专题：一次函数重难点题型专题讲练
第10讲-一次函数的图象与性质(课件)-2024年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)全文编辑修改
）
C．一、三、四
D．二、三、四
【详解】解：∵正比例函数 = ( ≠ 0)的函数值随的增大而减小，
∴ < 0，∴− > 0,2 < 0，
∴一次函数 = − + 2的图象所经过第一，三，四象限，故选：C．
【对点训练1】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变
化情况.
➢ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
稿定PPT
命题预测
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要
的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各
地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在
一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方
程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
考点一 一次函数的相关概念
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0； 2）x的次数为1； 3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
y随x的增大而减少
y
y
y
y
y
图象
x
O
经过象限
与y轴交点位置
x
O
x
x
O
O
b>0
b=0
b<0
b>0
一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
y
x
O
b=0
函数导入课讲义
学情分析基础较好，对于知识灵活运用需要训练课题一次函数导入专题学习目标与考点分析学习目标：1、对于一次函数的性质和图像的熟练运用和把握2、理解一次函数与二元一次方程组的联系3、理解一次函数和正比例函数的联系和区别考点分析：1、一次函数的性质和图像的把握2、正比例函数的性质和一次函数的区别学习重点重点：1、一次函数性质和图像的理解2、正比例函数图像与一次函数图像区别学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程一、知识点梳理一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
第05讲一次函数的应用(6类热点题型讲练)(原卷版)
第05讲一次函数的应用(6类热点题型讲练)1、掌握一次函数与一元一次方程之间的关系；2、掌握单个一次函数图象的应用；3、掌握两个一次函数图象的应用；4、能利用函数图象解决数学问题.知识点01 一元一次方程与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.知识点02 一次函数的实际应用1）数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.3）选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.题型01 已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解22023()0y kx b k =+≠x y 题型02 利用图象法解一元一次方程【典例2】（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线21y x =-与直线()0y kx b k =+≠相交于点()23P ，．根据图像可知，关于x 的方程21x kx b -=+的解是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =【变式1】（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，直线5y x =+和直线y ax b =+相交于点(2025)P ，，则方程5x ax b +=+的解是（ ）A ．25x =B ．20xC ．15x =D ．5x =【变式2】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线4y x =+和直线y ax b =+相交于点P ，根据图像可知，关于x 的方程4x ax b +=+的解是（ ）A ．16x =或20xB ．20xC ．16x =D ．16x =-题型03 一次函数的应用——分配方案问题【典例3】（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策.该省的A 市有120吨物资，B 市有130吨物资.经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资.于是决定由A 、B 两市负责援助甲、乙两乡、已知从A 市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B 市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．(1)设从A 市往甲乡运送x 吨物资，从A 、B 两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y 元，求y 与x 的函数解析式．(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．【变式1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．设小明当天购书标价总额为x (50)x >元，方案一应付1y 元，方案二应付2y 元．(1)当150x =时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出12,y y 与x 的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？【变式2】（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．(1)求k 1和b 的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和2k 的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．题型04一次函数的应用——最大利润问题(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A 种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．题型05一次函数的应用——行程问题【典例5】（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离(y千米)与时间(x小时)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离(y千米)与(x小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：(1)求线段CD对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【变式1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．(1)直接写出a、b的值；(2)求出两架航模距离地面高度y甲、y乙（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事立刻按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图像信息解答下列问题：(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶小时到达A地；(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距60千米？题型06一次函数的应用——几何问题【典例6】（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动→→→，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则点，运动路线是D C B A下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P 从B 点出发，以每秒2cm 的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按B C D E F A →→→→→的路线移动，相应的ABP的面积()2cm S 与点P 的运动时间()t s 的图象如图②所示，且6cm AB =．当230cm S =时，t = ．【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形ABCD 中，8BC =，6CD =，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，随着点E 的运动，DCE △的面积也发生变化．(1)写出DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式；(2)当3x =时，求y 的值．A ．0x =B ．3x =C ．2x =-D ．3x =-1A ．湖水面大气压强为76.0cmHgB ．湖水深23m 处的压强为230cmHg二、填空题5．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点()30A -,和点()0,2B ，则关于x 的一元一次方程0kx b +=的解为x = ．6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线3y x 与直线y kx b =+交于点(),2A m ，则关于x 的方程3kx b x +=+的解为 ；7．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）某菜农想围成一个如图所示的长方形ABCD 菜园，菜园的一边利用足够长的墙，已知长方形菜园ABCD 的另外三边总长度恰好为48米，设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间关系表达式是 ．8．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）为运输一批医用物质，一辆货车先从甲地出发运送物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是360km ，货车行驶时的速度是60/h km ，两车离甲地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象如图，则=a ；轿车比货车早 小时到达乙地．三、解答题9．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）某健身体验中心为答谢新老会员举行春日大回馈活动，特推出两种“春季唤醒计划活动方案．方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费20元．方案2：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．设小宇一年来此健身体验中心健身的次数为x （次），使用方案1的费用为y 1（元），使用方案的费用为y 2（元）．(1)请直接写出y 1，y 2与x 之间的函数表达式；(2)请根据小宇一年内前往该健身房训练的次数确定哪种方案比较合算．10．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）陕西周至，被誉为“猕猴桃之乡”，世界上最大的猕猴桃种植基地．某水果经销商计划从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种新品猕猴桃进行销售．已知李大爷处乙种猕猴桃的进价为8元/千克：李大爷对甲种猕猴桃的价格根据进货量给予优惠，设该经销商购进甲种猕猴桃x 千克，购进甲种猕猴桃所需费用为y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若该经销商计划从李大爷处一次性购进甲，乙两种猕猴桃共200千克，且甲种猕猴桃不少于45千克，但又不超过80千克．如何分配甲，乙两种猕猴桃的购进量，才能使该经销商购进这两种猕猴桃付款总金额w （元）最少？11．（2023春·河南漯河·八年级校考期末）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针对学生推出两种新的借阅优惠方案．甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少；乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元．设借阅时间为x 天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示1y （元），2y （元）12y y ，关于x 的所数图象如图所示．(1)分别直接写出12y y ，与x 之间的函数关系式；(2)请求出图中线段AB 的长并说明它的实际意义；(3)八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由．12．（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以小明3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．如图中线段AB ，OB 分别表示父子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程s （米）与所用时间t （分钟）之间的图象，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）．(1)图中可知小明家离体育馆_____________米，父子俩在出发后_____________分钟相遇．(2)你能求出父亲与小明相遇时，距离体育馆还有多远？(3)小明能否在比赛开始之前赶回体育馆？13．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云VIP ”，每次收费10元；方案二：购买“云VIP ”，(1)k=；购买“云VIP”需元；B款汴绣打几折出售时，A，B两款沐绣的销售总额恰好实现盈亏平衡？。
类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册
第07讲类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)目录【类型一一次函数与三角形的面积问题】 (1)【类型二一次函数与三角形全等问题】 (3)【类型三一次函数与三角形存在问题】 (5)【类型四一次函数中折叠问题】 (9)【类型一一次函数与三角形的面积问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数()0y kx b k=+≠的图象经过点()0,5B．A-，()2,1(1)求这个一次函数的解析式；的面积．(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求AOC【变式训练】4．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数3y x =的图象平移后经过点()1,4．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线24y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若在x 轴上有一点P ，使2OP OA =，求PAB 的面积．6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标xOy 中，直线1l 与23y x =-平行，且经过点()05，，将直线1l 向上平移3个单位，得到直线2l (1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求AOB 的面积．7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线2y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，其中1OB =．(1)求k 的值；(1)求A，B两点的坐标；(2)求AOF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量(3)当AOF的面积12 S S =形，若存在，请求出点P【类型二一次函数与三角形全等问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线AB：y x b=+分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(3-，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且:3:1OB OC=．(1)求点B的坐标及直线BC的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【变式训练】2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线绕点A 顺时针旋转90°得射线全等，试确定点Q 的横坐标．3．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线(1)求直线l2的解析式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【类型三一次函数与三角形存在问题】(1)求直线2l的解析式；△的面积；(2)求ADC△的面积等于3，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．(3)在直线1l上是否存在点P使得PAC【变式训练】(1)求点B和点C的坐标．(2)求OAC的面积．(3)是否存在点M，使OMC的面积是OAC 由．(1)写出点D的坐标，并求出直线△的面积；(2)连接BC，求BCD(3)直线2l上是否存在一点P，使得(1)求直线2l 的函数解析式；(2)求ADC △的面积；(3)在直线2l 是否存在点P ，使得CDP △面积是ADC △面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y kx b =＋与x 轴交于点()60A ，，与y 轴交于点()06B ，，与直线CD 交于点E ．已知点D 的坐标为()02，，点C 在A 的左侧且12AC =．(1)分别求出直线AB 和直线CD 的表达式；(2)在直线CD 上，是否存在一点P ，使得8BEP S = ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得BEQ 是以BE 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四一次函数中折叠问题】例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB ：2y x b =+与直线AC ：3y kx =+相交于点(,4)A m ．与x 轴交于点(4,0)B -，直线AC 与x 轴交于点C ．(1)填空：b =______，m =______，k =______；(2)如图2．点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交x 轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【变式训练】3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线4y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)在直线AB 上是否存在点P ，使OAP △是以OA 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将Rt AOB △折叠，使OB 边落在AB 上，点O 与点D 重合，折痕为BC ，求折痕BC 所在直线的表达式．4．（2023春·八年级课时练习）如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AO 上，将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，若4OA =，2OD =．(1)求直线AB 的解析式．(1)点B的坐标是______；点A的坐标是(2)求直线BC的解析式；(3)在直线BC上是否存在一点P，使得存在，请说明理由．。
一次函数重难点题型专题讲练
一次函数重难点题型专题讲练一次函数重难点题型专题讲练一次函数作为初中数学中的重要内容，是学生学习数学的基础。
在学习一次函数的过程中，有一些重难点题型，需要我们特别重视和练习。
本文将围绕一次函数的重难点题型展开讲练，以帮助学生更好地掌握和应用一次函数的知识。
一、一次函数概念复习1.1 一次函数的概念及性质一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
学生在学习一次函数时，首先要掌握一次函数的基本概念和性质，包括斜率、截距、自变量和因变量等概念及它们之间的关系。
1.2 一次函数的图像和性质一次函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b则决定了直线与y轴的交点。
学生需要通过绘制一次函数的图像来直观地感受斜率和截距对函数图像的影响，从而掌握一次函数图像的性质。
1.3 实际问题与一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，比如描述直线运动、经济增长和人口增长等问题。
学生需要通过实际问题的分析和解决来理解一次函数的应用，掌握将实际问题转化为一次函数模型的方法和技巧。
二、一次函数的重难点题型2.1 斜率和截距的计算在一次函数的学习中，学生常常会遇到需要计算斜率和截距的题型。
这些题型是学生掌握一次函数基本概念和性质的关键，也是后续应用一次函数解决实际问题的基础。
2.2 函数关系的建立与解决一次函数的应用离不开函数关系的建立和解决，这需要学生通过实际问题提取相关信息，建立数学模型，并求解相应的问题。
这类题型锻炼了学生的实际问题建模能力和解决问题的逻辑思维能力。
2.3 一次函数的综合运用综合运用是一次函数学习的高阶题型，需要学生灵活运用所掌握的知识和方法解决复杂问题。
这类题型不仅考察了学生对一次函数知识的掌握程度，也培养了学生的分析和解决实际问题的能力。
三、个人观点和理解在学习和教学一次函数的过程中，我认为对于一次函数的重难点题型，学生应该重点进行训练和练习。
第一讲 一次函数的概念与图象-【寒假预习】八年级数学核心考点+重难点讲练与测试(沪教版)(原卷版)
第01讲 一次函数的概念与图象目录考点一：识别一次函数考点二：一次函数图象考点三：一次函数图象与系数关系考点四：一次函数图象上的点的坐标特征考点五：一次函数图象与几何变换【基础知识】一、一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．二、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．三、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0)b ，．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．四、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）【考点剖析】一．一次函数的定义（共3小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）以下函数中，属于一次函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝c（c为常数）D．y＝kx+b（k、b为常数）2．（2022春•静安区校级期中）根据变量x、y的关系式，属于y是x的一次函数的是（）①y＝k（x﹣1）（k≠0）②y＝1﹣（k≠0）③x﹣y＝2（k≠0）④y＝kx+（k≠0）．A．①B．①②③C．①③D．全部都是．3．（2022春•闵行区校级月考）已知函数y＝（m﹣3）x+3是一次函数，则m＝．二．一次函数的图象（共6小题）4．（2022春•静安区校级期中）如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（）A．B．C．D．5．（2021春•徐汇区期中）如图所示，一次函数y＝mx+m的图象中可能是（）A．B．C．D．6．（2021春•徐汇区校级月考）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象，当y＞﹣2时，x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜0D．x＞07．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞3时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2．8．（2022春•闵行区校级期中）在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y＞﹣2B．当x＜1时，y＞0C．当x＜0时，﹣2＜y＜0D．当x≥1时，y≤09．（2022春•嘉定区期中）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当x时，函数图象在x轴的上方．三．一次函数图象与系数的关系（共7小题）10．（2022春•杨浦区校级期末）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．11．（2022春•闵行区校级期中）如果一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象过第一、二、四象限，那么m的取值范围是．12．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝（k+1）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k 的取值范围是．13．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值范围为．14．（2022春•嘉定区期中）一次函数y＝（4﹣k）x+3，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．（2022春•黄浦区校级期中）已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k的函数值y随x的值增大而增大，那么k 的取值范围是．16．（2022春•杨浦区校级期中）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图象不经过第二象限，则k的取值范围是．四．一次函数图象上点的坐标特征（共8小题）17．（2022春•徐汇区期末）一次函数y＝3（x﹣1）在y轴上的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．318．（2022春•嘉定区校级期中）下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，）19．（2021秋•金山区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣2），则y的值随着x的值增大而（填“增大”、“减小”、或“不变”）．20．（2022春•杨浦区校级期中）一次函数y＝3x+b的图象过坐标点（﹣2，4），则该函数的截距为．21．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝﹣4x﹣2的图象与x轴的交点坐标是．22．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数y＝x﹣1的图象上有点A（2，a）和点P，且PO＝P A，则点P的坐标为．23．（2022春•普陀区校级期中）已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，在直线x＝4上有一点C，连接AC、BC，三角形ABC是等腰三角形，则点C的坐标为．24．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是．五．一次函数图象与几何变换（共8小题）25．（2022春•闵行区校级期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是．26．（2022春•奉贤区校级期末）如果将函数y＝2x﹣2的图象平移，且经过（0，3），那么所得图象的函数解析式是．27．（2022春•静安区期中）将直线y＝﹣2x﹣4向上平移5个单位，所得直线的表达式是．28．（2022春•黄浦区校级期中）将直线y＝3x+2沿y轴向下平移个单位，那么平移后直线就经过点（0，﹣1）．29．（2022春•杨浦区校级期中）将直线y＝﹣3x向上平移1个单位，则平移后的新直线一定不经过第象限．30．（2022春•浦东新区校级期中）将直线y＝﹣x﹣1向上平移4个单位所得的直线表达式为．31．（2022春•静安区校级期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+4的与x轴、y轴分别交于点B和点A，将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且BA＝CB．（1）求点C的坐标；（2）求CD所在直线的函数解析式．32．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•徐汇区校级期中）以下函数中，属于一次函数的是（）A．y＝x2+2B．y＝kx+b（k、b是常数）C．y＝D．y＝2．（2022春•徐汇区期末）一次函数y＝3（x﹣1）在y轴上的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．（2022春•静安区校级期中）如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（）A．B．C．D．4．（2022春•嘉定区校级期中）下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，）5．（2022春•徐汇区校级期中）函数y＝x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2022春•嘉定区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，k＜0，b＞0，那么下列判断中，正确的是（）A．图象不经过第一象限B．图象不经过第二象限C．图象不经过第三象限D．图象不经过第四象限7．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝kx+k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）8．若y＝kx+4﹣x是一次函数，则k的取值范围是．9．（2021秋•金山区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣2），则y的值随着x的值增大而（填“增大”、“减小”、或“不变”）．10．（2022春•青浦区校级期末）一次函数y＝kx+2x+k2，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是．11．（2022春•上海期中）一次函数y＝2（x﹣1）+3的图象在y轴上的截距是．12．（2022春•嘉定区期中）若直线y＝﹣x﹣1的图象过点A（4，m），则m＝．13．（2022春•黄浦区校级期中）若直线y＝mx﹣2经过点（4，2），则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．14．（2022春•奉贤区校级月考）已知经过点（1，﹣2）的直线y＝kx+b是由y＝3x+1向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是．15．（2022春•徐汇区校级期中）已知一次函数y＝（2m+1）x﹣1，且y的值随着x的值增大而减小，则m 的取值范围是．16．（2022春•静安区期中）把函数y＝2x的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的函数图象解析式为．17．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k＝．18．（2022春•徐汇区校级期中）直线y＝kx+2经过点A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，若△ABC的面积为12，则C点坐标为．19．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕A 点逆时针旋转90°，使B点落在M点处，则M的坐标为．20．（2022春•浦东新区校级期中）点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝．21．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b＝．22．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝﹣3x﹣6的图象与x轴的交点坐标是．23．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m 的取值范围．24．（2022春•虹口区期中）点A（1，3）（填“在”或“不在”）直线y＝﹣x+2上．25．（2022春•闵行区校级月考）如果点A（﹣1，a），B（1，b）在直线y＝﹣2x+m上，那么a b （填“＞”、“＜”或“＝”）．26．（2022春•奉贤区校级期末）当x＝2时，不论k取任何实数，函数y＝k（x﹣2）+3的值为3，所以直线y＝k（x﹣2）+3一定经过定点（2，3）；同样，直线y＝（k﹣2）x+4k一定经过的定点为．27．（2015春•闸北区期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+交x轴于点A，交y轴于点B，若点P 从点A出发，沿射线AB做匀速运动，点Q从点B出发，沿射线BO做匀速直线运动，两点同时出发，运动速度也相同，当△BPQ为直角三角形时，则点Q的坐标为．三．解答题（共7小题）28．（2022春•奉贤区校级月考）如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．29．（2021春•嘉定区校级期中）如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．30．（2021春•浦东新区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2021春•嘉定区校级期中）若直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是该直线上的一点，PC⊥x轴，C为垂足．（1）求△AOB的面积．（2）如果四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，求出此时点P的坐标．32．（2021春•徐汇区校级月考）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）向上平移2个单位后与直线y＝x重合，且直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）写出点B的坐标，求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积．33．（2021春•松江区月考）已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣k2+4．（1）k为何值时，y随x的增大而减小？（2）k为何值时，它的图象经过原点？34．（2021春•徐汇区期中）已知把直线y＝kx+b（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位后，得到直线y＝﹣2x+5．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）求直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形的周长．。
一次函数复习讲练结合好资料
一次函数考点1：一次函数的概念.相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数.考点2：一次函数图象与系数相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0<k 直线必经过二、四象限，0>b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0<b 直线与y 轴的交点在负半轴上. 思路点拨：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象的位置由k 、b 确定，同时考虑k 、b 就确定了直线经过的象限1. 直线y=x －1的图像经过象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 一次函数y =2x -3的图象不经过第______象限．4. 一次函数y = -3 x + 2的图象不经过第 象限.5. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ）6. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ）7.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）.A.-2B.-1C.0D.28. 已知一次函数y =－x +b 的图象经过第一、二、四象限，则b 的值可以是( ).A .－2 B.－1 C. 0 D. 29.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ．10. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）A.m ＞0,n ＜2B. m ＞0,n ＞2C. m ＜0,n ＜2D. m ＜0,n ＞211．已知关于x 的一次函数y m x n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为____.12. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是____。
2020年中考数学必考经典题讲练案-一次函数的图象性质问题(解析版)【苏科版】 (2)
2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题06一次函数的图象性质问题【方法指导】一次函数的具体知识点有：1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.2.一次函数的性质k，b符号k＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0 大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.7.一次函数与方程组二元一次方程组1112y k x by k x b=+⎧⎨=+⎩的解⇔两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集【题型剖析】【类型1】一次函数的性质和性质的应用【例1】（2019春•如皋模拟）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值（2）若这个函数的图象不经过第二象限，求m的取值范围．【变式1-1】（2019•玄武区校级模拟）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（）【变式1-2】（2019•常州校级模拟）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（）【变式1-3】（2019•邳州市模拟）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【类型2】：一次函数与方程不等式【例2】（2019春•崇川区校级模拟）已知直线y＝﹣3x+b与直线y＝﹣kx+1在同一坐标系中交于点，则关于x的方程﹣3x+b＝﹣kx+1的解为x＝．【变式2-1】（2019春•京口区校级模拟）已知一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，若kx+b＜mx+n，则x的取值范围为．【变式2-2】（2018秋•垣曲县期末）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（﹣4，﹣2），则关于x，y的二元一次方程组的解是．【类型3】：一次函数图象上点的坐标特征【例3】（2019春•海陵区校级期末）如图，直线y1＝3x+4交x轴、y轴于点A、C，直线y2x+4交x 轴、y轴于点B、C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（）A．B．6 C．D．【变式3-1】（2019•无锡二模）在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0），（8，6），（2，6），若一次函数y＝mx﹣8m+6的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为（）A．B．或C．或D．或1【变式3-2】（2019春•海州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为（）A．9 B．10 C．12 D．13【类型4】：一次函数的几何变换问题【例4】（2019春•如皋市期中）直线y＝3x+2沿y轴向下平移6个单位，则平移后直线解析式为．【变式4-1】（2019•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x﹣3的图象先向右平移2个单位长度，再沿y轴翻折，所得函数对应的表达式为．【变式4-2】（2018秋•邗江区校级期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x 轴对称，则L1与L2的交点坐标为．【变式4—3】（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．【类型5】：一次函数的几何综合性问题【例5】．（2018秋•张家港市期末）如图，一次函数y＝﹣x+7的图象与正比例函数y x的图象交于点A，点P（t，0）是x正半轴上的一个动点．（1）点A的坐标为（，）；（2）如图1，连接P A，若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标：（3）如图2，过点P作x轴的垂线，分别交y x和y＝﹣x+7的图象于点B，C．是否存在正实数，使得BC OA，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2019春•溧阳市期中）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角分平行于x轴、y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，3），则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；（2）若点C（1，2），点D在直线x＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD的函数表达式．【变式5-3】（2019•洪泽区二模）如图，直线y x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，（1）求A、C两点的坐标；（2）求证：△BCD为等边三角形；（3）请直接写出同时经过A、E两点的直线的函数表达式．【达标检测】1．若一次函数(y kx b k =+，b 为常数，且0)k ≠的图象经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则不等式1kx b +>的解为()A ．0x <B ．0x >C ．1x <D ．1x >2．（2019•扬州）若点P 在一次函数4y x =-+的图象上，则点P 一定不在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2018•徐州）若函数y kx b =+的图象如图所示，则关于x 的不等式20kx b +<的解集为( )A ．3x <B ．3x >C ．6x <D ．6x >4．（2018•常州）一个正比例函数的图象经过(2,1)-，则它的表达式为( ) A ．2y x =-B ．2y x =C ．12y x =-D ．12y x =5．（2019•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是(0,3)、(4,0)-，则原点到直线AB 的距离是( ) A ．2B ．2.4C ．2.5D ．36．（2019•孝义市二模）已知点1(A x ，1)y 和点2(B x ，2)y 在一次函数(1)y m x n =++的图象上，并且12x x <，12y y >，则m 的取值范围是( )A ．0m >B ．0m <C ．1m >-D ．1m <-7．（2019•姜堰区二模）已知过点(1,2)的直线(0)y ax b a =+≠不经过第四象限，设2S a b =+，则S 的取值范围为( ) A ．24S <<B ．24S <C ．24S <D ．24S8．（2019•常州一模）已知点1(x ，3)，2(x ，2)是直线21y x =-+上两点，则下列正确的是( ) A ．120x x ->B ．120x x -<C ．12x x =D ．120x x +>二．填空题（共5小题）9．（2019•徐州）函数1y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在x 轴上．若ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 共有 个．10．（2019•无锡）已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则关于x 的不等式30kx b ->的解集为 ．11．（2019•惠山区二模）当13x -时，不等式40mx +>始终成立，则m 的取值范围是 ．12．（2019•天宁区校级二模）在平面直角坐标系中，A 点坐标为(1,0)，C 点坐标为(7,0)，若点P 在直线3y kx =+上运动时，只存在一个点P 使90APC ∠=︒，则k 的值是13．（2019•靖江市校级一模）平面直角坐标系中，P 为直线y x b =-+上一点，过P 作PA x ⊥轴于A ，PB y ⊥轴于B ．当矩形PAOB 的面积为6时，相应的点P 有且只有3个，则b = ． 三．解答题（共7小题）14．（2019•南京）已知一次函数12(y kx k =+为常数，0)k ≠和23y x =-． （1）当2k =-时，若12y y >，求x 的取值范围．（2）当1x <时，12y y >．结合图象，直接写出k 的取值范围．15．（2019•梁溪区一模）如图，已知(3,0)A ，(0B ，)(30)a a -<<，以AB 为一边在AB 上方作正方形ABCD ，点E 与点A 关于y 轴对称，直线EC 交y 轴于点F ，连接DF ． （1）求直线EF 所对应的函数表达式； （2）判断CE 与DF 的数量关系并说明理由．16．（2019•滨湖区一模）如图，已知矩形OABC的顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴上，且4AB=．P 为OC上一点，将BCP∆沿PB折叠，点C落在第三象限内点Q处，BQ与x轴的交点M恰好为OA的中点，且1MQ=．（1）求点A的坐标；（2）求折痕PB所对应的函数表达式．17．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，一次函数y kx b=+的图象经过B、C，A是此图象上一点，AM垂直于x轴，垂足为M，求：（1）一次函数y kx b=+的解析式；（2）梯形ABOM的面积S；（3）CAM∠的正弦函数的值．18．（2019•宝应模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点(2,0)A-的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着O顺时针旋转90︒后，分别与x轴y轴交于点D、C．（1）若4OB=，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若ABD∆的面积是7.5，求点B的运动路径长．19．（2019•长春一模）如图，平面直角坐标系中，直线343y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、C ，直线BC 与直线AC 关于y 轴对称，动点D 从点A 出发，沿AC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，当点D 出发后，过点D 作//DE BC 交折线A O C --于点E ，以DE 为边作等边DEF ∆，设DEF ∆与ACO ∆重叠部分图形的面积为S ，点D 运动的时间为t 秒． （1）写出坐标：点(A )，点(B )，点(C )； （2）当点E 在线段AO 上时，求S 与t 之间的函数关系式； （3）求出以点B 、E 、F 为顶点的三角形是直角三角形时t 的值； （4）直接写出点F 运动的路程长为 ．。
第11讲 一次函数的图象与性质(讲练)(解析版)
2021年中考数学一轮复习讲练测专题11一次函数的图像与性质1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式.3、会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时,图象的变化情况).1．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B【分析】hcm注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．设水面高度为,【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】A【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．3．（2020·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4 【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．【详解】解：根据函数解析式21y x =--，∵k 0<，∴直线斜向下，∵0b <，∴直线经过y 轴负半轴，图象经过二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状． 6．（2020·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键 ．7．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ）A ．m>-12B ．m<3C ．-12<m<3D ．-12<m≤3 【答案】D【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m ＝3. ∴－12＜m≤3. 故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.8．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x（单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据题目中的函数解析式，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令y ＝7.5，求出x 的值，即此时x 的值就是a 的值，本题得以解决．【详解】解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，6910.5b k b =⎧⎨+=⎩， 解得，k 0.5b 6=⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式是y ＝0.5x+6，当y ＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x ＝3，即a 的值为3，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．（2019·浙江杭州市·中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．【详解】符合题意的函数解析式可以是1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等，(本题答案不唯一) 故答案为如1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 10．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1，再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x +3．故答案为：y ＝2x +3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．11．（2020·天津中考真题）将直线2y x =-向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】21y x =-+【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线2y x =-向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：21y x =-+； 故答案为：21y x =-+．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12．（2020·山东临沂市·中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m ＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大， ∵12-＜2， ∴m ＜n ．故答案为：m ＜n ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2020·四川成都市·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0． 解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.14．（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：在一次函数2y x b =-+中，∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】由k ＝2＞0，可得出y 随x 的增大而增大，结合1＜3，即可得出x 1＜x 2．【详解】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大．又∵1＜3，∴x 1＜x 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”．16．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】122y x =+ 【分析】 根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．17．（2020·湖南中考真题）已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3， 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6， 即所求的交点坐标为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2）， ∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．考点一一次函数图像与系数的关系例1．（2020·明光市明湖学校八年级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b 的取值范围确定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b过一、二、四象限，∴则函数值y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交∴k＜0，b＞0，∴一次函数y＝bx+k的图象y随x的增大而增大，与y轴负半轴相交，∴一次函数y＝bx+k的图象经过一三四象限.故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．【变式训练】=+的图象如图所示，则下列结论正确的1．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b是（）A ．0k <B ．1b =-C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A 、C 选项错误； 图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确； 当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2020·江苏镇江市·中考真题）一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A ．第一 B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D 【分析】根据一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考点二 一次函数的性质例2． （2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,3 B ．图象与x 轴交于点()2,0- C ．图象不经过第四象限 D ．当2x >时，4y <【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】A.图象经过点()1,3，正确；B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确C.图象经过第一、二、三象限，故错误；D.当2x >时，y ＞4，故错误； 故选D ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点． 【变式训练】1.（2020·广东广州市·中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．2.（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数2y x b =-+中， ∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．考点三 求一次函数的解析式例3（2020·湖南郴州市·中考真题）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练】1．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+C ．12y x =+D ．2y x =+【答案】B 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩，故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．2．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y ＝－2x 【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离为2， ∴点P 的纵坐标为2，∵点P 在一次函数y ＝－x ＋1上， ∴2＝－x ＋1，解得x ＝－1， ∴点P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为y ＝kx ，把P （－1，2）代入得2＝－k ，解得k ＝－2， ∴正比例函数解析式为y ＝－2x ， 故答案为：y ＝－2x ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．考点四 一次函数式图像的平移变换例4． （2020·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【变式训练】1．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．25y x =-- B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+【答案】C【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．2.（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b 的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．【答案】y=2x＋7【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．。
第03讲 一次函数的图象和性质(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册
第03讲一次函数的图象和性质(8类热点题型讲练)1．理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤；(重点)2．掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题．(难点)3．了解并掌握一次函数的图象与性质；(重点)4．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．(难点)知识点01正比例函数的图象与性质1）一次函数图象是一条直线；2）已知一点可以作图，也可求出解析式；3）交y 轴于点（0，0），交x 轴于点（0，0）；4）过象限、增减性y =kx 过原点（0,0）的一条直线k 值0k >0k <大致图象经过象限经过第一、三象限经过第二、四象限增减性y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的（x 、y ），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低.知识点02一次函数的图象与性质1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可以作图，也可求出解析式；3）交y 轴于点（0，b ），交x 轴于点（bk-，0）；4）过象限、增减性0b >（过一、二象限）0b <（过三、四象限）0b =（过原点）k >（过一、三象限）y 随x 的增大而增大经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k <（过二、四象限）y 随x 的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的（x 、y ），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低.知识点03一次函数的平移与对称“上加下减”——针对y 的平移；“左加右减”——针对x 的平移，是对x 整体的变化.题型01正比例函数的图象和性质题型02画一次函数的图象(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；(2)把该函数图象向上平移3个单位，判断点【变式1】（2023春·陕西西安·【变式2】（2023春.北京朝阳解：函数21y x =+的自变量x (3)-2-1-0题型03一次函数的图象和性质【典例3】（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）下列描述一次函数34y x =-+的图象及性质错误的是（）A ．直线与x 轴交点坐标是()0,4B ．y 随x 的增大而减小C ．直线经过第一、二、四象限D ．当0x <时，4y <【变式1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）对于一次函数2y x =-+，下列说法正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．它的图象过点()11，C ．它的图象过第一、二、三象限D ．它的图象与x 轴的交点坐标为()20-，【变式2】（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）对于函数1y x =-，下列结论不正确的是（）A ．图象经过点()1,2--B ．图象不经过第一象限C ．图象与y 轴交点坐标是()0,1-D ．y 的值随x 值的增大而增大【变式3】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数23y x =-+，下列结论正确的是（）A ．图象不经过第二象限B ．图象与x 轴的交点是()0,3C ．将一次函数23y x =-+的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为26y x =-+D ．点()11,x y 和()22,x y 在一次函数23y x =-+的图象上，若12x x <，则12y y <题型04已知函数经过的象限求参数范围题型05根据一次函数增减性求参数题型06比较一次函数值的大小题型07一次函数图象与坐标轴的交点问题题型08一次函数图象的平移问题【典例8】（2023春·福建泉州长度后，所得函数的解析式为(1)求点A和点B的坐标；(2)若点P在x轴上，且(3)将函数24y x =-+的图像向下平移16．（2023·浙江绍兴·校考一模）已知一次函数该函数图像上，P 到x 轴、y 轴的距离分别为(1)当P 为线段AB 的中点时，求12d d +的值；(2)直接写出12d d +的范围，并求当123d d +=时点P 的坐标；(3)若在线段AB 上存在无数个P 点，使124d ad +=（a 为常数），求a 的值．。
初中数学练习14《一次函数(习题课)》简案
练习14《一次函数（习题课）》简案一、教学目标1、掌握一次函数相关知识，会利用所学知识解决问题。
2、经历自主探究、合作交流的过程，提高计算、分析、解决问题的能力。
3、养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的习惯。
二、教学重难点重点：掌握一次函数相关知识，会利用所学知识解决问题。
难点：会熟练解决问题。
三、教学方法讲授法，提问法，讨论法四、教学过程（一）复习导入PPT 展示学习单：复习一次函数解析式、图象特点。
学生回答：一次函数的解析式是 y=kx+b（k,b是常数，k ≠ 0），图象为一条直线。
当 k>0 时，直线y=kx+b从左向右上升，y随x的增大而增大；当 k<0 时，直线y=kx+b从左向右下降，y随x的增大而减少。
教师进而提出：如何利用所学知识解决问题呢？引导思考，引出本课。
（二）讲练结合1. 基础练习（PPT 出示第1，3题；）提问法提问1（第1，3题）：学生独立完成，请两位同学到黑板进行板书，并说明求解的过程。
答1：第 1 题求的是时间与路程的函数关系，由于是匀速运动，因此所求的函数解析式是正比例函数，比例系数 k 在本题中代表匀速运动的速度，因此k=90km/h，可得函数解析式为 s=90t（t≥0）。
并利用两点法进行画图。
预设2：第3题，挂上1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm，函数值应该是加上原长 12 cm，应该是图象经过点（1，14）。
设一次函数解析式为 y=kx+b（k ≠ 0），利用待定系数法，代入求值，最终得出结果 y=2x+12，（x≥0）2.拔高练习（PPT 出示第2、4题；）提问法+小组讨论法（PPT 出示第2题）：以接龙的形式完成填空。
预设：函数y=-5x的图象在第（二，四）象限内，经过点（0，0）与点（1，-5），y随x的增大而减小。
小组讨论（PPT 出示第4题）：合作完成4 个图象，教师利用大屏幕展示学生画的图象，并利用几何画板进行画图，师生共同点评，总结。
专题17.21 一次函数动点问题(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(华东师大版)
专题17.21 一次函数动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，一次函数1y x =-+的图象与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上一动点(不与点A 、B 重合)，过点C 分别作CD 、CE 垂直于x 轴、y 轴于点D 、E ，当点C 从点A 开始向点B 运动时，则矩形CDOE 的周长( )A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变小后变大 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x +6与坐标轴交于点A ，B ，点C 为OA 上一动点，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点D 作DE ∥x 轴，交y 轴于点E ，在直线DE 上找一点F ，使得∠DCF ＝90°，连接OF ，当OF +CF 的值最小时，求点F 的坐标为（ ）A ．（1，53）B ．（32，32）C ．（2，2）D ．（3，1）二、填空题3．如图，已知点A 是一次函数y =x —4在第四象限的图像的一个动点，且矩形ABOC 的面积为3，则A 点坐标为_____，4．如图，一次函数y，，43x，8的图像与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将△OBP 翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是______，三、解答题5．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标. 6．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；（2）若点P 为该一次函数图象上一动点，且点A 为该函数图象与x 轴的交点，若S △OAP ＝2，求点P 的坐标．7．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标. 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x =交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标． 9．如图，已知一次函数132y x =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，点C 与点A 关于y 轴对称．（1）求直线BC 的函数解析式；（2）若点P 是x 轴上的动点，且14BOP ABC S S =△△，求符合条件的点P 的坐标． 10．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．11．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，4）和点B （3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC ，使∠BAC ＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB +PC 最小时，求点P 的坐标．12．如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 是x 轴上一动点，连接BC ，将△ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时，点C 的坐标为__．13．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A （2，3），AB⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标． 14．如图，一次函数1y x b =+的图像与x 轴y 轴分别交于点A 、点B ，函数1y x b =+，与243y x =-的图像交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-. （1）求b 的值；（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围；（3）在直线243y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当145PQ OC =时，求点P 的坐标.15．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于(30)A ，，(01)B ，两点，在y 轴上有一点(03)C ，，动点P 从A 点以每秒2个单位长度的速度向左移动，（1）求直线AB 的表达式；（2）求COP ∆的面积S 与移动时间t 之间的函数关系式；（3）当t 为何值时，COP ∆，AOB ∆，求出此时P 点的坐标．16．如图，一次函数y ＝﹣43x +4的图象分别与x 轴，y 轴的正半轴交于点E 、F ，一次函数y ＝kx ﹣4的图象与直线EF 交于点A （m ，2），且交于x 轴于点P ，（1）求m 的值及点E 、F 的坐标；（2）求△APE的面积；（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ 与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题1．【答案】A【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C 的坐标为（m ，-m+1），根据矩形的周长公式即可得出C 矩形CDOE =2，此题得解.【详解】设点C 的坐标为(m ，m 1)(0m 1)-+<<，则CE m =，CD m 1=-+，()CDOE C 2CE CD 2∴=+=矩形，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C 的坐标是解题的关键.2．【答案】B【解析】由题意易得点A 、B 的坐标，CF ∥AB ，进而可得OA=OB=6，过点D 作DM ⊥OA 于点M ，延长CF 交y 轴于N ，设点C （m ，0），则OC ＝m ，则点D 坐标可用含m 的代数式表示，进而可得当EN ＝OE 时，则OF ＝FN ，此时OF +CF ＝CN 的值最小，最后求解即可．【详解】过点D 作DM ⊥OA 于点M ，延长CF 交y 轴于N ，如图所示：∵一次函数y ＝﹣x +6与坐标轴交于点A ，B ，∴A （6，0），B （0，6），∴OA＝OB＝6，∴∠BAO＝45°，∵CD⊥AB，∴∠DCA＝45°，∴CD＝AD，∵DM⊥AC于M，∴DM＝12AC＝CM＝AM，设C（m，0），则OC＝m，∴AC＝6﹣m，∴DM＝CM＝3﹣12 m，∴D（3+12m，3﹣12m），延长CF交y轴于N，∵CD⊥AB，∠DCF＝90°，∴CF∥AB，当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN，值最小，∵CN∥AB，OC＝m，∴ON＝m，∴此时m＝2（3﹣12 m），解得m＝3，∵E是ON的中点，DE∥x轴，∴EF＝12OC＝32，∴F（32，32），故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，关键是根据题意得到最短路径，然后再利用一次函数的性质进行求解即可．二、填空题3．【答案】，1，-3）或（3，-1，【解析】设点A 的横坐标为x ，则纵坐标为x -4，则AB=4-x，OB=x，由矩形ABOC 的面积等于3，可得x(4-x)=3，解得：x=1或x=3，，点A 的坐标为（3，-1）或（1，-3）.4．【答案】（83，0），（－24，0） 【解析】分析：根据题意得出OA ，OB 和AB 的长度，然后根据折叠图形的性质分两种情况来进行，即点P 在线段OA 上和点P 在x 轴的负半轴上，然后根据Rt，APC 的勾股定理求出点P 的坐标．详解：根据题意可得：OA=6，OB=8，则AB=10，，、当点P 在线段OA 上时，设点P 的坐标为(x ，0)，则AP=6－x ，BC=OB -8， CP=OP=x ，AC=10－8=2，，根据勾股定理可得：()22226x x +=-，解得：x=83， ，点P 的坐标为(83，0)； ，、当点P 在x 轴的负半轴上时，设OP 的长为x ，则AP=6+x ，BC=8，CP=OP=x ，AC=10+8=18，，根据勾股定理可得：()222186x x +=+，解得：x=24， ，点P 的坐标为(－24，0)；，综上所述，点P 的坐标为(83，0)，(－24，0)．点睛：本题主要考查的是折叠图形的性质以及直角三角形的勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意画出图形得出直角三角形．三、解答题5．【答案】（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b （k≠0），将A ，B 两点代入可求出k ，b ，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a ，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据，POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b （k≠0），一次函数的图象经过点()A 2,0， ()B 0,4，，02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=， ，一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2），ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=， p y 2,∴= p y 2.∴=± 当p y 2=时， ()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时， ()p x 3,P 3,2.=∴-∴ ()()P 1,2,P 3,2.-或6．【答案】（1）y ＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P （t ，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标． 【详解】（1）设一次函数解析式为y ＝kx+b ，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S，OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．7．【答案】（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P的坐标为（a，-2a+4），结合A点的坐标可得OA的长，继而根据，POA的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0），一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，，204k bb+=⎧⎨=⎩，解得24kb=-⎧⎨=⎩，，一次函数的解析式为y=-2x+4（2），14,2POAP SOA y =⋅= ，2,P y = ，2,P y =±当2,P y =时，1,P x = 即P （1，2）， 当2,P y =-时，3,P x = 即P （3，-2）， ，P （1，2）或P （3，-2）.8．【答案】（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）点D （2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m ，m ），则Q 点坐标为（m ，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标. 【详解】（1）把点D （2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+， 解得：12k =-，，一次函数解析式为26y x =-+，把点D （2，2）代入2y k x =中得：222k =， 解得：21k =，，正比例函数的解析式为：y x =； （2）把y=0代入26y x =-+得：3x =， ，A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m ，m ），则Q 点坐标为（m ，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，，23PQ OA =，，23633m -=⨯， 解得：83m =或43m =，，点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键. 9．【答案】（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0) 【解析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式； （2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）当0x =时，132y x =+， ∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-， ∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b=+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ， 14BOP ABC S S ∆∆=， ∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．10．【答案】(2，2)或(- 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得，AOB 与，BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P 、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案． 【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，，90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点， ，4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =， ，4AO BO ==，，，AOB 是等腰直角三角形， ，45ABO ∠=︒， ，COP CBP ∠=∠， ，OP BP =， ，C 是BO 的中点， ，122CO CP BO ===， ，()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，，45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，，135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠， ，PCB OPA ∠=∠． 又，PC OP =，，()PCB OPA AAS △△≌， ，4BP AO ==，，在Rt BDP △中，BD PD ===，，4OD OB BD =-=-，，(P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则，POC=90°，此时P 、A 两点重合，不合题意； 综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(-． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 11．【答案】（1）y ＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P （0，3） 【解析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD，y 轴于点D ，由全等三角形的判定定理可得出，ABO，，CAD ，由全等三角形的性质可知OA=CD ，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标． 【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y ＝kx+b ， 把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，一次函数的解析式为：y ＝﹣43x+4； （2）如图，作CD，y 轴于点D ．，，BAC ＝90°， ，，OAB+，CAD ＝90°， 又，，CAD+，ACD ＝90°， ，，ACD ＝，BAO ． 在，ABO 与，CAD 中，，90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ，，ABO，，CAD （AAS ），，OB ＝AD ＝3，OA ＝CD ＝4，OD ＝OA+AD ＝7． ，C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P ，此时PB+PC 的值最小．，B （3，0），C （4，7） ，B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y ＝mx+n ， 把（﹣3，0）（4，7）代入y ＝mx+n 中，可得：47 30m nm n+=⎧⎨-+=⎩，解得：13 mn=⎧⎨=⎩，，直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，，P（0，3）．【点睛】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．【答案】（﹣6，0）或（32，0）．【解析】【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．【详解】，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，，A（4，0），B（0，3），，OA＝4，OB＝3，根据勾股定理可得AB=5，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C 的坐标为（m ，0），，将，ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时， ，A′O ＝3+5＝8，A′C ＝AC ＝4﹣m ， ，A′C2＝OC2+A′O2， ，（4﹣m ）2＝m2+82， ，m ＝﹣6；如图2，当点A 落在y 轴的负半轴上时，设点C 的坐标为（m ，0），，将，ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时， ，A′O ＝5﹣3＝2，A′C ＝AC ＝4﹣m ， ，A′C2＝OC2+A′O2， ，（4﹣m ）2＝m2+22， ，m ＝32； 综上所述，当点A 落在y 轴上时，点C 的坐标为（﹣6，0）或（32，0）， 故答案为：（﹣6，0）或（32，0）． 【点睛】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 13．【答案】（1）421+-=x y C （8，0）; （2）421+-=x y （80<<x ）; （3）M （-8，0）M （24，0）M （0，12）M （0，-4） 【解析】（1）把点A （2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x ，y ），则边OB 上的高为y ，利用三角形的面积公式即可计算，OBP 的面积S ，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A （2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A （2，3），AB，x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x ，y ），所以，OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）; （3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C （8，0），所以点M 的坐标为M （-8，0）或M （24，0）； 当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MACMNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M （0，12）或M （0，-4）； 综上所求的点M 的坐标为M （-8，0）、M （24，0）、M （0，12）、M （0，-4）． 考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．14．【答案】（1）7b =（2）73x -<<-（3）点P 坐标为(3,4)-或(9,12)- 【解析】【分析】（1）将点C 横坐标代入243y x =-求得点C 的纵坐标为4，再把（-3，4）代入1y x b =+求出b 即可；（2）求出点A 坐标，结合点C 坐标即可判断出当120y y <<时， x 的取值范围； （3）设P （a,-43a ），可求出Q （473a --，43a -），即可得PQ=773a +，再求出OC=5，根据145PQ OC =求出a 的值即可得出结论.【详解】（1）把3x =-代入243y x =-，得4y =.，C （-3，4）把点(3,4)C -代入1y x b =+，得7b =.（2），b=7，y=x+7，当y=0时，x=-7,x=-3时，y=4，，当120y y <<时，73x -<<-.（3）点P 为直线43y x =-上一动点，∴设点P 坐标为4(,)3a a -.//PQ x ∵轴，∴把43y a =-代入7y x =+，得473x a =--.∴点Q 坐标为447,33a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，477733PQ a a a ∴=++=+ 又点C 坐标为()3,4-，5OC ∴==14145PQ OC ∴== 77143a ∴+= 解之，得3a =或9a =-.∴点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-.【点睛】理解点在直线上则它的坐标满足直线的解析式．学会用坐标表示线段的长． 15．【答案】（1）113y x =-+；（2）当302t <≤时，3(32)2S t =- ；当32t >时3(23)2S t =- （3） 当1t =时，P 的坐标为(1,0)；当2t =时，P 的坐标为(1,0)-【解析】（1）将A,B 点代入用待定系数法即可求解；（2）先计算出P 点到达原点的时间，然后以此为分界线，分情况讨论即可；（3）根据全等的性质可得出OP OB =，然后分P 在原点的左右两侧两种情况讨论即可求出P 点坐标．【详解】（1）设直线AB 的表达式为(0)y kx b k =+≠将(30)A ，，(01)B ，两点代入得 301k b b +=⎧⎨=⎩解得 131k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，AB 的表达式为113y x =-+ （2）3322÷=当302t <≤时13(32)22S OP OC t =⋅=- 当32t >时 13(23)22S OP OC t =⋅=- （3）若COP ∆，AOB ∆时OP OB =(0,1)B1OB =∴1OP ∴=当321t -= 时，1t = ，此时P 的坐标为(1,0)；当231t -= 时，2t = ，此时P 的坐标为(1,0)-；【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法，全等三角形的性质和分情况讨论是解题的关键．16．【答案】（1）m ＝32，E （3，0）；F （0，4）；（2）S，APE ＝2；（3）Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）． 【解析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得AP 的解析式，根据函数值为零，可得P 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：，当点A 与点B 为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q 点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；，当点A 与点Q 为对应顶点时，可得Q 点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．【详解】解：（1）一次函数y ＝﹣43x+4的图象经过点A （m ，2）， 得﹣43m+4＝2， 解得m ＝32， ，一次函数y ＝﹣43x+4的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于点E ，F ．，当y ＝0时，﹣43x+4＝0，解得x ＝3即E （3，0）； 当x ＝0时，y ＝4，即F （0，4）；（2）把点A （32，2）一次函数y ＝kx ﹣4，得2＝32k ﹣4，解得k ＝4， y ＝4x ﹣4，当y ＝0时，x ＝1，即P （1，0）．PE ＝3﹣1＝2，S，APE ＝12×2×2＝2； （3）存在Q 点，B 点是x 轴上的动点，点Q 是直线y ＝﹣43x+4上的点，设Q （m ，n ）．由两点间的距离，得AE 52 ，AP ＝2，PE ＝2． ，当点A 与点B 为对应顶点时，，，APE，，BQE ，，S，BQE ＝S，APE ＝2， ，12BE×|n|＝2． ，BE ＝AE ＝52， ，|n|＝85，n ＝±85． 当n ＝85时，﹣43x+4＝85，解得m ＝95，即Q1（95，85）； 当n ＝﹣85时，﹣43x+4＝﹣85，解得m ＝215 ，即Q2（215，﹣85）； ，当点A 与点Q 为对应顶点时，，，APE，，QBE ，则n ＝﹣2，把n ＝﹣2代入y ＝﹣43x+4得m ＝92， ，Q3（92，﹣2）， 综上所述：Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）．故答案为：（1）m＝32，E（3，0）；F（0，4）；（2）S，APE＝2；（3）Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）．【点睛】本题考查一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．。
专题05一次函数的图象和性质(讲)-2019年中考数学二轮复习(原卷版)
备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题5 一次函数的图象和性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）概念1、一次函数：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数.正比例函数：特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）.这时，y 叫做x 的正比例函数.（二）函数的图象1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线（三）函数图象的主要特征一次函数b kx y +=的图象是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点（0，0）的直线；|k|越大，直线越陡，|k|越小直线越缓.（四）函数的性质1.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.2.一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大（2）当k ＜0时，y 随x 的增大而减小（五）函数解析式的确定待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.二讲题型——题型解析（一）对一次函数图象与系数的关系的考查.例1、如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4 （二）对一次函数图象与几何变换的考查.例2、如图示直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为 ．（三）对两条直线相交或平行的考查例3、如图，已知直线l 1：y =﹣2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （﹣2，0），则k 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜2B ．﹣2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜2（四） 对点的坐标规律的考查例4、如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线33y x=-上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线33y x=-上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为．例5如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线32y x=于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线32y x=于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．（五）对函数图象上线段、距离最短的考查例6如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（32-，0）D ．（52-，0） （六）对线段、面积计算的考查例7、如图，过点A （2，0）作直线l ：33y x =的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ）A ．20153()2B ．20163()2C ．20173()2D ．20183()2 （七）一次函数与几何的综合问题例8如图，已知一次函数443y x =-+的图象是直线l ，设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ． （1）求线段AB 的长度；（2）设点M 在射线AB 上，将点M 绕点A 按逆时针方向旋转90°到点N ，以点N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N ．①当⊙N 与x 轴相切时，求点M 的坐标；②在①的条件下，设直线AN 与x 轴交于点C ，与⊙N 的另一个交点为D ，连接MD 交x 轴于点E ，直线m 过点N 分别与y 轴、直线l 交于点P 、Q ，当△APQ 与△CDE 相似时，求点P 的坐标．三讲方法——方法点睛（一）解决有关函数的问题主要要结合图象进行（1）正比例函数图象上点的纵坐标y与横坐标x之比，是固定不变的，等于常量k.图象在横轴上方的部分都有y>0；在横轴下方的部分都有y<0；与横轴的交点都有y=0.（2）直线y=kx+b（k≠0)与直线y=kx平行，是由直线y=kx平移不|b|个单位得到的，平移的方向，当b>0时，向上；当b<0时，向下.（3）对于一次函数的一次项系数k，当k>0时，y随x的增大而增大，从左向右看，直线呈上升趋势，当k<0时，y随x的增大而减小，从左向右看，直线呈下降趋势．（二）运用待定系数法时，常用的方法是：按所求的函数类型，设也解析式；把题目中提供的坐标代入所设解析式中；解这个方程或者方程组；解这个方程或方程组，得到待定系数的值；将求出的结果代入所设的解析式中，得到函数解析式.通常，有几个待定系数，就要列几个方程，也就需要几个点的坐标.（三）解决两个函数图象在同一坐标系中表示的时候，要注意相同字母的取值是一样的，解选择题时，通常用排除法.四练实题——随堂小练1.已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2.当12≤X≤2时，函数y=2x+b的图象上到少有一个点在函数1yx=的图象下方，则b的取值范围为（）A．b≥22B．b＜92C．b＜3D．22＜b＜923.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是A. B.C. D.4.规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线AB翻折，得，则点C的坐标为________．6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．7.如图，在平面直角坐标系中，直线l：33y x=与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结P A，PC，若∠CP A=∠ABO，则m的值是．9．如图，一次函数364y x=+的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．五练原创——预测提升1．已知函数y=ax+b 经过（2，4），（1，﹣1），则a ﹣b=（ ）A ．1B ．﹣5C ．5D ．112．如图，函数y=x 和y=ax+3的图象相交于点A （m ，4），则不等式x≥ax+3的解集为（ ）A ．x≥4B ．x≤4C ．x≤2D ．x≥23． 已知直线l 1：y =﹣3x +b 与直线l 2：y =﹣kx +1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组31x y b kx y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．12x y =⎧⎨=-⎩ B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．12x y =-⎧⎨=⎩ 4．如图，已知直线l ：y =2x ，分别过x 轴上的点A 1（1，0）、A 2（2，0）、…、A n （n ，0），作垂直于x 轴的直线交l 于点B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1，四边形A 1A 2B 2B 1、…、四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n =（ ）A ．n 2B ．2n +1C ．2nD ．2n ﹣15. 如图所示，已知点C （1，0），直线y =﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 ．6. 如图，点A 的坐标为（﹣4，0），直线3y x n =+与坐标轴交于点B 、C ，连接AC ，如果∠ACD =90°，则n 的值为 ．7. 直线y =kx +b 与抛物线214y x =交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，当 OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，直线()y kx 4k 0=+≠与y 轴交于点A.（1）如图，直线y 2x 1=-+与直线()y kx 4k 0=+≠交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 横坐标为1-.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y 2x 1=-+与直线y kx 4=+与y 轴所围成的△ABC 的面积等于 ；（2）直线()y kx 4k 0=+≠与x 轴交于点E （0x ，0），若02<x <1--，求k 的取值范围．9. 已知点P （0x ，0y ）和直线y =k x +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k -++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离．解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7．所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d =0021kx y b k -++=23(1)271k ⨯--++=210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离； （2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由； （3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．。
一元一次不等式及与一次函数(9类热点题型讲练)(原卷版) 八年级数学下册
第02讲一元一次不等式及与一次函数(9类热点题型讲练)1.经历一元一次不等式概念的形成过程.2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.3.初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；初步感知实际问题对不等式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验.4.应用一元一次不等式解决实际问题.知识点01一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．知识点02解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．知识点03一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．知识点04由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．知识点05一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．知识点06利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合.(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合.题型01一元一次不等式的识别【变式训练】题型02利用一元一次不等式的定义题型03求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集【变式训练】题型04求一元一次不等式的整数解【变式训练】题型05解|x|≥a型的不等式【变式训练】解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．题型06列一元一次不等式题型07用一元一次不等式的解决实际问题【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）47中计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．(1)求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？(2)若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，且该学校购买排球和篮球的总费用不超过6000元，求至少需要购买多少个排球？【变式训练】1．（2023下·七年级课时练习）甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和()60x x 把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某中学计划为生物兴趣小组购买大、小两种显微镜，若购买1个大显微镜和3个小显微镜需用1360元；若购买2个大显微镜和1个小显微镜需用1320元．(1)求每个大显微镜和每个小显微镜各多少元；(2)学校决定购买以上两种显微镜共30个，总费用不超过9600元，那么该中学最少可以购买多少个小显微镜？题型08由直线与坐标轴的交点求不等式的解集【例题】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象（如图），当0x >时，y 的取值范围是（）A ．2y >-B ．0y <C ．20y -<<D ．2y <-【变式训练】1．（2023下·吉林长春·八年级期中）在平面直角坐标系中，若一次函数()0y kx b k =+≠的图像如图所示，则不等式4kx b +<的解集为（）A ．0x <2．（2023下·上海杨浦x 的取值范围是题型09根据两条直线的交点求不等式的解集【例题】（2023下·湖北十堰则关于x 的不等式0mx <【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）则不等式23x kx ≥+的解集为2．（2023上·浙江宁波式2mx kx b +<+的解集为3．（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于x 的不等式1mx n +<的解集；(2)当12y y ≤时，求x 的取值范围；(3)当210y y <<时，求x 的取值范围．一、单选题1．（2023上·浙江·八年级校联考期末）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（）A ．26x ≥B ．30x -<C ．30x -<D ．30x +>2．（2023下·全国·七年级专题练习）下列式子：①30>；②450x +>；③3x <；④22x x +<；⑤4x =-；⑥221x x +>+，其中一元一次不等式有（）个．A ．3B ．4C ．5D ．63．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）不等式213x -<-的解集在数轴上表示正确的是（）．．．．2023下·四川眉山·七年级校考期中）如果关于x的不等式()20232023a x a+>+的解集为1x<，那么A．方程x a bx-+=B．不等式x a-+<C．不等式组bx-D．方程组y x y bx+⎧⎨-10．（2023下·重庆江津·七年级统考期末）已知11．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）12．（2023上·重庆江津式11145x x+-<-的正偶数解，则该三角形的周长为三、解答题13．（2023下·陕西榆林16．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）画出函数26y x =+的图象，结合图象：（1）求方程260x +=的解；（2）求不等式260x +<的解集；（3）若23y -≤≤，直接写出x 的取值范围．17．（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）已知函数()322y m x m =--+，(1)当m 为何值时，该函数图象经过原点；(2)若该函数图象与y 轴交点在x 轴上方，求m 的取值范围；(3)若该函数图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围．18．（2023下·辽宁营口·七年级统考期末）某学校准备购买若干台A 型电脑和B 型打印机．如果购买一台A 型电脑，2台B 型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A 型电脑，2台B 型打印机，一共需要花费9400元．(1)求每台A 型电脑和每台B 型打印机的价格分别是多少元？(2)如果学校购买A 型电脑和B 型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B 型打印机的台数要比购买A 型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B 型打印机？参考阅读材料，解答下列问题：x-=的解为____________ (1)32。
一次函数复习
一次函数复习教学目标：（1）掌握一次函数的概念，会根据实际问题列一次函数关系式并求定义域。
（2）掌握一次函数图像的画法及图像的性质。
（3）灵活运用一次函数的图像和性质解决具体问题。
（4）培养学生分析问题及表达能力。
重点及难点：重点：一次函数的图像、性质的灵活运用。
难点：结合实际问题，将实际问题转化为数学问题加以解决。
教学方法：讲练结合，以练为主。
教学过程：一、知识要点：1、一次函数的概念：函数叫一次函数。
其中时，叫正比例函数。
定义域：①一切实数；②若考虑实际意义。
其中b叫截距。
2、一次函数的图像是（0，b）且平行于的一条直线。
（通常取与（0，b）两点，注：实际问题中须根据定义域来画）3、一次函数的图像性质（1）增减性－－由k决定。
（2）经过的象限——由k、b决定。
（如何判断？）4、两直线的位置关系：。
若。
5、求一次函数解析式：待定系数（由两个条件）6、直线的平移：上加下减，左加右减二、例题分析（见讲义）例1～5：通过此例复习了一次函数的图像及性质直线的平移等。
例6：利用待定系数法求一次解析式，同时联系了方程思想。
例7：待定系数法求解析式的进一步应用。
例8：实际问题中一次函数，注意定义域及图像的画法。
例9：实际问题中函数图像的读图理解能力的培养。
三、小结：1、一次函数的概念、图像、性质及灵活运用。
2、用待定系数法求函数解析式的方法运用。
3、实际问题中的列函数关系式及读图理解能力。
四、作业：（课后练习）一次函数复习讲义例１：有下列函数：①y=6x-5 , ②y=2x , ③y=x+4 ④y=-4x+3 。
其中过原点的直线是_____；函数y随x的增大而增大的是___________；图象在第一、二、三象限的是_____,图象不经过第二象限的是__________。
例2：已知一次函数(1)若它的图象经过原点，则k__________。
(2)若它的图象经过点(0, -2) ，则k__________。
(3)若它的图象平行直线 y= -x ，则k__________。
第19章 重点突破训练：一次函数类型题举例-2021年初中数学八年级下册同步讲练(学生版)
第19章重点突破训练：一次函数类型题举例典例体系(本专题79题60页)考点1：求自变量取值范围年级期末)函数y =的自变量x 的取值范围是______．方法或规律点拨本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．巩固练习1．(2021·山东威海市·九年级期末)函数y x 的取值范围是()A ．2x ≠B ．2x ≥C ．2x >D ．2x >且0x ≠2．(2021·山东潍坊市·九年级期末)下列函数中，自变量x 的取值范围是2021x ≥的函数是()A ．12021y x=-B ．y =C ．y =D ．12021y x =-3．(2020·安徽阜阳市·八年级月考)函数y =x 的取值范围在数轴上表示正确的是()A ．B ．C ．D ．4．(2020·四川成都市·石室锦城外国语学校八年级期中)函数12x y x =-中，自变量x 的取值范围是()A ．1≥xB ．1x ≠C ．1x >且2x ≠D ．1≥x 且2x ≠6．(2020·四川成都市·北师大锦江区海威教育培训中心八年级期中)函数11y x =++中自变量x 的取值范围是()A ．2x ≥B ．2x ≥且1x ≠-C ．2x >且1x ≠-D ．1x ≠-7．(2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末)函数332x y x -=-中自变量x 的取值范围是_________．8．(2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末)在函数y =中，自变量x 的取值范围是__________．考点2：从图象中获取信息典例：(2020·四川成都市·天府四中八年级期中)甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习．图中l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有_____________(填所有正确的序号)．方法或规律点拨本题考查了函数的图象，函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．巩固练习1．(2018·全国专题练习)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是()A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．两车到第3秒时行驶的路程相等D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度2．(2020·石家庄精英中学九年级月考)小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y(米)与时间t(分钟)之间关系的大致图象是()A．B．C．D．3．(2020·德州市第十中学八年级月考)如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为()A．1.1千米B．2千米C．15千米D．37千米4．(2014·河北九年级其他模拟)小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，则s与t的函数图象大致是()A．B．C．D．5．星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y(千米)与时间x(分钟)的关系图象．根据图象信息，下列说法正确的是()A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10分钟C．小王去时花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走下坡路，回家时走上坡路6．(2017·北京昌平区·临川学校七年级期末)如图，向高为H的圆柱形空水杯中注水，表示注水量ｙ与水深ｘ的关系的图象是下面哪一个？()A．B．C．D．7．(2017·北京丰台区·)梅梅以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为()A．5元B．15元C．12.5元D．10元8．(2019·全国八年级课时练习)小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是________(只需填序号)9．(2020·四川达州育才外国语学校七年级期中)某农场租用收割机收割小麦,甲收割机单独收割2天后,又调来乙收割机参与收割,直至完成800亩的收割任务.收割亩数与天数之间的关系如图所示,那么乙参与收割________天.10．(2019·全国七年级单元测试)某市出租车收费与行驶路程关系如图所示．如果小明姥姥乘出租车去小明家花去了22元，那么小明始姥乘车路程为__________千米．11．(2014·河北九年级其他模拟)火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，则隧道长度为________米．考点3：动点问题的函数图象典例：(2021·安徽滁州市·八年级期末)如图①，在长方形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿着N P Q M →→→方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为,x MNR ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是()A ．5MN =B ．长方形MNPQ 的周长是18C ．当6x =时，10y =D ．当8y =时，10x =方法或规律点拨本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R 的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．巩固练习1．(2021·江苏徐州市·八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是()A ．B ．C ．D ．2．(2021·江苏苏州市·八年级期末)在数轴上，点A 表示－2，点B 表示4.,P Q 为数轴上两点，点Р从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q 到达原点О后，立即以原来的速度返回，当点Q 回到点B 时，点Р与点Q 同时停止运动．设点Р运动的时间为x 秒，点Р与点Q 之间的距离为y 个单位长度，则下列图像中表示y 与x 的函数关系的是()A ．B ．C ．D ．3．(2015·山西九年级专题练习)如图1，在Rt ABC 中，90ACB D ∠=︒,是斜边AB 的中点，动点E 从点A 出发，沿A C B →→运动，设BED Sy =，点E 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2所示，则CD 的长为()A ．1BC ．2D ．44．(2020·河北保定市·八年级期末)如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，2AB =，4BC =，一动点P 从点B 出发，沿着B A D C ---的方向在矩形的边上运动，运动到点C 停止．点M 为图1中的某个定点，设点P 运动的路程为x ，BPM ∆的面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点M 的位置可能是图1中的()A ．点CB ．点EC ．点FD ．点G5．(2020·成都市新都区新川外国语学校八年级月考)如图①，在长方形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N P Q M →→→方向运动至点M 处停止，设点R 运动的路程为x ，MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么当9x =时，点R 应运动到()A ．点N 处B ．点P 处C ．点Q 处D ．点M 处6．(2019·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考)速度分别为100km/h 和km/h(0100)a a <<的两车分别从相距s 千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行，行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止，在此过程中，两车之间的距离(km)y 与行驶时间(h)t 之间的函数关系如图所示．下列说法：①60a =；②2b =；③52c b =+；④若50s =，则54b =．其中说法正确的有()A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④7．(2020·江苏宿迁市·泗阳致远中学八年级月考)已知动点P 以每秒2cm 的速度沿如图1所示的边框(相邻两边互相垂直)按从B→C D→E→F→A 的路径移动，相应的△ABP 的面积S(cm 2)与点P 的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm ，(1)动点P 在线段______________上运动的过程中△ABP 的面积S 保持不变；(2)BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______；(3)求出图2中的a 与b 的值；(4)在上述运动过程中，求出△ABP 的最大面积．考点4：一次函数图象平移问题典例：(2019·河北唐山市·八年级期中)在探究一次函数y kx b =+的图像性质时我们有如下发现：①系数k 决定了函数图像的坡度，k 越大则图像坡度越大(越靠近y 轴)，k 越小则图像坡度越小(越靠近x 轴)；②常数项b 决定了图像与y 轴的交点，即函数图像与y 轴交点坐标始终为(0)b ，．基于以上发现，我们得出结论：如果两个一次函数的k 值相同，那么两个一次函数的图像平行.反之，如果两直线平行，则两条直线所对应的函数表达式的k 值一定相等：把函数图像沿y 轴向上(或向下)平移()0a a >个单位，系数k 保持不变，常数b 变为+b a (或b a -).如：函数21y x =+和23y x =-的图像互相平行：函数=3y x -的图像向上平移2个单位后所得函数表达式为32y x =-+．据此回答下列问题：(1)把函数132y x =-的图像向上平移4个单位后所得函数的表达式为____；(2)把函数223y x =-+的图像向(上或下)平移个单位可得到函数243y x =--的图像；(3)若直线y kx b =+经过点31,2⎛⎫-⎪⎝⎭且与直线21y x =-+平行，求出直线y kx b =+的表达式．方法或规律点拨本题考查了一次函数的平移，为阅读理解型题目，认真阅读文本内容，理解函数平移规律是解题关键．巩固练习1．(2021·江苏金湖县·八年级期末)将直线y ＝3x +1沿y 轴向下平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数关系式()A ．y ＝3x +4B ．y ＝3x ﹣2C ．y ＝3x +4D ．y ＝3x +22．(2021·江苏徐州市·八年级期末)一次函数y =2x +1的图像，可由函数y =2x 的图像()A ．向左平移1个单位长度而得到B ．向右平移1个单位长度而得到C ．向上平移1个单位长度而得到D ．向下平移1个单位长度而得到3．(2021·西安市第二十三中学九年级开学考试)将直线26y x =-向右平移5个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为()A ．215y x =+B ．215y x =-C ．26y x =+D ．26y x =-4．(2021·山东济南市·八年级期末)如图1，将正方形ABCD 置于平面直角坐标系中，其中AD 边在x 轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l ：y =x －3沿x 轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD 的边所截得的线段长为m ，平移的时间为t (秒)，m 与t 的函数图象如图2所示，则图2中b 的值为()A ．B ．C ．D ．55．(2020·福建福州市·九年级开学考试)如图，把Rt ABC ∆放在平面直角坐标系内，其中90CAB ∠=︒，5BC =，点A 、B 的坐标分别为()1,0-，()2,0，将ABC ∆沿x 轴向右平移，当点C 落在直线24y x =-上时，线段AC 扫过的面积为()A ．12B ．20C ．18D ．26AB 经过点(2,0)，则直线AB 的函数表达式是____________．7．(2020·成都市盐道街中学外语学校八年级月考)如图，在平面直角坐标系中，直线11 :3l y x=与直线2l交点A的横坐标为3，将直线1l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线3l，直线3l与y轴交于点B，与直线2l 交于点C，点C的纵坐标为1-，直线2l与y轴交于点D．(1)求直线2l的解析式；(2)连接AB，求ABC的面积．8．(2020·标里中心中学八年级期中)已知：一次函数y=kx+b与y=3x在同平面直角坐标系内平行，当x=1时，y=0．(1)求y与x之间的函数解析式：(2)若点P(a，9)、Q(1，b)均在该函数图象上，则a=，b=，a b=；(3)在平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．9．(2019·广西百色市·八年级期中)如图，点N(0，6)，点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．(1)直接写出点M的坐标为；(2)求直线MN的函数解析式；(3)若点A 的横坐标为﹣1，将直线MN 平移过点C ，求平移后的直线解析式．10．(2020·海口市第十四中学八年级月考)在平面直角坐标系中，一次函数(,y kx b k =+b 为常数，且0)k ≠的图象是由直线8y x =-+平移得到的，且经过点()2,3A ，交y 轴于点B ．(1)求该一次函数的解析式．(2)若点P 为该一次函数图象上的一点，且POB 的面积为10，求点P 的坐标．考点5：一次函数方案问题典例：(2021·山西运城市·八年级期末)疫情期间，某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需460元；购买2个红外线测温仪和3包口罩共需880元．(1)求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元？(2)学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包(超过30包)．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．①设购买口罩x 包，选择活动一的总费用为1y 元，选择活动二的总费用为2y 元，请分别求出12,y y 与x 的函数关系式；②学校计划购买80包口罩，选择活动一和活动二哪个更省钱？请说明理由方法或规律点拨本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，明确题意，利用一次函数的性质解答是解答本题的关键．巩固练习1．(2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末)快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y 万元，购买A 、B 两种型号的机器人共10台，其中购进A 型机器人x 台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息：型号分拣速度单价A100件/分钟6万元/台B 80件/分钟4万元/台(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)若要使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和为920件，该公司需要投入资金多少万元？2．(2021·河南平顶山市·八年级期末)为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，是两家果园的采摘方案不同．甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元，其函数图象如图所示．(1)请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；(2)请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义；(3)请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．3．(2021·广东茂名市·八年级期末)某社区的游泳馆按照顾客游泳的次数收取费用，每次的全票价为40元．在盛夏即将来临时，为吸引更多的顾客再次光顾，推出了以下两种收费方式．方式一：先交250元会员费，每次游泳按照全票价的7.5折收取费用；方式二：第一次收全票价，以后每次按照全票价的9.5折收取费用．(1)按照方式一的总费用为1y，按照方式二的总费用为2y，请直接写出1y，2y与游泳次数x的函数关系式；(2)去该游泳馆的次数等于多少次时，两种方式收取总费用一样？4．(2020·浙江杭州市·七年级期中)要从甲、乙两仓库向A、B两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需要70吨水泥，B工地需要110吨水泥．两仓库到A、B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表：路程(千米)运费(元/吨·千米)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地2015 1.2 1.2B地252010.8(1)设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥__________吨；乙仓库运往A地水泥________吨，乙仓库运往B地水泥_______吨．(2)试用x的代数式表示总运费．(3)总运费能达到3695元吗？若能，求出此时甲仓库应运往A地多少吨水泥；若不能，说明理由．5．(2021·云南文山壮族苗族自治州·七年级期末)已知A城有物资200吨，B城有物资300吨，现在要把这些物资全部运往C、D两个仓库，C仓库能装240吨物资，D仓库能装260吨物资．(1)如果A城运往C仓库100吨物资，那么B城运往D仓库多少吨物资？(2)设A城运往C仓库x吨物资，如果从A城运物资往C、D两个仓库的运费分别为20元/吨和25元/吨；从B城运物资往C、D两个仓库的运费分别为15元/吨和24元/吨，求A、B两城运送物资的总费用；(3)若A、B两城运送物资的总费用为10200元，求从A、B两城分别运往C、D两仓库各多少吨物资？6．(2021·福建三明市·七年级期末)已知某大酒店有三人间和双人间两种客房，凡团体入住，三人间每人每天100元、双人间每人每天150元．现有一个50人的旅游团到该酒店住宿．(1)如果每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求入住的三人间、双人间客房各多少间？(2)设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；(3)一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．考点6：一次函数最大利润问题典例：(2020·浙江绍兴市·八年级月考)“一带一路”国家某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案选择：方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费1y与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．方案二：租赁机器自己加工，所需费用2y(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元？(2)方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？(3)请分别求出1y、2y与x的函数关系式(4)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由方法或规律点拨本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．巩固练习1．(2021·江苏苏州市·八年级期末)某技工培训中心有钳工20名、车工30名．现将这50名技工派往,A B两地工作，设派往A地x名钳工，余下的技工全部派往B地，两地技工的月工资情况如下表：钳工/(元/月)车工/(元/月)A地36003200B地32002800(1)试写出这50名技工的月工资总额y(元)与x(名)之间的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)根据预算，这50名技工的月工资总额不得超过155000元．当派往A地多少名钳工时，这些技工的月工资总额最大？月工资总额最大为多少元？2．(2021·全国九年级)某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的1 2，但又不少于英雄牌钢笔的数量的14，如果他们买了宝克牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元．(1)请写出y(元)关于x(支)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？3．(2021·西安博爱国际学校八年级期末)纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程中平均每生产一件此种产品，就会有0.5立方米的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理1立方米污水的费用为2元，另外每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产此产品x件(0x 且x是整数)，每月获得纯利润y元．(纯利润=总收人-总支出)(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产此产品的件数．4．(2021·西安市第八十六中学八年级期末)某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元．(1)若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，售完后获得的利润为W元，试写出利润W(元)与x(件)之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．(3)在(2)的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润．5．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试)某学校准备更换一批硬件设备，包括电脑主机，显示器和鼠标．其中学校通过招标拟采购两种类型的鼠标，分别为无线鼠标和有线鼠标．根据计划的采购清单，采购15个无线鼠标和25个有线鼠标共花费1350元，采购25个无线鼠标比采购10个有线鼠标多花费855元．(1)求采购的无线鼠标和有线鼠标单价各为多少元？(2)学校本次计划拟采购两种鼠标一共420个，若采购无线鼠标的数量为a个，且采购的无线鼠标数量不少于有线鼠标的数量，用W(单位：元)表示本次计划采购的总费用．请求出W的最小值，6．(2021·山东济南市·八年级期末)某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价(单位：元/箱)如下表所示类别进价售价甲2436乙3248(1)若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元．则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？(2)若商场再次购进甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购进甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少？7．(2021·广西百色市·八年级期末)新冠肺炎肆虐全球，但病毒无情人有情，最美逆行者不顾个人安危奔赴疫情前线．某公司前往慰问医护人员，欲购进甲，乙两种呼吸机捐赠给医院．若购进甲、乙两种呼吸机共90台，甲种呼吸机每台单价4000元，乙种呼吸机每台单价比甲种少1000元．(1)求购买甲，乙两种呼吸机的总费用y元与甲种呼吸机台数x台之间的函数关系式．(2)若该公司购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，则如何购买两种机器能使花费最少？最少费用为多少元？8．(2021·安徽安庆市·八年级期末)2020年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，感染人数不断攀升，口罩瞬间成为需求最为迫切的防疫物资．为了缓解供需矛盾，在中央的号召下，许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．(1)试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？(2)在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？9．(2021·陕西汉中市·八年级期末)某商场出售甲、乙两种商品，甲商品每件进价50元，售价80元．乙商品每件进价70元，售价90元．(1)若商场用31000元购进这两种商品，销售完共获利12000元．求商场购进这两种商品各多少件？(2)若商场要购进这两种商品共400件，设购进甲种商品a件，销售完这两种商品的总利润为w元，求w与a的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)，并指出，购进甲种商品的件数a逐渐增加时，利润w增加还是减少？10．(2021·西安市第二十三中学九年级开学考试)某店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多10元，王老师从该店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费245元．(1)该店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？(2)根据消费者需求，该店决定用不超过2195元购进甲、乙两种羽毛球共50筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35．已知甲种羽毛球每筒的进价为45元，乙种羽毛球每筒的进价为37元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出该店所获利润W(元)与甲种羽毛球进货量m(筒)间的函数关系式，并说考点7：一次函数行程问题典例：(2021·四川成都市·八年级期末)甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．(1)A，B两城相距千米，乙车比甲车早到小时；(2)甲车出发多长时间与乙车相遇？(3)若两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长？方法或规律点拨本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．巩固练习1．(2021·江苏泰州市·八年级期末)小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发x(min)后，到达距离甲地y(m)的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．(1)甲、乙两地的距离为，a＝；(2)求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；(3)在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不变，到甲地停止．小明从甲地出发多长时间，与小红相距200米？。
难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)(解析版--初中数学北师大版8年级上册
第08讲难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)目录【类型一一次函数图象共存综合问题】..................................................................................................................1【类型二一次函数含参数中的图象和性质】..........................................................................................................4【类型三一次函数中平移问题】..............................................................................................................................9【类型四一次函数中的规律探究问题】................................................................................................................14【类型五一次函数——分段函数】........................................................................................................................18【类型六绝对值的一次函数】................................................................................................................................21【类型七新定义型一次函数】.. (27)【类型一一次函数图象共存综合问题】例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，且0mn ≠）的图象的是（）A ．①和③B ．②和③C ．①和④D ．②和④【答案】D【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解．【详解】解：①、由正比例函数图象得：0mn <，由一次函数图象得：0m >，且0n >，则0mn >，则①错误，故不符合题意；②、由正比例函数图象得：0mn <，由一次函数图象得：0m >，且0n <，则0mn <，则②正确，故符合题意；③、由正比例函数图象得：0mn >，由一次函数图象得：0m >，且0n <，则0mn <，则③错误，故不符④、由正比例函数图象得：0mn >，由一次函数图象得：0m <，且0n <，则0mn >，则④正确，故符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握其图象是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线1y ax b =+与2y bx a =+在同一直角坐标系中的图像位置可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据选项，结合一次函数图像与表达式系数的关系逐项判断即可得到答案．【详解】解：A 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b ><，则断定直线2y bx a =+图像正确，该选项符合题意；B 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b >>，则断定直线2y bx a =+图像错误，该选项不符合题意；C 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b ><，则断定直线2y bx a =+图像错误，该选项不符合题意；D 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b >>，则断定直线2y bx a =+图像错误，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查一次函数图像与表达式系数的关系，掌握此类题型的解题方法是解决问题的关键．2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m ，n 为常数，且0mn ≠）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数y ax b =-和y bx a =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a 、b 的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.【详解】解：A 、若函数y ax b =-图象经过第一、三、四象限，则0a >，0b >，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、三象限；若函数y ax b =-图象经过第一、二、四象限时，则a<0，0b <时，此时函数y bx a=+的图象应经过第二、三、四象限，故选项A 错误，不符合题意；B 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、四象限时，则a<0，0b <时，此时函数y bx a =+的图象应经过第二、三、四象限，故选项B 错误，不符合题意；C 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、三象限，则0a >，0b <，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、四象限；若函数y ax b =-图象经过第二、三、四象限时，则a<0，0b >时，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、三、四象限，故选项C 错误，不符合题意；D 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、三象限，则0a >，0b <，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、三、四象限；若函数y ax b =-图象经过第一、三、四象限时，则0a >，0b >时，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、三象限，故选项D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键.4．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．【详解】A 、由正比例函数图像可知0k -<，即0k >，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上方，故选项A 不符合题意；B 、由正比例函数图像可知0k -<，即0k >，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上方，但()3k -无法判断正负，因此增减都可以，故选项B 符合题意；C 、由正比例函数图像可知0k ->，即0k <，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的下方，故选项C 不符合题意；D 、由正比例函数图像可知0k -<，即0k >，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上方，故选项D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像与性质是解决本题的关键．【类型二一次函数含参数中的图象和性质】例题：（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y 关于x 的函数()3y k x k =-+（k 是常数，3k ≠），下列结论中正确结论的序号是（）①其图象是一条直线；②其图象必经过点()1,3-；③若其图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是0k <；④若y 随x 的增大而增大，则其图象与y 轴的交点必定在正半轴上．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④【答案】A【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断后，即可得出结论．【详解】解：∵()3y k x k =-+（k 是常数，3k ≠），∴y 是关于x 的一次函数，其图象是一条直线，故①正确；当=1x -时，()33y k k =--+=，∴其图象必经过点()1,3-；故②正确；当其图象经过第二、三、四象限时，300k k -<⎧⎨<⎩，解得：0k <，故③正确；若y 随x 的增大而增大，则：30k ->，∴3k >，则其图象与y 轴的交点必定在正半轴上，故④正确；故选A ．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟记一次函数的图象和性质，是解题的关键．【变式训练】∴与两个坐标轴围成的三角形面积是B 、∵320k ->，∴203k >>，∴一次函数y 随x 增大而增大，如图所示，∴若12>a a ，则12b b >，∴()()12120a a b b -->，故B 错；C 、假设一次函数不经过第三象限，则需0k <，320k ->，由B 得：当320k ->时，0k >，∴一次函数32y kx k =+-的图象一定经过第三象限，故C 错；D 、当0t >时，要想732tx kx k +>+-，则0327k t k =>⎧⎨-<⎩，解得：03k k >⎧⎨<⎩，即03k <<，如图所示，当0t <时，要想732tx kx k +>+-，则0k t =<即可，如图所示，综上所述：k 的取值范围是03k <<或0k <，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键．2．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数()y kx k 1k 0=+-≠，下列叙述正确的是（）A ．当01k <<时，函数图象经过第一、二、三象限B ．当0k <时，y 随x 的增大而增大C ．当1k >时，函数图象一定交于y 轴的负半轴D ．函数图象一定经过点()1，1--【答案】D【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A 、B 、C 进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征对D 进行判断．【详解】解：A .当01k <<时，10k -<，函数图象经过第一、三、四象限，故A 错误，不符合题意；B .当0k <时，y 随x 的增大而减小，故B 错误，不符合题意；C .当1k >时，10k ->，函数图象一定交于y 轴的正半轴，故C 错误，不符合题意；D .把=1x -代入1y kx k =+-得，()111y k k =⨯-+-=-，所以函数图象一定经过点()1，1--，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y kx b =+（k b 、为常数，0k ≠）是一条直线，当0k >时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大，当0k <时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，图象与y 轴的交点坐标为()0b ，．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数3(0)y kx k k =++≠，下列结论正确的是（）A ．当0k >时，y 随着x 的增大而减小B ．当0k <时，y 随着x 的增大而增大C ．当1k =-时，图象一定经过点(0,1)-D ．当0k ≠时，图象一定经过点(1,3)-【答案】D【分析】由题意知，当0k >时，y 随着x 的增大而增大，进而可判断A 的正误；当0k <时，y 随着x 的增大而减小，进而可判断B 的正误；当1k =-时，2y x =-+，当0x =，2y =，即图象经过点(0,2)，进而可判断C 的正误；当0k ≠时，()13y k x =++，当=1x -，3y =，即图象一定经过点(1,3)-，进而可判断D 的正误．【详解】解：由题意知，当0k >时，y 随着x 的增大而增大，A 错误，故不符合要求；当0k <时，y 随着x 的增大而减小，B 错误，故不符合要求；当1k =-时，2y x =-+，当0x =，2y =，即图象经过点(0,2)，C 错误，故不符合要求；当0k ≠时，()13y k x =++，当=1x -，3y =，即图象一定经过点(1,3)-，D 正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于x 的一次函数()12y k x k =--+（k 为常数且1k ≠），①当0k =时，此函数为正比例函数；②无论k 取何值，此函数图象必经过(1,1)；③若函数图象同时经过点(,)m a 和点1,1)(m a ++（m ，a 为常数），则2k =-；④无论k 取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【分析】根据一次函数的性质依次判断即可．【详解】解：①当0k =时，则2y x =-+，为一次函数，故①错误；②整理得：()12y x k x =--+，∴1x =时，1y =，∴此函数图象必经过(1,1)，故②正确；解得4a=，故④说法正确；综上，正确的说法有①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，数形结合解题是关键．【类型三一次函数中平移问题】(1)求直线l对应的函数表达式；(2)求四边形ABDC的面积．【答案】(1)54 y x =-(2)42 51．（2023春·全国·八年级专题练习）若点()1,2P -在直线3y kx =+上，把直线3y kx =+的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______．【答案】55y x =-+【分析】把点()1,2P -代入3y kx =+中，确定直线的解析式，再运用直线的平移规律计算即可．【详解】点()1,2P -代入3y kx =+中，得23k -=+，解得5k =-，∴直线的解析式为53y x =-+，∴53y x =-+的图像向上平移2个单位得到的解析式为55y x =-+．故答案为：55y x =-+．【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，直线平移的规律，熟练掌握直线平移的规律是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线3y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为___________．【答案】1-【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入()0m ,，即可求出m 的值．【详解】解：将直线3y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到3(2)3y x =+-，即33y x =+，∴平移后的直线与x 轴交于()0m ,，∴033m =+，解得1m =-，故答案为1-．【答案】8【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长【详解】解：如图所示，过点B 、D 分别作21y x =+的平行线，交由图象和题意可得431AE =-=，871CF =-=，BE DF =则22512AB BE AE =-=-=，31BC BF CF =+=+=【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）将直线1l 平移到直线2l ，直线【答案】()1,4D --【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求形，根据线段AB 在平移过程中扫过的图形面积为可求解．【详解】解：如图，连接,AC BD 对于直线443y x =+，令0y =，【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．【类型四一次函数中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；n A的坐标是_____．【答案】（7，8）（2n-1-1，2n-1）【分析】由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解．【详解】解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1，正方形A2B2C2C1的边长为2，正方形A3B3C3C2的边长为4，…正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1，∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n-1-1，2n-1），故答案为：（7，8），（2n -1-1，2n -1）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】【答案】()212n -【分析】分别过点1B 、2B ，3B 作x 1222142422A A B S =⨯⨯== ,23312A AB S = ∵1B 在1233y x =+，且1B 的横坐标为∴()11,1B ,∴111OC B C CA ===，【答案】1675【分析】关键一次函数图像上点的坐标特征，得到形的面积，得到变化规律进行求解．【详解】解：∵()111,B y 、2B 1311y =⨯+=，1y =⨯【类型五一次函数——分段函数】（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于观察函数图像可知，此函数没有最小值，故【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．【变式训练】m>时，设点(P m （3）当3【类型六绝对值的一次函数】下面是小慧的探究过程，请补充完成：(1)函数1y x =-的自变量x 的取值范围是(2)列表，找出y 与x 的几组对应值．其中，(3)在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)函数1y x =-的最小值为____________(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）【答案】(1)任意实数(2)2(3)见解析(4)0(5)x <1时，y 随x 增大而减小；x >1（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．故答案为：0．（5）x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式训练】(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．【答案】(1)任意实数(2)1(3)见解析(4)见解析（4）解：由函数图象可知，①函数有最小值为0；②当x＞-1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点（-1，0）且垂直于【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，(3)在如图的直角坐标系中：①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象；②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________；③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________．【答案】(1)x 的取值范围是全体实数(2)①1m =﹐②9n =-(3)①见解析；②1；③函数关于y 轴对称【分析】（1）没做要求一次函数自变量取值范围都是全体实数（2）①把x =0代入函数即可求得m 的值②y =10代入函数即可求得n （3）①作图见解析②由图可见最小值为1③言之有理即可．【详解】解：（1）自变量x 的取值范围是全体实数；（2）①1m =﹐②9n =-﹔（3）①图象如图所示．②最小值为1；③函数关于y 轴对称（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：（3）利用学过的平移知识，说说函数的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣【答案】（1）见解析；（2）当x＞x>时，y随（2）由图象可知，当0故答案为当0x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；（3）函数|4|1y x =-+是由函数||y x =向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数|4|1y x =-+图象如图所示．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换-平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．【类型七新定义型一次函数】由－3x ＋2＝4，得x ＝23-1．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y 和(),Q x y '，给出如下定义：如果()()00y x y y x ⎧≥⎪=<'⎨-⎪⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”，例如：点()2,3的“关联点”为点()2,3，点()2,3-的“关联点”为点()2,3--(1)点()3,3-的“关联点”为(),a b ，则a b +=______；(2)①如果点()2,1P '-是一次函数1y x =+图象上点P 的“关联点”，那么点P 的坐标为______；②如果点(),2Q m '是一次函数1y x =+图象上点Q 的“关联点”，求点Q 的坐标。
2020年中考数学基础题型提分讲练专题04一次函数含解析
专题04 一次函数必考点1 函数及其定义域（自变量取值范围）函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
【典例1】（2019·四川中考真题）在函数143y x x =-+x 的取值范围是（） A ．4x < B ．4x …且3x ≠- C ．4x > D ．4x ≤且3x ≠-【答案】D【解析】由题意得，30x +≠，40x -…，解得，4x ≤且3x ≠-，故选：D ．【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义【举一反三】1. （2019·四川中考真题）函数24y x =-x 的取值范围是( )A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】D【解析】根据题意得：240x -≥，解得2x ≥，故选D ．2.（2019·四川中考真题）函数y =x 的取值范围是 _____. 【答案】x≥1且x≠3【解析】根据题意得：10{30x x -≥-≠，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x 取值范围是x≥1且x≠3．故答案为x≥1且x≠3． 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．必考点2 一次函数的图像和性质一次函数的定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.必过点：（0，b ）和（-b ，0）1122（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2（2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2（4）两直线垂直：121⋅=-k k【典例2】（2019·四川中考真题）一次函数23=-y x 的图像经过的象限是（ ）A ．一、二、三B ．二、三、四C ．一、三、四D ．一、二、四【答案】C【解析】解：∵一次函数23y x ＝﹣，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【举一反三】1. （2019·浙江中考真题）若三点()1,4，()2,7，(),10a 在同一直线上，则a 的值等于（）A ．-1B ．0C ．3D ．4【答案】C【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b ，∴472k bk b +⎧⎨+⎩＝＝∴31k b ⎧⎨⎩＝＝， ∴y=3x+1，将点（a ，10）代入解析式，则a=3；故选C ．【点睛】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．2. （2019·黑龙江中考真题）正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=kx （k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y=x+k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y=x+k 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）是一条直线，当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点坐标为（0，b ）．3. （2019·山东中考真题）下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( )A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点()0,bD ．当b x k>-时，0y > 【答案】D【解析】 ∵()0,0y kx b k b =+<>，∴图象经过第一、二、四象限，A 正确；∵k 0<，∴y 随x 的增大而减小，B 正确；令0x =时，y b =，∴图象与y 轴的交点为()0,b ，∴C 正确；令0y =时，b x k =-， 当b x k>-时，0y <； D 不正确；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y kx b =+中，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．必考点3 一次函数与方程、不等式一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0（a ，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点. 【典例3】（2019·贵州中考真题）如图所示，直线l 1：y 32=x +6与直线l 2：y 52=-x ﹣2交于点P （﹣2，3），不等式32x +652-＞x ﹣2的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ≥﹣2C ．x ＜﹣2D ．x ≤﹣2【答案】A【解析】 当x ＞﹣2时，32x+652-＞x ﹣2， 所以不等式32x+652-＞x ﹣2的解集是x ＞﹣2． 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【举一反三】1．（2019·湖南中考真题）如图，直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，则020x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为( )A ．2x <-B ．3x >C ．2x <-或3x >D ．23x -<<【答案】D 【解析】∵直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，∴020x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为23x -<<， 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．2. （2019·安徽初二期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 （ ）A ．20{3210x y x y +-=--=， B ．210{3210x y x y --=--=， C ．210{3250x y x y --=+-=， D ．20{210x y x y +-=--=， 【答案】D【解析】 解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1，y=-x+2，因此所解的二元一次方程组是20{210x y x y +-=--=，故选D 。
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专题：一次函数重难点题型专题讲练
※题型讲练
【例1】已知一次函数y=(2m+1)x+m–3，分别解答下列各题：
(1)求m的取值范围；
(2)若该函数是正比例函数，求m的值；
(3)若该函数图象在y轴的截距为－2，求m的值；
(4)若该函数图象平行直线y=3x–3，求m的值；
(5)若该函数图像y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(6)若该函数图像经过一、二、三象限，求m的范围；
(7)若该函数图像不过第二象象限，求m的范围；
(8)若该函数图像必过二、四象限，求m的范围；
(9)若函数图像必过三、四象限，求m的范围；
(10)若该函数图像过点(–1，–2)，求函数解析式；
(11)若该函数图像是由函数y=–5x+n–3的图像延y轴向上平移2个单位得来，求m和n的值；
(12)若该函数图像与函数y=(n–5)x+2n–2关于x轴对称，求m和n的值；
(13)若该函数图像与函数y=–x+3的图像同时交于函数y=3x+19上一点，求函数解析式；
(14)该函数图像是否过定点？若过，请求出这个定点；若不过，请说明理由．
【例2】已知y+1与x+2成正比例，且当x=4时，y=－4．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若点(a，2)和(2，b)均在(1)中函数图像上，求a、b的值．
(3)当－2≤x≤6时，求y的取值范围．
【例3】已知某一直线过点(1，－4)和点(4，－2)，
(1)求该直线所在的一次函数关系式；
(2)求该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)若函数图像上有两点(a，m+3）、(b，－2m+6）且a>b，
求m的取值范围．
【例4】一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求该一次函数的解析式．
【例5】如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的交于点P，则根据图象可得：
(1)方程ax＋b－kx=0的解是；
(2)方程组y＝ax＋b，
y＝kx的解
是__________；
(3)不等式ax＋b<kx的解集是_______；
(4)不等式组的解集为．
(5)若△AOP的面积为6，求△BOP的面积．
【例6】某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与收费y(元)之间的函数关系如图所示．
(1)有月租的收费方式是____(填“①”或“②”)，月租费是____元；
(2)分别出①、②两种收费方式中y与x之间的函数表达式；
(3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．
{02<<+kx b ax
【例7】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:
设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元)．
(1)求a，c的值；
(2)写出y于x的函数关系式；
(3)若该户11月份用水量为8立方米，求该户11月份水费是多少元？
【例8】如图，直线l1的解析表达式为y=–3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．
(1)求点D的坐标和直线l2的解析表达式；
(2)求△ADC的面积；
(3)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接
．．写出点P的坐
标．
※课后练习
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是()
A．y
=2x-B．y =
2-
1
x
C．y=2
4x-D．y=2
x+·2x-
2．直线y＝kx＋b经过一、二、四象限，则直线y＝bx–k的图象只能是图中的()
3．如图，两直线y1＝kx＋b和y2＝bx＋k在同一坐标系内图象的位置可能是()
4．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是()
A．摩托车比汽车晚到1h
B．A，B两地的路程为20km
C．摩托车的速度为45km/h
D．汽车的速度为60km/h
5．已知m是整数，且一次函数y=(m+4)x+m+2的图象不过第二象限，则m为．6．若直线y=–x+a和y=x+b的交于点(m，8)，则a+b=．
7．已知直线y=4x–2与直线y=–x+3m的交点在第四象限内，则m的取值范围是．8．若直线y＝k1x＋1与y＝k2x–4交于x轴上一点，则=.
9．如图，直线y1＝kx＋b过点A(0,2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则
不等式组mx+2＞kx＋b＞mx的解集是．
10．一次函数y1与y2的图象如图所示，根据图像解决下列问题：
(1)求两个函数交点P的坐标；
(2)求△ABP的面积；
(3)直接写出下列不等式的解集：
①y1≥0；②0<y2≤y1
1
2
k
k。