 解
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第四节 泰勒级数与幂级数教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式。
教学难点：幂级数的收敛域及和函数。
教学时数：4 教学容：一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3)n u x n =都在D 上有定义，则称表达式121()()()nn u x u x u x ∞==++∑为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1()()n k k S x u x ∞==∑称为部分和函数．2．收敛域 定义：设1()n n u x ∞=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0xD ∈，若数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称0x 是1()nn u x ∞=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．3．和函数 定义：设函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得1()()n n S x u x ∞==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1()n n u x ∞=∑的和函数．二、幂级数1．幂级数的定义定义：设{}(0,1,2,)n a n =是一实数列，则称形如00()n n n a x x ∞=-∑的函数项级数为0x 处的幂级数．00x =时的幂级数为0n n n a x ∞=∑．2．阿贝尔定理 定理：对幂级数()nnn a x x ∞=-∑有如下的结论：⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都绝对收敛；⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都发散．例1：若幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由阿贝尔定理知，幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛且绝对收敛．3.幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，0()nnn a x x ∞=-∑绝对收敛；⑵ 当0x x R ->时，()nnn a x x ∞=-∑发散．如果幂级数()n n n a x x ∞=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑在(,)-∞+∞收敛，则定义R =+∞．则称上述R 为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛区间．4.幂级数收敛半径的求法 求幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径R法一：⑴ 求极限11000()()lim ()n n nn n a x x x x a x x ρ++→∞--=-⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =；法二：若n a 满足0n a ≠，则1limnn n a R a →∞+=； 法三；⑴求极限0()n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．例2： 求下列幂级数的收敛域⑴12!n n n x n ∞=∑⑵1n n ∞= ⑶221212n nn n x ∞-=-∑ 解：⑴ 收敛半径1112(1)!limlim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞， 所以收敛域为(,)-∞+∞；⑵收敛半径1lim1n n n n a R a →∞+=== 当51x -=-时，对应级数为1nn ∞=∑这是收敛的交错级数，当51x -=时，对应级数为1n ∞=这是发散的P -级数，于是该幂级数收敛域为[4,6)；⑶ 由于22122212()lim 2(21)2nn n n n x n x x n x ρ+-→∞+=⨯=- 令()1x ρ<，可得x <，所以收敛半径为R =当x =1212n n ∞=-∑，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为(． 5.幂级数的性质设幂级数()nnn a x x ∞=-∑收敛半径为1R ；()nnn b x x ∞=-∑收敛半径为2R ，则1．0000()()()()nnn nnnn n n n a x x b x x ab x x ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；2．00001[()][()]()()nnnn nn i n i n n n i a x x b x x a b x x ∞∞∞-====-⋅-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；3．幂级数()nnn a x x ∞=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续；4．幂级数在其收敛区间可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有 11()[()][()]()nnn nnnn n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞-==='''=-=-=-∑∑∑．5．幂级数在其收敛区间可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有1000001()[()][()]()1xxxnnn n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞∞+====-=-=-+∑∑∑⎰⎰⎰例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间的和函数 ⑴11(11)n n nxx ∞-=-<<∑ ⑵411(11)41n n x x n +∞=-<<+∑ 解：⑴ 令11()(11)n n S x nxx ∞-==-<<∑，则111()()1xxn n n n x S x dx nxdx x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰所以2211(),(11)(1)(1)x x S x x x x -+==-<<--； ⑵ 令411()(11)41n n x S x x n +∞==-<<+∑，则 4144411()()411n nn n x x S x x n x +∞∞==''===+-∑∑ 所以4422001111()(1)12121xx x S x dx dx x x x ==-+⋅+⋅-+-⎰⎰ 111ln arctan 412x x x x +=+--，(11)x -<<． 例4：求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数。
解：易求得收敛域为(1,1)-因为0(21)nn n x ∞=+∑=02nn nx ∞=∑+0nn x ∞=∑=012()1nn x x x ∞='+-∑=012[]1nn x x x ∞='+-∑21112()11(1)xx x x x +'=+=---，(1,1)x ∈-。
所以和函数为21(),(1,1)(1)xs x x x +=∈--。
三、函数展开成幂级数 1.函数展开成幂级数的定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，0x I ∈，若存在幂级数()nnn a x x ∞=-∑，使得()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则称()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数． 2.展开形式的唯一性定理：若函数()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数 0()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则其展开式是唯一的，且()0()(0,1,2,)!n n f x a n n ==．3.泰勒级数与麦克劳林级数⑴ 泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果()f x 在0x 的某一邻域具有任意阶导数，则称幂级数()()00000000()()()()()()()!1!!n n n n n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞='-=+-++-+∑为函数()f x 在0x 点的泰勒级数．当00x =时，称幂级数()()0(0)(0)(0)(0)!1!!n n n nn f f f x f x x n n ∞='=++++∑为函数()f x 的麦克劳林级数． ⑵ 函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数()f x 在0x I ∈处的泰勒级数在I 上收敛到()f x 的充分必要条件是：()f x 在0x 处的泰勒公式()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑的余项()n R x 在I 上收敛到零，即对任意的x I ∈，都有lim ()0n n R x →∞=．4.函数展开成幂级数的方法 ⑴ 直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法． ⑵ 间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．幂级数常用的七个展开式0,(,)!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑210sin (1),(,)(21)!n nn x x x n +∞==-∈-∞+∞+∑20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑1ln(1)(1),111n nn x x x n +∞=+=--<≤+∑2(1)(1)(2)(1)(1)1,(1,1)2!!n n x x x x x n αααααααα----++=+++++∈-1,(1,1)1n n x x x ∞==∈--∑1(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑．例5：将()ln1xf x x=+展开成1x -的幂级数。