考研数学二(矩阵)-试卷11.doc

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考研数学二（矩阵）-试卷12.doc

考研数学⼆（矩阵）-试卷12.doc考研数学⼆（矩阵）-试卷12(总分：102.00，做题时间：90分钟)⼀、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项符合题⽬要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设A，B均为n阶⽅阵，且AB=E，则B[E⼀2B(E+A T B T ) ⼀1 A]A=( )（分数：2.00）A.A ⼀1．B.B ⼀1．C.O．D.AB．3.设n阶⽅阵A，B，C满⾜关系ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则下列各式中不⼀定成⽴的是( )（分数：2.00）A.CAB=E．B.B ⼀1 A ⼀1 C ⼀1 =E．C.BCA=E．D.C ⼀1 A ⼀1 B ⼀1 =E．4.设n阶矩阵A，B，A+B，A ⼀1 +B ⼀1均为可逆矩阵，则(A ⼀1 +B ⼀1 ) ⼀1 =( )（分数：2.00）A.A+B．B.A(A+B) ⼀1 B．C.A ⼀1 +B ⼀1．D.(A+B) ⼀1．5.设A为n阶⾮零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.E⼀A不可逆，E+A不可逆．B.E—A不可逆，E+A可逆．C.E—A可逆，E+A也可逆．D.E—A可逆，E+A不可逆．6. 2.00）A.AP 1 P 2 =B．B.AP 2 P 1 =B．C.P 1 P 2 A=B．D.P 2 P 1 A=B．7.设矩阵 2.00）A.A ⼀1 P 1 P 2．B.P 1 A ⼀1 P 2．C.P 1 P 2 A ⼀1．D.P 2 A ⼀1 P 1．8.设A为3阶⽅阵，将A的第1列与第2列交换得B，再将B的第2列加到第3列得C，则满⾜AQ=C的可逆矩阵Q为( )（分数：2.00）9.设A为3阶矩阵，将A的第2⾏加到第1⾏得B，再将B的第1列的⼀1倍加到第2列得C，数：2.00）A.P ⼀1 AP．B.PAP ⼀1．C.P T AP．D.PAP T．10.设A为3阶⽅阵，将A的第2列加到第1列得B，再交换B的第2、3两⾏得单位矩阵，2.00）A.P 1 P 2．B.P 1⼀1 P 2．C.P 2 P 1．D.P 2 P 1⼀1．11. 2.00）A.P 1 P 2 A．B.P 2 P 1 A．C.AP 1 P 2．D.P 1 AP 2．12. 2.00）A.t≠6时，P的秩必为2．B.t≠6时，P的秩必为1．C.t=6时，P的秩必为2．D.t=6时，P的秩必为1．13.设3阶⽅阵 2.00）A.a=-2b．B.a=b．C.a=-b．D.a=2b．14.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E是m阶的单位矩阵，若AB=E，则( )（分数：2.00）A.秩r(A)=m，秩r(B)=m．B.秩r(A)=m，秩r(B)=n．C.秩r(A)=n，秩r(B)=m．D.秩r(A)=n，秩r(B)=n．⼆、填空题(总题数：7，分数：14.00)15.设 2.00）填空项1:__________________16.设3阶矩阵A的3个特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=⼀1，对应的线性⽆关的特征向量依次为p 1=(1，2，2) T，p 2 =(0，⼀1，1) T，p 3 =(0，0，1) T，则A= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________17.设α=(1，0，1) T，β=(0，1，1) T，PA=αβT P，其中 2.00）填空项1:__________________18.设 2.00）填空项1:__________________19.设4阶矩阵A的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________20.设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2 2.00）填空项1:__________________21.设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则矩阵E⼀ααT的秩为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：26，分数：60.00)22.解答题解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

2011年考研数学二真题及答案解析

x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3

f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记为曲线 l

考研数学二(线性代数)模拟试卷11(题后含答案及解析)

考研数学二（线性代数）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．A．当m>n时，必有｜AB｜≠0B．当m>n时，必有｜AB｜=0C．当n>m时，必有｜AB｜≠0D．当n>m时，必有｜AB｜=0正确答案：B解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m>n时，r(AB)≤n<m，于是｜AB｜=0，选(B)．知识模块：线性代数部分2．设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m<n，则( )．A．A的任意m个列向量都线性无关B．A的任意m阶子式都不等于零C．非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D．矩阵A通过初等行变换一定可以化为(EmO)正确答案：C解析：显然由r(A)=m)=m，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以(A)，(B)，(C)都不对，选(D)．知识模块：线性代数部分填空题6．设A为三阶正交阵，且｜A｜｜A｜=-1．｜E-ABT｜=｜AAT-ABT｜=｜A｜｜(A-B)T｜=-｜A-B｜=｜B-A｜=-4 知识模块：线性代数部分7．设A，B都是三阶矩阵，，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则B=_______．正确答案：解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A-1=-3A-1，则(A*)-1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，则=-6A(E+3A)-1，知识模块：线性代数部分8．若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜=_______．正确答案：2解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，由AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，α3)得知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(行列式)模拟试卷11(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式）模拟试卷11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。

B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。

C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。

D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。

正确答案：D解析：根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第二、三行(列)展开，得D==(a2a3—b2b3)(a1a4—b1b4)，所以应选D。

知识模块：行列式2．设，且｜A｜=m，则｜B｜=( )A．m。

B．一8m。

C．2m。

D．一2m。

正确答案：D解析：将行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜。

由行列式的性质知｜B｜=一2｜A｜=一2m。

知识模块：行列式3．设α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=( )A．m+n。

B．m一n。

C．一(m+n)。

D．n—m。

正确答案：D解析：由行列式运算法则｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜，且｜α3，α2，α1，β2｜=一｜α1，α2，α3，β2｜=｜α1，α2，β2，α3｜=｜B｜=n，故可得｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=一｜A｜+｜B｜=一m+n。

知识模块：行列式4．设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，则｜A｜=( )A．｜α1一α2，α2一α3，α3一α1｜。

B．｜α1+α2，α2+α3，α3+α1｜。

C．｜α1+2α2，α3，α1+α2｜。

D．｜α1，α2+α3，α1+α2｜。

正确答案：C解析：｜α1+2α2，α3，α1+α2｜=｜α1，α2，α3｜=｜A｜。

考研数学二(矩阵)模拟试卷12(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵）模拟试卷12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的一1倍加到第2列上得C．P＝，则C＝( )．A．P-1Ap．B．PAP-1．C．pTAP．D．PAPT．正确答案：B 涉及知识点：矩阵2．设A为3阶矩阵，P＝(α1，α2，α3)为3阶可逆矩阵，Q＝(α1＋α2，α2，α3)．已知pTAP＝，则QTAQ＝( )．A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：矩阵3．设A是3阶可逆矩阵，交换A的1，2行得B，则A．交换A*的1，2行得到B*．B．交换A*的1，2列得到B*．C．交换A*的1，2行得到－B*．D．交换A*的1，2列得到－B*．正确答案：D 涉及知识点：矩阵4．设A，B，C都是n阶矩阵，满足B＝E＋AB，C＝A＋CA，则B－C 为A．E．B．－E．C．A．D．－A．正确答案：A 涉及知识点：矩阵5．A和B都是n阶矩阵．给出下列条件①A是数量矩阵．②A和B都可逆．③(A＋B)2＝A2＋2AB＋B2．④AB＝cE．⑤(AB)2＝A2B2．则其中可推出AB＝BA的有( )A．①②③④⑤．B．①③⑤．C．①③④．D．①③．正确答案：D解析：①和③的成立是明星的，②是不对的．④AB＝cE，在c≠0时可推出AB＝BA，但是c＝0时则推不出AB＝BA．如⑤(AB)2＝A2B2推不出AB＝BA．对于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩阵，但是AB≠BA．知识模块：矩阵填空题6．若A-1＝，则(3A)*＝_______．正确答案：涉及知识点：矩阵7．设A＝不可逆，则χ＝_______．正确答案：－5．解析：A不可逆｜A｜＝0．而故χ＝4或χ＝－5．知识模块：矩阵8．设A，B均为3阶矩阵，且满足AB＝2A＋B，其中A＝，则｜B－2E｜＝_______．正确答案：－2．解析：由AB－2A－B＋2E＝2E，有A(B－2E)－(B－2E)＝2E，则(A－E)(B－2E)＝2E．于是｜A－E｜.｜B－2E｜＝8，而｜A－E｜＝＝－4，所以｜B－2E｜＝－2．知识模块：矩阵9．设A2－BA＝E，其中A＝，则B＝_______．正确答案：解析：由于BA＝A2－E，又A可逆，则有B＝(A2－E)A-1＝A－A-1．故知识模块：矩阵10．设XA＝AT＋X，其中A＝，则X＝_______．正确答案：解析：由XA－X＝AT有X(A－E)＝AT，因为A可逆，知X与A－E均可逆．故X＝AT(A－E)-1＝知识模块：矩阵11．已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．正确答案：涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(矩阵)-试卷2

考研数学二（矩阵）-试卷2(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=m．√B.r(A)=m，r(B)=n．C.r(A)=n，r(B)=m．D.r(A)=n，r(B)=n．解析：解析：本题主要考查矩阵的秩的性质．因为AB=E，所以r(AB)=m．又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m．故选A．3.设A为4阶实对称矩阵，且A 2 +A=O，若A的秩为3，则A相似于( )（分数：2.00）√解析：解析：本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等．设A的特征值为λ，因为A 2 +A=O，所以λ2 +λ=0，即λ(λ+1)=0，则λ=0或λ=一1．又因为r(A)=3，而由题意A必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是3，所以λ=一1是三重特征根，则所以正确答案为D．4.B满足AB+B+A+2E=0，则｜B+E｜=( )（分数：2.00）A.一6．B.6．C.√解析：解析：化简矩阵方程，构造曰+E，用分组因式分解法，则有A(B+E)+(B+E)=一E，即(A+E)(B+E)=一E5.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00）A.(A+B)(A—B)=A 2一B 2．B.(A+B) 一1 =A 一1 +B 一1．C.(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2．D.(AB) * =B * A *．√解析：解析：矩阵的乘法没有交换律，因此A，B可逆不能保证AB=BA，例如, 所以选项A、C均不正确．A，B可逆时，A+B不一定可逆，即使A+B可逆，其逆一般也不等于A -1+B -1．仍以而，所以选项B不正确．因为A可逆时，A * =｜A｜A -1，故(AB) * =｜AB｜(AB) -1 =｜A｜｜B｜B -1 A -1 =(｜B｜B -1 )(｜A｜A -1 )=B * A *，因此选项D正确．6.设A=E一2ξξT，其中ξ=(x 1，x 2，…，x n ) T，且有ξTξ=1．则 (1)A是对称阵． (2)A 2是单位阵． (3)A是正交阵． (4)A是可逆阵．上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1．B.2．C.3．D.4．√解析：解析：A T=(E一2ξξT ) T =E T一(2ξξT) T =E一2ξξT=A，(1)成立．A 2=(E一2ξξT )(E 一2ξξT )=E一4ξξT +4ξξTξξT =E一4ξξT +4ξ(ξTξ)ξT =E，(2)成立．由(1)、(2)，得A 2 =A T =E，故A是正交阵，(3)成立．由(3)知正交阵是可逆阵，且A -1 =A T，(4)成立．故应选D．7.设(P -1 ) 2010 A(Q 2011 ) -1 =( )（分数：2.00）√解析：解析：P、Q均为初等矩阵，因为P -1 =P，且P左乘A相当于互换矩阵A的1、3两行，那么P 2010 A表示把A的1、3两行互换2010次，从而(P -1 ) 2010 A=P 2010 A=A．又而Q -1右乘A相当于把矩阵A 的第2列上各元素加到第1列相应元素上去，那么A(Q -1 ) 2011表示把矩阵A第2列的各元素2011倍加到第1列相应元素上去，所以应选B．8.( )（分数：2.00）A.AP 1 P 2 =B．B.AP 2 P 1 =B．C.P 1 P 2 A=B．√D.P 2 P 1 A=B．解析：解析：由于对矩阵A m×n施行一次初等变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A m×n作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵，而经过观察A、b的关系可以看出，矩阵B 是矩阵A先把第1行加到第3行上，再把所得的矩阵的第1、2两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的P 2与P 1，因此选项C正确．9.设n维行向量A=I一αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB等于( )（分数：2.00）A.O．B.一I．C.I. √D.I+αTα．解析：解析：由题意可知， AB=(I—αTα)(I+2αTα) =I一αTα+2αTα一2αTααTα =I+αTα一2αT (ααT )α =I+αTα一2(ααT )αTα．又因为10.设A，B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则( )（分数：2.00）A.A与B有相同的特征值．B.A与B有相同的秩．√C.A与B有相同的特征向量．D.A与B有相同的行列式．解析：解析：由合同的定义可知，A与B合同，则存在可逆矩阵C，使C T AC=b，且r(A)=r(c T AC)=r(B)．因此应选B．二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设B=(E—A)(E+2A) 一1，则(B一E) 一1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧．则B一E=(E—A)(E+2A) 一1一(E+2A)(E+2A) 一1=[(E—A)一(E+2A)](E+2A) 一1 =一3A(E+2A) 一1，12.设矩阵A A= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为AA * =｜A｜E，因此A=｜A｜(A * ) -1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得｜A *｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又13.设矩阵X X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）14.是3阶矩阵，则满足AB=O的所有的B= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ k，l，λ是任意常数）解析：解析：将B按列分块，设B=(β1，β2，β3 )，则AB=A(β1，β2，β3 )=(Aβ1，Aβ2，Aβ3 )=0，因此可得Aβ1 =0，Aβ2 =0,Aβ3 =0，因此β1，β2，β3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量?对于齐次线性方程组AB=0，求出其通解．对A作初等行变换则Ax=0有通解k[一2，一1，1] T令β1，β2，β3都是齐次线性方程组Ax=0的通解，再合并成矩阵B，即得其中k，l，λ是任意常数．15.已知X满足AX+2B=BA+2X，那么X 2 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据已知AX+2B=BA+2X，得Ax一2X=BA一2B，即(A一2E)X=B(A一2E)，由于是可逆的，因此X=(A一2E) 一1 B(A一2E)，那么X 2 =(A一2E) 一1 B 2 (A一2E)16.设矩阵 A 3的秩为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得r(A 3 )=1．17.r(AB+2A)= 1?（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由AB+2A=A(B+2E)，且是可逆矩阵，因此r(AB+2A)=r(A(B+2E))=r(A)．因为经过初等因此可得r(AB+2A)=2．18.已知AXA * =B，r(X)=2，则a= 1?（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A *也是可逆的，因此r(AXA *)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则19.已知B是3阶非零矩阵，且BA T =O，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据BA T =D可知，r(B)+r(A T)≤3，即r(A)+r(B)≤3．又因为B≠O，因此r(B)≥1，从而有r(A)＜3，即｜A｜=0，因此于是可得20.设A，B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=A一2B，(A+2E) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题干可知AB=A一2B21.设XA=A T +X，其中X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由已知XA—X=A T，则有X(A—E)=A T．因为已知矩阵A是可逆的，则矩阵X和(A—E)均是可逆矩阵，故三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2008考研数二真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 如图，曲线段方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3) 在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD(5) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(6) 设函数f 连续. 若()()2222,uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( ) ()A ()2vf u()B ()2vf u u ()C ()vf u()D ()v f u u(7) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(8) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) ()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =(10) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是y =O xvx 2+y 2=u 2 x 2+y 2=1 D uvy(11) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12) 求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. (13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. (14) 矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且248A =-，则λ=_______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16) (本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题 020|0xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .(17)(本题满分9分)计算212arcsin 1x x dx x-⎰(18)(本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =. 对于任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II) 若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 证明行列式()1nA n a =+(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x (III) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； (II) 令()123,,P ααα=，求1P AP -2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 由于()f x '是三次多项式，三次方程()0f x '=的实根不是三个就是一个，故D 正确.(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y ''''''-+-=(4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 111ln lim ()lim lim sin sin11x x x xf x x x --+→→→=⋅=--所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.(6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(8) 【答案】D 【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f =(10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)--(13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=3|2|2||A A = 32648λ∴⨯=- 1λ⇒=-三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+(17)【详解】方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122222000arcsin sin cos 2cos sin ()cos 221x x t t t t t dx tdt t tdt dt t x πππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：212arcsin 1x x dx x -⎰1221(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题O 0.5 2 xD 1D 3 D 2设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+，即 21y y '=- 由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+，即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2tt y f x e e -==+(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a a a a A r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,TTk k + 为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。

考研数学二解答题专项强化真题试卷11(题后含答案及解析)

考研数学二解答题专项强化真题试卷11(题后含答案及解析)题型有：1.1．设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处切线方程为y 一y=y’(x)(X一x)它与x轴的交点为由于y’(x＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又S2=∫0xy(t) dt由条件2S1一S2=1知一1y(t)dt=1 (*)两边对x求导并化简得yy”=(y’)2令P=y’，则上述方程可化为=P2从而解得P=C1y，即=C1y于是注意到y(0)=1，并由(*)式知y’(0)=1．从而可知C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．2．已知y=求y’．正确答案：3．某湖泊的水量为V1，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排人湖泊中含A污水的浓度不超过m0／V．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)正确答案：涉及知识点：常微分方程4．设函数f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex-f(x)．且f(0)=0，g(0)=2，求正确答案：涉及知识点：常微分方程5．求正确答案：解析：这是n项和式的数列极限，按和式特点，确定它是哪个函数在哪个区间上的一个积分和．知识模块：函数极限连续6．设函数f(u)可导，y＝f(x2)与自变量x在x＝－1处取得增量△x＝－0．1时，相应的函数增量△y，的线性主部为0．1，则f’(1)等于正确答案：D解析：[分析] 函数可导必可微，△y的线性主部为函数的微分．[详解] dy＝f’(x2)2xdx．由题设条件0．1＝－2f’(1).(－0．1)＝0．2f’(1)，故f’(1)＝＝0．5．故应选(D)．知识模块：一元函数微分学7．(2002年试题，九)设0正确答案：题设所给待证不等式有两部分，应分别予以证明，先证明右边不等式引入辅助函数则由于已知0’(x)>0，从而f(x)严格单调递增，又f(a)=0，从而f(x)>f(x)=0，令x=b，得f(b)>0，即即即由此右边不等式得证．关于左边不等式，同样可引入辅助函数f(x)=(a2+x2)(1nx—lna)一2a(x一a)，其中0所以f(x)严格单调递增，由f(a)=0，知f(x)>f(a)=0，令x=b，则f(b)>0，即(a2+b2)(1n6一lnb)一2a(b一a)>0，即(a2+b2)(1n6一lna)>2a(b一a)，所以左边不等式亦得证。

考研数学二(矩阵)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有｜AB｜=0C．当n＞m时，必有｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有｜AB｜=0正确答案：B解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤rain{m，n}，且r(AB)≤rain(r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选(B)．知识模块：矩阵2．设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于( )．A．A+BB．A-1+B-1C．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：C解析：A(A+B)-1B(A1+B1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选(C)．知识模块：矩阵3．设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．A．(A+B)*=A*+B*B．(AB)*=B*A*C．(A-B)*=A*-B*D．(A+B)*一定可逆正确答案：B解析：因为(AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A-1=B*A*，所以选(B)．知识模块：矩阵4．设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．A．kA*B．knA*C．kn-1A*D．kn(n-1)A*正确答案：C解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子式，所以(kA)*=kn-1A*，选(C)．知识模块：矩阵5．设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是( )．A．A=OB．A=EC．若A不可逆，则A=OD．若A可逆，则A=E正确答案：D解析：因为A2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D)．知识模块：矩阵6．设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜n，则( )．A．A的任意m个列向量都线性无关B．A的任意m阶子式都不等于零C．非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D．矩阵A通过初等行变换一定可以化为(En：O)正确答案：C解析：显然由r(A)=m＜n，得r(A)==m＜n，所以方程组AX=b易有无穷多个解．选(C)．知识模块：矩阵7．设P1=则m，n可取( )．A．m=3，n=2B．m=3，n=5C．m=2，n=3D．m=2，n=2正确答案：B解析：经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：矩阵8．设A=则B-1为( )．A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以B-1=，于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，选(C)．知识模块：矩阵9．设P=，Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则( )．A．当t=6时，r(Q)=1B．当t=6时，r(Q)=2C．当t≠6时，r(Q)=1D．当t≠6时，r(Q)=2正确答案：C解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选(C)．知识模块：矩阵填空题10．设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则B=________正确答案：解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A=-3A-1，则(A*)-1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，则B=-6A(E+3A)-1，E+3A= 知识模块：矩阵11．设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，且A=，则B=_______正确答案：解析：由A*BA=2BA-8E，得AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1= 知识模块：矩阵12．=_____正确答案：解析：知识模块：矩阵13．设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=_______正确答案：6解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．知识模块：矩阵14．设A=，B≠O为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=_________正确答案：1解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学真题数二试卷

考研数学真题数二试卷考研数学真题数二试卷是针对中国研究生入学考试数学科目的模拟试题集。

数二通常指的是数学二，是理工科专业考研数学科目的一种类型，涉及的数学内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。

试卷结构：数二试卷一般包括选择题、填空题、解答题等题型。

选择题和填空题主要考查考生对基础知识的掌握程度和基本运算能力，而解答题则更侧重于考查考生的逻辑推理和综合解题能力。

内容范围：1. 高等数学：包括微分学、积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

2. 线性代数：涉及矩阵理论、线性空间、线性变换、特征值问题等。

3. 概率论与数理统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律、中心极限定理、统计量的分布、参数估计、假设检验等。

试题特点：- 试题难度适中，旨在检验考生对数学概念、原理和方法的理解和应用能力。

- 试题设计注重基础与应用相结合，既考查理论知识，也考查实际应用。

- 试题形式多样，既有直接考查计算能力的题目，也有需要考生进行推理和证明的题目。

复习建议：- 系统复习数学基础知识，确保对概念、定理和公式有清晰的理解。

- 通过大量练习，提高解题速度和准确率，尤其是对解答题的解题思路和方法要熟练掌握。

- 注重历年真题的练习，了解考试的出题规律和重点，针对性地进行复习。

- 在复习过程中，注意总结和归纳解题技巧，形成自己的解题体系。

结语：考研数学真题数二试卷是考生备考过程中的重要参考资料。

通过认真分析和练习真题，考生可以更好地掌握考试要求，提高应试能力。

同时，也要注意调整心态，合理安排复习计划，确保在考试中能够发挥出最佳水平。

考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．记行列式为f(x)，则方程f(x)＝0的根的个数为A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 本题实质上是考查四阶行列式的计算问题，可利用行列式的性质进行计算，得到f(x)后，即可确定其根的个数．[详解] 因为由此可知f(x)＝0的根的个数为2，故应选(B)．[评注] 由于数学二只要求考查线性代数初步，相对内容较少，行列式的计算问题基本上每年出一题，因此利用行列式的定义、性质和按行或列展开定理进行计算应熟练掌握．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：[分析] 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．[详解] 因为AB为m 阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n)，当m＞n时，由上式可知，r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式｜AB｜＝0．故应选(B)．[评注] 本题不知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1．矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2．行(列)向量组的线性相关性；3．方程组解的判定；4．特征值和相似矩阵的性质等进行计算．知识模块：行列式3．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ—c的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：[分析] 本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为这两个初等矩阵的乘积．[详解] 由题设，有，于是，故应选(D)．知识模块：矩阵4．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：[分析] 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可．[详解] 由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A＝B，于是B*＝(E12A)*＝A*E12*＝A*｜E12｜.E12－1＝－A*E12，即A*E12＝－B*，故应选(C)．[评注] 注意伴随矩阵的运算性质：AA*＝A*A＝＝｜A｜E，当A可逆时，A*＝｜A｜A－1，(AB)*＝B*A*．知识模块：矩阵5．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则A．C＝P－1AP．B．C＝PAP－1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：由题设可得，而，则有C＝PAP－1．故应选(B)．知识模块：矩阵6．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QTAQ为A．B．C．D．正确答案：A解析：因为Q＝P．于是．即(A)正确．知识模块：矩阵7．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A＝A．P1P2．B．P1－1P2．C．2P1．D．2P1－1．正确答案：D解析：由已知条件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故应选(D)．知识模块：矩阵8．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝A．B．C．D．正确答案：B解析：由已知条件有Q＝P，因此故应选(B)．知识模块：矩阵9．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：[分析] 利用伴随矩阵的定义讨论即可．若加强条件，则可令A可逆．[详解1] 采用加强条件的技巧，设A可逆，则由AA*＝A*A＝｜A｜E，知A*＝｜A｜A－1，于是(kA)*＝｜kA｜(kA)－1＝kn｜＝kn－1｜A｜A－1＝kn－1A*．故应选(B)．题设k≠0，±1，n≥3，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的．[详解2] 由A*的定义，设A＝(aij)n ×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA＝(kaij)n×n，若其元素的代数余子式记作△ij(i，j＝1，2，…，n)，由行列式性质有△ij＝kn－1Aij(i，j＝1，2，…，n)．从而(kA)*＝kn－1A*．[评注] 涉及与A*有关的题目，一般利用A*的定义和公式AA*＝｜A｜E．知识模块：矩阵10．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：利用伴随矩阵的公式，有。

考研数学二(矩阵)模拟试卷11(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵）模拟试卷11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n维行向量α＝()，矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，则AB＝A．0．B．E．C．－E．D．E＋αTα．正确答案：B解析：AB＝(E－αTα)(E＋2αTα)＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT(ααT)α．注意ααT＝，故AB＝E．应选B．知识模块：矩阵2．设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是A．A*A＝AA*．B．AmAp＝ApAm．C．ATA＝AAT．D．(A＋E)(A－E)＝(A－E)(A＋E)．正确答案：C解析：因为AA*＝A*A＝｜A｜E，AmAp＝ApAm＝Am+p，(A＋E)(A －E)＝(A－E)(A＋E)＝A2－E，所以选项A、B、D均正确．而故C不正确．知识模块：矩阵3．设A，B，A＋B，A-1＋B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1＋B-1)-1＝A．A＋B．B．A-1＋B-1．C．A(A＋B)-1B．D．(A＋B)-1．正确答案：C解析：(A-1＋B-1)-1＝(EA-1＋B-1)-1＝(B-1BA-1＋B-1)-1 ＝[B-1(BA-1＋AA-1)]-1＝[B-1(B＋A)A-1]-1 ＝(A-1)-1(B＋A)-1(B-1)-1＝A(A＋B)-1 B．故应选C．知识模块：矩阵4．设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是A．AB＝0A＝0或B＝0．B．AB≠0A≠0且B≠0．C．AB＝0｜A｜＝0或｜B｜＝0．D．AB≠0｜A｜≠0且｜B｜≠0．正确答案：C 涉及知识点：矩阵5．A．AP1P2．B．AP1P3．C．AP3P1．D．AP2P3．正确答案：B 涉及知识点：矩阵6．两个4阶矩阵满足A2＝B2，则A．A＝B．B．A＝－B．C．A＝B或A＝－B．D．｜A｜＝｜B｜或｜A｜＝－｜B｜．正确答案：D 涉及知识点：矩阵填空题7．若A＝，则A＝2_______，A3＝_______．正确答案：解析：A2＝A3＝A2A＝知识模块：矩阵8．若A＝，则A*＝_______，(A*)*＝_______．正确答案：；0．解析：用定义．A11＝－3，A12＝6，A13＝－3，A21＝6，A22＝－12，A23＝6，A31＝－3，A32＝6，A33＝－3，故A*＝因为r(A*)＝1，A*的二阶子式全为0，故(A*)*＝0．知识模块：矩阵9．设A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用易见知识模块：矩阵10．设矩阵A＝，B＝A2＋5A＋6E，则＝_______．正确答案：涉及知识点：矩阵11．设A是n阶矩阵，满足A2－2A＋E＝0，则(A＋2E)-1＝_______．正确答案：(4E－A)解析：由(A＋2E)(A－4E)＋9E＝A*－2A＋E＝0有(A＋2E)(4E－A)＝E．所以(A＋2E)-1＝(4E－A)．知识模块：矩阵12．若A＝，则(A*)-1＝_______．正确答案：涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题

数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分）（2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。

（23）（本题满分11分）（2016）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。

记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。

(完整版)线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

2020年全国研究生考试数学(二)真题+答案详解

(1- x)n
(1- x)n -1
2
(1- x)n -2
\ f (n) (0) = - n! . n-2
ìxy
5.关于函数
f
(x,
y)
=
ï í
x
ï î
y
xy ¹ 0 y = 0 给出以下结论 x=0
¶f
①
=1
¶x (0,0)
¶2 f
②
=1
¶x¶y
(0,0)
③ lim f ( x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
ò = 1
1
1 (x3 + 1) 2 d (x3 + 1)
30
=
1
×
2
(x3
+ 1)
3 2
1
33 0
=
2
æ ç
3
22
ö - 1÷
9è ø
11.
|(0,p)= .
设 z = arctan[xy + sin(x + y)] ，则 dz
解析:
dz = ¶z dx + ¶z dy
¶x ¶x
¶z =
1
[ y + cos(x + y)], ¶z = π- 1
a 0 -1 1
14.行列式 0
a
1 -1 =
-1 1 a 0
1 -1 0 a
解析：
a 0 -1 1 a 0 -1 1
0 a 1 -1 0 a 1 -1 =
-1 1 a 0 -1 1 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a
0 a -1 + a 2 1
a -1+ a 2 1

考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型)历年

考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A＝(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是线性方程组Ax：O的一个基础解系，则A”x：0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：[详解] 因为(1，0，1，0)T为方程组Ax＝0的一个基础解系，故r(A)＝3，r(A*)＝1．于是A*x＝0的基础解系含线性无关向量个数为3．又(1，0，1，0)T为Ax＝0的解，从而α1＋α3＝0．由A*A＝｜A｜E＝0得α1，α2，α3，α4均为A*x＝0的解．故α2，α3，α4可作为A*x＝0的基础解系．故应选(D)．知识模块：线性方程组2．设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解．以上命题正确的是A．①②．B．①③．C．②④．D．③④．正确答案：B解析：[分析] 本题也可找反例用排除法进行分析，但①和②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项．[详解] 若Ax＝0与Bx＝0同解，则n－r(A)＝n－r(B)，即r(A)＝r(B)，命题③成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若r(A)＝r(B)，则不能推出Ax＝0与Ax＝0同解，如，则r(A)＝r(B)＝1，但Ax＝0与Bx＝0与Bx＝0不同解，可见命题④不成立，排除(D)，故应选(B)．[评注] Ax＝0与Bx＝0同解的充要条件是A，B的行向量组等价．知识模块：线性方程组3．设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝0，若A的秩为3，则A与A相似于B．C．D．正确答案：D解析：[详解]设λ为A的特征值，由A2＋A＝0，知特征方程为λ2＋λ＝0，所以λ＝－1或0．由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～A，r(A)＝r(A)＝3，因此，应选(D)．[评注1]若A可对角化，则r(A)＝矩阵A 的非零特征值的个数．[评注2]本题由A2＋A＝0即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉．知识模块：矩阵的特征值与特征向量4．矩阵相似的充分必要条件为A．a＝0，b＝2．B．a＝0，b为任意常数．C．a＝2，b＝0．D．a≠0，b为任意常数．正确答案：B解析：[分析]利用结论：两个可对角化的矩阵相似的充：分必要条件是有相同的特征值．[详解]记矩阵．显然，矩阵B的特征值为2，b，0，而矩阵A与B 相似的充分必要条件是有相同的特征值，所以｜2E—A｜＝[2513*]＝－4a2＝0，得a＝0．当a＝0时，由｜2E—A｜＝｜λE－A｜＝，得矩阵A的特征值为2，b，0．故当a＝0时，对任意常数b，矩阵A与B相似，且反之亦成立．故选(B)．[评注]对于不可以对角化的两矩阵，特征值相同不能推出相似．知识模块：矩阵的特征值与特征向量5．设矩阵，则A与BA．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：[详解] 由｜λE－A｜＝0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1，从而A与B不相似．又r(A)＝r(B)＝2，且A、B有相同的正惯性指数，因此A与B合同．故应选(B)．[评注1] 若A与B相似，则｜A｜＝｜B｜；r(A)＝r(B)；tr(A)＝tr(B)；A与B有相同的特征值．[评注2]若A、B为实对称矩阵，则A与B合同r(A)＝r(B)，且A、B有相同的止惯性指数．[评注3]二次型对数学二来说，2007年是首次要求考查的内容．知识模块：二次型6．设，则在实数域上与A合同的矩阵为A．C．D．正确答案：D解析：[分析]两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同且有相同的正惯性指数或者说其正、负特征值的个数分别相同．[详解] 记于是A与D为实对称矩阵，且特征多项式相同，故A与D相似，从而A与D合同．[评注](1)若A、B为实对称矩阵，则A与B相似A与B有相同的特征值．(2)若A、B 为实对称矩阵，则A与B相似→与B合同．但反之不一定成立．知识模块：二次型填空题7．设方程有无穷多个解，则a＝_______．正确答案：应填－2．解析：[分析] 先化增广矩阵为阶梯形，再由系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于3求a．[详解] 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有可见，只有当a＝－2时才有，对应方程组有无穷多个解．[评注] 本题也可按下述方式求参数a：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解，因此满足题设条件的a一定使系数行列式为零，即有解得n＝－2或a＝1．由于答案有两个，此时应将其代回原方程进行检验．显然，当a＝1时，原方程无解，因此只能是a＝－2．知识模块：线性方程组8．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：应填4．解析：[分析] 本题属基本题，直接按定义求非零特征值即可．[详解] 因为｜λE－A｜＝＝λ2(λ－4)＝0，所以非零特征值为λ＝4．知识模块：矩阵的特征值与特征向量9．设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2＋E必有特征值________．正确答案：应填．解析：[分析] 从特征值、特征向量的定义Ax＝λx，x≠0进行推导即可．[详解] 设Ax＝λx，x≠0，则A－1x＝λ－1x→｜A｜A－1x＝，x≠0．即，从而有E(A*)2＋E]x＝，x≠0，可见(A*)2＋E必有特征值．知识模块：矩阵的特征值与特征向量10．设3阶矩阵A的特征值是2，3，λ．若行列式｜2A｜＝－48，则λ＝_______．正确答案：应填－1．解析：[分析] 利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得．[详解] 因A的特征值的乘积等于｜A｜，又A为3阶矩阵，所以｜2A｜＝23｜A｜＝23×2×3×λ＝－48，故λ＝－1．知识模块：矩阵的特征值与特征向量11．若二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋x32＋2x1x2＋2x1x3＋2x2x3，则f的正惯性指数为_______．正确答案：应填2．解析：[分析]正惯性指数就是二次型的标准形中正项的个数，可用特征值或配方法求解。

考研数学二(二重积分)模拟试卷11(题后含答案及解析)

考研数学二（二重积分）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设D是有界闭区域，下列命题中错误的是A．若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．B．若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)d σ＞0．C．若f(x，y)在D连续f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D．若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．正确答案：B解析：直接指出其中某命题不正确．因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积，因此命题(B)不正确．设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在区域D上2f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此选(B)．或直接证明其中三个是正确的．命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性有界闭区域D0 D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0 ((x，y)∈D)．命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某点．于是由二重积分的不等式性质得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．命题(C)是正确的．若f(x，y)在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假设f2(x，y)在D连续f2(x，y)dσ＞0与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选B．知识模块：二重积分2．比较下列积的大小：(Ⅰ)l1=ln3(x+y)dxdy，I0=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为A．I1＜I2＜I3．B．I3＜I2＜I1．C．I1＜I3＜I2．D．I3＜I1＜I2．正确答案：C解析：在区域D上，≤x+y≤1．当≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(x，y)∈D时，ln3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3，则ln3(x+y)dσ＜sin3(x+y)dσ＜(x+y)3dσ．因此选C．知识模块：二重积分3．比较下列积的大小：Ji=e-(x2+y2)dxdy，i=1，2，3，其中D1={x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．则J1，J2，J3之间的大小顺序为A．J1＜J2＜J3．B．J2＜J3＜J1．C．J1＜J3＜J2．D．J3＜J2＜J1．正确答案：C解析：D1，D2是以原点为圆心，半径分别为R，的圆，D3是正方形，显然有D1D3D2．因此C成立．知识模块：二重积分填空题4．设D是OXy平面上以A(1，1)，B(-1，1)和C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则==_______．正确答案：8解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形DBC)两个部分(见图8．2)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=.2.2=2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．知识模块：二重积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二矩阵-试卷10_真题无答案

考研数学二（矩阵）-试卷10(总分60, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是( )SSS_SINGLE_SELA AB=O A=0且B=O。

B A=O｜A｜=0。

C ｜AB｜=0｜A｜=0或｜B｜=0。

D ｜A｜A=E。

2.设A和B都是n阶矩阵，则必有( )SSS_SINGLE_SELA ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。

B AB=BA。

C ｜AB｜=｜BA｜。

D(A+B) 一1 =A 一1 +B 一1。

3.设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( ) SSS_SINGLE_SELA(A+E) 2 (A—E)=(A—E)(A+E) 2。

B(A+E) -1 (A—E)=(A—E)(A+E) -1。

C(A+E) T (A—E)=(A—E)(A+E) T。

D(A+E)(A—E) * =(A—E) * (A+E)。

4.设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是( )SSS_SINGLE_SELA(A+A 一1 ) 2 =A 2 +2AA 一1 +(A 一1 ) 2。

B(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2。

C(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2。

D(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2。

5.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )SSS_SINGLE_SELA(A+B)(A—B)=A 2一B 2。

B(A+B 一1 =A 一1 +B 一1。

C ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜}。

D(AB) * =B * A *。

6.设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )SSS_SINGLE_SELA A+B是对称矩阵。

B AB是对称矩阵。

CA * +B *是对称矩阵。

D A一2B是对称矩阵。

7.设A，B均为n阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA 一1 ) 一1 =( )SSS_SINGLE_SELA (A+B)B。