高二数学理综合练习(二)答案
2013-2014高二理科数学期末复习-----综合练习
2013-2014高二理科数学期末复习-----综合练习一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1．在△ABC 中，60A =︒，75B =︒，c =20，则边a 的长为( ) A．B．C．D．2．不等式(50)(60)0x x -->的解集是( ) A ．(,50)-∞B ．(60,)+∞C ．(50,60)D ．(,50)(60,)-∞+∞3．十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式121,1,2;, 3.n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩ 由此可计算出8F = ( ) A ．8B ．13C ．21D ．34 4．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长为( )A. 3 B ．2 C. 6D ．2 25．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =( ) A ．153B ．182C ．242D ．2736．关于双曲线22916144y x -=，下列说法错误的是( ) A ．实轴长为8，虚轴长为6 B ．离心率为54C ．渐近线方程为43y x =±D ．焦点坐标为(5,0)±7．下列命题为真命题的是( ) A ．x ∀∈N ，32x x > B ．0x ∃∈R ，200220x x ++≤ C ．“3x >”是“29x >”的必要条件D ．函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =8．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52B.52C.12D ．－12第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） 9．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 .10．与椭圆221259x y +=焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 . 11．在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上有一点P ，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________． 12．已知(2,1,3)a =，(4,2,)b x =-，且a b ⊥，则||a b -= .13．在周长为定值P 的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 . 14．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是_________三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（12分）在△ABC 中，若sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．16．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在直线12y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设123n a n b +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，试求n T .17．（12分）已知点A(－1,0)，B(1,0)，分别过A、B作直线l1与l2，使l1⊥l2，求l1与l2交点P的轨迹方程．18．（14分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?19．（14分）如图，在长方体1AC中，12,AB BC AA ==点E 、F 分别是面11AC 、面1BC 的中心．（1）求异面直线AF 和BE 所成的角；（2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．20. （14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上,右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当A M A N =时，求实数m 的取值范围.AA 1BC D B 1C 1D 1 EF2013-2014斗门一中高二理科数学期末复习-----综合练习答案一、选择题：ACCCD DDA二、填空题：9. 8； 10. 22188x y -=； 11.5； 12. ；13. 4P ，216P ； 14. [0,2]三、解答题：15．解 (1)由sin(C －A )＝1知， C －A ＝π2，且C ＋A ＝π－B ，∴A ＝π4－B 2，∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－B 2＝22⎝⎛⎭⎫cos B 2－sin B 2， ∴sin 2A ＝12(1－sin B )＝13，又sin A >0，∴sin A ＝33. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ，∴BC ＝AC sin Asin B ＝6·3313＝32，由(1)知sin A ＝33，∴cos A ＝63. 又sin B ＝13，∴cos B ＝223.又sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×223＋63×13＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.16. 解：（1）依题意得，1,2n S n n =+即212n S n n =+. ……………（2分）当n≥2时， 221111()(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦; ………（5分）当n=1时，2111311121222a S ==+⨯==⨯-. ……………（6分） 所以*12()2n a n n N =-∈.……………（7分）（2）由（1）得12233n a n n b +==，……………（8分） 由2(1)2123393n n n n b b ++===，可知{}n b 为等比数列. ……………（10分） 由21139b ⨯==，……………（11分）故19(19)99198n n n T +--==-. ……（13分）17．[解析] 设l 1：y ＝k (x ＋1)，(k ≠0)(1)则l 2：y ＝－1k(x －1)(2)(1)与(2)两式相乘，消去k 得，y 2＝－(x 2－1)， ∴x 2＋y 2＝1，特别地，当k 不存在或k ＝0时，P 分别与A 、B 重合，也满足上述方程，∴所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1.18. 解：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值812z x y =+，…（1分）线性约束条件为735620504500,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩.…………（3分）作出可行域.…………（6分）把812z x y =+变形为一组平行直线系8:1212zl y x =-+，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距12z最大，即z 取最大值. 解方程组73562050450x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点(5,7)M ，……………（10分） max 85127124z =⨯+⨯=.……………（12分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.………………（13分）19. 解：（1）A （2，0，0），F （1，2），B （2，2，0），E （1，1，C （0，2，0）. ∴2(1,2,),(1,AF BE =-=--， ……（4分） ∴ 1210AF BE →→∙=-+=.……（6分） 所以AF 和BE 所成的角为90︒ .……（7分）（2）设平面BEC 的一个法向量为(,,),n x y z =又 (2,0,0),BC =- (1,2),BE =--则：20n BC x ∙=-=，0n BE x y ∙=--=. ∴0x =， 令1z =，则：y =,∴ (,1)n →=. …………（10分）∴,22AF n COS AF n AF n∙<>===∙.……………（12分）设直线AF 和平面BEC 所成角为θ，则：Sin θ=. 即 直线AF 和平面BEC ……………（14分）AA 1BC DB 1C 1D 1EF20. 解：（1）依题意可设椭圆方程为 2221(1)x y a a+=> ，……………（1分）则右焦点F . ……（2分）3=, 解得：23a =.……………（4分） 故 所求椭圆的标准方程为：2213x y +=.……………（5分）（2）设P 为弦MN 的中点，联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， ………………（6分）消y 得： 222(31)63(1)0k x mkx m +++-=. ………………（7分）由于直线与椭圆有两个交点， 0,∴∆>即 2231m k <+ ① …………（8分）23231M N p x x mk x k +∴==-+， 从而 231p p my kx m k =+=+， 21313p Ap py m k k x mk+++∴==-. 又 ,A M A N A P M N=∴⊥， 则： 23113m k mk k++-=- ，即： 2231m k =+ ② ，……………（12分）把②代入①得：22m m >，解得： 02m <<； 由②得：22103m k -=>，解得：12m > . 所以，122m <<.………………（14分）。
高二数学练习题答案解析
高二数学练习题答案解析一、选择题1. 解析：根据题目中的条件，正五边形的内角和可以计算出来：(5-2) × 180° = 540°正五边形的每个内角是：540° ÷ 5 = 108°所以答案是 D. 108°2. 解析：正多边形的内角和公式为：(n-2) × 180°，其中 n 表示正多边形的边数。
所以正七边形的内角和为：(7-2) × 180° = 900°每个内角为：900° ÷ 7 ≈ 128.57°所以答案是 B. 128.57°3. 解析：由速度等于位移除以时间的公式可得：速度 = 100 ÷ 10 = 10 m/s由物体匀加速运动的位移公式可得：位移 = 初速度 ×时间 + 加速度 ×时间的平方的一半代入已知数据：位移 = 0 × 10 + (1/2) × 0 × 10² = 0所以答案是 A. 04. 解析：若一系列连续的数之和等于 n，则这些连续数的平均数等于 n 除以这些数的个数。
所以平均成绩= 96 + 89 + 93 + 82 + 85 ÷ 5 ≈ 89所以答案是 B. 89二、填空题1. 解析：若乘积为 0，则至少有一个因数为 0。
所以 a + b + c = 0 + 2 + (-2) = 0所以答案是 02. 解析：将 x = 2^a × 5^b 公式代入，得到：2^a × 5^b = (2^2 × 5^1 ) × (2^4 × 5^2) = 2^6 × 5^3所以 a = 6，b = 3所以答案是 6 和 33. 解析：根据二项式定理，(a + b)^n 的展开式的系数为组合数。
高二数学练习题答案
高二数学练习题答案题一：解方程1. 解方程：2x - 3 = 7解：将已知方程转化为 x 的形式，2x - 3 = 72x = 7 + 32x = 10x = 10/2x = 5所以，方程的解为 x = 5。
2. 解方程：3(x + 4) = 15解：根据分配律展开括号，3x + 12 = 153x = 15 - 123x = 3x = 3/3x = 1所以，方程的解为 x = 1。
3. 解方程：5x - 1 = 4x + 3解：将已知方程转化为 x 的形式，5x - 4x = 3 + 1x = 4所以，方程的解为 x = 4。
题二：函数1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。
解：将 x = 4 代入函数 f(x)，f(4) = 2(4) + 3f(4) = 8 + 3f(4) = 11所以，f(4) 的值为 11。
2. 已知函数 g(x) = 3x^2 - 2x + 4，求 g(-1) 的值。
解：将 x = -1 代入函数 g(x)，g(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 4g(-1) = 3(1) + 2 + 4g(-1) = 3 + 2 + 4g(-1) = 9所以，g(-1) 的值为 9。
3. 已知函数 h(x) = 5/x，求 h(2) 的值。
解：将 x = 2 代入函数 h(x)，h(2) = 5/2所以，h(2) 的值为 5/2。
题三：几何形体1. 已知长方形的长为 6 cm，宽为 3 cm，求其周长和面积。
解：周长 = 2(长 + 宽)周长 = 2(6 + 3)周长 = 2(9)周长 = 18 cm面积 = 长 ×宽面积 = 6 × 3面积 = 18 cm²所以，长方形的周长为 18 cm，面积为 18 cm²。
2. 已知正方形的边长为 5 cm，求其周长和面积。
解：周长 = 4 ×边长周长 = 4 × 5周长 = 20 cm面积 = 边长 ×边长面积 = 5 × 5面积 = 25 cm²所以，正方形的周长为 20 cm，面积为 25 cm²。
福建省南安第一中学高二数学 空间向量与立体几何、推理与证明、复数期末考综合练习二
3V S1 S2 S3 S4
14． 【解析】∵ 与 的夹角为 60°，∴ cos a,b
ab a b
k 2
1 ．解得 k 3 ． k 9 2
2
x2 y2 z 2 1 15. 【解析】设所求向量为 c ( x, y, z) ，则 c a 2 x 2 y z 0 ， c b 4 x 5 y 3 z 0
3 1 ，b＝ ，则 a＋b>1，故①不能；②中若 a＝b＝1，则 a＋b＝2，故②不能； 4 2
2 2
③能，④中若 a＝b＝－2，则 a ＋b >2，故④不能；⑤中若 a＝b＝－2，则 ab>1，故⑤不能．∴只有③能， 选 C. 9． 【解析】C 由1
3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 2 2 ,1 2 2 2 , 2 3 4 2 2 3 2 3 4
62 7
B.
63 7
C.
64 7
D.
65 7
）
11. 已知向量 a (1,1,0) ， b (1,0,2) ，且 k a b 与 2a b 互相垂直，则 k 的值是（ A．1 B.
1 5
C.
3 5
D.
7 5
12．在空间直角坐标系 o xyz 中，平面 OAB 的法向量为 a 2, 2,1 , 已知 P － 1, 3, 2 ，则 P 到平 面 OAB 的距离等于 （ A． 4 ） B. 2 C. 3 D. 1
22. 四 棱 锥 S A B C D 中，底面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， 侧 面 SBC 面 ABCD ， 已 知
ABC 45 , AB 2, BC 2 2, SB SC 3
高二下数学练习册答案
高二下数学练习册答案【练习一】题目：求函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)在\( x = 2 \)处的导数。
答案：首先求导数\( f'(x) = 6x^2 - 6x + 5 \)，然后代入\( x = 2 \)，得到\( f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) + 5 = 24 - 12 + 5 = 17 \)。
【练习二】题目：解不等式\( |x - 3| < 2 \)。
答案：将不等式分为两部分，\( x - 3 < 2 \)和\( -(x - 3) < 2 \)，解得\( 1 < x < 5 \)。
【练习三】题目：证明等差数列\( a_1, a_2, a_3, \ldots \)的前\( n \)项和公式\( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)。
答案：设等差数列的公差为\( d \)，则\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)。
前\( n \)项和为\( S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n \)。
通过分组求和，可以证明\( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)。
【练习四】题目：已知\( \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A +B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) \)，求\( \sin A- \sin B \)。
答案：根据已知公式，将\( \sin A + \sin B \)中的\( B \)替换为\( -B \)，得到\( \sin A - \sin B = 2\sin\left(\frac{A -B}{2}\right)\cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \)。
【练习五】题目：求椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)（其中\( a > b > 0 \)）的焦点坐标。
高二选修二数学练习题答案
高二选修二数学练习题答案以下是高二选修二数学练习题答案：1. 选修二数学练习题答案题目1：求函数f(x)=2x^2+3x-2在区间[-2,2]上的最大值和最小值。
解：首先，我们需要求出该函数在区间[-2,2]上的导数。
f'(x) = 4x + 3接下来，我们需要找出导数等于零的点，即f'(x) = 0。
4x + 3 = 04x = -3x = -3/4将x = -3/4代入原函数f(x)中，即可得到最大值和最小值。
f(-2) = 2*(-2)^2 + 3*(-2) - 2 = 10f(2) = 2*2^2 + 3*2 - 2 = 12f(-3/4) = 2*(-3/4)^2 + 3*(-3/4) - 2 = -35/8因此，在区间[-2,2]上，函数f(x)的最大值为12，最小值为-35/8。
题目2：已知函数f(x)在区间[-1,3]上连续。
若f(-1) = 2，f(3) = -4，证明在该区间上一定存在一点c，使得f(c) = -1。
解：由题意可知，函数f(x)在区间[-1,3]上连续，且f(-1) = 2，f(3) = -4。
根据介值定理，对于连续函数f(x)而言，若在一个区间[a,b]上，f(a)小于某一数k，f(b)大于该数k，则在该区间上一定存在一点c，使得f(c) = k。
根据此定理，我们可以得出结论：在区间[-1,3]上一定存在一点c，使得f(c) = -1。
题目3：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1，求导数f'(x)并求出函数f(x)的驻点。
解：对函数f(x)进行求导得到f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 1驻点是指函数的导数为零的点，即f'(x) = 0。
3x^2 - 6x + 1 = 0使用求根公式可以解出x的值。
x = (6 ± sqrt(6^2 - 4*3*1))/(2*3)x = (6 ± sqrt(24))/(6)x = (6 ± 2sqrt(6))/(6)x = 1 ± sqrt(6)/3因此，函数f(x)的驻点为x = 1 ± sqrt(6)/3。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 本册综合测试(提升)(含答案)
本册综合测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。
每题5分，8题共40分)1．(2021·吉林高三开学考试(文))已知正项等比数列{a n }中，a 2a 8+a 4a 6=8，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9=( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】B【解析】由等比数列性质可知，192846a a a a a a ===，而a 2a 8+a 4a 6=8， 所以1928464a a a a a a ====，因为log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9212921928465log log ()()()a a a a a a a a a a ==，所以log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9= 92log 29=，故选：B2．(2021·黑龙江佳木斯一中)设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则使12n a a a 最大的n 为( )A ．72B ．3C ．3或4D ．4【答案】C【解析】由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，则24131(),,2a a a a q q +=+∴=代入1310a a +=可得，11110,84a a a +=∴=， 故114118()22n n nn a a q ---==⨯=，则(34)(7)432(4)221232222222n nn n nn n a a a +---+++-⨯==⨯⨯==，由于2t y =为增函数，(7)2n nt -=为开口向下的二次函数，对称轴为 3.5n =， 又*n N ∈，故当3n =或4时，12n a a a 取得最大值.故选：C.3．(2021·西藏拉萨中学 )若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】若()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则1()0,(,2)2f x x '>∈有解，故21,2a x >-令21()2g x x =- 21()2g x x =-在1(,2)2递增 , 1()()2,2g x g ∴>=-故2 ,a ≥- 故选：D4．(2021·四川省乐山第一中学校 )设a ∈R ，若“1x >”是“ln ax x >”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞【答案】B【解析】由题意“1x >”是“ln ax x >”的充分不必要条件， 所以不等式ln ax x >在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x>在(1,)+∞上恒成立， 令ln ()(1)x f x x x =>，则()21ln xf x x -'=， 当(1,)x e ∈时，()0f x '>；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<， 所以()f x 在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以当x e =时，函数()f x 取得最小值()1f e e =，所以1a e>．故实数a 的取值范围是为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：B.5．(2021·全国高二单元测试)已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第一项是02，接下来两项是02，12，再接下来三项是02，12，22，依此类推，设n S 是此数列的前n 项和，则2021S =( )A ．64234-B ．63234-C ．64248-D ．63248-【答案】A【解析】将数列分组：第一组有一项，和为02；第二组有两项，和为0122+；……； 第n 组有n 项，和为011122222112n n n --++⋅⋅⋅+==--， 则前63组共有636420162⨯=(项)， 所以()()001016201234202122222222222S =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++()()()12630123421212122222=-+-+⋅⋅⋅+-+++++()()632636421222263313223412-=++⋅⋅⋅+-+=-=--，故选：A.6．(2021·北京市第十二中学 )已知函数()()20x f x a x a =>-在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a ≤或2a ≥ B ．2a ≥ C ．2a ≥或1a = D ．1a ≥【答案】C【解析】由题意，0x a -≠在1,2恒成立，则()1,2a ∉， 又()22222()2()()x x a x x axf x x a x a ---'==--，∴()0f x '≤在1,2恒成立， ∴220x ax -≤即2xa ≥在1,2恒成立，∴1a ≥， 综上，2a ≥或1a =. 故选：C.7．(2021·陕西新城 )函数2()(2)e x f x x x =-的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()0f x =得，0x =或2x =，选项C ，D 不满足；由()()22e xf x x x =-求导得2()(2)e x f x x '=-，当x <x >()0f x '>，当x <()0f x '<，于是得()f x 在(,-∞和)+∞上都单调递增，在(上单调递减，()f x 在x =在x A 不满足，B 满足. 故选：B8．(2021·全国 专题练习)设正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2114n n S a =+，记[]x 表示不超过x 的最大整数，212020n n a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.若数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得2020n T ≥成立的n 的最小值为( ) A ．1179 B ．1178 C ．2019 D ．2020【答案】A 【解析】()2114n n S a =+①，令1n =，得()21141a a =+，解得11a =. ()211114n n S a --=+，2n ≥②， 由①-②可得()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()1120n n n n a a a a ----+=， 根据0n a >可知12(2)n n a a n --=≥，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N .2421120202020n n a n b -⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，*n ∈N ， 当[1,505]n ∈时，422018n -≤，1n b =；当[]506,1010n ∈时，2020424038n <-≤，2n b =； 当[]1011,1515n ∈时，4040426058n <-≤，3n b =. 因为101050550521515T =+⨯=，(20201515)3168.3-÷≈， 所以使2020n T ≥成立的n 的最小值为10101691179+=. 故选：A.二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二单元测试)定义在[]1,5-上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，函数()f x 的部分对应值如下表．下列关于函数()f x 的结论正确的是( )A ．函数()f x 的极值点的个数为3B ．函数()f x 的单调递减区间为()()0,24,5C ．若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当12a ≤<时，方程()f x a =有4个不同的实根 【答案】AD【解析】对于A ：由()f x '的图象可知，当0,2,4x =时，()0f x '=，且当10x -<<时，()>0f x '，当02x <<时，()0f x '<，当24x <<时，()>0f x '，当45x <<时，()0f x '<，所以0，2，4是函数()f x 的极值点，故A 选项正确；对于B ：由导函数()f x '的正负与函数()f x 之间的关系可知，当02x <<时，()0f x '<，当45x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,2，()4,5，故B 选项错误；对于C ：当[1,5]x ∈-时，函数()f x 的最大值是2，而t 的最大值不是4，故C 选项错误；对于D ：作出函数()f x 的大致图象如图所示，当12a ≤<时，直线y a =与函数()f x 的图象有4个交点，故D 选项正确． 故选：AD ．10．(2021·宁德市第九中学高二月考)若数列{}n a 满足113,33(2),nn n a a a n -==+≥则( )A ．{}3nn a 是等差数列 B ．{}3nn a 是等比数列 C ．数列{}n a 的通项公式3nn a n =⋅D ．数列{}n a 的通项公式3n nn a =【答案】AC【解析】在数列{}n a 中，当2n ≥时，133nn n a a -=+，即11133n n n n a a --=+，而13a =，即113a =，则{}3n n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 因此，1(1)13n na n n =+-⨯=，3nna n =⋅， 所以A 正确，B 不正确，C 正确，D 不正确. 故选：AC11．(2021·海南 )若函数32()3f x x x a =-+的图象在点()()00,x f x 处与x 轴相切，则实数a 的值可能为( ) A ．1 B ．4C ．0D ．2【答案】BC【解析】由题意可知，'2()36f x x x =-，因为函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处与x 轴相切，所以320002000()30()360f x x x a f x x x ⎧=-+='=⎨-=⎩，解得0a =或4a =. 故选：BC.12．(2021·临澧县第一中学 )我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键(7个白键5个黑键)构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅(4C 称为“中央C ”).将每个“八度”( 如4C 与5C 之间的音高变化)按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率(单位：Hz)的音可以是此时的钢琴发出的音( )(参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=)A ．110B ．233C ．505D ．1244【答案】ABD【解析】∵A 4 = 440，244042110==，故110Hz 是A 4往左两个“八度”A 2键的音，A 正确. 设相邻音阶的公比为q ，则12524C q C ==，∴1122q =.而A 3 = 220，A 4 = 440，A 5 = 880，112233 1.0592220q ===，B 正确； 155051.1482440n q ==≠(n ∈N *)，C 不正确；16212441.4142880q ===，D 正确. 故选：ABD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·黑龙江鹤岗一中高三月考(文))等比数列{}n a 中，5a ，21a 是方程21150x x ++=的两根，则71913a a a 的值为___________.【答案】【解析】由题设知：5215215,11a a a a =+=-，又{}n a 为等比数列，∴521,0a a <，且2719135215a a a a a ===，而81350a a q =<，∴13a =71913a a a=故答案为：14．(2021·河南 )函数()ln xf x x x=-在区间(]0,e 上的最大值是___________. 【答案】1-【解析】由()ln x f x x x =-可得()2221ln 1ln 1x x xf x x x ---'=-=， 设()21ln g x x x =--，则()g x 在(]0,e 上递减，因为()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>； 当(]1,e x ∈时，()0g x <；()0f x '<； 所以()f x 在(]0,1上递增，在(]1,e 上递减， 所以()()max 11f x f ==-， 故答案为：1-.15．(2021·河南南阳中学高二月考)已知函数6(3)3(7)()(7)x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()*()n a f n n N =∈，且{}na 是递增数列，则实数a 的取值范围是________．【答案】()2,3【解析】数列{}n a 是递增数列，又6(3)3(7)()(7)x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，()*()n a f n n N =∈，13a ∴<<且(7)(8)f f <，27(3)3a a ∴--<解得9a <-或2a >，故实数a 的取值范围是()2,3．故答案为：()2,3．16．(2021·河南信阳)已知()2af x x x=+.若曲线()y f x =存在两条过()2,0点的切线，则a 的取值范围是___________.【答案】{|8a a <-或0}a > 【解析】由题得()212af x x '=-，设切点坐标为0002a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则切线方程为()00200122a a y x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 又切线过点()2,0，可得()002001222a a x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 整理得20020x ax a +-=，因为曲线()y f x =存在两条切线，故方程有两个不等实根且00x ≠ 若00x =，则0a =，为两个重根，不成立即满足()280a a ∆=-->，解得0a >或8a <-．故a 的取值范围是{|8a a <-或0}a > 故答案为：{|8a a <-或0}a >四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·浙江宁波·高三月考)已知数列{}n b 为等差数列，数列{}n a 满足2log n n b a =，且451a b ==． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)4n b n =-，n n *∈，42n n a -=，n n *∈；(2)()()()()33552,482752,58n n n n n T n n --⎧--⋅-≤⎪⎪=⎨⎪-⋅+≥⎪⎩．【解析】(1)数列{}n b 为等差数列． 4242log log 10b a ===，51b =，则4n b n =-，n n *∈，42n n a -=，n n *∈，(2)()442n n n n c a b n -==-⋅设()442n n c n -=-⋅'，n T '为数列{}n c '的前n 项和，则有：()()()()321432221242n n T n ----'=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯，(*) ()()()()2130232221242n n T n ---'=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯，(**)(*)式-(**)式，得()()()()()()2132143332123222242324212n n n n n T n n ---------⋅--=-⨯++++--⨯=-⨯+--⋅-'()35528n n T n -'=-⨯+．当4n ≤时，()35528n n n T T n -'=-=---⋅；当5n ≥时，()()3345527252452848n n n n T T T n n --''=-=-⋅++-=-⋅+，即()()()()33552,482752,58n n n n n T n n --⎧--⋅-≤⎪⎪=⎨⎪-⋅+≥⎪⎩18．(2021·青海师大附中高二期中(文))已知函数2()e ln 2xa f x x x =-，函数()f x 在1x =处的切线与y 轴垂直.(1)求实数a 的值；(2)设()()()g x f x f x '=-，求函数()g x 的最小值. 【答案】(1)e a =；(2)e2．【解析】(1)由已知e ()e ln xxf x x ax x'=+-，则(1)e 0f a '=-=，所以e a =．(2)2e ()e ln 2x f x x x =-，e ()e ln e x xf x x x x'=+-，则2e e()e 2x g x x x x =-+，定义域是(0,)+∞，22e (1)e ()e e (1)e x x x g x x x x x ⎛⎫-'=-+=-+ ⎪⎝⎭显然2e e 0xx+>， 所以01x <<时，()0g x '<，()g x 是减函数，1x >时，()0g x '>，()g x 是增函数，所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值e (1)2g =． 19．(2021·江苏省苏州第十中学校高二月考)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，12n n n a S -=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．【答案】(1)12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；(2)()1212n n T n +=-+ 【解析】(1)当2n ≥时，12n n n a S -=-，112n n n a S ++=-，两式相减可得：11122n n n n n n a S a S -++--+=-，即1112n n n n a a a -++=--，所以12n n a ，12a =不满足12n n a ，所以数列{}n a 的通项公式为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩； (2)当2n ≥时，由12n n n a S -=-，12n n a ，可得1112222n n n n n n S a ---=+=+=，112S a ==，满足2n n S =，所以2n n S =，可得22log log 2n n n b S n ===，2n n n n c b S n =⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅， ()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减可得： 123111222222n n n n T n -+-=⋅++++-⋅()()11212221212n n n n n ++-=-⋅=---，所以()1212n n T n +=-+.20．(2021·贵州遵义 )设函数()()3221f x ax x x a R =+++∈，且函数()f x 的单调递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的表达式，并求出函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()0f x m +=有3个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()3221f x x x x =+++，该函数的单调递增区间为(),1-∞-、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；(2)231,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)因为()()3221f x ax x x a R =+++∈，则()2341f x ax x '=++，因为函数()f x 的单调递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即不等式()0f x '<的解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以，1-、13-为函数()f x 的两个极值点， 即1-、13-为方程23410ax x ++=的两根，且0a >， 由韦达定理可得()41133111330a a a ⎧-=--⎪⎪⎪⎛⎫-⨯-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1a =，所以，()3221f x x x x =+++， 所以，()()()2341311f x x x x x '=++=++，由()0f x '>可得1x <-或13x >-， 所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； (2)令()()3221g x f x m x x x m =+=++++，则()()()2341311g x x x x x '=++=++，列表如下：所以，函数()g x 的极大值为()11g m -=+，极小值为327g m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 有三个零点，则()1101230327g m g m ⎧-=+>⎪⎨⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得23127m -<<-. 21．(2021·皇姑·辽宁实验中学 )已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． (3)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<． 【答案】(1)1()2n na ，21nb n =+(2)1(21)22n n T n +=-⋅+(3)证明见解析 【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为0q >，52a ，4a ，64a 成等差数列，456224a a a ∴=+，24422(2)a a q q ∴=+，化为：2210q q +-=，0q >，解得12q =． 又满足2434a a =，∴322114()a q a q =， 即114a q =，解得112a =． *1()()2n n a n N ∴=∈， 数列{}n S 的前n 项之积为n b ，1(2)n n n b S n b -∴=≥， 11221(2)n n n n nb n S b b b -∴+=+=≥， 即12(2)n n b b n --=≥，{}n b ∴是以2为公差的等差数列.又111112121S b b b +=+=，即13b =， 所以32(1)21n b n n =+-=+(2)(21)2n n n nb c n a ==+⋅，237(13225)222n n n T ∴⋅+=⋅+⋅++⋅+， 123422325272(1)2n n T n +=⋅++⋅+⋅+⋅+，两式相减得，213432222222(21)222n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅++-()11222212(21)2n n n ++++-⋅-=-1(12)22n n +=-⋅-，1(21)22n n T n +∴=-⋅+ (3)2112511(21)(23)2(21)2(23)2n n n n n n n n b a n d b b n n n n +-+⋅+===-⋅++⋅+⋅+⋅ 所以数列{}n d 的前n 项和1221111111()()()31525272(21)2(23)2n n n n M d d d n n -=++⋯+=-+-+⋯+-⨯⨯⨯⨯+⋅+⋅1(23213)n n +⋅=-， 又1730M =，n M 是单调递增， 所以71303n M ≤<. 22．(2021·四川泸州老窖天府中学 )已知函数()()1ln 2a f x x a x x=+---，其中a R ∈． (Ⅰ)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值；(Ⅱ)若2a e ≤，讨论()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的零点个数． 【答案】(Ⅰ)1a =或a e =；(Ⅱ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)由题意，函数()()1ln 2a f x x a x x =+---， 可得()()()()221110x x a a a x x x x f x +--=--=>'， ①若0a ≤时，则当()0,x ∈+∞时，恒()0f x '>成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，此时函数()f x 在()0,∞+无极值点， 这与()f x 存在极值点矛盾，舍去；②若0a >，令()0f x '=，可得x a =，当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，此时()f x 存在唯一极小值点x a =，令()()()()11ln 211ln 0f a a a a a a =+---=--=，解得1a =或a e =．(Ⅱ)①当1a ≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，所以()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增．因为()110f a =-≤，()2222a f e e a e =+-， (ⅰ)当0a ≤时，()222221220a f e e a e a e e ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭；(ⅱ)当01a <≤时，()2222210a f e e a a e =+->=≥， 所以()20f e >，则由零点存在性定理知，函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；②当21a e <<时，当[)1,x a ∈时，()0f x '<；当(2,e x a ⎤∈⎦时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,a 上单调递减，在(2,a e ⎤⎦上单调递增． 可得()()()()min 11ln f x f a a a ==--．(ⅰ)当a e =时，()min 0f x =，此时()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；(ⅱ)当1a e <<时，()min 0f x >，此时()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上无零点；(ⅲ)当2e a e <<时，()min 0f x <，()110f a =->．(a)当()22220a f e e a e =+-<，即42221e a e e <<-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点； (b)当()22220a f e e a e =+-≥，即4221e e a e <≤-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有2个零点； 综上，当1a e <<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上无零点；当1a ≤或a e =或4221e a e >-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点； 当4221e e a e <≤-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有2个零点．。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
高二数学课后练习题及答案
高二数学课后练习题及答案高二数学课后练习题及答案选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义一、选择题1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()A.f(x0)0B.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在[答案] B[解析] 切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即f(x0)=-120.故应选B.2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为()A.1B.4C.544[答案] B[解析] ∵y=limx0 [12(x+x)2-2]-(12x2-2)x=limx0 (x+12x)=x切线的斜率k=y|x=1=1.切线的倾斜角为4，故应选B.3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为4的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.14，116D.12，14[答案] D[解析] 易求y=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0=1，x0=12，P12，14.4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5[答案] B[解析] y=3x2-6x，y|x=1=-3.由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.5.设f(x)为可导函数，且满足limx0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2[答案] B[解析] limx0 f(1)-f(1-2x)2x=limx0 f(1-2x)-f(1)-2x=-1，即y|x=1=-1，则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.6.设f(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交[答案] B[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及f(5)分别为()A.3,3B.3，-1C.-1,3D.-1，-1[答案] B[解析] 由题意易得：f(5)=-5+8=3，f(5)=-1，故应选B.8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为()A.(1,0)或(-1，-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)[答案] A[解析] ∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，y=3x20x+3x0(x)2+(x)3+x，yx=3x20+1+3x0(x)+(x)2，f(x0)=3x20+1，又k=4，3x20+1=4，x20=1.x0=1，故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()A.0，23B.0，56C.23D.2，56[答案] A[解析] 设P(x0，y0)，∵f(x)=limx0 (x+x)3-3(x+x)+23-x3+3x-23x=3x2-3，切线的斜率k=3x20-3，tan=3x20-3-3.0，23.故应选A.10.(2016福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，4]，则点P横坐标的取值范围为()A.[-1，-12]B.[-1,0]C.[0,1]D.[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义.∵y=2x+2，且切线倾斜角[0，4]，切线的斜率k满足01，即01，-1-12.二、填空题11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.[答案] 4x-y-1=0[解析] ∵f(x)=x2+3，x0=2f(2)=7，y=f(2+x)-f(2)=4x+(x)2yx=4+x.limx0 yx=4.即f(2)=4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2) 即4x-y-1=0.12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________.[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)[解析] 由f(x)=x-1x=0得x=1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f(x)=limx0 (x+x)-1x+x-x+1xx=limx0 1+1x(x+x)=1+1x2.切线的斜率k=1+11=2.切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个.[答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.[答案] 3x-y-11=0[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值.设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.三、解答题15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程.[解析] y=limx0 1x+x-1x-(x+x-x)x=limx0 -xx(x+x)-xx+x+xx=limx0 -1x(x+x)-1x+x+x=-1x2-12x .y|x=4=-116-14=-516，曲线在点P4，-74处的切线方程为：y+74=-516(x-4).即5x+16y+8=0.16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的'直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).[解析] (1)y=limx0 (x+x)3-3(x+x)-3x3+3xx=3x2-3.则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率k1=f(1)=0，所求直线方程为y=-2.(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，则直线l的斜率k2=f(x0)=3x20-3，直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)又直线l过点P(1，-2)，-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，解得x0=1(舍去)或x0=-12.故所求直线斜率k=3x20-3=-94，于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析] y=limx0 f(x+x)-f(x)x=limx0 x+x+1x+x-x+1xx=limx0 xx(x+x)-x(x+x)xx=limx0 (x+x)x-1(x+x)x=x2-1x2=1-1x21，y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.[解析] (1)y|x=1=limx0 (1+x)2+(1+x)-2-(12+1-2)x=3，所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，y|x=b=limx0 (b+x)2+(b+x)-2-(b2+b-2)x=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.因为l1l2，所以3(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，即l1与l2的交点坐标为16，-52.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.所以所求三角形面积S=12-521+223=12512.【高二数学课后练习题及答案】。
山东日照实验高中高二上学期期末数学复习(必修5+选修2-1)理科练习二
山东日照实验高中高二上学期期末数学复习理科练习二本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题：本大题共12个小题. 每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．x>2是24x >的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件2．（理）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量1,,AB AD AA 来表示向量1AC A. 11AC AB AD AA =-+B. 11AC AB AD AA =++C. 11AC AB AD AA =+-D. 11AC AB AD AA =--（文）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程 A.450x y +-= B.430x y --= C.430x y -+= D.430x y ++= ３．已知“220a b +≠”，则下列命题正确的是 A ．a 、b 都不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 至少有一个不为0 D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0A1第2题图４．若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 的值是A.－10B.－14C.10D.14５．（理）四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．AMB ．BMC ．CMD ．DM（文）若()x x f 1=，则()=2'f （ ） A.4 B.41 C.4- D.41- ６．在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为 A.227 B. 445 C. 225 D. 4477．若01a <<，01b <<，b a ≠，则a b +，2ab ，22a b +，2ab 中最大的一个是 A ．a b + B ．2ab C ．22ab + D ． 2ab８．在双曲线822=-y x 的右支上过右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么 △F 1PQ 的周长为A ． 28B ．2814-C ． 2814+D ． 28 9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且965=a a ，则1032313log log log a a a +++ 的值为A ． 12B ． 10C ． 8D ．5log 23+１０．在同一坐标系中，方程12222=+y b x a 与02=+by ax )0(>>b a 的图象大致是１１．在△ABC 中1,60==∠b A，其面积为3，则角A 的对边的长为Ａ．57 Ｂ．37 Ｃ．21 Ｄ．1312．一艘船向正北方向航行，看见正西方有两个灯塔恰好与它在一条直线上，两塔相距10海里，继续航行半小时后，看见一塔在船的南偏西60°，另一塔在船的南偏西45°，则船速（海里/小时）是A ．5B ．53C ．10D ．103＋10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4个小题. 每小题4分；共16分．将答案填 在题中横线上．13. （理）已知向量()1,2,k OA =，()1,5,4=OB5=则k= ． （文）曲线2)(3-+=x x x f 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则P 0点的坐标为 ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 求22y x +的最小值_____________．15．过抛物线px y 22=（p >0）的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，作PP 1、QQ 1垂直于抛物线的准线，垂足分别是P 1、Q 1，已知线段PF 、QF 的长度分别是4，9，那么|P 1Q 1|= ．16．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．则4,11a为 ．12 34 5 67 8 9 10……………………………………三．解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知102:≤≤-x p ；22:210(0)q x x m m -+-≤> ，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(解析版)
2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =， 所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-， 所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-， 即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意； 当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入， 得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①， 解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ； 共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-， 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线． 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ， 所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-， 所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--， 所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______． 【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____． 【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号； 令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围 ． 【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意； 当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--． 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤． 综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩， 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩， 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条． 故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥， 当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<． 令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭． 当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小． 则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程． 【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直 【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。
高二数学练习题及答案
高二数学练习题及答案在高二数学的学习过程中，练习题是巩固知识点和提高解题能力的重要手段。
以下是一些高二数学的练习题及答案，供同学们练习使用。
练习题1：函数与方程已知函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，求：1. 函数的顶点坐标；2. 函数的值域。
答案1：1. 函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)的顶点坐标可以通过顶点公式\( x = -\frac{b}{2a} \)求得，其中\( a = 3 \)，\( b = -5 \)。
代入得\( x = \frac{5}{6} \)。
将\( x \)值代入原函数求得\( y \)值，\( y = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 -5\left(\frac{5}{6}\right) + 2 = -\frac{1}{12} \)。
所以顶点坐标为\( \left(\frac{5}{6}, -\frac{1}{12}\right) \)。
2. 由于\( a = 3 > 0 \)，函数开口向上，最小值即为顶点的\( y \)坐标，即值域为\[ [-\frac{1}{12}, +\infty) \]。
练习题2：三角函数已知\( \sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{5} \)，求\( \sin\theta \cdot \cos\theta \)的值。
答案2：将已知等式两边平方，得到\( (\sin\theta + \cos\theta)^2 =\left(\frac{1}{5}\right)^2 \)，即\( \sin^2\theta +2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{25} \)。
由于\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)，可得\( 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25} \)。
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题一、单选题1．21i i-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i ++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是 “若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数” D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅ 由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin （A+B ）＜sinBcosA, ∴sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∴sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4C ．bD ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称 所以()()224f a f c +=⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v ，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩ 12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴==∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b +=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据PT =，计算2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min()2c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果.【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -， 则minPT=又PT )a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥- 所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥ 则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡∈⎢⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =，熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A ．()()10f ef < B ．()()12ef f < C ．()()303e f f >D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果.【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x = 等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解 由()3231f x ax x =-+，则()'236fx ax x =-又()()g x xf x '=，所以()3236g x ax x =- 所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max 14h x h == 所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果. 【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增 所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果.【详解】由题可知：若222x y m m <++有解则()2min 22m m x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+=当且仅当4x yy x=，即2x y =时，取等号所以228m m +>，则()()2280420m m m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m <. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()t f x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】令()t f x =，方程()()0ff x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩ 则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图若1t =时，有1个交点 当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点 则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时， 则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，(),y t y f x ==图象只有一个交点 所以0a <综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U 【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s （3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又B A x x =，所以127a = （2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为A s =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C =所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-=【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==ABC ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果. （2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cos sin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭r r 所以()2cos +sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++- 所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =，所以5bc ≤ 所以1522S bc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ； （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 等比数列{}n b 的公比为q 则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111n a a n d n =+-=+ 由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2nn b =，()()1+322n n a a n n n S +==，()111221nn n b q T q+-==--（2）由（1）可知：()12n nn n a b =+⋅所以()23223242...12nn n K =⋅+⋅+⋅+++⋅①则()2341223242 (12)2n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅②所以①-②可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n nn n K -++-=+-+⋅=-⋅--所以12n n K n +=⋅()()()()111322222321n n n n n n n nn S T c K n nn ++++-+-=⋅==()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（26【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=， 13AGCD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形，1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由30402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，因此，直线11A C 与平面DEF【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t >另设()()1122,,,B x y C x y ()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++2168t =+，化简可得：2210t -+=，所以2t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+- 则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'fx ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果 【详解】（1）由题可知：()'ln 1fx x =+ 当[],1x e e ∈+，()'0f x > 所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2a F x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+ 则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln x a x=在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于函数()ln ,x y a h x x==图象在()0,∞+有两个交点 则()'21ln x h x x -= 令()'0h x >，则0x e << 令()'0h x <，则x e > 所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e=， 当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =- 由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=-由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+ 则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x < 所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈ 则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t > 所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时，若()20,t λ∈，()'0h t > 若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。
人教A版数学高二相等向量与共线向量精选试卷练习(含答案)2
③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面，则 a 、 b 、 c 三向量一定也共面；
④已知三向量
a
、b
、
c
不共面，则空间任意一个向量
p
总可以唯一表示为
p
xa
yb
zc
,
x, y, z R ．其中正确命题的个数为
A．0
B．1
C．2
D．3
31．已知非零向量 m ，
A． AO OD
B． AO 2OD
C． AO 3OD
D． 2 AO OD
25．如图所示，已知 AC 3BC ，OA a ，OB b ，OC c ，则下列等式中成立的
是线性相关的，按此规定，能使向量
，
，
线性相关的
实数 ， ， ，则
的值为( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
19．已知向量m、n满足|m| = 2，|n| = 3，|m − n| = 17，则|m + n| =（ ）
A． 7 B．3 C． 17 D．9 20．已知非零向量m，n满足 3|m| = 2|n|，< m,n >= 60∘ ，若< m,n >= 60∘ ，若n ⊥ (tm + n)， 则实数 t 的值为（ ）
则 P 为（ ）
A．四边形 ABCD 对角线交点
B． AC 的中点
C． BD 的中点
2． AB + BC +CD + DE + EF + FA ( )
D． CD 边上一点
A． 0
B． 0
高二数学练习题及答案
高二数学练习题及答案高二数学练习题及答案数学是一门需要不断练习的学科，通过不断的练习，我们可以巩固知识，提高解题能力。
在高二数学学习中，练习题是非常重要的一部分。
下面将给大家提供一些高二数学练习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求函数 f(x) 的最小值。
解答：函数 f(x) 是一个二次函数，对于二次函数来说，最小值出现在抛物线的顶点处。
通过求导可以得到 f'(x) = 4x - 3，令 f'(x) = 0，解得 x = 3/4。
将 x =3/4 代入 f(x) 中，可以得到 f(3/4) = 1/8。
所以函数 f(x) 的最小值为 1/8。
2. 已知直角三角形 ABC，AB = 3，BC = 4，求角 B 的正弦值和余弦值。
解答：根据勾股定理，可以得到 AC = 5。
正弦值定义为对边与斜边的比值，所以 sin(B) = AB/AC = 3/5。
余弦值定义为邻边与斜边的比值，所以 cos(B) =BC/AC = 4/5。
3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A 与 B 的交集和并集。
解答：交集是指同时属于两个集合的元素的集合，所以 A 与 B 的交集为 {3, 4, 5}。
并集是指属于任意一个集合的元素的集合，所以 A 与 B 的并集为 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
4. 已知函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3，求函数 f(x) 的零点。
解答：零点即函数 f(x) 的解，即 f(x) = 0。
可以通过因式分解或者二次方程求根公式来求解。
通过试除法，可以得到 x = -1 是 f(x) 的一个根。
然后可以用二次方程求根公式求解剩下的二次因式，得到 x = 1 和 x = -3。
所以函数 f(x) 的零点为 x = -1，x = 1 和 x = -3。
高二练习册及答案
高二练习册及答案# 高二数学练习册及答案## 第一章：函数与方程### 练习一：函数的基本概念1. 定义域与值域给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域和值域。
2. 函数的单调性判断函数 \( g(x) = x^2 + 3x + 2 \) 在 \( x > -1 \) 时的单调性。
3. 函数的奇偶性判断函数 \( h(x) = |x| \) 是奇函数还是偶函数。
### 练习二：二次函数1. 二次函数的图像描述函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的图像特征。
2. 二次函数的顶点求函数 \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) 的顶点坐标。
3. 二次函数的对称轴确定函数 \( g(x) = 2x^2 + 8x + 3 \) 的对称轴。
### 练习三：方程的解法1. 一元二次方程解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a = 1, b = -5, c = 6 \)。
2. 方程的根与系数关系如果 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是方程 \( x^2 + px + q = 0 \)的根，证明 \( x_1 + x_2 = -p \)。
3. 判别式的应用使用判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 判断方程 \( 2x^2 + 3x- 2 = 0 \) 的根的情况。
## 第二章：不等式与不等式组### 练习一：不等式的基本性质1. 不等式的基本性质证明不等式 \( a < b \) 时，\( a + c < b + c \)。
2. 不等式的传递性如果 \( a < b \) 且 \( b < c \)，证明 \( a < c \)。
3. 不等式的同向相加如果 \( a < b \) 且 \( c < d \)，证明 \( a + c < b + d \)。
选修2-2、3综合练习
高二数学（理科）练习题一、选择题：1. 曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是 （ ） A. 230x y ++= B. 032=--y x C. 210x y ++= D. 012=--y x2. 若x 为自然数,且55<x ,则)69)(68()56)(55(x x x x ---- 等于（ ）A. x x A --5569B. 1569x A -C. 1555x A -D. 1455x A -3. 用反证法证明命题：“a ，b∈N，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A. a ，b 都能被5整除B. a ，b 都不能被5整除C. a ，b 不都能被5整除D. a 不能被5整除4. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务的不同选法有 ( ) A ．1260种 B ．2025种 C ．2520种 D ．5040种5. 设Z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ ） A. 3 B. －5 C. 3或－5 D. －3或56. 在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ） A . 1－kp B. ()k n kp p --1C. 1－()kp -1 D. ()k n kkn p p C --17. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示， 则导函数y=f '(x)可能为 （ ）.ABC D8. 某学生解选择题出错的概率为0.1，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（ ） A. 20.10.9⨯ B. 3220.10.10.90.10.9+⨯+⨯ C. 30.1 D. 310.9-9. 4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法（ ） A ．72种 B ．36种 C ．24种 D ．12种10. 设（2x+2）4=23401234a a x a x a x a x ++++则()()2202413a a a a a ++-+值为（ ）A. 16B. －16C. 1D. －111．若复数i ia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．－6D ．612．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．21>-<a a 或D ．63>-<a a 或二、填空题：13.函数1y x=的导函数是14.()f x 是6)21(x -展开式中的第五项,则()f x = ，各二项式系数的和为15. 设ξ是一个离散型随机变量其分布列如下:则q=16. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。
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江苏省洪泽中学高二数学（理）综合训练（二）一．填空题（每小题5分） 1、计算：2(12)1i i+=-______ 7122i -+2、已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是： ． 正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高。
3、若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 204、将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率)(B A P 等于91605、已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD＝x SA y SB z SC ++， 则x ＋y ＋z ＝ 12-．6、★若随机变量X 的分布表如图， 若E （X ）=2.5，则V （X ）=_____________．17、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 21118、如果随机变量ξ～N （0，σ2），且P （－2＜ξ≤0）=0.4 ，则P （ξ>2）等于 0.1 9、设2921101211121222()()()()()x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211++++ a a a a 的值为 -210、已知(3,2,3)=- a ,(1,1,1)=- b x ，且a 与b的夹角为锐角，则x 的取值范围是11、已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大值和最小值分别是 ．22,26212、电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为13、四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 3614、若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ； 11二．解答题（每题15分）15、已知n k x x x f )()(1+=，且正整数n 满足53n n C C =，},2,1,0{n A = （1）求n ；（2）若A j i ∈、，是否存在j ，当j i ≥时，j n i n C C ≤恒成立。
若存在，求出最小的j ；若不存在，试说明理由。
（3）,A k ∈若)(x f 的展开式有且只有三个有理项，求k 。
解：(1)n=8(2)存在最大二项式系数满足条件,∴j=4(3)81)()(x x x f k += 展开式通项为 rrk r r x x C T ·)(8181-+==rkrrxC +-88依题意，只须8-r 是k 的整数倍的r 有且只有三个 分别令k=1,2,3……8，检验得k=3或416、在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券 中任抽2张， 求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .解：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============CC C P CC C P CC P CC C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE17、已知)(C z i z w ∈+=，且22+-z z 为纯虚数，求2211-++=w w M 的最大值及M 取最大值时w 的值。
解：设bi a z +=，则2222)2(4)4()2()2(22ba bib a bia bi a z z +++-+=+++-=+-22+-z z为纯虚数，∴422=+b a 且0≠b∴2211-++=w w M =b b a b a 412)1()1()1()1(2222+=++-++++422=+b a 且0≠b ，∴02<≤-b ，或20≤<b当2=b 时，M 取最大值20，这时i w a 3,0==18、某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456Nn n n n n n =，其中N 的各位数中，161n n ==，k n （k =2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456n n n n n n ξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．∵161n n ==，∴()442162C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭()444116C 381P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭．∴ξ的分布列为 ∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离.解法：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、B （3，0，0）、C （3，1，0）、 D （0，1，0）、P （0，0，2）、E （0，21，1），从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473.（2）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63.20、已知数列}{n a 满足1133n n n na a a a n +++--+=，且2a =10,(1) 求1a 、3a 、4a ；(2) 猜想数列}{n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明；(3) 是否存在常数c ，使数列}{c n an +成等差数列？若存在，请求出c 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵102=a ，将n=1代入已知等式得31=a ， 同法可得213=a ，364=a 。
（2）∵3131⨯==a ，52102⨯==a ，733⨯=a ，944⨯=a ，∴由此猜想(21)n a n n =+ 。
下面用数学归纳法证明。
① 当n=1和2时猜想成立；②假设当n=k （k ≥2）时猜想成立，即(21)k a k k =+， 那么，当n=k+1时，因为1133k k k ka a a a k +++--+=，所以133(1)3(1)(1)(21)11kk k k a k k k k a k k ++-++-++==--=(k+1)(2k+3)这就是说当n=k+1时猜想也成立。
因此(21)n a n n =+成立 （3）假设存在常数c 使数列}{c n an +成等差数列，则有ca ca ca ca ++++-=-23122312把31=a ，102=a ，213=a 代入得210==c c 或 。
当0=c 时，数列}{c n an +即为{2n+1}是公差为2的等差数列； 当21=c 时，数列}{c n an +即为{2n}是公差为2的等差数列。
∴存在常数210==c c 或使数列}{c n an +成等差数列。