函数图象与性质的综合应用
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《函数图象与性质的综合应用》教学设计
一、内容及其解析
1．内容：函数图象与性质的综合应用。
2．解析：
（1）函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容。
（2）函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位。
(3)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质。
二、目标及其解析
1.目标：（1）能根据要求作图、识图、用图，（2） 会用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题。
2.解析：
（1）作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律；识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视；用图，主要是数形结合思想的应用。
（2）利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，其实是考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题，特别是函数的最值问题，它是高考中的重要题型之一，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型。
三、问题与例题
问题1：函数有哪些性质，用这些性质可以解决哪些数学问题？
题型一 函数求值
例1 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2t x (x <2)，log t (x 2－1) (x ≥2)， 若f (2)＝1，则f [f (5)]＝________. 设计意图：求解分段函数的函数值应注意验证自变量的取值范围．易错点是忽视自变量取值范围的限制。 变式训练1 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 009)＋f (－2 010)的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
题型二 函数与不等式
例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )x ≥0的解集（ )
A ．[－2,0]∪[2，＋∞)
B ．(－∞，－2]∪(0,2]
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2,0)∪(0,2] 设计意图：解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x >0时的解集即可． 变式训练2 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2
)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________．
题型三 函数的最值与恒成立问题
例3 定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．
(1)求f (0)；
(2)求证：f (x )为奇函数；
(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x
－2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 设计意图： (1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，(2)将恒成立问题转化成函数最值问题。 变式训练3 已知f (x )＝x 2
＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 题型四 由式选图或由图定式问题